Diseño Del Modelo y Selección Del Método Numérico

CAPTULO 3 - DISEO DEL MODELO Y SELECCIN DEL METODO NUMERICO

Este captulo enfoca los siguientes tpicos del diseo: La seleccin del nmero de dimensiones espaciales Representacin de la roca reservorio y de los fluidos Y el acoplamiento de los pozos y el reservorio.

Se enfocan los desplazamientos de agua/petrleo, pero los conceptos se aplican igualmente a los desplazamientos gas/petrleo y gas/agua. Muchas de las discusiones tambin se aplican al diseo del modelo para procesos EOR.

Disear el modelo ms simple que simule el proceso de desplazamiento con suficiente realismo para permitir la toma de decisiones apropiadas con respecto al desarrollo y operacin del reservorio. Si bien los resultados pueden ser ms fiables con ms complejidad en resolver el problema, se incrementa el costo del estudio.

El diseo del modelo est influenciado por los siguientes factores: 1) Tipo y complejidad del problema (geometra del sistema, heterogeneidad de la roca,

tipos de fluidos presentes y tipo de vaciamiento) 2) Calidad de la respuesta para decisiones de administracin del reservorio 3) Tiempo disponible para completar el estudio 4) Factores econmicos 5) Disponibilidad y calidad de los datos. 6) Capacidad del simulador de reservorio y de las computadoras disponibles. 3.1 Lista de Control para el Diseo del Modelo 1. Definir los objetivos del estudio y los problemas a ser resueltos. 2. Familiarizarse con todos los datos disponibles. Anotar cualquier dato olvidado que sea

esencial para resolver el problema. 3. Seleccionar la configuracin del modelo (1D, 2D, o 3D) que represente mejor la

dinmica de fluidos del reservorio. 4. Simplificar la configuracin del modelo tanto como sea prctica (determinar si la seudo

permeabilidad relativa o el tratamiento de la presin capilar es justificado). 5. Considerar el uso eventual del modelo y evaluar si se necesitar complejidad adicional

para establecer credibilidad. 6. Seleccionar las dimensiones de los bloques-malla. 7. Seleccionar el modelo del fluido (PVT). 8. Seleccionar el nmero de fases. 9. Definir las condiciones iniciales 10. Definir el tratamiento de pozos. (Se necesitan funciones de pozos?). 11. Definir las capacidades necesarias en las rutinas de administracin de pozos. 12. Definir si se necesita modelo de petrleo negro, composicional, miscible o termal. 13. Seleccionar el simulador. 14. Disear modelos auxiliares para proporcionar la entrada al modelo primario. 3.2 Seleccin del Nmero de Dimensiones

Uno de los primeros pasos en el diseo de un modelo es decidir el nmero de

dimensiones espaciales necesarias para representar la geometra del sistema fsico y simultneamente, determinar qu simplificaciones son justificadas. Se consideran geometras externas e internas. La geometra externa incluye los lmites del campo o acufero, las internas el tope y fondo del reservorio o acufero (incluyendo fallas).

Modelos de Simulacin y Laboratorio Captulo 3 Diseo del Modelo y Seleccin del Mtodo Numrico

Los tipos de modelos a ser considerados se listan en orden creciente de costo, dificultad y tiempo requerido. Puede haber excepciones al orden. 1) Modelos de tanque (cero dimensiones) 2) Modelos 1D

3) Modelos 2D areal (x, y; r, ; curvilnea) 4) Modelos 2D transversales (x, z) o radial (r, z) 5) Modelos multicapa (acumulacin de 2D areal) 6) Modelos 3D 3.2.1 Modelo de Tanque

El modelo de tanque es til cuando se necesitan respuestas rpidas y el comportamiento de la presin promedio del reservorio es considerado el nico factor importante en la toma de decisiones operativas o de inversin. Las gradientes de presin en el reservorio sern pequeas o su impacto no ser considerado significante. El uso de un modelo de tanque simplemente involucra un mtodo clsico de clculo manual. El clculo puede hacerse ms fcil con programas de balance de materia para lo que hay programas disponibles. 3.2.2 Modelos 1D

Los modelos 1D pocas veces pueden usarse para estudios de reservorios a nivel de campo porque no pueden modelar el barrido areal y vertical. Por ejemplo, los modelos 1D usualmente no pueden calcular eficiencias de desplazamiento realistas en regiones invadidas porque no pueden representar efectos de la gravedad perpendicular a la direccin de flujo.

