Departamento de Artes Plásticasy Dibujo

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO

TEMA 2. TRANSFORMACIONESGEOMÉTRICAS

Láminas resueltas del

Trazar una paralela a s que diste 25 mm de la recta dada.

A B

C D

a

c

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plásticas

s

Dados los segmentos AB y BC, hallar su producto (ABxCD).

A B

C D

a

c

Dados los segmentos AB y BC, hallar su división (AB/CD).

A B

Hallar la raiz cuadrada del segmento dado AB

A B Ca b

Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados:a.b=c2

B A B

C

a

b

Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados:a.b=c2

B

OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 1

a

1 cm C Dcb

d

A

B

Ea

1 cmb cd= ac = db

b =ac = d1

ac = dAB =CD dx

a

1 cmC Dcb

A

B

abcd

=

A B =CD d

a1cd

=ac

d=

A Ca bB

c

abcc

= ab =cc ab = c2Ca

bB

c

abcc

= ab =cc ab =c2a b+

ab -

nn

A B1cm.

b

c

bc = c c = b2 c = b

nn n

c = 1n

c = n

TG 01

a b

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 2

Departamento deArtes Plásticas

Obtener el segmento “tercera proporcional” a los segmentosdados a y b. a/b=b/x

A B

Hallar gráficamente el segmento áureo de AB dado

Obtener el segmento “cuarta proporcional” a los segmentosdados a y b. a/b=c/x a

b

c

Obtener gráficamente la siguiente expresión. 1 + 34Tomar como unidad 10 mm.

Dibujar el rectángulo áureo del cuadrado de lado bb

Hallar dos segmentos conocida la suma de los mismos y su media proporcional.

AB + BC mpA

a

b

b

x

a

b x

c

A Bcb

a

a

abc

=b

= f = 1,61803..

La parte pequeña (c) es a la grande (b) como la grandelo es al todo (a)

b AB + BC AB BC

3 1

13

1 + 341 + 3

4a + b

c

1

25

a b

a c

c=b

c2 = a b

b

TG 02

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plásticas

1.- Construcción de un polígono IGUAL a otro por

COORDENADAS

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS. IGUALDAD.

A

B

C

D

E

2.- Construcción de un polígono IGUAL a otro por

TRIANGULACIÓN.A

B

C

D

E

3.- Dada siguiente figura y los puntos O y P, se pide que construya otra figura IGUAL y que utilice el punto O´conocido donde debe estar situada

la figura. El punto P es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos C y D.

A

B

C D

E

P

FG

H

O O´

TG 03

1.- Trasladar el polígono dado 37 mm., en la dirección dada d.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

IGUALDAD, TRASLACIÓN, GIROS

B

C

D

2.- Trasladar el polígono dado 40 mm con ladirección dada.

B

A

C

D

d

3.- Dada la recta r con 30º sobre la horizontal, gírala 90º según el centro de giro O dado.

r

0

B

A

C

D

B´

A´

C´

D´

dB

A

C

D

B´

A´

C´

d

D´

r

r´

A

B

A´

B´

90º0

0

A B

C

A´

B´

C´

A´´

B´´

C´´

4.-

90º.

Dado siguiente triángulo: c=13, b=28 y a=35, se pide:a. Realizar un giro de 60º CR. según el centro O dado.b. Con el triángulo obtenido, Hallar el simétrico con el eje de simetría paralelo al lado b y a una distancia de 15 mm.

5.- Dados los cuadrados ABCD y A´B´C´D´, igualesy girados, halla el centro de giro.

A´

B´

D´

C´

D C

AB

a

6.- Dadas dos rectas paralelas r y s, y otra recta t no paralelaa las anteriores: se pide que construyas el triángulo de ladosAB, BC y AC dados, de manera que tenga un vértice en cadarecta respectivamente.A B

CB

A C

r

s

t

A

B

C C´

A´

B´

c

b

a

TG 04

1.- Trace dos figuras simétricas de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría de una de ellas y O elcentro de simetría de la otra.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

SIMETRIAS

E

E´

B

A

D

O

B´

CC´ D´

A´

B´´

A´´

D´´

C´´

2.- Trace la figura semétrica de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría.

D

A

B

C

A´

B´

C´

D´

E´

E

TG 05

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaSEMEJANZA

2º BACHILLERATO

1.-Dado el polígono irregular de 5 lados ABCDE y el punto 0, se pide: Hallar la figura directamente SEMEJANTE con razón R = 5:3 con el punto 0 como origen.

1

A

B

C

D

F

O

1

2

3

5

R=5:3 ampliación

A´

B´

C´D´

F´

K = 2/3AA´=

B´

B

E´ E

D´

DC´

C

2.- Dado un pentágono regular de lado 27 mm., se pide: Hallar el polígono semejante de razón = 2/3. El punto A es un vértice del pentágono y el origen de semejanza.

