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Movimiento de Rotación Autora: Julia Alva Cuevas Centro: IPU “Raúl Cepero Bonilla” ¿Cómo describir el movimiento de rotación de diferentes sistemas de interés? Como parte de la descripción del movimiento de rotación de un sistema, ante todo es importante profundizar en la definición de este tipo de cambio. Estamos en presencia de un movimiento de rotación cuando todos los puntos del cuerpo se mueven describiendo circunferencias con diferentes velocidades entorno a un eje. Este eje, denominado eje de rotación, lo forman puntos inmóviles y puede estar dentro del cuerpo o fuera de este. A diferencia del movimiento de traslación cada punto del cuerpo que rota realiza un movimiento con características diferentes (rapidez, aceleración). Esta es una importante razón por lo que no podemos analizar el movimiento de un solo punto (modelo de la partícula), como en el caso de la traslación pura. En el caso del movimiento de rotación debemos considerar todos los puntos del cuerpo, es decir considerar sus dimensiones. Para el estudio del movimiento de rotación vamos a considerar el movimiento de sólidos que no se deforman, por tanto la distancia entre los puntos que lo forman es siempre constante. Este modelo de sólido que no se deforma recibe el nombre de sólido rígido. La introducción de este modelo nos permitirá estudiar el movimiento de rotación de muchos sistemas reales, que para deformarlos se requiere una interacción de gran magnitud, comportándose, con muy buena aproximación, como sólidos rígidos. Al describir el movimiento de traslación de un sistema fueron caracterizadas las siguientes magnitudes físicas: posición, desplazamiento, rapidez, velocidad, aceleración. Cuando analizamos el movimiento circunferencial uniforme de una partícula se definió la posición y el desplazamiento angular de una partícula, así como la velocidad angular de la misma. Estos conceptos debemos retomarlos en el estudio del movimiento de rotación de un sólido, considerando que todas sus partículas describen circunferencias alrededor del eje de rotación. Si examinamos el movimiento de rotación de un disco o una rueda de bicicleta, podemos analizar la posición angular y el desplazamiento angular de uno de sus puntos.

En la figura se representa dos posiciones de un punto del cuerpo que rota. En el instante inicial ot la posición angular del punto se denota por el ángulo de amplitud o con respecto al eje x. Al transcurrir el intervalo de tiempo t, el cuerpo se encuentra en otra posición angular . La magnitud que caracteriza el cambio en la posición angular del cuerpo se denomina desplazamiento angular y se denota por , esto lo conocías del estudio del movimiento circunferencial uniforme. En el sistema internacional de unidades la posición angular y el desplazamiento angular se miden en radian. Debemos recordar que las magnitudes vectoriales tienen módulo, dirección, sentido y cumplen con determinadas operaciones básicas, como la suma vectorial. Para cambios en la posición angular de un cuerpo lo suficientemente pequeños, el desplazamiento angular puede considerarse una magnitud física vectorial. El desplazamiento angular coincide con la dirección del eje fijo de rotación. El sentido del vector desplazamiento angular puede determinarse aplicando la regla de la mano derecha. En este caso se toma el eje de rotación con la mano derecha y cerramos los cuatro dedos en el sentido de giro y el dedo pulgar indicará el sentido del vector desplazamiento angular. ¿Cómo caracterizar la rapidez a la cambia el desplazamiento angular de un cuerpo que rota? Debes recordar que los cambios en la posición angular con respecto al tiempo de un cuerpo que se mueve por una circunferencia se caracterizaban por la magnitud física velocidad angular. Teniendo en cuenta que los puntos del sólido rígido describen circunferencias concéntricas en el eje de rotación, la velocidad angular nos permitirá cuantificar la propiedad de los cuerpos que rotan de cambiar con mayor o menor rapidez su posición angular. El módulo de la velocidad angular media puede calcularse a través de la razón entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente:

tm

S

ot

tto

r

0

Si consideramos desplazamientos angulares lo suficientemente pequeños en intervalos

de tiempos muy pequeños, obtendríamos la velocidad angular en un instante dtd

.

En esta expresión matemática la notación dtd y

significa que el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo considerado son lo suficientemente pequeños. La velocidad angular es una magnitud física vectorial que tiene l misma dirección y sentido que el vector desplazamiento angular. De acuerdo al valor de la velocidad angular del cuerpo, el movimiento de rotación puede clasificarse en: uniforme, si el valor de la velocidad angular permanece constante en el tiempo y en no uniforme, si el valor de la velocidad angular varía en el tiempo.

