DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

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DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

REGLA DE CRAMER

Esta regla sirve para resolver Sistemas Compatibles Determinados e Indeterminados. A mi personalmente me gusta utilizar esta regla de Cramer únicamente para sistemas compatibles determinados, es decir, cuando tienen una única solución. Los sistemas Indeterminados lo resolverás por otro método que ya conoces, GAUSS (hacer ceros). Ahora quiero que veas como se trabaja con la regla de Cramer:

Imagina que tienes el siguiente sistema de ecuaciones, lo que tienes que hacer es identificar los números que acompañan a las letras (𝑥, 𝑦, 𝑧) y expresarlo como ves a continuación,

'𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑢𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′𝑧 = 𝑢𝑎′′𝑥 + 𝑏′′𝑦 + 𝑐′′𝑧 = 𝑢

→ 𝑥 0𝑎𝑎′𝑎′′1 + 𝑦2

𝑏𝑏′𝑏′′3 + 𝑧 0

𝑐𝑐′𝑐′′1 = 0

𝑢𝑢′𝑢′′1

También podemos expresarlo de esta otra manera:

𝑥𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑧𝐶 = 𝑈

Ahora si aplicamos las propiedades de los determinantes a esta expresión y la desarrollamos llegaremos a deducir:

𝑥 =𝑑𝑒𝑡(𝑈, 𝐵, 𝐶)𝑑𝑒𝑡(𝐴, 𝐵, 𝐶)

𝑦 =𝑑𝑒𝑡(𝐴, 𝑈. 𝐶)𝑑𝑒𝑡(𝐴, 𝐵, 𝐶)

𝑧 =𝑑𝑒𝑡(𝐴, 𝐵, 𝑈)𝑑𝑒𝑡(𝐴, 𝐵, 𝐶)

Esta seria la regla de Cramer para hallar la solución de un sistema de ecuaciones cuando tiene una única solución.

Ahora ya sabes lo que te toca, a practicar. Resuelve los siguientes sistemas por la regla de Cramer:

=𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0

2𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = −2−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0

; =𝑥 − 𝑧 = 2

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 12𝑦 + 𝑧 = 0

SOLUCIÓN 𝑥 = −1; 𝑦 = 1; 𝑧 = 1; 𝑥 = 4; 𝑦 = −1; 𝑧 = 2


TEOREMA DE ROUCHE

¿Te acuerdas de este Teorema? Pues si, lo viste en el tema de matrices. Este teorema nos servía para clasificar los sistemas en función del numero de soluciones.

Para poder hacer la discusión de un sistema necesitamos conocer el Teorema de Rouché:

𝑆𝑖𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) < 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴∗) → 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑒𝑠𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 → 𝑁𝑜𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝑆𝑖𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴∗) = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜→ 𝑈𝑛𝑎𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝑆𝑖𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴∗) < 𝑛º𝑑𝑒𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜→ 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Recordar que para calcular el rango de una matriz lo podemos hacer mediante su determinante:

|𝐴"#"| ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3

|𝐴"#"| = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) < 3

En este caso tendríamos que buscar otro determinante 3𝑥3o uno de 2𝑥2para demostrar que el 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2

Clasifica los siguientes sistemas en función del numero de soluciones, recuerda que esto lo tenias que hacer identificando el rango.

=𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 02𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0−𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0

; =2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5−𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 0

; =2𝑥 + 6𝑦 − 2𝑧 = 42𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧 = 8𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −2

; =𝑥 − 𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 = 0

3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1


RESOLVER SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Recuerda en estos casos, tienes infinitas soluciones, es decir, la solución depende de un parámetro que diremos que es t.

El primer paso es quitar una de las ecuaciones, ya que existe una combinación lineal entre ellas. Si no ves donde esta la combinación, quita la última ecuación y llama 𝑧 = 𝑡. Y después pasa el parámetro t a la parte de la derecha del igual, para finalmente resolver por el método de reducción el sistema, quedando la solución en función del parámetro t, esta será la solución general, es decir, TODAS LAS SOLUCIONES.

Con un ejemplo seguramente lo veas mejor:

=𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 2

→ =𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 2

𝑧 = 𝑡→ ] 𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑡

𝑥 + 2𝑦 = 2 − 4𝑡

Por el método de reducción resuelves el sistema:

𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑡𝑥 + 2𝑦 = 2 − 4𝑡

−𝑦 = −1 + 3𝑡

Por tanto, 𝑦 = 1 − 3𝑡

Sabiendo el valor de esta incógnita, tienes que calcular la incógnita ‘’x’’

𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑡 → 𝑥 = 1 − 𝑡 − 𝑦 → 𝑥 = 1 − 𝑡 − (1 − 3𝑡) → 𝑥 = 2𝑡


Ahora es tu momento, resuelve este sistema compatible indeterminado utilizando el procedimiento que te acabo de enseñar en el ejemplo:

=2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 + 𝑧 = 23𝑥 + 𝑦 = 3


DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON UN PARAMETRO

Hasta ahora te he enseñado a discutir sistemas lineales de los que conocías todos los valores de los coeficientes de las incógnitas, es decir, x, y, z. Sin embargo, es muy frecuente que te encuentres con sistemas de ecuaciones lineales en los que uno de los coeficientes o varios están en función de un parámetro.