3.-Dibujar el heptágono regular una de cuyas diagonales mide 37 mm.

d = 37

A=A´

B´

B

C

C´

D

D´

E

E´

F

F´

GG´

MN = CD AN = AB + CD Realizar un triángulocon los dos lados d1 y d2 = AC y BD

TG 06

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

1.-Trazar la figura homotética de la dada siendo O elcentro de homotecia y el valor de k=2,5 / 3,5.

o

2.- Dibuja la figura homotética a la dada de razón -2,con centro en O

o

3.- Dibujar el segmento n , siendo n un segmento dadoy considerando el centímetro como unidad. Aplica lamedia proporcional.

2

n

4. a.-Dibujar un triángulo áureo cuyo lado menor es de 25 mm b.-Uno de los extremos del lado pequeño, A, del rectángulo está en la recta r y el otro, B, en la recta s. Elsegmento AB forma con la recta r un ángulo de 30º. (2 puntos)

r

s

4.Dibuja un pentagono regular de tal manera que elvértice A este en la recta r y el vértice B en la recta s.El lado del pentágono es de 3 cms.

r

s

TRANSFORMACIONES, PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZATG 07

A A´

O

M

O´

M´

A

A´

B

B´

n

1

X

1n

nX

= n2= X

3 Cm

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaESCALAS.

2º BACHILLERATO

escala =medidas en el dibujo

medidas en la realidad

1.- Resuelve tú mismo: Tenemos un campo de fútbol de 1.400 mm.en la realidad y se quiere representar en el dibujo en 70 mm.Aplicar la fórmula y decir a qué escala estará representado:

fórmula E =

escala E = 1 / 20

2.- Dibujar la escala gráfica E = 1:40

3.-Dibujar una regla para medir planos a escala E = 1:75.000 En este caso, 1 km real será 1/75.000 en el dibujo,es decir = 0.000013 km = 1.3 cm. Como 1.3 es difícil de representar con exactitud, dibujaremos gráficamentepor teorema de tales la expresión 4/3 que es el mismo resultado.

4.- Dibujar la escala volante E = 7:5

0

5.- Dibujar la escala volante E = 1/175 = 1 metro/175 = 100 cm / 175 = 4/7

0

6.- Dibujar la escala volante E = 1/37.500 = 2.666 = 8/3

0

7.- Dibuja la escala gráfica 8/1 = 8 unidades del dibujo corresponden a una en la realidad. Si aplicamos mm. sería8 mm = 1 mm en la realidad.

70 mm

1.400 mm=

1

20

En este caso conviene utilizar metros para realizar la escala, pues como1 unidad del dibujo representa 40 unidades reales, 1 metro estará repre-sentado por 1/40 metros. 1/40 m = 0.025 m = 2.5 cm.Cada metro estará representado por 2.5 cm.

1 0 1m 2m 3m 4m 5m

10/7.5 = 20/15 = 4/3

4 cm. 01 1km 2km 3km 4km

11 2 3 4 5 6

1,4 cm

4 cm

12

7

1 1 2 3 4 5 6 7

01 1 2 3 4 5

1 1 km 2 3 4 5km km kmkm

TG 08

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaESCALAS.

2º BACHILLERATO

1.- Calcular la altura señalada en el triángulo ABC si AB = 10 cm. en magnitud real.

A

h

B

C

2.- Dado el segmento B´C´= 39 mm, representado a escala 7/9, determinar numérica y gráficamente su verdaderamagnitud.

B´ C´

3.- Determinar a qué escala están dibujadas las siguientes figuras:

54 mm70 mm

4.- Dada la figura representada a escala 2:3, dibújala a escala E = 5/2

AB = 4 cm en el dibujo y 10 cm en la realidad.

h = 23 mm = 2,3 cm = 2,3X5/2 = 5.75 en la realidad.

escala =medidas en el dibujo

medidas en la realidadescala =

4 cm

10 cm =

25

Gráficamente

2 cm hh real

h real

escala 1/1escala 5/2

TG 09

7 cms

9 cms

7/9 = dibujo/real = 39/X

7 939 X

39x9/7=50,14 mm

50,14 mm

36 mm

36 mm dibujo

54 mm real

6

9

30 mm

30 mm70 mm

37

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

3 EQUIVALENCIA

Reciben el nombre de figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. La solución de problemas de equivalenciaes más bien geométrico que de aplicación en dibujo.

EQUIVALENCIA.

2.- Construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos.

A

BC

D

E F

G

3.- Construye un triángulo equivalente al polígono dado.