En el movimiento de traslación estudiamos que la aceleración es la magnitud que caracteriza la rapidez a la varía el vector velocidad. Esta idea nos sugiere pensar que podemos caracterizar la rapidez a la que varía la velocidad angular con una magnitud denominada aceleración angular. El módulo de la aceleración angular media se determina por el cociente entre la variación de la velocidad angular y el intervalo de tiempo correspondiente:

t

La aceleración angular es una magnitud física vectorial y la denotaremos con la letra griega alfa (), en el sistema internacional su unidad es el rad/s2. Factores que determinan las características del movimiento de rotación. Una vez realizado el estudio sobre la descripción del movimiento de rotación, surgen determinadas preguntas dirigidas a determinar los factores que determinan las características de los sistemas que rotan. Conocer las causas de que determinados sistemas se muevan con velocidad angular constante o varíe su valor en el tiempo, es muy importante para explicar y transformar situaciones de interés. Cuando estudiamos el movimiento de traslación pura analizamos que sólo una acción externa era la causa de que un cuerpo variara su velocidad en el tiempo. Esta interacción era caracterizada por la magnitud física vectorial denominada fuerza. Al analizar el movimiento de traslación de un cuerpo, todos los puntos del mismo se mueven con iguales características. Esto permitía despreciar las dimensiones del cuerpo y examinar el movimiento de un punto, en el cuál estaban aplicadas las fuerzas externas. La fuerza externa resultante aplicada al cuerpo se encarga de cambiar las características del movimiento de traslación del cuerpo. Las variaciones en las características del movimiento de traslación estaban determinadas por la fuerza resultante externa aplicada al cuerpo y determinadas propiedades de este, caracterizadas por su masa inercial. Cuando tratamos con un sólido rígido que rota, todos sus puntos se mueven con características (rapidez, aceleración) diferentes y no podemos despreciar sus

dimensiones. En este caso cuando el sólido interactúa con otro cuerpo, es importante analizar no sólo la magnitud, dirección y sentido de la fuerza externa aplicada, parece razonable analizar el punto de aplicación de la misma. Muchas son las experiencias en la ciencia, la tecnología y la sociedad en general donde se evidencia que la capacidad para girar un cuerpo depende de la fuerza y su punto de aplicación. Analicemos la situación en que se aplica una fuerza a una llave de mecánico para desenroscar una tuerca.

La capacidad para hacer rotar un cuerpo depende de la magnitud, dirección y el punto de aplicación de la fuerza sobre el cuerpo. La magnitud física que caracteriza la capacidad de una interacción para variar la velocidad angular de un cuerpo que rota se denomina torque. Para determinar la magnitud del torque respecto a un eje de rotación fijo emplearemos la siguiente expresión.

rFsen El término brsen es la mínima distancia desde el eje de rotación a la dirección en que se aplica la fuerza y se denomina brazo. De esta manera el valor absoluto del torque se puede calcular por el producto del módulo de la fuerza y el brazo Fb . El torque es una magnitud física vectorial, cuya dirección y sentido puede determinarse con la regla de la mano derecha. En los casos que examinaremos en este capítulo, los torques externos aplicados a un sólido rígido están en la misma dirección. Es por ello que estableceremos como convenio que el torque que garantiza un movimiento en sentido horario es positivo y en sentido antihorario negativo. Por tanto el valor del torque resultante será la suma algebraica de los torques externos aplicados al cuerpo. Si el torque resultante externo que actúa sobre un cuerpo es cero el cuerpo no rota o lo hace con velocidad angular constante. T1. Analiza las siguientes situaciones y diga en cada caso si actúa un torque resultante sobre cada uno de los sistemas siguientes:

a) Se pone en movimiento una puerta de una habitación cuando se le aplica una fuerza a su cerradura (yale).

b) Se le aplica una fuerza al pedal de una bicicleta estando este en su posición vertical.

c) Un niño juega con un yoyo que desciende al desenrollarse el hilo. d) Una joven le aplica una fuerza paralela a la llave para apretar una tuerca.

T2. Determine el valor del torque aplicado por la fuerza en cada uno de los sólidos siguientes:

1.

NF 30

mr 3,0

60

T3. ¿La aceleración angular de un cuerpo solo depende del torque externo aplicado? Cuando actúa un torque resultante externo sobre un cuerpo, este adquiere determinada aceleración angular. De acuerdo con esto podríamos preguntarnos, ¿la aceleración angular de cualquier sistema que rota está únicamente determinada por la acción del torque externo? Para responder a esta pregunta debemos continuar profundizando en los factores que determinan la aceleración angular de un sistema. Conocemos que si le aplicamos el mismo torque a diferentes cuerpos, la aceleración angular que adquieren es diferente. Por ejemplo podemos aplicar iguales torques a diferentes pelotas o ruedas y la aceleración angular con la que rotan no será igual. Esto puede conducirnos a la idea de que la aceleración angular de un cuerpo no sólo depende del torque aplicado. De acuerdo con esta idea podemos inicialmente suponer que la aceleración angular también depende de las características del cuerpo que rota. Analicemos que los cuerpos que rotan son un sistema constituidos por muchas partículas que describen circunferencias entorno al eje de rotación. Iniciemos nuestro estudio considerando el movimiento de un pequeño cuerpo, que pueda despreciarse sus dimensiones, cuando se le aplica un torque externo. En este caso utilizamos un pequeño cuerpo unido a una barra delgada de masa despreciable que rota respecto a un eje fijo.