Discutir estos sistemas se trata básicamente de encontrar el valor de dicho parámetro para el cual el sistema es determinado, indeterminado e incompatible.

Dentro de estos sistemas se pueden distinguir varios tipos:

• Sistemas con un solo parámetro en la columna de los términos independientes. • Sistemas con un único parámetro en la matriz de coeficientes. • Sistemas con un parámetro en la matriz de coeficientes y otro parámetro en la

columna de los términos independientes.

Con ejemplos te voy a enseñar con se hace el calculo de estos tres tipos y después te tocara a ti practicar.

=𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 𝑘


=𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 + 𝑧 = 3𝑥 − 𝑎𝑦 = 1


𝑆(𝑎) = =𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 0

3𝑥 + (𝑎 + 1)𝑦 − 𝑧 = 𝑎 − 1


DISCUSIÓN DE UN SISTEMA POR EL METODO DE GAUSS

SOLUCIONES EN FUNCIÓN DEL METODO DE GAUSS

Pueden ocurrir tres casos diferentes:

Þ Que haya alguna ecuación de la forma 0 = 𝐶; 𝑐 ≠ 𝑜 (Sistema incompatible) Þ Que el numero de ecuaciones sea igual al numero de incógnitas 𝑅𝑧 = 𝑐; 𝑐 ≠ 𝑜 (Sistema

compatible determinado) Þ Que el número de ecuaciones sea menor que el numero de incógnitas 0 = 0 (Sistema

compatible indeterminado)

Quiero que veas un ejemplo de cada tipo para que domines este apartado a las mil maravillas:

Sistema Compatible Determinado:

=𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 9𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1

21 1 1 12 3 −4 91 −1 1 −1

3

21 1 1 12 3 −4 91 −1 1 −1

3 → 2ª𝐹𝑖𝑙𝑎 = 2ª𝐹 − 2 ∙ 1ª𝐹3ª𝐹𝑖𝑙𝑎 = 3ª𝐹 − 1ª𝐹 → 2

1 1 1 10 1 −6 70 −2 0 −2

3

Y como podéis comprobar, en este caso, no hemos tenido que aplicar los tres pasos, si no que con dos hemos obtenido la solución al sistema, puesto que el valor de la incógnita y lo podemos obtener directamente con la última fila de la expresión matricial. Quizás en forma de sistema lo veas mas claro:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑦 − 6𝑧 = 7−2𝑦 = −2

c de la última ecuación −2𝑦 = −2 despejamos el valor de y, 𝑦 = $%$%= 1

Con este valor de la incógnita y vamos a la segunda ecuación y despejamos el valor de la incógnita z,

𝑦 − 6𝑧 = 7 → 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑞𝑢𝑒𝑦 = 1 → 1 − 6𝑧 = 7 → 𝑧 =7 − 1−6

= −1

Finalmente, con los valores de estas dos incógnitas, vas a la primera ecuación para obtener el valor de x,

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 → 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑞𝑢𝑒𝑦 = 1/𝑧 = −1 → 𝑥 + 1 + (−1) = 1 → 𝑥 = 1

Por tanto, la solución al sistema es:

𝑥 = 1𝑦 = 1𝑧 = −1


Sistema Compatible Indeterminado:

=𝑥 − 9𝑦 + 5𝑧 = 33𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −9𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5

21 −9 5 331 3 −1 −91 −1 1 5

3 → 2ª𝐹𝑖𝑙𝑎 = 2ª𝐹 − 1ª𝐹3ª𝐹𝑖𝑙𝑎 = 3ª𝐹 − 1ª𝐹 → 2

1 −9 5 330 12 −6 −420 8 −4 −28

3

21 −9 5 330 12 −6 −420 8 −4 −28

3 → 3ª𝐹𝑖𝑙𝑎 = 12 ∙ 3ª𝐹 − 8 ∙ 2ª𝐹 → 21 −9 5 330 12 −6 −420 0 0 0

3

Atención ahora a este pequeño detalle, cuando al realizar alguno de los tres pasos que tenemos que hacer nos aparezca una fila entera de ceros esto quiere decir que el sistema será compatible indeterminando, es decir, infinitas soluciones.

Para dar la solución, en este caso, diremos que; 𝑧 = 𝜆.

