DINAMICA

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46

ro.Iq"ffi--ui[.HE§gConsideremos una p:uiículaqlie se iirLrevghacia an iba a io lar¡.,: ,-le 1a trayectoriai's",desde la posición s, a .c2 .

5n un punto Interr ,:dio,ei

desplazamiento:

pcr:-lrllonnüfilHrtl,lL¡H:Í = III

L"-- ,:

-J,-toL-

'l*'"t'

. clr=d.:t

ComoObtenemos:

'2 '' ->Lr, ^= I FLIr =t_/ i1

J)r'r,/ -'-) -/

l¡k--- S ,-+l+-

I -, --illr.ltrr¿,, trllr I | ¿ r:l ltrSt,l1ú

1_)- -ksll

É-,1

/>+.TU-\ l'rL{^n,++'t -- r, l

'/\/ 1,1,11,,, iu,tfi,' '1,,,1,¡1,¡1,¡1,,t1,t\i\iti¡---*--*

Si rtn resorle es alargaclo o comprimidodet,na posiciónJ, a s. cl trabriorcrtliza..io' i t "

sobre el resorte por I es positivo.)'a que

en cada caso la fuerza y el desplazir-mientotienen la misma dirección

':- --) -+ -+. , -ll'7).r,1i' i',ly j

t"

->, )- t-\rLt- ^ )

't2 tz l .¡L't*): F.ds = J,ts ds:: ksí'1'rLL

i .r" ¿l/r I

I1., ¿

Il

II1./t./t./t,/

[:ir:r:]lt:lünnü-t_.._,_-t-:1lilfLli:11-l,l

j=t I

Ei trabajc es negatlv,,. ya que \\¡ está ciirigiciohacia abajo y A¡;es;tá dirigidohaciaarriba.

Si ia partículase dlsplaza hacia abajo,-Ay)eltrabajo fl6¡lpeso es positivo.

TRABAJODE LAFI.JERZADE UNRESORTE

a magnitr-id dela fu::rzade un resorte:uando es desplaz:rcli, una ciistancia "s" desde,: posicioirtto elal'l:lrt eS:

F.:Ksn_oéd9:-i : aiargainiento o :i¡oñamientodel resorte:i: rigidez de1 resoi¡e en Niirn

r l.-I L:- ¡'.J

l*_ s ___:_t

la parlicule

Si 1a fuerza F, es opuestaala eiercida sobreel resode, entonces Ia fuerza rcalizatrabajonegativo.Ocnrle cuando se mueva alargandomás o comprimiendoel resorte.

lolou | _: = -iks;*io'í ,

Si F, y ds tiene la misma direcciónresulta uutrabaiopositivr-,Si las direcciolesson opuestas el tlabajo esnesati\ o.

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F-l[güg"LEtuTAl,-L] blo:,ire,lc i,:ks..il'lostra.loen la ñgula clescansa solrre elplaaoirrciiiracloliso. Si inicialmenteel rr:sorteestái-::rii¡adoC,5 rn. Deten:rineel trabajo totali'ealizedo por todas 1as 1'uc"rzas qrie actúransiiilreel bioque cuando unafuerza irorizontal

P:,+00

N 1o ernpr-rja hacia arriba por elpiano s:2rn.

.r1;..r r,/ '- \-,/ '\ \--)'¡'.,' j -:-lll.1 ÑI -\-

,.r i-, , ',<-li. P=Jl.:I 'l* / tt \] ^'i'.:C rl .- L -'r. , ,) r: ;'r'ii:l ,n,ü i ,;'

-':¿t,:U" ¿:r,-"'/- ''{,,.. .,'¡,¡r "'v'-tli'.. r,/ .' t -

I '+\b^""utii;;.,.,,=jri r.,rrl

I' '*':..,.*"' 'i-'il:rr,

t:i ..iiá¡..-,y ,t¡/¡:;J

---

; L' i+'"'--'d;'1..t---

SÚLUCION

u,1 ['.,]

'- f¡-I11 r-r i I

f'lB

L'1-

L-1-

n-*-+--;,..,{Î*^" \̂x,/i¡+u4.lguL¡ ¡if Jv YY

Conro cl peso actúa en c'iirec,desplazamicnto vertical"el trncgatn'o. es decir:

I, r ={-5d,l:err30o)¡ilr;t-' \ /

Fuerza norrnal.-Esta lilerza no lrabaja ] ir qrrrperpendicular ai desplazafiil,::

Trat¡aio totatr:De iodas las fuerzas cuando r,

desplazado 2 rn es entonce:r

¿'?- = 5q1.8-q0-98,i = 505I

1--i t," rl-:i.r] - I Lr {rr,/ (tJ \r

t-L'r ¡ --l- 1,

(it ,"J.

| '¡, rlJ -

)L

,1 ^^-li(lL

O,I Í14tI+:#lI+t

fi

*

-t')Vrl: -¡(2.5nil- :in -l

lr t--.-\- ^ nJt )) I

Ij *-l*l

¡/-{'30--)i

fit

,ón o1tii,-:staa sLi

'bajo;rst

.*e&1r

siempi'e cstito.

i bloqr-rees

, Réspq¡este

r/.. = 400¡2cos30'):6()2.8.//)

t-ratraiode U fuerzaAe

iiallandola fuerza deiresorte (F ).r, = 0.5 ri posiciÓninicialdel resorteestir-aCo

-n < '--'' " tosicióilfinal' ) - \f'J

1' - - t-rJ ll( |

Fítrabajoneqativo, lafuerza y "s"estánerr direcciones opuestas.

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4ó

P"rylFe§ ryj${,,rHLrry4EA,J#Y í,-e*:i{tr.fqL?Il+.

Sea la partíc,-ilar,ie masa m y estásometida a un si:;tema de fuerzase;<ternas representada por.

{O=IF

La ecuación dei riovimientopara laparlículaen la diieccióntangencial es:

)- F. = /t;a. Dero.¡- r'd| luegottrdsreemplazando te nemos:

I Ft =ntÚ d.rlntegrandopara.s=§l , -v=)r1r s=J2 , v=v:

t

itr_r.l _'ll

rFt

*'7-

-_-n¿

t2

sl

r.F. = T Fcos , como trabajo es:*- L ;¿'

l; 5.2- - ':L,.= |,-'¿r '-. IFc,ss9,ls

,, Jrl

\-ri-" 1 a -T- Lueco:

Ecuación de1 pi'incipiodel trabajc y ia 1I11:_t4..

ttr.-=mu t F..^-t)7Lll

a)r1 1)

PROBLEMA1.- Un peqr,reño bloque depeso 'W: 10 N se clesiiza hacia abajo en unaiambre recto de A a B.E1 coeñciente de rozamientoent¡:e el bloqr-rey el alambre es /r

=0,25y la velocicjaden

Aes v, =3,i2mls. ¿Calcular la_1

'"¡elocidaden B?SOLUCTÓN

Un\

-.r 1),

p

-Y\ -A,/ \, -ffi44 t)ryH,,- 53'|' \// |

D

r'l- ¡'

'Jtz '2I I F,ds: lntvdv'l

' t'l

llt f r - = -il11': * -illvl

Pero:lti'

,i::,tvl . : ='t17v\

Para t:0, r:0Bl.1

z- )^ X ->'-t'_A A,

L iti''tl (.LVcos 0 - Fr) tlx= - L (r', - r-,,)...(1)o 2,g D '1

lntegrando:[,t/ ) .

l{,Lcos? - ¡t Iu I. scn 0 = ; (r', - r1)

,. ri^= -l:, trcosH-Ltren/).12,'B 'l-^'-"' .{

R.espuesta

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50

F#-{3üNC}5"-Es la cantidad de uabajor*alizadopor r"inídadcle tiempo"

p _,1{J

-dt,$i ei tranajo rlU es expresüdo p*-:r::r t i , .l ..^ ^,,^,-¡â-^,ii-i".i/( =J (tI 1 '3t,fJuüuti(,.)u¡rL/¡.