1F

2F

mrNFNF

2,060100

2

1

3.

r

F

r

2.

mrNF

4,080

Aplicando la segunda ley del movimiento mecánico, la fuerza que actúa sobre la partícula le comunica una aceleración tangencial.

(4)

.1 que ya que cuentaen Tenoiendo

:obtenemosr por (3)ecuación la ndoMultiplica(3)

(1).en (2) Sistuyendo(2) :es aln tangenciaceleració la que Recordemos

(1)

2

2

2

mr

mrsenFr

rmFr

rmF

ramaF

t

t

La aceleración angular de la partícula depende del torque aplicado, de su masa y del cuadrado de la distancia al eje de rotación. Si establecemos una analogía entre la

ecuación 4 y la ecuación conocida mFa vemos que el término 2mr debe cuantificar

las características inerciales del sistema que rota. A este término se le denomina momento de inercia y se denota por la letra I. Para una partícula el momento de inercia se determina por la expresión 2mrI . Si consideramos el movimiento de dos partículas el momento de inercia es igual a:

222211 rmrmI

Para un sólido formado por n partículas, el momento de inercia se determina sumando cada uno de los momentos de inercia de cada partícula:

n

iiinn rmrmrmrmrmI

1

22222 ...332211

El momento de inercia de un sólido cuantifica la oposición que ejerce el sistema a variar su velocidad angular. Un aro no ejerce la misma oposición a variar su velocidad angular que un cilindro macizo. Esto se debe a que la distribución de la masa respecto al eje de rotación nos es la misma en el aro que en el cilindro. A diferencia de la masa inercial,

r m

F

el momento de inercia no depende solo de las propiedades del cuerpo, también depende de la elección del eje de rotación. T4. Argumenta la afirmación de que el momento de inercia depende de la elección del eje de rotación. Los momentos de inercia de muchos sólidos regulares homogéneos han sido determinados con precisión. Los sistemas de partículas pueden ser estudiados a través de un punto característico del mismo, denominado centro de masa. En este punto se considera que está concentrada toda la masa del sistema y están aplicadas todas las fuerzas externas al mismo. T5. ¿En cuál de los siguientes casos la aceleración de una barra es mayor, bajo la acción del mismo torque? Justifique su respuesta.

a) Se toma el momento de inercia de la barra respecto a su centro de masa. b) El momento de inercia de la barra se toma respecto a un eje que pasa por su

extremo y es paralelo al eje que pasa por su centro de masa. T6. ¿Cómo determinar el momento de inercia de un sólido respecto a un eje paralelo al que pasa por su centro de masas?

De esta manera la aceleración angular de un sistema depende del torque resultante externo y de su momento de inercia. T7. Diseñe y planifique un experimento para estudiar la relación entre el torque, la aceleración angular y el momento de inercia de un sistema que rota. La aceleración angular que adquiere un sólido que rota es directamente proporcional al torque externo resultante aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del sistema.

IR

Esta es una ecuación fundamental en el estudio dinámico del movimiento de rotación. Su carácter vectorial expresa que la dirección y sentido de la aceleración angular del sistema es igual a la dirección y sentido del torque externo aplicado. T8. Cita ejemplos de la vida cotidiana donde se cumpla la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación. T9. Ejemplo Resuelto: ¿Qué torque hay que aplicarle a una rueda de bicicleta que tiene un momento de inercia respecto a su eje central de 1.5Kgm2, para que partiendo del reposo alcance una velocidad angular de 10rad/s en 10s? Lea detenidamente el enunciado del problema varias veces y realiza un análisis cualitativo inicial de las condiciones de la situación dada. La importancia de su solución está dada en la aplicación de la relación entre el torque externo resultante, el momento de inercia de un sistema y la aceleración angular que adquiere. Esta relación nos permite determinar la posición angular y la velocidad angular de un sistema para cualquier instante de tiempo. Entre los datos que brinda el problema tenemos el momento de inercia de la rueda:

25.1 KgmI , el valor de su velocidad angular inicial es s

rad00 y alcanza una

velocidad angular s

rad10 transcurrido un intervalo de tiempo st 10 .

Consideremos que el torque externo aplicado a la rueda es constante y de acuerdo a la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación en este caso tenemos:

rotación). de eje al respecton (Proyecció (1).