A

BC

D

E

B´C´

E´

1.- Dado un triángulo, dibujar otro equivalente.

A

BC

D

4.- Dado un cuadrado, dibujar un triángulo equivalente.

El área de un triángulo = base X altura, por lo tanto cualquier triánguloque tenga la misma base y la misma altura tendrá el mismo área.

Base

h

Se triangula por uno de sus vértices. Se halla el triángulo equivalente.= ABF triángulo de base FB y altura BG, luego FBG misma base y altura

Igual que ejercicio anterior pero con todos los triángulos del polígono

B

C D

F

H

I

A G

r

Bxh LxL= L= 2 = el área del cuadrado (L) es la entre la base (FA) y la mitad de la altura del triángulo buscado (AG = AH)

media proporcional2

h/2

h/2

L

2

El ejercicio podría ser a la inversa

5.- Cuadratura del círculo. Dada la circunferencia O,Hallar el cuadrado equivalente.

O

Q

R

A N

r

MB

DC

pr.r = L2 el lado del cuadrado será la media proporcional entrela mitad del área del círculo y el radio del mismo.

pr r

r

LD C

A B

E

J

6.- Dibujar un cuadrado que tenga por área el dobleque otro dado ABCD..

TG 10

7.- Dado un cuadrado de lado 60 mm., construir el rectángulo equivalente al cuadrado (uno de los ladosdel rectángulo mide 40 mm.)

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

3SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA

Solución a:

A B

CD

Solución b:

A

B

0

l = 40 mm

L = 60 mm

lado mayor

media proporcional entre lado menory lado mayor

TG 11

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA

1. Dibujar un trapecio con los datos:Base mayor AB = 50mm. Base menor CD = 27 mmLados BC = 29 mm y AD = 26 mm.Trazar el cuadrado equivalente

2. Dividir el triángulo ABC en 4 partes equivalentes,por medio de líneas paralelas al lado AB

3. Obtener un rectángulo, cuyos lados estén en la proporción 4:6 y su superficie es equivalente a la de untriángulo equilátero de 30 mm. de lado

4.Obtener dos segmentos que sumen 70 mm. y esténen la relación 3:8

5. Obtener dos segmentos que estén en relación de 3:4y su diferencia sea 20 mm.

6. Obtener el cuadrado equivalente a la suma de otrostres cuadrados de lados:

7. Dado un pentágono de 20 mm. de lado, se pide querepresentes un pentágono semejante de 175 mm. deperímetro, y otro de 15 mm. de apotema.l1

l2

l3

A B

B

A C

área del trapecio: (BM.Bm).h2

(BM.Bm).h2

= L2

Se debe de hallar la mediaproporcional entre la mitadde la suma de las bases y la altura.El valor de la media proporcional es la longitud del lado del cuadrado

TG 12

B

A C

Igualar las áreas de un triángulo (base b, altura h) con la de un rectángulo (base B, altura H) --> b·h/2 = B·H ; y como la relación entre los lados del rectángulo es H/B = 2/3, sustituyendo queda b·h/2 = B·(2B/3), que reordenándolo da (b/2) / B = B / (3h/2) (o cualquier otra de las posibles combinaciones) luego se trata de resolver esa media proporcional.Se halla la media proporcional entre el segmento mitad de la base del triángulo y la altura+1/2h, es decir el segento una vez y media de la altura. El segmento obtenido es la base del rectángulo. Dividirlo en trespartes iguales y coger 2 para la altura del rectángulo

8 partes3 partes

20 mm

4 partes

a

bn

apotema

lado 35 mm

Son dos pentágonosdibujados por semejanza.

D

D´

D´´

l1

l2

SL3=SL2+SL1 L=L2+L1

Teorema de pitágoras en los que los catetos son L2 y L1 y lahipotenusa es L3

2 2 2

L2

L1

L

l3

SL4=SL2+SL1+SL3

L=L2+L12 2 2

L=2

SL4=SL+SL3l4

l3

SL2+SL1=L

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA

2. Dividir el triángulo ABC en 4 partes equivalentes,por medio de líneas paralelas al lado AB

B

A C

TG 12

B

A C

B

A C

División en dos partes equivalentes.Se ha realizado la media proporcional entre el lado b y su mitad.

B

A C

Para dividir el triángulo en trespartes equivalentes entre síse superponen dos triángulos divididos en dos.Para la práctica: dividir en tres partesel lado del triángulo b

B

A C

Para dividir en un número superior, comoen este caso en 4 partes dividir el lado encuatro partes iguales.

3. Obtener un rectángulo, cuyos lados estén en la proporción 4:6 y su superficie es equivalente a la de untriángulo equilátero de 30 mm. de lado

“La venus del espejo”, Velazquez, s. XVIINational Galery. London.Rectángulo en proporción 4:6

A

B

A´

B´

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plásticas

Dibuje dos rectas de forma que una de ellas pase por el punto A y la otra por B y que la recta r sea bisectriz de ambas.Razone la solución.