++->Jit l.'r{r i,/¡'dt dt dt

++Übien: P=Fv1,a potencia es un escala¡:

L-rnicXades:l,/ 1 ) tnI il',Jli.\'=ltv= =

-,§1 Íd,{'': 550 pies.lb I s = 746ut1 cv = 75 kg.ntl ,:i

i kL{/=737¡tie.lbl,r= i000w

J.i1:[C]EN§J,La eficienciamecániea de una máquira es 1ar*::,ói-rde Ia salicla de pu.rtenciaúiiitrric,d-Lrcidai.+ria n:áquina a la eutiada de potencia,:,ininistraciaa la rniquina.Lr el-icienciaes rrrerror que I

n =e= Salidc¡ de potenciuEnttu¿la de ootenci¿

{lUE}{u$${jPt\ISE1t}r, T'r}/r4§_YE§E}IGrAPSTEN§XA

E'g iñ _8I a c.' l f\\tc,T. r)\/ a'I-IE/a c¡ l' rllBAnLt \.UlI )lila n I I I n.i

rla de ur¡;unto a otro y es inclependientede iarravectoria,realizando trabajo.Ejguplqs:

c El trabajo realizado por ei p$so esindcpendiente ,Je la trayecto¡ia, sólodepende dei desplazamientcverticalde 1a ¡rartícu1a.r¡ El traba.io realizado por el ri:sortequeactúa sobre una partícr-rlaesi¡rdenenclientede Ia trar¡eclr¡it¿1.de la

partícula,ya que depende de laextensióno compresión"s"delresoúe .

E yE R.cr&§-q_E j,,HC&: ÁEs la energía que-proviene rli,-.ia posición d*la partícuia ii;edida<1esde Lrnr:uniofijoalpiano dc rcforcncia.La energía pctenciaies ia car,rirladll*traba-joque una fuerza consgrvativa t,',at iza cuanllose mue\¡e desde una posi*iór:,'ii:da irasta eielatiirn.

Ery_-ErrcliA_Ét,iryiiteeEs capacidad de realizar lrabitlcc¡.iai:iJoa¡aparlrcuia se lnueve.

E¡{ERGÍAPOT EI{CIAr,-G§,r\{T'A'fú}RIáSi Linaparlículaestá localjzacl:a unÍ¿distancia "y"por arriba deX d:,.r:melogidoarbitrariamente.E1 peso W de la partícula tiel-jiuna energíapotc'ncralgravitatoriapositivi

En general , si'"y"es É,:slti-,,aha#iaarriba,laenergÍa potencial grrtvitatoriaúte iapartícuiacie peso W es:

Vs =lP' Y

T.IERG¡APOTE\ÍL.iL =j¿ú'rl_e.{Cuando un resode eiástico es elargadti ocornpr'imicioutia ciistarrcia"s " ;]iargado +Ll

rnrrrnrirnirin r¡nn rlicla.nir i'c',l-.",{^ ..,""',,y,Ji¡Lf,Uvjiiposiciónno alargada, la en*r¡:i;ipotencial

I)ulasllLaVr es: l¿:-,{.r-flrlailDlffr n¡drHrgüuH

-.-#;r1rf"if/,' { ¡,¡t" '''i' j

ffi--r.-_IL'''ü-''J- ,1, /IJt-¡j ffi- ;=-irjv¡

I

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C{3lqsE1I'V4ücj}ililI,AEmBCÍACuando ui1 sistema dr:;fuerzas conservativasy no conservativas aclíra sobre una partícuia,el tiabajo realizadc pol las fuerzasconseri,'ativas es:

(,;li i\l-''1 '1. .^,..,t- L .|tt,\

'1"+{t.+(r U" .) -'r t tr'1 'l "--1-).'nr¡coi't-,'2''2

Si sólc actúan fuetza,,, consenativas:

(T.t ;. . ) =' entonces;1- l-no co l.\

La ecuación de la c:*Rservaciónde laenergía e§:

Esta ecuación estai:lece que durante elmovimiento,Ia sun'ra de las energíascinática y potenciai de la parlículapermanece cCInstarrte.

PEQELEIVIAf .- D*sbloques A y B,enlazados por una cu,-,rda, parten del reposcen la posiciónmostra,:ia. enla figura.Despreciando elrozainiento.Calcular1a

máxima velocidad ak,anzadapor el bloque B.Si: Vl,:10Ny W -?o ^r J '. 3

ii,75 m

SStr-,UCION

La máxirnavelocidad alcanzada por e1

bloque B, sucecle cuanclo A cae el piso.

PosiciónIEnergía cinética:Ti:0 (El sistema pade del reposo)

Energía Potencial:4 = (10,rf)(0,6ünt)+ (304r)(0,"/5m)= 28,5 iI

Posicién 2Energía cinética.

1.10. ¡ 1.30. t 20 )I ¡ = ;(-)vr- -- ;(- )vi= --i,íL ) o L J t¡' .{. o Z .ó

Fneroíq Pnfenni'rl'v., : (10 N ) Q n t ) + (30i/)(0,75 m) = 22,5,1

.¿.

Conservacióude la enelgíAjAplicandoel principiode conservación de laenergía entre las posiciones 1 y 2, tenemos:

T L't/ -T tTl'1 'l-'7''^)Ot

0 + 28.5 = -" ,-, + 22.5gi

t:, = 1,J? n1 I g

- f,f _f/-') '1

,3

arta¡ de r;fer¿nris

*----+t30N

=010 r,

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J¿

TH§§tgM*¿-El peso tr/ se de-ia caerdesde una altura h sobre un reso¡te i1e..rulstante k. Calcular:

a) l,a máxrma deformación dei resoñe

§(EUffi,Éi,ü§lere_qiné_tica:flq§ §loñ1'f r:0 (Eibloque parte del reposc)i'osigtg42'f:: 0 (La velocidad fi-nal delbloqi;ees cero)

{¡u'-¡eiry.t¿qlgeíialj{}.^"i^¡Á-Id UJ¡LIU ¡ A

L, =14'hIi."i1a¡irr^ñ-,|

,--;- | ,-..2I ^ =ty -L *--h.\- Í11 1 1]1

{,@A piicandeiel principiode consen ación de lairii*rgíaentre las posiciones 1 ],2, t€nemos:

.]t t tf _.T, ¡ Tfrl'.¡,1-12-rt2t) +'[,[¡]¡ : A+fil.x- tr2t?'t 2 ¡?t

t t4' l\h.i'--)" x -21'j'=0flt k t?l k::- l' i IY\,- ^ Il' lt¿ ll I L)---t'i k \k) A

ry_iBQELülUÁ3,*El sisteru;' iÍe ia figLrraestá inicíaliaenteeft repüso.si. ll'.=10001/v lrr -f "n¡,/-"1

,t B - I ,,.uv 1\ .

Calculai"lavelocidaddel bi.¡nus A,después de elesplazar-qe fiin.