IIR

La aceleración angular se determina por la expresión:

(2) 0

t

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1), obtenemos:

(3). ).(t

I oR

En la ecuación (3) obtenida tenemos la incógnita del problema en función de los datos del problema, por tanto es la ecuación que da solución al mismo. Sustituyendo los valores de los datos en la ecuación solución tenemos:

.5.1

.

al.adimension unidad una esradián ely 11 que Recordemos

../

A.U.5.1

)10

010.(5.1

2

22

22

NmmN

Ns

Kgms

radKgmms

radKgms

sradKgm

R

R

R

R

R

El torque externo resultante que actúa sobre la rueda tiene un valor de 1.5Nm. a) Determina el valor de la velocidad angular de la rueda y se desplazamiento angular transcurridos 15s de iniciado su movimiento de rotación. T10. Una polea de 2Kg de masa y radio de 10cm está sometida a la acción de una fuerza en su periferia de valor igual 8Nm. Determina el valor de la aceleración angular de la polea. Debe recordarse que el modelo de base de este estudio, es el sólido rígido. Podemos realizar el diagrama de fuerzas para la polea y analizar los puntos de la periferia.

La fuerza normal y la fuerza de gravedad no modifican la velocidad angular de la polea (no tienen torque). La fuerza que es tangencial a la polea, ejerce un torque a la polea y provoca la aceleración angular de la misma.

Planteamos la ecuación fundamental I

RR

Al analizar la ecuación (1) vemos que debemos hallar el torque resultante externo y el momento de inercia del sistema, para dejar la incógnita en función de los datos del problema. El torque resultante es provocado por la fuerza tangencial a la polea, por tanto:

(2) 190

rFsen

rFsen

R

R

El momento de inercia de la polea es el momento de inercia de un cilindro homogéneo, ver tabla ( ).

(3) 2

2mrI

La masa de la polea y su radio son datos del problema, así que ya estamos en condiciones de expresar en una ecuación la incógnita del problema en función de los datos del mismo.

N

gF

F

r

F

2

2

22

222

1..

A.U.

10.801,0.28.2

:dados valoreslossustituir Al

2

22

2

(1)ecuación laen (3)y (2) ecuaciones las doSustituyen

(1)

smgKs

mgK

mKgN

srad

mrF

mrFr

mrrF

mrrF

I

R

R

R

R

RR

.

240001,0.2

8s

rad

T11. Un bloque de 1Kg cuelga de una cuerda que pasa por una polea de 2,5Kg y de 20cm de radio. Determina el valor de la aceleración del bloque que cae y la aceleración angular de la polea. Esta es una situación con la que habitualmente estamos relacionados en nuestras vidas. El uso de las poleas para elevar y descender cubos, bloques y diferentes cargas en general es empleado por la humanidad desde la antigüedad. Después de leer detenidamente el texto del problema, es conveniente realizar un esbozo de la situación y precisar los datos e incógnitas del mismo.

En la figura a y b se han representado los diagramas de las fuerzas que actúan sobre la polea y el bloque respectivamente. Como parte de la construcción del modelo para solucionar el problema, consideramos despreciable la fricción con el eje de la polea y la masa de la cuerda despreciable. No tendremos en cuenta la interacción de los cuerpos con el aire. Es importante notar que la polea tiene un movimiento de rotación y el bloque realiza una traslación pura.

N

gF

T

r

m gF

T

a) b) c)

+

)( y

Primeramente nos piden la aceleración del bloque que desciende y debemos examinar de qué depende esta aceleración. Planteando la segunda ley del movimiento mecánico para la traslación y proyectando en el eje y, tenemos:

mTg

mTmga

maTFyy

yg

y

yy

En la ecuación (2) aparece otra incógnita que es el valor de la tensión de la cuerda, debemos hallar este valor o expresarlo en función de los datos del problema. Al tener una ecuación con dos incógnitas, es necesario buscar otra ecuación. Esta ecuación debemos obtenerla del examen del movimiento de la polea. La aceleración tangencial de los puntos periféricos de la polea tiene el mismo valor que la aceleración con que desciende el bloque, este es un importante vínculo entre los dos movimientos. Si analizamos la polea se aprecia que la fuerza de tensión provocada por las cuerda en sus extremos es la provoca el torque que garantiza la rotación de la rueda. Hemos asumido convencionalmente que el torque que produce una rotación en sentido horario es positivo.

ecuaciones de sistema elforman (2)y (1) ecuaciones Las

(2)2

.2

.:dosustituyen ,. que Rcordemos

(

2

2

t

tt

t

t

R

R

aMrT

aMrIaT

rIarTra

IrTrTI

Sustituyendo la ecuación (2) en (1) obtenemos:

mMmga

mMaga

t

22

:enemosecuación t la den aceleració la Despejando

Hemos expresado la incógnita en función de los datos del problema, por tanto debe ser la solución del problema. Sustituyendo los valores numéricos de los datos en la ecuación.