A

B

Dibuje todos los segmentos de longitud 4 cms. Que se apoyen sumultánamente en las rectas r y s y queformen 45º con la recta r. Indique los pasos utilizados en la solución.

r

s

45º

45º

40 mm.

PROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS. SOLUCIÓNTG 13

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIÓN

Departamento deArtes Plásticas

Dadas dos rectas que se cortan fuera de los límites del dibujo y un punto A, trazar la recta concurrente con ellasy que pase por el punto dado.

A

Halla los puntos B y C que están a 2 cm de A y equidistan de los lados del ángulo

A

B

C

TG 14

P rs

72º

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaOPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIÓN

Departamento deArtes Plásticas

Dadas dos rectas r y r´ y un punto P. se pide: Hallar una recta, que pasando por el punto P equidiste de r y s.

Dadas dos rectas r y s, situar un pentágono regular ABCDE de lado la raíz cuadrada de 6 cm, de modo que el lado ABesté en r y el vértice D (opuesto al lado AB) en la recta s. La raiz cuadrada de 6 cm. se deberá obtener gráficamente.

s

r

A

B

cm.6 cm.1

6

A

B

C

DE

P

r

s

1

1´

ACroquis

B

P

r

s

1

1´

A

B

F F´

Los triángulos F yF´son iguales.

TG 15

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaHOMOLOGÍAS. AFINIDAD

Departamento deArtes Plásticas

1.- Dada la siguiente homología, hallar el punto B´, homólogo de B.

O

A

A´

eje

B

O

A

eje

B

B´A´B´

3.- Dada la figura ABC y un punto homólogo A´, construir lafigura homóloga.

A

A´

eje

B

C´

C

O

B´

4.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo elcentro de homología O, el eje y un par de rectas homólogas

o

A

eje

r

r´

5.- Hallar el homólogo de B conociendo los datos delejercicio.

o

A

eje

A´

B

o

eje

l (recta límite)

6.- Halla el homólogo A´ de un punto A conociendo el centro, el eje y la recta límite l.

A

2.- Dada la siguiente homología, hallar la recta r´ homóloga der.

o

A

eje

r

r´

B

B´

A´

o

eje

C

C´B´

o

ejeA

A´

TG 16

AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

Representa la figura homóloga de la dada sabiendo que los puntos homólogos de A y C son respectivamente A´ y C´y el punto homólogo de B está sobre la recta r´. Indique los parámetros que definen la homología. (PAU sept. 2010)

A

B

C

C´ A´

r´

r

MNP

EJE

K Q

K´ Q´

B´M´N´P´

TG 17

AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

1.- Hallar el afín B´del punto B, conociendo la dirección deafinidad, el eje y un par de puntos afines A y A´

r

r´

A

A´

eje

BA

eje

r

r´

d

eje

A

B

CD

E

C´

3.- Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo el eje y un punto afín C´

D´

B´ A´ E´

4.- Determinar la figura afín a la dada, sabiendo que elpunto A es doble y los punto B´y C´ son afines.

B

B´

C´

C

A

D

EF

D´

F´

E´

eje

BB´

C

DA

C

A´ D´

A

B

C

D

5.- Trazar la figura afín de la dada con los datos que seindican.

6.- Determine la figura afín al polígono ABCD, conocidosel punto afín A y el eje de afinidad.Indique la dirección de afinidad d

d

A´

D´

B´

C´

eje

2.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo ladirección de afinidad, el eje y un par de rectas homólogas

TG 18

AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

4.- Determinar la figura afín a la dada, sabiendo que elpunto A es doble y los punto B´y C´ son afines.

B

B´

C´

C

A

D

EF

TG 19

AFINIDAD

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

E

O

A

B

C

B´

M N

C´

E

A

A´

d

M N

B

C

D

B´

C´

D´

Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado por el lado AB, con los siguientes datos: centro O, eje Ey siendo A´el punto homólogo de A. El vértice C está al otro lado del eje.

Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A´, se pide hallar la figura afín de la dada. Decir cuál es ladirección de afinidad.

A´

TG 20

HOMOLOGIA - SEMEJANZA - EQUIVALENCIA

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

Dada la homología definida por su centro O, el eje E y un par de puntos homólogos A y A´, se pide:1. Obtener la figura homóloga del cuadrilátero ABCD2. Dibujar el cuadrilátero SEMEJANTE al obtenido con razón de semejanza K = 2/33. Obtener el triángulo EQUIVALENTE al cuadrilátero resultante anterior.

TG 21