PIE

El bloque A a1 desplazarse 6 i;i,pro,Juce undesplazamiento en el bioclue¡--lcle 3 m,de'oido a que al bloqr,reB lo sr-'ctan doscuerdas, mientras que al bloqi;.e ^z\ sólo una,cou10 se ve en la figura.Lo mismo sucede para las rrei,,:cid¿rdes"

Enerzua cinética:Posición ITr:0 (E1 sisterna parte ciei :eposo)

Posiciú¡r2lt1)l2: ,iti-.,i')*,"B'Él,,r' t

"1.w ''.1 5 ir' ) ^ = l- )i'".+ (- )(-' l''= -( - ry-2 n',t .4 a'o ) .q ,'';¡-".1

lr,q itt.*tl

l,tlii,

;;rFt':n*:a*,.

-'::>¡I

a#J¡É

,.§,

II

,r6 = ¿3t*

Itrt?' 'Er

FL=flEú

§OLUCtrÚN

,+f =¡¡.l'.i=tl,3ü ¡nS

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E'

El¿bat;¡J , . - {-ti.]Aiü ) a' + Ll/a' ñ, L-.- D{t, -}= a-i}.-10H ){:* ry 13) = l,B ,1.'t--a

flgin-ulrjs- u[cf{aM:i i¿Lwe§ -4.

.)' 7ll1+i-,t ^,=1-:lAL:

<Lt/ -rl+lSll'=''(-\\t,¿.' 8'.{'¿2 8(1,8)(9,3)^,: -1

-L\ :-Aj

v,=5,3Y¡t/sfL

§R-AmLEfd4_*"-ULibloque de 6"1,,1lb ver

.figura,descansa sobrc un plano liso. Eslá

unido mediante una c,;erda flexibieeinextensibleque pasa sobre poleas sin peso nirozamíento uQue disrancia recorreráeIbl'oqrle sobreei planc para alcanzar ünavelocidad dei0 piesi:?.

§euK{eH,"'"=10ptr,cl,ttt-".,=10,/2Piesl,tD

E ¡¡.s¡';:í¿r qin é ii e¿

¡¡:Ajiti

T'i':C (81 sisierna 1-,afie del reposo,)

E-gr"rgis*e[,Éf ¡s-fil; i IiI r I lO r.'-, = ^ (J11l0¡- + : t':,i'r)''=137,5lb' p'1')-)

,jei nio,¡imientoes: (iracia abajo)':. - =(6iJ r¿i¿iil',r - 9ó,ó(] -rl=-1ó,1: * l '"-'"'2."

P p¡:p§-nq tple-gle t ra iie i o _y*elers_r g :T t-ll -7.1 '"1-2-'-1"0 - 16,1.1=X37,5S = -:8,53 pulgHlsigno negativo indicaque el bloquesLibe pCIr el plano inclinado.

hñAñ Fñi ¡Piiptsi=EtriA5.- Aisoirar un hio¡uecie 7kg-*. frg-*" prrtirde su posiciónáereposo se desliza una distanci&"d"por elplano inclinado ychoca con el resotte, que secornprime 75 mm., moviendo luegc el bloquehacia arriba. Suponiendo que el p =,0,25ylaconstante del resorte es ,É = 2,8 N I m Hallarel r¡alor de "d"

7 1.,,rr ¡rg

sO¿rrcrÓNEnersía cinétiqAj.

Posición ITr : 0 (Elbloque partede1 reposo)

Posición?(El bloque se ha lrrovrcJod + 0,075 m),-r=oLa normal= 9,8 x 7 cos3Oo = 59,4 Nl-,. = lt,N= 0,1-i(59,4ld)= 1 4,85,\'

?,

La componente dei peso segrin el plano es:

Ei trabajo del resoñe es negativo ;y vale.:-rt\); lt s' = _ r1.8" N.0,075 m¡/ : 7.SS N.nt

9E,E Li¡

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54

iritrabajo toialcs:l.r¡'t .:(F - l;.:(.¡+0"0'5)-;,4r -

i*l t' ¿

i -. =i,|-i -i.i.i;j)(.'ioú,r17:'r-'38t- i

.; . -atióild'l prirre ipir:dci trailajo, iac ircrgía:

7- ) ¡i-r/t11-/,1.'t -r-I-r

ü v i'4,3 *14,85) {5-F C,075)- 7,88 = ü

,<l =33A n:tm

i tuIP [..,1-S0 Y&'TQMEN.] ML NEAL

: .,r ,:cuaciór] ilelrnovirnientopara Iriiairartículade Ínasa "'Ír-r"puede escribirsecü1i-1():

/,,l- " rtt/\ /'=ttttt.=¡t (I)'¿'¿ dt

'z ''z.I i¡'t{t=ru lav, 1,,l ,

,J

-- : l,ít = t?t\').'- t'tti1.... (:l,l

effiEryTUMi,lWAI,;L : rn vLiiirilaCotaml;iencantidadde movirnierlto,esei prnducto de Ia masa por la velocldadu5§¡é$ES:

r¡1I - .(,-,l

&ryUL§0.US§AI=i[s el procjuctode la fuerza por el tiempo

,27='.lf,tll

;1

t,ryI¡]¿ilp§:

Cua.ndo la fiieruae:; fiincjó¡i,:iriti;)lnp{r

rza es collstallii:

PR{NqrPrq_r}ELre,{j1ux,§_ü}:MOP{ENTf,TMLIi..{TIA[,

Para la soluciónde problerne:la ecuación(-; puede cscribirse:

,2mr1+ ) l'.[tll= u?t'^ . . {3 )

t.IEsios ¡res Íéril:;rosesiáii ilusL,adcsgrálicarnente en los diagratnlti,; i¡lpulscyrnomentugr:

-'j

_ I -r;_¡llili

t.lI

+t.{

Cuando ia fuer'tI1

,r fIr1ft':\'t ¡' I'1 r,, +,, 1 1\11i-rl¡¡/i]

iri tIUl :t ilL. r--1 .,' i.

rl

ptel, = 5/118.:--seg

ECUA§ÁCI"ryE§_É]§q..U,,, Sl : .g

I,)Jttt,r, ), -f l.tr tlt= t;¡(t')-J'I X 1".-

t_I

I,)Jni.\' ), - f [¡ ,/i = i,r(r'l-) t J -t'--/

1

t,ilt(t ), -tr I ' ,li= iltlv )^.

nrtLL

'jEcuacioires delprincipiodel i: irpuiso ;v'motnenium lineaipara las pii'.cLriasetr iasdircccloncs\.)'- r

,/ =;Y.s

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r: ? t;s,Enirtcri: q ;?:E j{QlGI{ru }fI¡{E.4L,)ARffi

*û,.ffiLa sur:-r¡-tcie ios im,_ r. ,y';:l-cosr\tcr.nos qucsoDre un sJSiclila Je _:t.{.Ícirlas,s cet.o:

§ ut.r r.. | _ f ;rtr.ir.,).Es Ia ecuación rie lu ,ro,.,r.rrio.ior.¡"1n-romentum lfueal.

lM;¡ACTOL_s la collslonric

do. crrerpos cn unmuycorto, por ia ac,:ión de grandes(iilpulsivas)Ifa¡dos tipos..Jc inl,,aclo;

' rrr'tr,v e l o c i cla tl r e / a t i,-a ¡,, r., oin rrla rm,p **,

55

actúran uAJt-ut''

ar:tes ¡Je J l-¡tpr:t¡

ETAPASfJi:rlli,lpA,Clú

lr -¡, ^f ,q ¡,¡- '\¡_\----+i¡---l-. ,l\ ¡'-, \-'/,46

irnpa,:ioderjeflrm,.ció n

V

,/ \ /\lil,--l'r-_'Ag

Deft¡rm;rc;,r¡,r¡ á ¡lir¡r;

tti" (u^)- t-r"f lo .----=s - "r'/'r.) i - 1;.]'\-/

'82, uA:Des¡.rués rJel

irr¡:;:r; |

¡

Elect¡de Asobre F

I E'rir:-J R Jt¡ \/ \l--:f"-fAE

ir pulso rJe¡¿stttuciún

Efeci¡rle Esot,¡e A

períodoar Llel'ZaS

I.IMIACTOCEN:|RAL._Es cuancto Iadlrecclón del utovinleniodc ]os centros demasa de las dos parl;culasen colisiónes a Ió. iargo de una línea qr,;e pasa por Ios centros clerxasa de las partícuir,s.'grr"í,*,;;;;",lÍnea de inrpacro.