Sin embargo, modelos 1D pueden usarse efectivamente para investigar la sensitividad del rendimiento del reservorio a las variaciones en los parmetros del mismo como movilidad, permeabilidad, etc. 3.2.3 Modelos 2D Areales

Los modelos 2D areales son los ms usados en estudios de reservorios. Se usan cuando los modelos de flujo areal dominan el rendimiento del reservorio. Por ejemplo, en flujo de agua ptimo o al evaluar la influencia de la heterogeneidad areal en el comportamiento del reservorio.

Los modelos 2D areales son frecuentemente usados para estudios de todo el reservorio. Los objetivos de tales estudios incluyen proyecciones de caudales de produccin de petrleo, gas y agua. Tambin pueden incluir la optimizacin de factores como ubicacin de los pozos, distribucin de inyeccin, retiro de produccin y control del tiempo para instalacin de elevacin artificial o para modificacin de facilidades de superficie. Este tipo de estudio es tambin usado para estimar la recuperacin final y para determinar la influencia de mtodos alternativos de deplecin, objetivos de produccin y estrategias de operacin en recuperacin final.

La mayora de los modelos de estudio 2D areal usan seudo funciones para el flujo vertical de fluidos. Aunque las seudo funciones tengan sus limitaciones, permiten la representacin de la tercera dimensin vertical en modelos 2D areales.

Los modelos areales usan coordenadas cartesianas (x,y) (Fig.3.1a), radial (r,) o curvilnea (Fig 3.1b y 3.1c). Los ltimos dos sistemas proporcionan mejor definicin cerca a los pozos que los modelos areales x-y.


r y

2x

a x b c 1x

Fig. 3.1Sistemas de coordenadas modelo areal: (a) Cartesiano, (b) radial, (c) curvilneo

3.2.4 Modelos 2D de Corte Transversal y Radiales

Los modelos 2D de corte transversal y radiales son usados principalmente para: 1) desarrollar funciones de pozo o seudo funciones para modelos 2D areales o 3D; 2) simular inyeccin de agua perifrica, de gas por la cspide u otros procesos en los que

la velocidad frontal a travs de los productores son uniformes 3) evaluar el comportamiento del pozo cuando los efectos verticales dominan el

rendimiento, como en la conificacin de gas o agua. Modelos de corte transversal pueden usarse para evaluar la interaccin de la

gravedad, capilaridad, fuerzas viscosas y el efecto resultante en el barrido vertical y las eficiencias de desplazamiento.

Modelos 2D radiales (r, z) pueden usarse para representar flujo convergente o divergente en una regin radialmente simtrica de un reservorio.

Modelos de corte transversal ayudan a justificar la simplificacin en modelos de campo completo o grandes segmentos de un campo, determinar las permeabilidades efectivas verticales en un sistema anisotrpico.

Modelos 2D radiales (r, z) son tiles en estudios del comportamiento de pozos en reservorios de empuje hidrulico de fondo, con empuje de casquete de gas o que tienen una columna delgada de petrleo solapada por gas y por debajo agua.

Una aplicacin importante de ambos modelos 2D de corte transversal y radial es la evaluacin del efecto de caudal de produccin en el rendimiento del reservorio y la recuperacin final. 3.2.5 Modelos Multicapa

Si un campo simple contiene varios reservorios independientes, cada uno puede ser modelado en un estudio separado. Si la produccin de un reservorio influye en la de otro, ambos reservorios pueden representarse en un modelo simple cuando: 1. la produccin o inyeccin se mezcla en los pozos, 2. los reservorios estn en contacto con un acufero comn, 3. lneas principales comunes, separadores u otras facilidades hacen necesario tratar

varios reservorios con el mismo plan de administracin del pozo, 4. el caudal total fijo para varios reservorios hace necesario usar un solo programa de

administracin de pozos. Si puede ocurrir un flujo cruzado directamente entre los reservorios, en el acufero o a

los pozos, debera usarse un modelo 3D. Si se selecciona simulador 2D, cada reservorio debera representarse como una regin del modelo sin flujo permitido entre regiones


(Fig.3.2). Para definir caudal de produccin e inyeccin por pozo y zona, el plan de manejo de pozos en modelos 2D o 3D debe ser capaz de manejar la interaccin entre reservorios, pozos, y facilidades de superficie.

