DISEÑO DE EXPERIMENTOS Ing. Felipe Llaugel Diseños con bloques aleatorizados

DISEDISEÑO DE EXPERIMENTOSÑO DE EXPERIMENTOS

Ing. Felipe Llaugel

Diseños con bloques aleatorizados

Ing. Felipe Llaugel

En muchos problemas de experimentos, es necesario hacer un diseño de tal manera que la variabilidad proveniente de fuentes conocidas pueda ser sistemáticamente controlada. El diseño con bloques completos aleatorizados pretende reducir el efecto de la variabilidad proveniente de causas propias del experimento pero independiente del efecto que se desea estudiar.

DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS

Para los fines del análisis de varianza el bloqueo introduce un efecto adicional ficticio, cuyo objetivo es separar del error experimental, alguna fuente de variabilidad conocida.

Ing. Felipe Llaugel

Se desea saber si el tipo de la herramienta de medida tiene efecto en las lecturas de dureza de cierto material. La prueba de dureza consiste en someter a cierta presión la herramienta sobre la muestra de metal y medir la profundidad del orificio producido en la muestra. No se sabe como la muestra de material podría afectar la medida registrada, pero se sabe que las muestras no necesariamente provienen de un material homogéneo. Para aislar el efecto del material sobre la medida, se somete la misma muestra a la prueba de dureza con todos los instrumentos y se analizan los resultados. Los resultados podemos verlos en la siguiente tabla:

Ejemplo:


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RESULTADOS DE PRUEBAS DE DUREZAPARA CUATRO MUESTRAS

(Escala Rockwell)

Material de pruebaHerramienta a b c d

1 9.3 9.4 9.6 10.02 9.4 9.3 9.8 9.93 9.2 9.4 9.5 9.74 9.7 9.6 10.0 10.2

Ing. Felipe Llaugel


TABLA ANOVA

Fuente deVariación

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

Cuadradosmedios

F0

Tratamientoi

i

a y yb N

. ..

2

1

2

a - 1 TratamientoSSa 1

Tratamiento

E

MSMS

Bloque. ..j

j

b y ya N

2

1

2

b - 1 BloqueSSb 1

ErrorESS (Por

diferencia)(a - 1)(b -

1)ESS

a b( )( ) 1 1

Totalij

j

b

i

a

yyN

2

11

2

..

N - 1

Ing. Felipe Llaugel


Para simplificar restemos 9.5 de cada una de las observaciones y multipliquemos por 10 para formar la tabla siguiente:

RESULTADOS DE PRUEBAS DE DUREZAPARA CUATRO MUESTRAS

(Escala Rockwell)

Material de PruebaHerramienta a b c d i

y.

1 -2 -1 1 5 32 -1 -2 3 4 43 -3 -1 0 2 -24 2 1 5 7 15

.jy -4 -3 9 18 ..

y20

Ing. Felipe Llaugel


Cálculo de resultados

TratamientoSS

2 2 2 2 2

3 4 2 15 204 16

38 50.

BloqueSS

2 2 2 2 2

4 3 9 18 204 16

82 50.

TSS 15416

129 002

20 .

E T tratamiento bloqueSS SS SS SS 129 00 38 50 82 50 8. . .

Ing. Felipe Llaugel


TABLA ANOVA

Fuente deVariación

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

CuadradosMedios F0

Tratamiento 38.50 3 12.83 14.44Bloque 82.50 3 27.50Error 8.00 9 0.89Total 129.00 15

Buscando en la tabla F para un nivel de significación de 5% y 3 y 9 grados de libertad, tenemos que F 0.05,3,9 = 3.86, dado que 14.44 > 3.86, concluimos en que el tipo de herramienta si afecta la lectura de la dureza del material.

Ejercicio 4.1 con MINITAB (1 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (1 de 7)







Ing. Felipe Llaugel


Utilizar un diseño aleatorio con bloques completos para determinar si el compuesto químico afecta la resistencia a la tensión de piezas de tela.