2.IryP4CTOeBtlCUO.- .Es cuando elmovtmrentode una. c de ambas paftículasfo:'nra ángirlocoi:le ínea Ce j;r;^;;;.-

_Qn'lr-,(v), --

_+:,, (rit, (rdt

Si ia coiisiónenire ias par.iícuiaseslterlectlmeltle,.lásric¿r.E1 impulsorle deformaoión es igual y opuestoll irnpLrcsrode r.estiruciún.-o--' r

IMPACTOPLÁSTICO(e=or

Elreste caso no hay irnprrlsode r.estirLrcjón.Después de ia coliiiOnarlbas-f;;;;,DCrrnanecenuilidas cntt.c sí corr unar elocidad conlíin.

Eiemplo1.- Dos bolas cie biilu.igualesseencuenttan, en choque central, col,velocidades de 6 piás/s 1, _ SpiesZs. ¿Cuá1es§erán sus velocidacles finalr:siLas el ,t_,oqu..si el coefic_ientecie restitución

"ol*O.liSOLtCIó\*

-')l I *,^,,.-"

-,u,q?.¡;=#, '' .-J. rls*,JL..i,,.j,ir-r;t

¡ e ;r,,..j és ;le tir,--ute

FIanr-rde lr:,:, r1t llCtü

ill_t.-r ,i,,f]. ,'*--J-frcade

-j' itxpat:io

I I',,]FA*TÜC E |,.]TFI,¿.L

LineadelrilfiaCtn

lf,,irr n ,-,T/-.|'il-/+,t_lt.)' ,'¡¡

LTr- -f i Ia I r,.-.r._r u LIr._. i.-J /.-/

V-,.L'nAj

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i_,tis lll3-se_5 satll :

t71A=111'=¡11

I' ,, = 6 Pie,¡'l"I '. BIE1 problerlaconsiste en

'',42 )''R2

/ t-\ t tl)1---l-- D;-

licsolviendotenernos:I t)'\ | ti -: ,/L/_

i Lr.l l- | .t: - L ,/-L-

=*8pi¿sis'cieterm in:Lr:

re shtllcloii:t^

n o D/"1 1u,o - -- ---

-k- i 1{tv \. U/

, -2 ..,....(r)las ecuaciones (1) --u (2),

11)"-2

La veloci<i¿¡clfinaiv ,. de r bol¡{urse-41

suelta desde i-ma altura de 2[rm. es;1)

1,-,, =. ,1 + ¿,qll-i1 0 -

i--_-_----.-r' - /)nl,-..'),O

_.,, u , -8 m/s' ¡ {ZÜni)+19,8 ntis

(1)

La ecr:¿Lción de Ia conseryacióildelnroirrenturnlíneal :

r,lrD

"'-l"Al'"'¡)'Dl*m{.6)+ m(*8')= nNAZ+.nxv82

'AZconsiguiente S1

2^1v A--:ltl

=.,l2glt: 2 (9,8 ntl s' ; (llnt)=i6,6ni/ s

.\pliquemos laecuación de i iroque, eligiendoconro positivas ias velocidacies liaciaarriba:El coeficiente de restiu-¡ción:

'Bz- '"AZ 0 - 16,6)

' t. 'D.t1I D Ie

E,i ¡,,alorde e podríalaíces cuadradas de^-- ^ --^L^¿/-'i-. ..^l^+^ -LlLlgltrUUrUr11 Ptr1Ut¿1,

Mc;,,- =U.'\10

Eiemplo3.- Unabola de m:,:a 10 kg que semueve hacia abajo con una', r:locidadde3rn/s, choca con una bola de 6 kgmoviéndose segúir 1a figura. ;r 1a velocidad de^r:) .l ') tt / c ii ei ortetlCiente¡ci¿ restitr:e-,ióncs

;:;,;;, rrri*,.r .,etocída.cs cle tas botasJespuós del ehoque.

viülrelr:tfnl

t,lri-ri: I

l

lv^.=irn/:,I -:,

La.,'elocidacl

cle l.i il, polinici:les:

afjza uitai,elociciad

((I(II(

I((I((

I((

III((

((

(

a1.' =c¡)

-1 ,8 - 0

= 0,84haiiarse,:onsiclelandolaslas alturas sucesivas a

) ,r -O l ' ll2 -r,Lt,n^ = 4,6 pie:'ls'

1) -vÁ2=*6'6Piesl s

i,¡enaplo 2.- Una pelota rebota ver"ticaimenteen un suelo horizontalhasla 1a altura de20irr. En el sigr-rienterebote alcanza una alturaile 14 rn. ¿Cuál es el coefrciente dcrestituciónentre 1a pelota y e1-sue1o?.SALUEIS§ir;irplecrnosel subíndice A para la pelota.

Las vclocidades inicialy final del¡riso elsubíncJice B son 0 (cero). ya que se suponeque el sueio permanece estacionariodurantee1 choque.

(

(

(

(

(

(

(

(

(

I(

(

(

I

(

(

(

(

((

I(

(

(

vo2=(-) -_.

/

i

11. r:

lii

7/17/2019 DINAMICA


§ÜLUCIÓNLa cantidad cle mo.,'direcciónnornai, r:,

ltn¡(vt.,

n' A{',.1f),+ mu {t'¡.'t "li1 0(-3)- 6i-ai--:1= 1t{l

5 (v ,.r)r,+3i;

imientode la bola en la| ''-u", r'aria. así pues:

.¡ =T-nt(ryl:)n = m r(t, l¡)n+ m O b' pt)n

1., ,12) n + 6 (.v g1) rt

'gt)n=-9""'t1)

-l "I I rll)tlt¡t')¡ ¡ ,- ,1{'/t,4fit t"¡I vr i' , l

I f'/ :¡ü-I ll -.::=.-..'-..-.-* qF--/-'---- -\--'-\

Eiemplo4.- Una bola se deja caer de unaaltura cLe 2,4 m sobre un plano inclinadoa15" 1, rebota como se ve. en la figura.Si e : 0,80. Calcular1a distancia "x"a 1a crtaivuelve a chocar la bola en el plano.