Fig.3.2 Modelaje de reservorio multicapa: (a) con modelo 3D, y (b) con modelo 2D

3.2.6 Modelos 3D

Puede ser necesario usar modelos 3D por varias razones:

1. Geometra del reservorio demasiado compleja para reducir a una combinacin de modelos de corte transversal y areal. Reservorios con barreras de flujo continuas sobre reas grandes, con ventanas permeables donde haya flujo cruzado.

2. La mecnica de fluidos del reservorio puede ser tan compleja que representacin 2D es difcil de analizar. Reservorios en etapas avanzadas de vaciamiento caen dentro de esta categora.

3. El desplazamiento puede estar dominado por flujo vertical cerca de los pozos donde puede ocurrir tanto cuspidificacin como conificacin.

4. Casos donde la simulacin 2D es ms dificultosa y cara que la 3D. El modelaje de reservorios arealmente complejos y altamente estratificados puede requerir docenas o an centenas de juegos de seudofunciones.

5. Estudios a usarse en negociaciones o para demostrar administracin responsable del reservorio y hacer creble por audiencia no familiar con estas aplicaciones.

Un problema asociado con modelos 3D es el tamao difcil de manejar; puede tener tantos bloques-malla que produce resultados tardos para influir decisiones. 3.3 Simplificacin de Problemas Complejos.

Un gran reto en simulacin de reservorios es desarrollar el modelo ms simple del reservorio que permita tomar decisiones respecto al desarrollo y operacin del reservorio. Hay enfoques que permiten al ingeniero usar modelos relativamente simples en situaciones de reservorios complejos. 3.3.1 Modelos de Ventana

El enfoque de modelos de ventana combina una malla gruesa de rea extendida y una malla fina localizada. Se usa primero un modelo de malla-gruesa que contiene tanto el acufero como el reservorio de petrleo para simular el comportamiento completo del campo. Se define una ventana en torno a la zona de petrleo y se construye un modelo de malla fina de la regin dentro de la ventana para estudios ms detallados del comportamiento de la zona de petrleo. Un ejemplo del modelo de malla-gruesa y el correspondiente modelo de malla fina del rea de ventana dentro del campo se ilustra en la Fig 3.3. Se usa para reservorios de petrleo y de gas.


Fig. 3.3 Modelos de ventana: (a) modelo de malla gruesa del acufero y el reservorio, y (b) modelo de malla fina del rea de la ventana

Un juego de modelo con ventana reservorio/acufero es a menudo una buena

alternativa a un modelo simple que contiene tanto la zona del acufero como la zona de petrleo. Los modelos de ventana usarn menos bloques-malla para modelar tanto el acufero como el reservorio, particularmente si el acufero es modelado en 2D y el reservorio con 3D. Cuando se usa modelos de ventana, debe asegurarse que las presiones en los lmites de la ventana de los dos modelos son casi idnticas a travs del estudio, de otra manera los flujos de los lmites sern incorrectos. 3.3.2 Reservorios Naturalmente Fracturados

Los reservorios naturalmente fracturados son probablemente los ms complejos de todos los sistemas de reservorios. El desarrollo de descripciones confiables y detalladas de la matriz de fractura, modelarlo en forma realista y evaluar la confiabilidad de los resultados de la simulacin es extremadamente dificultoso. La orientacin, ancho y espaciado de las fracturas se necesitan para describir el sistema y para definir la configuracin geomtrica de los bloques. En adicin, las propiedades de bloques individuales como la porosidad, permeabilidad y saturacin deben definirse como para reservorios no fracturados.

El flujo a los pozos es principalmente a travs de las fracturas, la permeabilidad de los bloques es muy inferior a la permeabilidad efectiva del sistema de fractura. La matriz, sin embargo, normalmente contiene la mayor parte del petrleo o gas porque el volumen poral de la fractura (de 0.1 a 1.0% del VP) es mucho menos que de la matriz. Por tanto la transferencia de fluidos desde el bloque matriz al sistema de fractura es necesaria para recuperar hidrocarburos del reservorio.