2

22

5.4

..5.4

)1.(22)1.(28.9

sma

sm

gKgK

sma

UAa

a

t

t

t

a) El valor de la aceleración angular de la polea lo determinamos a través de la siguiente relación:

25.222.05.4

srad

rat

Cuando analizamos los resultados obtenidos vemos que la aceleración del bloque no depende del radio de la polea y su valor es menor que la aceleración de caída libre del bloque. 3.4. Análisis energético en el movimiento de rotación. T12. ¿Cómo determinar la energía asociada al movimiento de rotación de cuerpos como la Tierra, un satélite, el cuerpo humano, un disco compacto, entre otros? Se ha realizado un estudio de los factores que determinan las características del movimiento de rotación desde el punto de vista dinámico. Conocemos las ventajas que propicia el método energético al analizar diferentes cambios naturales y artificiales en nuestro mundo. Es por ello que iniciaremos el estudio energético del movimiento de rotación, estableciendo importantes analogías con el movimiento de traslación. Sabemos que un cuerpo que rota está formado por muchas partículas. En el movimiento de rotación pura cada partícula cambia de posición respecto a un eje de rotación. Recordemos que las dos formas básicas de movimiento mecánico de un sistema es el movimiento de traslación y rotación. Cuando un cuerpo cambia de posición en el tiempo se dice que tiene energía cinética, cuando un cuerpo rota, cambia su posición angular. La energía asociada a estos cambios recibe el nombre de energía cinética de rotación. T13. ¿De qué factores depende la energía cinética de rotación de un cuerpo? La energía cinética de traslación depende de la masa del cuerpo y del cuadrado del valor

de su velocidad (2

2mvEc ). Una analogía con el movimiento de traslación puede

sugerir la idea de que la energía cinética de rotación de un cuerpo dependa de su momento de inercia y del cuadrado de su rapidez angular. Si reflexionamos en diferentes situaciones de nuestras vidas constataremos que al aumentar el momento de inercia y la rapidez angular de un cuerpo, aumenta su capacidad para provocar cambios.

Respuesta: El bloque desciende con una aceleración de valor igual a 4.5m/s2.

Esta idea inicial puede fundamentarse, analizando el movimiento de rotación de una partícula que rota unida a una varilla de masa despreciable. Para esta partícula su energía de traslación es igual a:

2

2mvEc

Si expresamos la velocidad lineal en función de la velocidad angular podemos caracterizar la energía asociada al movimiento de rotación de la partícula. Conociendo que el módulo de la velocidad lineal es igual a:

2

22rmEc

rv

El término mr2 es el momento de inercia de la partícula y la ecuación anterior permite determinar la energía cinética de rotación de una partícula. Si consideramos las n partículas que forman al sólido, su energía cinética de rotación será igual a la suma de las energías cinéticas de cada partícula que lo componen. La velocidad angular de cada partícula del cuerpo es la misma y la suma de los momentos de inercia de cada partícula es igual al momento de inercia del cuerpo.

n

imiriI

1

2

Por tanto la energía cinética de rotación de un sólido es igual a:

2

2IEc

T14. Determina la energía cinética de rotación de la Tierra. ¿Qué suposiciones realizaste? T15. La molécula de dioxígeno tiene un momento de inercia igual 1.94.10-46Kgm2 y tiene una velocidad angular media igual a 6.75.1012rad/s. ¿Cuál es la energía cinética de rotación de esta molécula? T16. (ER)Trabajo y energía cinética. Una polea está en reposo y se le aplica una fuerza que produce un torque externo igual a 1.5Nm, alcanzando un desplazamiento angular igual a 70rad.

a) ¿Mediante qué vía se transfirió energía a la polea? Justifique. b) ¿Cómo cuantificar la cantidad de energía qué adquiere la polea?

Solución.

La fuerza actúa tangencialmente a la polea provocando un torque que varía las características del movimiento de la polea. La transferencia de energía comunicada por el agente externo es a través de una fuerza que desplaza, en igual dirección, el punto de aplicación. Es por esto que la transferencia de energía a la polea se realiza mediante trabajo mecánico. Partiendo de la definición general de trabajo podemos caracterizarlo para el caso del movimiento de rotación. Consideramos un pequeño desplazamiento colineal con la fuerza que provoca el torque.

WFrFrWrS

SFW

El trabajo de un torque constante que actúa en un sólido que rota en la misma dirección que el desplazamiento angular es igual a:

W

Demostremos que el trabajo del torque es igual a la variación de la energía cinética de rotación que experimenta el sistema. Teniendo en cuenta que I y para un movimiento con aceleración angular

constante

2

22o

tenemos:

222)(

2

(1)en (3)y (2)

(3) 2

(2) (1)

2222

22

22

oo

o

o

IIIW

IW

doSustituyen

IW

Hemos demostrado que el trabajo del torque resultante externo es igual a la variación de la energía de rotación que adquiere el sistema rcEW .

r

S

F

De acuerdo con lo anterior la energía transferida a la polea podemos calcularla de la forma siguiente:

JW

JmNWUA

WWW

105.