ü:,,

f,l

Etr coeficientec1e re rlitucióndebe apiicarseúrnicamente a las coinponentes de lasvelocidades normal,ls(ocune choque fi'ontal)1r entonces:

0 nz')r- (' ,r),"e =*- -*+

0,8=

0'Bz) ,=Q A2)no'A)n- u B) ,,

i'' Dz\, - (' ,'2)n = -4 '

Resolviendo ias ecuaciones (1)

-3-2.(2)

v (2),Ienentos:(,nZ)n : -3,625m I : (hacia abajo)

(rA2)r=0,375nt1,'

La cantidaJ de mo, inientode la bolaperrnanece inaiterada (constante) en ladirección tangente, ,jje "x",pues sllponiendosuperfrcies lisas, uc actúan fiietzas sobre labcla en esa direcciót,así pues:

I,ni(rrt , -lm¡(vrn)¡

^,,1{r,l)r+mU(lg1)Í@¿)t+n,r(vg2)rA -r rn U Q Al),: 0 + t) B 0 l¡Z')t

I("g:), =, Et.cos-l-i= 2l: ,

u[,= 2 ntl s

La velocidadcle la rle 10 kg es: (, A2), = 0

ft )-E?'ILuego:0 BZ'),:

-lr'r,,cosis' :.,5t;i)- ) nt's

2 tnis

t¡ ¡--

*vxcornponerte$ 6

antes del rebote desSOLUCIÓN

1')LLAIv =v +¿gnno

,T,:l2gh=l: (9,8r mls'){2,4m):6.86m/sSus componentes son paraiela Yperpendicular al plano inclinadoy son:v =vsen15"=6,86 senlí"-1,7J mlsx

v = vcosl 5o = 6,86 cosl 5o = 6,63 nt/ sv

Suponiendoqne 1as superficies de contactoson lisas,

La componente en "x"de 1a veiocicladde

rdbote esy =v =1,77 tnl,sx-)l

se haila en la compottente

0-(-v )'-v

\-- ---"--\. t./

,,l

tÍt*/+,r-+./

4omnonentespues del rebote

E1 r,alorde vv

nonnal:tt

v^ - ]',.ttv, - 9-I:

(v,12') , = o6,62 -A

= 0,9

7/17/2019 DINAMICA


5E

L i,,: go tl escur iiilr-niéncl.¡I ¿i gra\/eLl¿iaien lcsi:.i,.:.';ccordgn¡icios"x" e "y",tenenlos:, '- rc'¡¿l .i) = ),54 tt ¡

(r . ,1 cCs l5o - 9.JS ¡¡¡ ¡1-Lstas aceleraciones sofi Lrúilstantes.

1't,l=1:() ¡-A/-Cor,ro y: flcuanclo vuÁ'ea tocar e1 suelo,tri tirrii-lpocle r¡uelo es,

]rl¡ /=r)t-r1a t' U:-5.i0¡11V.48)r'' ol ¡ : l

¿ = l.i:.,cg.

Irsancloel t: 1,12 seg para hallar iaclistanoi¿i"x".sc tiene :

1to.Y2 -rt)-1.;ltI.llr+. t:.S+¡ti.l2¡-=-l.i¡¡¡/.

r =3,5 nt

_)I)e Lrna parlícLrlarespecto a1 punto O seciciliie comoel "nionlento" delmomentumiLircai con respectoal punto O de la partícula.

llste concepto es análogo a enconirarci nîomento de ltna fuerza con resllectoa unilLil]tO.

E1 monrentoangular Ho es ilamado avcces nlolrrentode un momentull.

gÚnprur¿rscarén.

t.

\J' ) =rl(nn,).ZUuidasies:

I,\ ,_r,t 11 \

-' iig.pie'Ls

I-a dilcccid',;lcic í-{ocs ricflirir..r, r.¡i*diariÍ;la:'egla cie la riianocierecira.

f ü r-Lv{UÉ,r\e n {}ry \E C-qIliü.e{.f--)es:

RELACIÓ§ENTRtrEL ryiOMT'TiTÜDEUNArUERZAYEL ft'IOMENTq- AI'{GULAI{,

Los momentcs con t'especto r,i pur-rtoQ dcioc'ias 1as ir:erzas que aciúan si:bre ia part-icriia

se relaciona con ei momento :ingularde 1apairlícr:1a:

\[;'= ttltt \]' = ntvE,i momento iie ias fi-ierzasci n tespecio alpunto O es:

71,fuf,,: i' .r|,'r = r :i it1 it

,1(i: '; rtti:t: : -HO-= , 't-.Ylll'''Ll. lll\'

tll

IJ1 prinrerlérnrinode l iaclit'c1.,Iecho

t' x iil\; : t)t(,íx r') = {)

\-tt -Li lt-

I I I

{')

Ei momentum anguiar' aon j:ir:iceciüa

It

l;I "i';- -''-' t'I n. : :. li l,/r= I_./ \'1.,)P' ').-

fil

,,-,.,

:í.

r :i}ECÍO¡.POSI.CIOTLr-JH :v-eclorperpencliarittr" i ¡slcrttor y ln r

()

i- --r- )lrl^lI

H =i.r'li/u=] t t'-]

I ¡r¿r' ,, ,r' t¡tv- It.l

Si una parlícr-rlai'nomentumangcualc¡:ierinstan

se mlreve en el plano x-y, elular puede ser determinado ente con respecto a1 pr:nto O.

7

,f'H',,rl-

Ir L-_==-*,)" ,1

," " a:/./' t_ 1'/

1,.,'' n'';,/

7/17/2019 DINAMICA


59

ua vIMIENIelr,l-l,INlL-E RP O Ri GI D OEste estuclio es imt,rrtantepa.ra e1 diseño deengt-anajes, ler¡as Y lrrecanismos usados etr

muciras operacicnc ; mecáricas.

MOYIMIENTQÍ'h$I'{gEs cuandc todas las parlículas'ieiiuclielporígidose mlleven a 1o largo dc tra)'ectoriasque son equidistant,:s de un piano fijo'

Hay tres tip.15 js movimientoplanocie un cuelpo rígiclo)' en ordetl creciente de

complejidadson:1. Traslación.- Si cada sesmento de líneasobre el cuerpo pefllanecepat'aieloa su

direcciónoriginalclr:rante e1 movimiento'1.L.Traslación rectilínea.- Cuando 1as

trayectorias del mo'.'imientopara dosparlículascualesqril:radel cuerpo son a lolargo d,e 1íneas rec.trs equidistantes'

TRAYECIQ::S D= rF¡S:tl:lr:RE'- ilLí¡lE¡t

1.2. Traslacióncur-vilínea.-Cnando ias

trayectoriasdel mo-,'imientopasan por líneascrlrvasque soll equi,Listantes

'-: -rFiVlLll'lEF'2. Rotación con re¡pecto a un eie fiio'-Cuando un cuerpo rígidogira conrespecto a

un eje ltjo,todas 1as parlícuiasdel cuerpo'excepto aquellas qu. se encuentran sobre e1

ej e dLrotaiión.se 1l-ir-1evenpor trayectoriascirculares.

3. Movimienfoplano gelreral.-Es cuando se combinan el movimientocle

traslación y rotación,* La traslacirin ocurrecientro de un plarro dereferenciay lrirotaciónse electÚla conrespecto a un eje perpendicr:lar a1 plano dereferenc ia.

TRASLACIÓ}TIJn cuerpo rígidoestá sometido ¿r trasiaciónrectilínea o crtrvilíneaen el plano x - ),'.