Puede usarse un simulador convencional para modelar un sistema fracturado si se usan suficientes bloques malla. El uso de mtodos simplificados se requiere para la mayora de las saturaciones del campo. La obtencin de resultados manejables de la simulacin requiere conocimiento completo de la mecnica de fluidos involucrada y de la simplificacin programada en el simulador. Se han usado los siguientes tres tipos de modelos simplificados: 3.3.2.1 Simulador Convencional con Permeabilidad Anisotrpica

Aqu la matriz y fracturas son consideradas como un sistema. Por tanto el bloque malla tiene porosidad igual a la porosidad total de la matriz y la fractura. La permeabilidad


anisotrpica se usa en el modelo para representar la permeabilidad efectiva del sistema fractura/matriz normal y paralelo a la tendencia de la fractura principal. Su uso es apropiado para flujo de fase simple de gas o petrleo si la diferencia de presin entre el bloque matriz y el sistema de fractura es pequea. 3.3.2.2 Modelos Fuente/Sumidero

Este enfoque modela el sistema de fracturas y depende del uso de trminos especiales fuente/sumidero en un simulador convencional para representar intercambio de fluidos entre los bloques matriz y las fracturas. Estos trminos permiten usar relaciones que determinan cuanto petrleo aadir a las fracturas y cuanto gas o agua quitar de ellas en cada time step en la simulacin. Los trminos fuente/sumidero deben desarrollarse de una fuente independiente para determinar los efectos de las fuerzas de viscosidad, de gravedad y capilar en movimiento de petrleo, gas y agua entre la matriz y la fractura en funcin del tiempo. El desarrollo de trminos reales fuente/sumidero puede ser un proceso complejo porque el rango completo de condiciones a las que se expone el bloque matriz durante el periodo de prediccin debe incluirse en su desarrollo. Este enfoque tambin asume que la presin de la matriz es igual a la presin de la fractura, otros enfoques pueden ser ms apropiados cuando se esperan grandes diferencias de presin. 3.3.2.3 Modelos de Doble Porosidad

Los simuladores de doble porosidad representan tanto los sistemas de matriz como las fracturas, pero la distribucin del fluido dentro de la matriz y la transferencia de fluidos de la matriz a las fracturas se representan por varios mtodos simplificados. Hay dos tipos:

El primer tipo modela la porosidad de la fractura y la matriz en cada bloque-malla y el fluido fluye de bloque a bloque a travs de las fracturas pero no permite flujo de fluidos a travs de la matriz.

El segundo tipo es un simulador tanto de doble porosidad como de doble permeabilidad que puede representar flujo tanto en la fractura como en la matriz, o sea, el flujo entre bloques malla puede simular flujo ya sea en la matriz o la fractura. Este tipo de simulador puede ser apropiado si los bloques malla son mas pequeos que los bloques matriz en una o ms direcciones. Para ambos tipos, las funciones de transferencia en el simulador asemejan el movimiento de fluidos de los bloques matriz a las fracturas. Las funciones dependen de la forma y dimensiones del bloque matriz, transmisibilidad del bloque, permeabilidad relativa, presin capilar y diferencia de densidad entre fases. 3.4 Simulacin de Fase Simple vs Multifase

La mayora de los problemas de flujo de los reservorios requieren simulacin multifase. Problemas para los que son suficientes soluciones de fase simple incluyen: 1. Expansin del agua en el acufero (problemas de influjo de agua, recarga de acuferos,

o reas de secado aledaas). 2. Problemas de presin transiente en pozos simples e interferencia entre pozos en

sistemas de fase simple. 3. Deplecin de reservorio de gas cuando no hay influjo de agua,

La simulacin multifase debe usarse para evaluar desplazamientos de agua/petrleo y gas/petrleo. Si el desplazamiento agua/petrleo involucra solucin de gas, expansin del casquete de gas, o inyeccin de gas debera usarse simulacin trifsica. Para sistemas de dos o tres fases, muchos problemas pueden resolverse por simuladores de petrleo


negro, que tratan a las fases de hidrocarburos como si tuvieran solo dos componentes. Procesos convencionales de desplazamiento agua/petrleo son estudiados con simuladores de petrleo negro. En estudios de empuje-de-gas-disuelto, expansin-de-casquete-de-gas o inyeccin-de-gas, se usan simuladores de petrleo negro si el Bo es menos de 2.