..105

70.5.1

La energía transferida a través del trabajo realizado por el torque es igual a 105J. El mismo resultado se obtiene si empleamos la expresión de la variación de la energía cinética de rotación. T17. ¿Cómo caracterizar la rapidez a la que se transfiere energía a un cuerpo que rota? T18. Al aplicarle un torque externo de 75Nm a una rueda, esta alcanza un valor de velocidad angular media de 20rad/s. Determina el valor de la potencia suministrada a la rueda. Movimiento de rotación y traslación en un plano. Existen un gran número de fenómenos y procesos en la sociedad donde se efectúan movimientos de traslación y rotación por un mismo cuerpo. Podemos citar algunos ejemplos como pelotas que ruedan o son lanzadas, la hélice de un barco, las ruedas de autos o bicicletas, las aspas en el rotor de un helicóptero, diferentes moléculas, planetas, estrellas, entre otros. Cualquier movimiento mecánico complejo que realice un sistema puede descomponerse en un movimiento de traslación y rotación. Estas son algunas de las razones que acentúan la importancia del estudio del movimiento de un cuerpo que rota y se traslada. Vamos a limitar nuestro estudio al caso en que los cuerpos rotan y se trasladan en un plano. En nuestros análisis emplearemos la ley de transformación y conservación de la energía por su alcance y facilidad en la solución de los problemas. T19. Un cilindro parte del reposo desde una altura H en un plano inclinado. Determina el valor de la velocidad del cilindro al llegar a la superficie horizontal. Es importante precisar las condiciones bajo las cuales nos proponemos dar solución a este problema. Consideramos al cuerpo como un sólido rígido que rota sin deslizar por el plano inclinado. Si el sólido no desliza, quiere decir que cada punto al hacer contacto con el plano tiene velocidad igual a cero.

Se considera que el radio del cilindro es mucho menor que la altura que tiene en el plano. Al examinar las fuerzas que actúan en el cilindro, vemos que la fuerza de

H

r N

gF

erf

a) b)

rozamiento estática es la provoca el torque que garantiza la rotación del cilindro. Cuando los cuerpos rotan sin deslizar por una superficie se le denomina al movimiento rodadura pura. Para verificar el cumplimiento de la ley de conservación de la energía mecánica, analicemos el trabajo de las fuerzas no conservativas en el cilindro.

mfnc EW La fuerza no conservativa que actúa en este caso es la fuerza de rozamiento estática, pero esta no desplaza el punto de aplicación al realizar el cilindro una rodadura pura. Por tanto el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero y la energía mecánica se conserva.

mm

m

EEE

o 0

Cuando el cuerpo se encuentra en reposo en la altura del plano, solo tiene energía potencial gravitatoria. Al comenzar a descender el cuerpo pierde energía potencial gravitatoria y aumenta su energía cinética de traslación y de rotación. Al llegar a la superficie horizontal el cuerpo solo tiene energía cinética de rotación y traslación.

(1) 22

22 ImvmgH

EEE crctpgo

La velocidad de traslación del centro de masa del cuerpo es igual a: rv de aquí la velocidad angular del cilindro se puede expresarse como:

(2) rv

Sustituyendo la ecuación (2) en (1) obtenemos:

gHv

gHv

vmgHm

mvmvrvmrmvmgH

mrI

rIvmvmgH

3434

43

422.22

(4)en (3) doSustituyen

(4) 2

cilindro el Para

(3) 22

2

2

22

2

222

2

2

22

Cuando analizamos el resultado observamos que la velocidad de traslación del cilindro no depende de su radio, ni de la masa. Esto quiere decir que cilindros de diferentes radios en un plano inclinado alcanzan el mismo valor de velocidad al llegar a la base del mismo. ¿Dependerá la velocidad angular del cilindro de su radio? Justifique su respuesta. El estudio realizado tiene enormes implicaciones para la ciencia, la tecnología, la sociedad y la cultura en general. Diferentes cuerpos como satélites artificiales, naves