,,ft*/ lo.ta

--' ho' 6lstera loorCenadc lljo

POSICIÓN.Es la ubicación cle 1os Puntos A Y Brealizadel punto fijoO, usando los

'+-+oosiciónr.Y r^.ATJEl sistema coordenado x' y' está irjoen elcuerpo y su origen está localizadoen B,llamado punto basc.

I-a posiciónde A respectc a B se clenota

mediante el vector <1e Posición ,i, o-+

( r de B con respecto a A) .

Por adición vectorial:+)-,A=,B + ,'A/B

VELOCIDAD.Es Ia derivada del veciorposición conrespecto al tierrtpo;

,

'",4='B + 'AlB

AqiLERACIÓN.Es la derivada del vector velccidadconrespecLo al Lie:rPo:

o1=trB+ ,,AlB

que sevectores

7/17/2019 DINAMICA


60

RETAIIi/AEry_ELMovrl{rE}{TllPLANO

ACET,ERACTüNE§4jj§.O&qro-YRE lATn/All§Er,*&.IYTe4{qNEjJ

FLAN{]

¿V,l-/ l '.i ¡l ti *.1' I *\'i

\ \.¡\ ./\\ n/ l\,Júr¡,rir¡Íeniipierro =

/"-> A'.- \,I ', \\"a

=\\+t\ l*\ d "r^1an

trasJación cc,n A, +

füI/-i\ Ar \

\il+\

= \ "Aj\tll\ n,l i\_-,traslaciórr ccrn

'n¡¡

,4 * Roi¡,:rnalrede,lor ilÉ,¡,

_*f,:EE?\rAI ./ \,,

l/'-lF -+ ---Ftr"= \,u,*','UrO

La velocidad relativaque se obtuvoen 14

sección anterior:++

I'B-'A ' 'BlADonde elmiembrodel lado derecharepresenta una suma vectorial.

-)La veiocidad v , oorresponde a la traslación

Ade 1a placa collA, mientras que la velocidad

+lrlativau ^ se asocia con ia roiacion cieu/.-t

la placa en torno a A y se mide con respectoa ejes centrados en A de or:ientaciónfija.+

A1denotar mediante r^ , el vcctoldeR/A+

posición de B reiativoa A,y por 0k lavclocidad anguiar de la placa con respecto a1os ejes de orientaciónhja, se tiene:

1r=1''DDA

lr I' 'EiA'rr

La aceleración relativaque :te obtuvoen lasección anterior:

+++a- = a + (, -R A IJIA

Donde el miembro del ladoderecharepÍesenta una suma vectorit,ii.

La acelerac';ón a , corresporie a la iiasleciónAde la placa con A, en tanto ¡,¡e la aceietaciól

+relativa a^ , se aqocia ccl la rotaLción deBIAla placaen torno a A y se n:icJe ior respectoa ejes centrados en A y de crientación ftja.La aceleración se descompo;re en doscomponentes, una componente tangencial

-)(o, ,^),

perpendiculara i¡r1ínea AB,)' trna

-)componente nonnatr(a » t .t r. diligidahaciafJiA'

-+*+

A,v, respectivamente, mediiinteo i y a k1a veiocidad angular y la accieración angularde Ia plaua con respecto 3 Ii : ejes .1corientación fija,se tiene:-r-++

an: a, - an, ,ñ A DI,'1-+ -) -) -+an- 0, -(c, B A)t- ct B .4)¡l17A

++-L ntL t v

lJIA

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-+ *) _+1.. \ 7,"8/.4)r:u K.r, , ElA.-+ 1-¡/^ \ ,1'uB, l)n: -a Bl.1,

Donde r es la distaLrciadescie ALuego la aceleraciórr es:

-) -++akxrA B/ Á

61

(q^, ,) =raIJ/A'T/\2\u^,,) =r(t)IJIA N

hasta B.

Eieqtplo2.- Ei collarC mostrado en iafigura se mueve hacia abajo con unavelocidadde 2 m/s; Determinar ]asvelocidades angulares cle CB y AR, en esteinstante.

) -->-a* r

--7 -)n=rt

IJ IJ/A

Iliemplo1.- Hallarla velocidad cle B en elinstante 0 = 45o

obtenemos:v, = 0.2acos45".

Entonces:r¡=14.14 rad lseg, n,

Estevalor

esváiidorn el

Velosifl36.expresandotérminosde:

0 = -2 + 0,2 co sen45o

:2 m/seg->

instante 0:45lt

la_ ú:m

El movimientode C ocasiona que B semueva hacia la derecha,Además, CB y ABgiran en sentido contrarioal de las manecillas del reloj.Ecuacién tle Ia velocidad:Eslabón CB(movimientoplano general)-) -+ -) -)vn= vn + a x I'D L C'B BIC-)->J*)-+vo i =-2 L +úr-nk x((),2¡ *0,2j)D (,H

+-)+-)r, t =-¿ J +U.¿o^^1 -0,2a^^ i¡J L"Ü", L'R

Igualando 1as compon.nt"r'7, lobtenemos:

, B =0,2rC/,Entonces:orCB=1A rad Lreg, Vn= 2 m / seg ->

Eslabón AB(Rotaciónrespecro a un eje frjoA)V. = V, r üt X fD ¡1 AB B/A/--+2i.c,.t,ok^,A)Ll

)1 )

¿ = U.l (r),AB

(t)._=)0raCls¿q-18

4Q,", J'E\Y

Ecuaciónde lalos vectores en

i, j y k+++j ':1,+h)k:'¡.IJ A 'B/A

-> -, ¡ *) -> --+l,oi =-l i -iak r A.2sen45" i-0,?cos45"7)f"L-l-) -+ -) _)

v^ i =*)l+0,2as.,-+5o i -0,?acos45. iJ1

Iguaiando las compcn"rrt.rr7, /

0 = -2+r,rr*

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JtÍ.uÍwlt\*t/flér¡rtÉ + (4' /

(n E' >t:c-l ,,.--r. +i---r . I----I _ J;-.l --- 1____J --

EQI-IIIIERI(J. ESIÁICÓ

&qÜVIIVEI§ET,¿TÜ AffiMÜN[ÜÜS I MP[-H

{lunsidsr*irosun bioque de masa m,§¡.rspenijidüd(l unresorte rje constantet(.

{r3

ü¿:e ncs dice que la ¡"*sultanr,:rJ* ñsfuerzas aplicadas al bloqu*,{,rspropürütün*¡a la posicién x medicla a parii: ,*e la posiciúric1e equilibrio0.Y el signo rnenos nos indíea i'rtlesierfipfeestá dirigida l'racia la posiulúr: rfe equilil:río.Este tipo de ¡'novimientobajc ia acciór¡ de

una fueaa recuperaclora eiásiica,\-r_ rz-.\ .:_/ -* t\ -Jt I

yenausencia de todo rozamierit*:e denr¡rninaffiovimientoArr¡'iór¡EcoSimFri*.