Cuando el Bo es mayor a 2, la simulacin de petrleo negro puede an utilizarse, aunque deberan usarse modelos composicionales, que pueden predecir cambios en las propiedades de los fluidos producidos que pueden ocurrir a medida que se produce la deplecin.

Los modelos composicionales se necesitan en estudios de reservorios de gas que caen por debajo de su punto de burbuja durante la deplecin. Inyeccin de gas seco para reciclar tales reservorios despus de la cada del punto de roco tambin caen dentro de esta categora. La simulacin composicional tambin se puede usar para recuperaciones de petrleo por inyeccin de gas seco, particularmente en reservorios de petrleo voltil. 3.5 Propiedades Variables de Fluidos

Las propiedades de los fluidos ( o , oB , sR ,etc) varan vertical y arealmente en algunos

reservorio. Variaciones pronunciadas pueden representarse asignando diferentes propiedades de fluidos a diferentes regiones del modelo.

Los modelos composicionales pueden usarse para modelar propiedades variables del fluido, pero ellos tambin pueden conducir a una mezcla irreal de fluidos si la definicin de los bloques malla es muy gruesa. 3.6 Representacin de la Roca Reservorio.

La complejidad del flujo de fluido en un reservorio heterogneo es una de las

mayores razones para que los simuladores de reservorios sean necesarios en estudios de Ingeniera de Reservorio. Modelos homogneos pueden usarse para investigar otros factores cuando hay solo variaciones menores en la permeabilidad o porosidad. Cuando hay mayores variaciones en permeabilidad y porosidad, sin embargo, los modelos heterogneos son necesarios. Las razones que usualmente justifican modelos heterogneos incluyen: 1. Variaciones de la permeabilidad areal que puede restringir el drenaje areal o disminuir

el barrido del material inyectado 2. Estratificacin vertical con canalizacin resultante de material inyectado en zonas de

alta permeabilidad 3. Pizarras discontinuas u otro material de muy baja permeabilidad que puede afectar la

eficiencia del barrido areal 4. Zonas permeables discontnuas que afectan la eficiencia de barrido vertical 5. Fracturas naturales o fisuras que reducen la recuperacin de la roca matriz. 3.7 Mtodos de Representacin de Pozos

El modelaje realista de pozos es uno de los aspectos ms desafiantes de la simulacin de reservorios. Idealmente, el sistema de malla del modelo de reservorio debe ser lo suficientemente detallado para modelar el comportamiento cerca de boca de pozo. Entonces las presiones y saturaciones en el bloque-malla o columnas de bloques


conteniendo un pozo podran usarse directamente para calcular caudales de produccin o inyeccin.

En estos modelos, las presiones calculadas y saturaciones en los bloques-malla de pozos pueden representar valores cerca a reales de los pozos.

Si los caudales de produccin o inyeccin se conocen o pueden ser estimados de otras fuentes, los datos de caudal pueden usarse sin intentar estimar presiones de boca de pozo. Las presiones calculadas, Pb en bloques-malla conteniendo pozos pueden ser corregidas a las presiones de la fase de formacin, Pwf, por las ecuaciones de Peaceman:

R

qPP tbwf 3.1

donde Pwf = presin de la formacin (Psi) Pb = presin del bloque malla (Psi) qt = caudal de produccin o inyeccin (Bbl/dia), y

wrx

khR

/2.0ln

00708.0

3.2

donde k = permeabilidad (md) h = espesor de la arena del reservorio (pies) rw = radio del pozo (pies) x = longitud horizontal del bloque (pies)

Para un pozo de inyeccin, el caudal es una cantidad negativa. Cuando las presiones de pozos cerrados deben compararse con presiones calculadas

por el modelo, pueden requerirse ajustes especiales si no se simula el tiempo de cierre. Si se mide un valor de presin del campo en este tiempo, no se necesita ajuste alguno. De otra manera, la presin del campo o la presin del modelo debe corregirse antes de hacerse las comparaciones. La correccin debe calcularse para cada pozo. 3.8 Seleccin del Mtodo de Solucin Numrica

La mayora de los simuladores requieren que el usuario escoja entre varios mtodos para resolver las ecuaciones de flujo y permiten algn control sobre los mtodos usados para formular las ecuaciones. Estas elecciones controlarn la facilidad de uso, exactitud y en algn grado, el costo de las simulaciones.