EJERCICIO

Piezas de RopaCompuesto A B C D E

1 73 68 74 71 672 73 67 75 72 703 75 68 78 73 684 73 71 75 75 69

Ing. Felipe Llaugel

DISEÑOS CUADRADOS LATINOS

Estos tipos de diseño son una ampliación de los diseños con bloques completos aleatorizados, en los que se trata de aislar los efectos de dos fuentes de variabilidad de los efectos atribuibles a los tratamientos. Estos diseños pueden modelarse usando tablas de ANOVA en los cuales hay tres fuentes de variación diferenciadas.

Ing. Felipe Llaugel

Se esta preparando un explosivo con cinco diferentes formulaciones y se desea saber si el poder del mismo esta afectado por la constitución de la formulacion. Se forma el explosivo a partir de cinco lotes de materias primas, y la mezcla es preparada por cinco diferentes operarios. Se diseño un experimento para medir el efecto de la formulacion en el poder explosivo de la mezcla, y se quiere separar las variaciones atribuibles a los operadores y al lote de materia prima. En la siguiente tabla vemos las diferentes corridas y los resultados de las pruebas del poder explosivo de las mezclas, según el diseño experimental seleccionado.


EJEMPLO

Ing. Felipe Llaugel


Diseño cuadrado latino para la formulacion explosiva

OperadorLote 1 2 3 4 5

1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=242 B=17 C=24 D=30 E=27 A=363 C=18 D=38 E=26 A=27 B=214 D=26 E=31 A=26 B=23 C=225 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31

Las letras A,B,C,D, y E, representan las cinco formulaciones a ser evaluadas. En estos diseños se debe probar cada formulacion en cada bloque solo una vez. Debe haber el mismo numero de ocurrencias en cada bloque, de ahí viene el nombre de diseños cuadrados. El adjetivo “latino” proviene de las letras usadas para los niveles del factor a estudiar.

Ing. Felipe Llaugel


TABLA ANOVA PARA DISEÑOS CUADRADOS LATINOS

Fuente deVariación

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

CuadradoMedio F0

Tratamientos tratamientoSS p - 1 tratamientoSSp1

tratamiento

e

MSMS

Filas filaSS p - 1 filaSSp1

Columnas columnaSS p - 1 columnaSSp1

Error eSS (p -2)(p -1) eSSp p( )( ) 1 2

Total tSS p2 - 1

Ing. Felipe Llaugel


Donde:

tratamiento

j

j

p

SSy yp N

. . ...

2

1

2

filai

i

p

SSy yp N

.. ...

2

1

2

columnak

k

p

SSy yp N

.. ...

2

1

2

t ijkk

p

j

p

i

p

SS yyN

2

11

2

1

...

p = Numero de filas o columnas N = Numero total de observaciones I = índice para la fila (lotes) j = índice para el tratamiento (formulacion) k = índice para la columna (operador)

Ing. Felipe Llaugel


Codificando los datos para simplificar las operaciones, restando 25 de cada observación, tenemos la siguiente tabla:

Diseño cuadrado latino para la formulacion explosivaTabla codificada

OperadorLote 1 2 3 4 5 yi..

1 A=-1 B=-5 C=-6 D=-1 E=-1 -142 B=-8 C=-1 D=5 E=2 A=11 93 C=-7 D=13 E=1 A=2 B=-4 54 D=1 E=6 A=1 B=-2 C=-3 35 E=-3 A=5 B=-5 C=4 D=6 7

y..k -18 18 -4 5 9 y...=10

Los totales para los tratamientos son:

A y.1. = 18B y.2. = -24C y.3. = -13D y.4. = 24E y.5. = 5

Ing. Felipe Llaugel


Las ecuaciones de estos resultados son:

tSS 68025

676 0

2

10( ).

loteSS

2 2 2 2 2 214 9 5 3 7 10

5 2568 0

( ).

operadorSS

2 2 2 2 2 218 18 4 5 9 10

5 25150 0

( ) ( ).

tratamientoSS

2 2 2 2 2 218 24 13 24 5 10

5 25330 0

( ) ( ) ( ).

e t lote operario tratamientoSS SS SS SS SS 676 0 68 0 150 0 330 0 128 0. . . . .