1.2 DIÍ{AMICADEL ¡vttVlfi:li:fi{T{}ARtrONICOS¡ffiPLETeniendo en cuenta la ecuaciiin fundarnentadel nrovimientol1i= i.,?c y ett,E

,2L1 .'L.t-{it"

EF =¡r;::Se obtienet ,2iJ .Y

/t-t - / ..,. Cr--1tl'-t¡n. - +k.;=0.. ..(l)tlt'

La ecuación obtenida esla eiuacíóns iierencialdel m ovinrient*;; i"s-rrór¡ícc)sintpie.Éste se canacterlza par * hecr*cÍe que laaceleración es proporcionaledesplazamiento y de cjirecciói'rDpuesta.Se puede verifica¡"que cada i:ra de lasfunciones:. r:--:- t-'.rr =.s's¡,(VÁ-/ ttt tl Y .t: : i:r . {r/l-I nt t')caiicfana la anr raniÁn1 '1 \ n,¡. In fcnln ocic+\ ' ./'fuircionesconstituyen dosscir ;ciones

particularesde Ia ecuación dil*renciai(1).La solucióngeneral de la ecu¡eiúri (1) seobtiene al multiplicarcacla uni; de la$sofucicnes partículares por urr= constantearbitraríay sumando. De tal n,anera, Iasolucióngeneral se expresa i:rr-- i11o'Ir lAr: Cirl*(l2x2: f, sc,,r(,i t j t ', rJos(,j--t,) .. {2}' \r,, ' \¡lt

Obsérvese que x es una llr¡6r,-:nperiódicadeitienrpo y que, porlotantc iêpresentauna vibraciénde la particula ir:.EI coeficientede t en la expriisiónobteniij*se conoce como la frecuenci;:;ircular

_EQ§ic]_úNDE_EOllil-l6Rli-r

[n ei equiiibrio,Ias fiierzasapiicadasson' el peso mg la fuerza F ejercida pore resorte, clrya magnitud viene dadapor:F = K.,islendo 6 la deformaciónestática del resorte en la posiciÓndeequilibrio.

Por lo tanto: m9 =K. ¿T

§iupongamos ahora, que se estira elresorte, IlevanrJc el bfoquehacía debajocle la posiciónde equilibrio,un válorA,yli.iegose abandona a sí mismo sinvelocidadinicial.-§e originaráun movimientooscilatorioffrr¡bi1y debaje.¡ de la posición deec¡uilibrio,desrje la posición+Aa lar:osición- A.

Para el estuclio cielmovimientosrrpüngamcs ai bloqúeen Ia posiciónPr:n el iiempo t.Sea x la posicióndel bloque, medidarJesde la posiciónde equilibrioúitcmandohacia abajc como sent¡do-.,-. ^;+;, ,_-. \[],J§ruv u/.Ya hemos dicho que las fuerzasa¡:ilcadas son el pesa mg y [a fuerza Fejercida por el resorte en ésta posición;cl,iya ríraEnitudserá: F= K(,í+K).Lre aquí que ia resultante deambasfuerzas vendrá dada por:üe aquí que la resuftante de ambasfuezas vendrá dada por:

-r r.'- rr¡,, l'. ,; - v r - tr¡o - A" .;- {- ,- tttl 1\r.v r .\ J - ttt.\ /\.u l. ..r

Pera::¡¡i,= K-d . e¡tlr.tfice.c'.Lli= * l{.-t

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65

ü x 1t4 11)'i¡ ,I .l-l---'.,lt /l o \ rt/ I r \,,_ +_l_-j_*--____J,;l' :lt I i i'i'1, I t\irrrl r i

:+tr

--Ll I r

i.}..t ir i \j r

-,L+--_,+__ i; I l,,. j ,1r ] i'. ";{ 'li I I '.-l_-JJT-i

'I,14 fr

G¡ = L"-;--1.,LLil

\-F'=Hl ,tr

- rfi.€:.,9e*Ü=;n.L.¡2e,Jt

lliri)I ' .- |ll¡l1,/

h,illr{_' -'I'¡1 L.

Éi.:;l+I

tl{ = --'}t?sefi0I.¿,niicando Ia segunda j€yde Newtony

ieníendo en cuenta qi rr:):

Irrlii I i,1\ i ' l,i *2A\rll '",n '1 I I i./l ti,, I j' ,

i''.'J.+

"/li 1

''., 'i .,",r

r'i.1./r I '--f-- 1,..¡/ll-..'-|_-.il--rlr,---1Gráfc¡s de la :r¡sirión,dela yelocíC:rri, i lú acelerac :: ii :--::it .?; ::: ¡fi en ei h,l.llS

PÉruD#}",.ÜSIMPLE5e deflne comouna paüícula de masa msuspendida en un punt{,, pormedio de unacuerda inextensible ce i,:ngitudL que oscila enun plano verticalen un :iempodado t, la cuerdaforma un ángulo0 ce,n la vertical.

.'-Lantlente

rng..sÉn 6¡

mQ' l"r-fü.1;BS L,ql

e* r.{tmdc,r2' = Lm.

Deducimos,que el movimientodel péndulos¡mple no es un movimientoarmónicosirnple.Sin embargo, si ei ángulo á es pequeño, senÉ es casi igLtala á en radianes, cr:n lo

n,1"

0 {-n:- ¡¿n0,Jrl LSi comparamos esta ecuac¡ón con laecl,acióndiferencialdel M.A.S"

1ct x .li./_ \ v.) - \ ./¡rdt' rn

)o fr"" -¡* l"ú) lls

resulta:.)tLa-¡{r--- n = -{: ) 0" en don¿{adt' 1-

EI rnovimientode un péndulo simple, es unrnov¡mientoarmónico simple para pequeñasoscilaciones.El período viene dado por:

Así mismo, la solucíónde la ecuacíóndiferencial del péndulo simple sea"á.

0 = 0o s'en(ott + a}

Es todo cuerpo rígidoque puede oscilarlibrernente alrededor de un eje horizontalbajo laacción de [a gravedad.

Cuando se separa a un lado de la posición deequilibrioy se suelta, el péndulo físico csci[a enun plano vertical.En el tiempo I la recta clue une 0 con el centrode gravedad forma el ángulo 0 con la vertical.El peso del cuerpo originaun aumentorecuperador alrededor del eje horizontalquepasa por0, y está dado por:

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ntg

a) # alarganrEentc estát¡ca á"1 def resorte'

De ia e cuación del resorte F, = k x resulta:

mc=k8.ff

.l- =n18 - io(9,8i): a,o39z m=3g,zntm-,\'/ k 2500h) l-a pulsaciónnatural ra,, y la frecuencia

natural / c§elsistema.7?

E tr-soo""¡¡

tr,,, tr't0

II = (15,8i){^1):252ticlos Lr=2,52 Í{z¿fr

*)f;iperiodc]T eiel siste¡na:r1.t 1 \'|I err-'tl

{f}La e[ongaclónx e¡'¡ funcién deltiárnpo,coáx medida desde la p*siciónr{*equ ilibnioestátieo.