Con este valor de z, iremos a la segunda ecuación y despejaremos la incógnita y;

12𝑦 − 6𝑧 = −42 → 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑞𝑢𝑒𝑧 = 𝜆 → 12𝑦 − 6𝜆 = −42 →

𝑦 =−42 + 6𝜆

12=−7 + 𝜆2

Finalmente, para determinar el valor de x, iremos a la primera ecuación del sistema matricial final:

𝑥 − 9𝑦 + 5𝑧 = 33 → 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑞𝑢𝑒𝑧 = 𝜆; 𝑦 =−7 + 𝜆2

→ 𝑥 =3 − 𝜆2

Por tanto, a la solución final del sistema es;

𝑥 =3 − 𝜆2

𝑦 =−7 + 𝜆2

𝑧 = 𝜆


Sistema Incompatible:

=−𝑦 + 𝑧 = −2

𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 32𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 1

20 −1 1 −21 2 4 32 4 8 1

3 → 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑚𝑜𝑣𝑒𝑟𝑙𝑎𝑠𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠𝑑𝑒𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜.

𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑚𝑎𝑏𝑖𝑎𝑟𝑙𝑎1ª𝐹𝑖𝑙𝑎𝑝𝑜𝑟𝑙𝑎2ª𝐹𝑖𝑙𝑎 → 21 2 4 30 −1 1 −22 4 8 1

3

Ahora empezamos hacer ceros tal y como hemos visto en los casos anteriores. En este caso nos libramos de hacer cero en la posición x de la segunda fila. Así que pasamos al segundo paso, hacer cero en la x de la tercera ecuación.

21 2 4 30 −1 1 −22 4 8 1

3 → 3ª𝐹𝑖𝑙𝑎 = 3ª𝐹 − 2 ∙ 1ª𝐹 → 21 2 4 30 −1 1 −20 0 0 −5

3

Atención, cuando ocurra este detalle, de tener todo ceros menos en el termino del numero independiente, estaremos ante un sistema incompatible (No tiene solución). Quizás lo veáis mejor en forma de sistema:

=𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 3−𝑦 + 𝑧 = −20 = −5

Como puedes comprobar una de las ecuaciones es 0 = 5, esto nos quiere decir que el sistema no tiene solución.


Ejercicio 6.-

=2𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 7𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −15𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = 9

=2𝑥 − 3𝑦 = 8

4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 4𝑧 = 1

=𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 23𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2

𝑥 + 𝑧 = 0=

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 55𝑥 − 2𝑦 + 17𝑧 = 1

=−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 13𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0−𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 2

COMPRUEBA LAS SOLUCIONES:

• =2𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 7𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −15𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = 9

→ 22 6 1 71 2 −1 −15 7 −4 9

3 → 𝐸% = 𝐸& − 2𝐸%𝐸" = 5𝐸& − 2𝐸"

→

22 6 1 70 2 3 90 16 13 17

3

→ 𝐸" = 𝐸" − 8𝐸% → 22 6 1 70 2 3 90 0 −11 −55

3 → =2𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 72𝑦 + 3𝑧 = 9−11𝑧 = −55

→𝑥 = 10𝑦 = −3𝑧 = 5

• =2𝑥 − 3𝑦 = 8

4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 4𝑧 = 1

→ 22 −3 0 84 −5 1 152 0 4 1

3 → 𝐸% = 𝐸% − 2𝐸&𝐸" = 𝐸" − 𝐸&

→ 22 −3 0 80 1 1 −10 3 4 −7

3

→ 𝐸" = 𝐸" − 3𝐸& → 22 −3 0 80 1 1 −10 0 1 −4

3 →𝑥 = &'

%𝑦 = 3𝑧 = −4

• =𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 23𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2

𝑥 + 𝑧 = 0→ 2

1 1 −1 23 3 1 21 0 1 0

3 → 21 1 −1 20 0 −4 41 0 1 0

3 →𝑦 = 0𝑧 = −1𝑥 = 1

• =𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 55𝑥 − 2𝑦 + 17𝑧 = 1

→ 21 2 1 31 −2 5 55 −2 17 1

3 →𝐸% = 𝐸% − 𝐸&𝐸" = 𝐸" − 5𝐸&

→

21 2 1 30 −4 4 20 −12 12 −14

3 →

→ 𝐸" = 𝐸" − 3𝐸% → 21 2 1 30 −4 4 20 0 0 −20

3 → 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 ∶ 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜


• =−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 13𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0−𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 2

→ 2−2 1 1 13 2 −1 0−1 4 1 2

3 → 𝐸% = 2𝐸% + 3𝐸&𝐸" = 2𝐸" − 𝐸&

→ 2−2 1 1 10 7 1 30 7 1 3

3

→ 𝐸" = 𝐸" − 𝐸% → 2−2 1 1 10 7 1 30 0 0 0

3 → 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

=−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 17𝑦 + 𝑧 = 3𝑧 = 𝜆

→ 𝑦 =3 − 𝜆7

→ 𝑥 =13 − 9𝜆

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