espaciales, sondas, transbordadores, vehículos, dispositivos tecnológicos tienen forma cilíndrica y es importante para su control, conocer las características de su movimiento. T20. Desde cierta altura H de un plano inclinado parten del reposo una esfera, un cilindro y un aro. ¿Cuál de ellos llega primero a la base del plano? Argumenta su respuesta. T21. La cantidad de movimiento es una magnitud física muy importante en el movimiento de traslación. ¿Cuál es la magnitud análoga a la cantidad de movimiento para los cuerpos que rotan? 3.5. Momento angular. Ley de conservación del momento angular. T22. ¿Por qué dos sistemas que rotan con igual velocidad angular no emplean el mismo tiempo en detenerse? Cuando profundizamos en el estudio del movimiento de rotación de los sólidos, advertimos que la velocidad angular no caracteriza completamente su estado. No invertimos el mismo tiempo en detener o hacer rotar una rueda delantera de un tractor, que la rueda trasera. Si una pelota de baloncesto y otra de béisbol rotan con igual rapidez angular no se emplea el mismo intervalo de tiempo para detenerlas. Podemos citar múltiples ejemplos donde se evidencia que para caracterizar el estado de movimiento de rotación de un sólido debemos considerar su velocidad angular y su inercia respecto al eje de rotación. La relación entre la velocidad angular de un cuerpo y su momento de inercia es de enorme importancia en el estudio de los cuerpos que rotan y sus interacciones. T23. ¿Qué magnitud física permite caracterizar completamente el estado de movimiento de rotación de un sistema? Cuando estudiamos el movimiento de traslación pura definimos la cantidad de movimiento lineal como la magnitud física que caracterizaba el estado del sistema. Esta magnitud se calculaba por la expresión vmP

y expresa la relación entre dos propiedades del cuerpo que se traslada: su inercia y la rapidez para cambiar de posición en dirección y sentido. Esto puede sugerirnos la idea de caracterizar el estado de un sistema que rota, a través de dos magnitudes: su momento de inercia y la velocidad angular. Es importante recordar que el momento de inercia cuantifica la oposición del cuerpo para adquirir aceleración angular. La velocidad angular caracteriza la rapidez para cambiar la posición angular del cuerpo en determinada dirección y sentido. Es muy difícil cambiar el estado de movimiento de un sistema que posea valores altos de momentos de inercia y de velocidad angular. Podemos suponer que el producto del momento de inercia del sistema y su velocidad angular nos permitirá cuantificar las características del estado de movimiento de rotación. Esta idea podemos fundamentarla analizando el movimiento de rotación de un sólido respecto a un eje fijo. Pero ya conocemos que inicialmente examinaremos el movimiento de una partícula y posteriormente la contribución de todas las partículas que forman el sólido. Una partícula rota a cierta distancia del eje de rotación con cierta cantidad de movimiento como se representa en la figura.

El estado de movimiento de una partícula que rota se caracteriza por una magnitud física denominada momento angular. El módulo del momento angular de una partícula depende de su distancia al eje de rotación y de su cantidad de movimiento. Para determinar el módulo del momento angular de una partícula se utiliza la expresión siguiente:

rpsenL Donde p es el módulo de la cantidad de movimiento de la partícula y es el ángulo formado por los vectores de posición y cantidad de movimiento lineal. Cuando

90 se obtiene: rpL

Pero mvp entonces rmvL rv

2mrL

rrmL

El término mr2 es el momento de inercia de una partícula. De manera que el módulo del momento angular de una partícula es igual al producto de su momento de inercia y su rapidez angular. Para determinar el momento angular de un sólido que rota, debemos sumar los momentos angulares de cada partícula que compone al sólido.

sólido. del inercia de momento el es )...( pero)...(

2222

2222

332211

332211

nn

nn

rmrmrmrmIrmrmrmrmL

El módulo del momento angular de un sólido rígido que rota es igual a: IL

El momento angular es una magnitud física vectorial y su dirección y sentido es igual al de la velocidad angular.

IL T24. Determine el valor del momento angular de los siguientes sistemas que rotan.

a) El planeta Tierra.

P

r

r v

b) Rotor de helicóptero. T25. ¿Cuál es el efecto que provoca el torque externo con respecto al tiempo sobre un sistema que rota? Para variar el momento angular resultante de un sistema se requiere que un torque resultante externo actúe sobre él durante cierto intervalo de tiempo. Podemos realizar diferentes experiencias para constatar las variaciones del momento angular de un sistema. Si aplicamos un torque de gran valor sobre una rueda un intervalo de tiempo pequeño, la variación del momento angular del sistema no es la misma cuando el torque actúa durante un intervalo de tiempo grande. El producto del torque y el intervalo de tiempo permiten calcular el valor de una magnitud física denominada impulso angular. Esta es una magnitud análoga al impulso de una fuerza que estudiamos en el movimiento de traslación ( tFJ m

). La relación

entre el impulso angular externo y la variación del momento angular de un sistema podemos expresarla con la ecuación siguiente:

LtR

El impulso angular externo a un sistema que rota varía el momento angular del mismo. El impulso del torque resultante externo determina la dirección y el sentido en que varía el momento angular de un sistema. T26. ¿Cómo controlar el movimiento de rotación de una bailarina, un gimnasta, un atleta de clavados, entre otros sistemas? T27. ¿Qué le ocurre al momento angular de un sistema si no actúa sobre él un impulso angular resultante externo? La relación entre el impulso angular y la variación del momento angular de un sistema nos permite plantear que el torque resultante externo es igual a la rapidez con que varía el momento angular del sistema. En este sentido si sobre un sistema no hay torque externo resultante, el momento angular del mismo permanece constante. Si sobre un sistema el torque actúa un intervalo de tiempo muy pequeño, el momento angular del sistema también permanece constante.

ss LLcteL

LtLt

o

sist

0entonces 0 Si

Del análisis realizado hasta ahora podemos arribar a la conclusión general siguiente:

Si el impulso del torque externo resultante es igual a cero el momento angular del sistema permanece constante.