Ing. Felipe Llaugel


TABLA ANOVA PARA DISEÑOS CUADRADOS LATINOS

Fuente deVariación

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

CuadradoMedio

F0

Formulacion 330.0 4 82.5 7.73Lotes 68.0 4 17.0

Operarios 150.0 4 37.5Error 128.0 12 10.67Total 676.0 24

Buscando en la tabla del estadístico F para = 0.05 y 4 y 12 grados de libertad, tenemos que F 0.05,4,12 = 3.26, lo que indica que las formulaciones difieren ya que se rechaza la hipótesis nula de que sean iguales porque F0 > F0.05,4,12.

Ing. Felipe Llaugel

Se dice que el diseño es balanceado, cuando la combinación de tratamientos en cada bloque es igual, es decir, cada par de tratamientos ocurre junto el mismo numero de veces en cada bloque.

Se dice que el diseño es balanceado, cuando la combinación de tratamientos en cada bloque es igual, es decir, cada par de tratamientos ocurre junto el mismo numero de veces en cada bloque.

DISEÑO CON BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS

En ciertos experimentos con frecuencia no es posible probar todas las combinaciones de los tratamientos para cada bloque. Situaciones como esta suelen ocurrir debido a falta de material para pruebas o el tamaño físico del bloque. En casos como estos recurrimos al uso de diseños con bloques incompletos.

En ciertos experimentos con frecuencia no es posible probar todas las combinaciones de los tratamientos para cada bloque. Situaciones como esta suelen ocurrir debido a falta de material para pruebas o el tamaño físico del bloque. En casos como estos recurrimos al uso de diseños con bloques incompletos.




Ing. Felipe Llaugel


RESULTADOS DE EXPERIMENTO DE CATALÍTICO

LOTE DE MATERIA PRIMACatalítico 1 2 3 4 yi.

1 73 74 - 71 2182 - 75 67 72 2143 73 75 68 - 2164 75 - 72 75 222y.j 221 224 207 218 870= y...

Ing. Felipe Llaugel


TABLA ANOVA PARA DISEÑOSDE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS

Fuente deVariación

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

Cuadradosmedios

F0

Tratamientos(ajustados)

k

aiQ

2

a - 1 tratamiento ajustadoSSa

(

1tratamiento ajustado

e

MSMS

(

Bloque. ..jy yk N

2 2

b - 1 BloqueSS

b 1

Error eSS N -a - b + 1eSS

N a b 1Total

ijyyN

2

2

..

N - 1

Ing. Felipe Llaugel


Donde:

T ijji

SS yyN

2

2

..

T tratamiento ajustado bloque ESS SS SS SS ( )

bloque

j

j

b

SSy yk N

. ..

2

1

2

tratamiento ajustado

ii

a

SSQk

a( )

2

1

i i ij jj

b

Q y n yk

. .

1

1i=1,2,...,a

Ing. Felipe Llaugel


Sustituyendo en las fórmulas tenemos:

TSS 63 15612

8100

2

870, .

( )

bloqueSS

2 2 2 2 2

221 207 224 218 8703 12

55 00.

1218 1

3 221 224 218 9 3Q ( ) /2

214 13 207 224 218 7 3Q ( ) /

3216 1

3 221 207 224 4 3Q ( ) / 4222 1

3 221 207 218 20 3Q ( ) /

tratamiento ajustadoSS ( )

( / ) ( / ) ( / ) ( / )( )( )

.

3

2 422 75

2 2 2 2

9 3 7 3 4 3 20 3

SSE = 81.00 - 22.75 - 55.00 = 3.25

Ing. Felipe Llaugel


Sustituyendo en la tabla ANOVA tenemos:

Fuente deVariación

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

Cuadradomedio

F0

Tratamiento (ajustado)

22.75 3 7.58 11.66

Bloque 55.00 3 -Error 3.25 5 0.65Total 81.00 11

Del análisis de varianza mostrado en la tabla anterior, vemos que para un nivel de significación de 0.05, F 0.05,3.5 = 5.41, lo que indica que hay diferencia notable entre los catalíticos.



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