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7/25/2019 Diagramas de Bode en MatLab
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DIAGRAMA DE BODE, A PARTIR DEL DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS
Introduccin. Conceptos Bsicos
Diagramas de Bode: grficas semilogartmicas de la
magnitud expresada en decibeles y de la fase
expresada en grados de una funcin de transferencia
en el dominio de la frecuencia.
Figura 1:Diagramas de Bode
Fourier:Cualquier seal arbitraria equivale a suma de
seales armnicas (senoidales).
Figura 2:Diagrama de Fourier
La tcnica para analizar el comportamiento y la
estabilidad de un sistema consiste en estudiar su
funcin de transferencia.
Un sistema real se puede modelizar mediante una
funcin de transferencia que relacione las seales de
entrada con las de salida dependiendo de la frecuencia
de trabajo.
Funcin de transferencia:
Se va a trabajar en el dominio de la frecuencia: Es una funcin
compleja que depende de la frecuencia 2.
< || su mdulo indica la respuesta en amplitud(ganancia)[]su
argumento la respuesta de fase.La respuesta en frecuencia puede
determinarsecompletamente a partir de la funcin de
transferencia
G(s), sustituyendo por.
La justificacin de hacer este cambio es que al sustituir por se
desprecia el transitorio (que lodefine la parte real s) y se
mantiene slo la informacin
del rgimen permanente.
La frecuencia de la seal de salida es la misma que la
de la entrada.
Concepto de Decibelio
El decibelio se uti liz por primera vez en estudiosde
acstica.
El odo humano no responde de manera lineal sino que
lo hace de forma logartmica.
El Bel se utiliza para relacionar dos niveles de potencia
(Ganancia de un sistema).
Se define como el logaritmo decimal del cociente entre
esas dos potencias. Al ser una unidas muy grande se
prefiere el uso del decibelio (dcima parte).
10 log 20 log 20 log
Trmino constante:para la ganancia K es de 20log y la fase es
de
0.Si K es negativo, la magnitud sigue
siendo de 20log|| pero la fase corresponda a180Polo/ Cero en el
origen:Para el ceroen el origen, lamagnitud es de 20log y la fase
corresponde a 90,magnitud pendiente de 20/.
Figura 3:Diagramas de Bode con polos y ceros en el origen
Polo/ Cero simple:Para un cero simple 1 /,a magnitud es de
20log|1/| y la faseequivale a /
Figura 4:Diagramas de Bode del cero simple (1+jw/z1)
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Sistemas continuos de 1er y 2do Orden
Se denomina orden de un sistema al grado de su
polinomio caracterstico. Consecuentemente el orden
de un sistema coincide con el nmero de polos de ste
y con el orden de la ecuacin diferencial que lo
modela.
Los sistemas ms sencillos y representativos son los de1er y 2
orden. El anlisis de la respuesta temporal de
los sistemas se hace a partir de su respuesta a ciertas
entradas, en particular al escaln unitario u(t).
Sistemas continuos de 1er Orden
Un sistema de 1er orden tiene una funcin de
transferencia de la forma:
1
La respuesta al impulso es:
1 / La respuesta de este sistema ante una entrada escaln
unitario tiene por expresin:
[1 / ]
Figura 5:Respuesta de un sistema de 1er
orden de u(t)
Los parmetros caractersticos que aparecen
representados en la figura anterior son:
- K:La ganancia esttica se define como el valor final
ante entrada escaln unitario.
-: Constante de tiempo (es el tiempo en el que se
alcanza el 63% del valor final).
- ts= 3T: Tiempo de establecimiento (es el tiempo que
tarda la respuesta en entrar y permanecer en la zonadel 5% en
torno a su valor de equil ibrio).
Figura 6:Diagrama de Bode para un sistema de 1er
orden
De la Figura 6 se muestra las ventajas de la escala
logartmica de frecuencia, podemos obtener un
diagrama de bode, sin mucha dificultad aproximado de
mucha utilidad para un sistema continuo de 1er orden.
Sistemas continuos de 2do Orden
Los sistemas de 2 orden tienen una funcin detransferencia de la
forma:
2 - K:Ganancia esttica.
- n: Frecuencia natural no amortiguada.
- :Coeficiente de amortiguamiento.