Esto significa que el momento angular conserva en el tiempo, su dirección, sentido y valor cuando no existe un impulso angular resultante externo. La conclusión general a

la que hemos llegado constituye una importante ley de la naturaleza: la ley de conservación del momento angular. Esta importante ley nos permite explicar, transformar y predecir muchos fenómenos y procesos de la naturaleza y el mundo artificial que nos rodea. Cuando una bailarina está sobre la pista girando, sobre ella actúa la fuerza de gravedad y la fuerza normal. De manera que el torque externo resultante que actúa sobre la bailarina es cero y su momento angular permanece constante. Si el producto I permanece constante, al aumentar el momento de inercia (I) el valor de la velocidad angular () disminuye. Cuando el momento de inercia del sistema disminuye, la velocidad angular del mismo se incrementa para que el producto permanezca constante. La bailarina utiliza esta regularidad para aumentar o disminuir su velocidad angular al danzar. Al abrir sus brazos y extenderlos su momento de inercia aumenta y su velocidad angular disminuye. Cuando cierra sus brazos, disminuye su momento de inercia y su velocidad angular aumenta, de esta manera controla su movimiento de rotación. T28. Explica como controla su movimiento de rotación un atleta de clavado o un gimnasta. T29. ¿Por qué los helicópteros tienen dos rotores? T30. Investiga sobre el cumplimiento de la ley de conservación del momento angular en el movimiento de los planetas. T31. Investiga sobre la conservación del momento angular cunado una estrella colapsa y se convierte en un pulsar. T32. Cita ejemplos de interés donde se ponga de manifiesto la conservación del momento angular. Justifica en cada caso. T33. ¿Por qué el cañón de un fusil tiene surcos o estrías? T34. Investiga sobre el empleo de los giroscopios en la ciencia y la tecnología.

¿Sabías qué….? ¿Cómo percibimos la rotación con los ojos cerrados? Los humanos sienten la rotación mediante tres conductos perpendiculares, los canales semicirculares del oído interno. Cada uno de ellos está lleno de un líquido. Cuando gira la cabeza, uno o más de los canales gira con ella, pero el fluido en su interior tiene inercia y tiende permanecer en reposo. Una ceja pequeña articulada llamada cúpula, está fija a la pared interna de cada canal y penetra en el líquido. Cuando hay un movimiento relativo del líquido con respecto al canal, la ceja oscila y un nervio sensorial en su base manda la señal de rotación.

T35. Al impulsarse contra el suelo, una patinadora con los brazos extendidos gira a una rapidez angular igual a 1rev/s y su momento de inercia es igual a 3.5kgm2. Posteriormente la bailarina recoge sus brazos y su momento de inercia es igual a 1kgm2. Determina la velocidad angular de la patinadora cuando une sus brazos.

¿Sabías qué….? Se conserva el momento angular en los ciclones y huracanes. El ascenso del aire sobre agua cálida, causa una caída presión que succiona aire de todas direcciones. Si hay alguna circulación del aire de los alrededores, este gira hacia el interior y se mueve cada vez con mayor rapidez al disminuir su distancia al centro. De esta forma se forma un gran remolino que conserva todo el tiempo su momento angular.

T36. Si el Sol colapsara al agotarse su combustible nuclear se formaría una estrella de diámetro igual al de la Tierra. ¿Cuál sería el valor del período de rotación del Sol?

¿Sabías qué….? Se conserva el momento angular en el sistema Tierra-Luna. La Luna ejerce una fuerza gravitacional sobre la Tierra y provoca las mareas. Estas mareas crean fuerzas de fricción que disminuyen gradualmente la rapidez angular de rotación del planeta. El efecto es bastante pequeño: u aumento en el período de aproximadamente 2.5.10-8s cada día. Sin embargo, dentro de mil millones de años el día será unas 3 horas más largo. Se ha sugerido que hace 1,5.109 años el día solo duraba entre 9 y 10 horas, y que el año tenía 9000 días de esos. El torque resultante que causa la disminución de la velocidad angular de la Tierra, es un torque interno al sistema Tierra-Luna y no cambia su momento angular. Entonces a medida que disminuye el momento angular de la Tierra, debe aumentar el momento angular de la Luna. Por ello la Luna se aleja de la Tierra, y su distancia aumenta un centímetro por año.