1.,

$e Ia ecLraciórt )i : x cos 1, I + o s¿¡t {ÜI{)--- 11. ,rrr, 17

o5r*suita:.r = (0jcos 13.81 t + --:l-scn 15,811

15,81

-r =ii.0316,sen15,81¿ *=37.6sen15,81t¡run.

tiallandox:

, -' aS u]' ,n,,[,,,..r+rarr]:fr)) ='t,

=[%,,l

vnl(')n'-

'''r % ,J_]

- - : I ; , ,lli,5,rrir,_t=]02 'l '' I ..rl t5.ll¡t'¡;r." -- '' =',0:; jr'i';¡ii5¡- \i :rs¡ti i ,: l

"x=ü,03i6serzl5,El r

ei i-e velocidadr,táxlma r',,,.,., c¡e.:*aÉea*r*

a Rtasa

1) : x : Íftl{J}f.tüf,s(,r»nl"

rt: ;

1:= r = 15,81(0,0316)cos (1:i,li/)= O,jjcos(15,31r)

Como Ia f'unciÓncoseno fiopr¡3flsser mayorque 1 ni rnenor que -1, Ia v*r'*c dadrtáxirnaaq.'

r, , - 0,-5 ni /.r en est.., casc *s lalilaxvelocidad itrici;'r

f] La aceleración ntáxin¡ad,,,,',., 4u*aicanza la masa'

")o = .\ = -xtn rofisen (ro n t #)

lr ='x=-15,8i(0,5)sen i5î;1¡=-J "91sen 15,&1t

La acef eración máxir¡aes: ,rrr,r,

= 7 .]i ;;t i' s2

PROBLEMAN' 2" Una masa cie '' liü g estáconectada a un resorte ligero de' constante defuerza 5 N/my puede oscilaribremente,sobre una pista horizontaisin fri''ción'Si ia nrasa

se desplaza 5 cm desde el equii'brioy se sueltaa partir del rePoso' Hallar:

a) El Período de su movirni'rntob) -a velocidadmáxima cle '¿¡ maszc) La aceleración máxirna ri'ila masa

x=üf*:i"--{

s0t-uclÓr'la) EI período de su n:ovirt:ienfoEsta situación corresponde aI ca:'': especial,

donde ,t:,4cos 0t 7: ¿=5r:tJ-Z '''Parconsiguiente:

ilJt"{.L

) I.i=2,5t,t'thr

qIr-*1¡ i ftr=lukut __l

ItdIaaIaa

((

i§d"l¡[*[JtlÜR€

[,1 ¡r t,:r tt esm

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ÍoIf B-q

i-r-i

,.. =r,I

rl = A r:.r r;i iv l

Ef,l: l-

x,,

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Donde I es ei ¡.n0meni'rde inerciacle la viga.íror tantc,, la constantt 'lel resorte

f5.

de la sección

/r, de la viBa

kt

-/clonde I : bf l12 {p;iauna secciónrectangular)"La viga y tl resorte de este sistemaestán conectados comu resortes en serie. En

consecuencia, la consiirnte del resorteequivalente dada por ia ecuación es;

1=i*1I.LI,n, ^l n)

Sustituyendopor los veiioresnuméricos,obtenemos:

lrLt ::(5X0.s)"= 0.05208i33 cm'12', '-

LI

3(2,1,r1 o6 )( a},0520833 ) -'t Á)<a

-- 1){-i"

111 -

-J--

k 'i.625 2e

ke :7.i -15 @ / crnLa frecuencia naturalC;: este sistema está dadapor:

:3,335 rad se-g

PRCIBLEMIA5.- Considere el pórticoque semuestra en la figura{a}.Es un pórt¡corígidode acero al cual ie aplica una fuerzadinámica horizontal,en el nivefsuperior"Como parte del diseñc de esta estructura, se

i'equiei"edeterminarsu frecuencianaturaí.

Para si:-nplificarel análisis se supone que {l)Ia rnasa de las cc,lumnas Ymuros esinsignificanteconrparada con la masa en elpiso superiar y {2)ia viga superior es losuficienternente rígica comopara impedirlarotación en los extren-iossuperiores de {asco[urmnas. § n ser iirdispensablespara lasol u ci ón del problem.j,estas simpiificacionessirven para hacer más sencilloel análisis,

I-a figuradel Pórtico con un grado delibertady su correspondientemodelomatemático para el ejempio n'4.

I lr)SOLI.JCIÓNEl pórticoasí sirnplificadopuede sermodelado por un sistema de masa y resortecomo elque se muestra e.n la figura(b).

Los parámetros de este modelo pueden sercalculados de la siguiente manera:

L{:340x8:240AlqI -1 Y10640=21280cn4' total * ¿ -1' I

E:2.1-rlA6kp/c,n2

7-* L2 El ,ot6t 72 x 2,1 x706 x21280a*

Li(5xtoo)r

k:429AÁp/cntPor 1o tanto la tiecuencianatural es:

l' =6"66cit:losI 's. {Pte,rultado}

t- a f f

t t-?t,

{á}

f,l**'

t-lea) : ":-\nt

3&]kp /rn

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(((

(

(

(

i0ü

1l

I71

fr.tBgl¡e§Me:.-Ei oollar "A"de 4 kg- ile IaÍiguta se apoya, pero siltunir"se sobre utl resorte,

], está a¡rimado de rur inol'irnientoviblatorionrmó¡ricosimplede 5 cr'¡r-de arnplítucl.{.i'rlsular:¿U EI r,¿ilo¡ máxilnode Ia constante del resorteb) La fi"ecuercia coil'espondiertedel

rnol'imiento.Íi{}[,ucI{iN

q&úBL,trMAS..- trlbloepre dr"r la llglort3-''r;i1a

coll ulra arnplifucide 5 cin"en rl rlstarltequs pasapor su posiciónde equilibrio,se iiejacaerverlicaimentesotre ei blcrpe, ili:amilsa .ie Lrarcde 100 g, que queda Pegada a éi"llallarlos nuevos valores dei p+riodr''y áelaarnplitucl.m: 100 g k ='40t)0dinas/crn

I-F- -:crn

En el bloque, la cantidad de r::'¡vitnlentoenla dirección"x"se conserl'a.

El bloque en la posiciú;rde equilibnoposee velocidad máxima:

It"1' , =l;.4. (ü=¡'-/iitl.\' \ ¡¡r

= 5,32 r*clI 'v

v . = i6,32)(5)=31,6c;tr,''majcctnlidadde movitniento= cti¡:lidac{$e- ntrLvintietzlttinreidel choEre de."'pués Cel cltocyue

"' bo,,'o('"..)''n l,lr,r,,r(t],,,i.,) --" lru,'r,,

+ t't bl,,t¡t,e)'r'

i00 (0) + (100) (31,6)= (100 + 100) v

v = 15,8crn I s lve{ocidadde,t¡,u¿"q de{ choque)iL

{0= ^'l-''=

V ¡¡¡= 4,47 rud i ,v

->* )',:J' = -" =--'' = I^4 .qú) -1".1 '

I-.a nueva arnplitudserá:1.' 1< O¡ llltl.t -

rJ'o- 'l ,< -.,,1 = -- - : - J)J Lttlú) 4,47

L__l

É}".> diar¿r:trra de

cuerr"'i, libr,:

Uo;¡ro elniovimientoes armónicosimple,*stoquiere decir, que el collarA siempre estácn contacto con el resorte ( si ei oollar sesuelta, estaría sujeto sirnplernente a la acciónr,le su peso propio, el cu¿l no es una fuerzarccuperadcra elástica y por 1o tanto nor-iiginaun M.A.S.)De donde:

El valor máximode la constante deiresorte se obtiene cuando e1 bloque está.¡iisiainente por soitarse dei bloque, es decir*uaucio elresorte está apenas en contacto coirei triorliie,sin eiercer ninguna fuetza sobre é1.

El bloque estará sujeto en ese instantea ia accióitde la gravedad y ésa será sll¿rceleración niáxima (una aceleraciólrmayoroiiginaque el collar se sueltecoiripletamente),

a) tt =tt2-4. ,2=L' l))cLY ntl.,ing4;,,

., : .*, k=3 = j :0,8 kg lctrt:30lig/ct¡t

bS4'¡

nt =L = 0,403 kg..r' , nr9,8

ciclos I s

, ,-l-' l^^ ll::\ltn

rl80-

l- = ) /a,l-.-"2 z '1' 0,408

-- t.v = u) ,4tt]lLix

El período será:

I((

(

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