Los dos polos de este sistema pueden ser reales o
complejos conjugados, dependiendo del valor que
tome el coeficiente de amortiguamiento .
con :
0 < < 1.
: Constante de amortiguamiento. /frecuencia amortiguada.
Si es positivo el sistema ser estable. Si es mayor
que la unidad, los polos sern reales y el sistema nopresentar
oscilaciones. Por el contrario si es menorque la unidad, los polos
sern complejos y el sistema
oscilar.
Estas consideraciones nos permiten clasificar los
sistemas de segundo orden frente a entrada escaln
de la siguiente manera:
< 0INESTABLE
> 1SOBREAMORTIGUADO
= 1CRITICAMENTE AMORTIGUADO
0 < < 1SUBAMORTIGUADO
La respuesta de un sistema de segundo orden
subamortiguado, ante la entrada escaln unitario,
queda representada en la Figura 7 donde aparecen una
serie de parmetros caractersticos cuya
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denominacin, significado y valor se dan a
continuacin.
Figura 7:Respuesta de un sistema de 2do
orden de u(t)
As, para 0
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El vector que representa el numero complejo s1-a es por
consiguiente el vector suma de s1y a, el cual vemos enla figura
como el vector que va desde cero localizado en
s=ahasta el punto s1. El valor deX(s1)tiene entoncesuna magnitud
igual a la longitud de este vector y un
ngulo que consiste en el ngulo del vector respecto al
eje real. Si en lugar de un cero,X(s) tiene un polo en s=a
[es decir,X(s)=1/(s-a)], entonces el denominador estara
representado por el mismo vector de s1y a, y el valor
deX(s1)tendra una magnitud que es el reciproco de la
longitud del vector desde el polo en s= s1y un nguloque es el
negativo del ngulo el vector con el eje real.
= = Una transformada racional de Laplace ms general
consiste en un producto de trminos constituidos por
polo y ceros de la forma discutida en el prrafo
anterior.
Ejercicio de AplicacinDiagramas de Bode
Aplicando la Transformada de Laplace tenemos la
Funcin de Transferencia: 100 100 110 100Factorando se obtiene:
100110 100 Por lo tanto la respuesta en frecuencia es:
100110 100 Para obtener el Diagrama de Bode para ,factorizamos
de la siguiente forma:
(110) 11 10 11 100 1
El Diagrama de Bode para 20 log||es la sumade los Diagramas de
Bode correspondientes a cada uno
de los factores.
Las Asntotas se deben sumar para obtener las
asntotas para el Diagrama de Bode completo.
Para el Diagrama de Magnitud
Factores: => Valor constante de -20dB en cada frecuencia +, +
1 => forma estndar deprimer orden
Por lo tanto1
=> Frecuencia de corte 1
, lo cual
produce una elevacin de 20dB/dcada
+=> se cancela la elevacin anterior mediante ladisminucin de
20dB/dcada, lo cual empieza en la
frecuencia de corte 10
+=> contribuye la disminucin de 20dB/dcada,lo cual empieza en
la frecuencia de corte 100Para el Diagrama de Fase
Factores:
=> contribuye con 0 a la fase hasta 0.11 => se eleva
linealmente desde 0 a 0.1 hasta un valor de a 10 + => se cancela
la elevacin anterior en 1,lo cual contribuye a una disminucin
lineal en un
ngulo deentre 1a 100 + => aporta una reduccin lineal en un
ngulo
de
entre
10a
100
El Diagrama de Bode para 20 log||es la sumade los Diagramas de
Bode correspondientes a cada unode los factores.
Las Asntotas se deben sumar para obtener las
asntotas para el Diagrama de Bode completo como se
observa en la Figura 11.
Figura 11:Diagrama de Bode para la funcin del sistema enel
ejercicio de aplicacin anterior. a) magnitud y
b) fase
ibliogr f
:
Alan Oppenheim, A. W. (1998). Seales y sistemas.Boston-EESS:
Pearson Educacin.
Jos Espinoza, D. S. (2015). Sistemas LinealesDinmicos.Recuperado
el 09 de 01 de 2016
Madrid, U. C. (s.f.). SEALES Y SISTEMAS. Madrid.Recuperado el 09
de 01 de 2016