El trmino mtodos de solucin se usa para cubrir todas las decisiones de formulacin y opciones de solucin que toman los desarrolladores del simulador o el usuario. Se debe distinguir entre formulacin y solucin de ecuaciones. Los dos difieren en el efecto de la confiabilidad, costo y exactitud de los resultados del simulador. Formulacin se refiere al tipo y estructura de las ecuaciones, cmo los problemas de flujo del reservorio son expresados en ecuaciones. La formulacin ayuda en la solucin del problema, pero no es por s misma la solucin de ecuaciones. La Tabla 3.1 lista los trminos que se usan en la formulacin o la solucin de la ecuacin. Proporciona un ejemplo de la jerga que se usa en la literatura de simulacin. Algunos trminos aparecen en ambas listas; su significado depende de cmo se est usando.

Tericamente, si las dimensiones de los intervalos de tiempo y bloques-malla elegidos para un modelo de simulacin son pequeos, y si los intervalos de tiempo son pequeos en relacin a las dimensiones de los bloques-malla, las decisiones de formulacin (Col 1 Tabla 3.1) deberan ser importantes. En simulacin de reservorios prctica los incrementos de espacio y tiempo casi nunca son pequeos y las decisiones pueden determinar la exactitud de los resultados de la simulacin.


Tabla 3.1 Terminologa

Formulacin de la Ecuacin Solucin de la Ecuacin

Formulacin implcita Mtodos directos

Movilidad implcita Mtodos iterativos

Fully implicit Mtodos explcitos

Semi-implicit Eliminacin de Gauss

Formulacin explcita Solucionadores de banda

Ponderacin de movilidad Ordenamientos naturals

Implicit pressure, explicit saturation (IMPES) Ordenamientos D4

Solucin secuencial Diseccin anidada

Solucin simultnea Convergencia

Mtodos iterativos Mtodos de relajamiento

Convergencia Sobre relajamiento sucesivo (SOR)

Sobre relajamiento sucesivo en lnea (LSOR)

Sobre relajamiento sucesivo en lnea corregido (LSORC)

ADI

Procedimiento fuertemente implcito (SIP) (Strongly Implicit Procedure)

Gradiente conjugada

Factorizacin anidada

Una vez tomadas las decisiones de formulacin, quedan decisiones igual importantes respecto a los mtodos de solucin de ecuaciones. Varios mtodos estn disponibles en un simulador y una eleccin apropiada minimiza los recursos de computacin necesarios para obtener una solucin. 3.9 Formulacin de las Ecuaciones

Los objetivos son: 1) desarrollar las ecuaciones tpicas de balance-de-materia que pueden usarse en un simulador, 2) ilustrar opciones de formulacin y 3) explicar los conceptos de funciones explcitas e implcitas 3.9.1 Ecuaciones de Balance de Materia

Consideremos el pequeo modelo de flujo de agua, Fig. 3.4. Por simplicidad, se

asume que el sistema es incompresible y que los caudales de inyeccin/ produccin son

especificados. Por tanto el caudal de flujo total, tq , hacia y desde el bloque-malla es el

mismo para todos los bloques. (Condiciones de lmite de caudal-especificado son impuestos en los bloques-malla conteniendo pozos). Los componentes de un balance de materia simple de petrleo en uno de los bloques interiores (bloque 2) pueden desarrollarse como sigue.

tq tq

1 2 3 4 Fig. 3.4 - Modelo de flujo de agua de cuatro bloques-malla

La proporcin de flujo de petrleo hacia el bloque se representa por:

21 otin fqq 3.3


La proporcin de flujo de petrleo desde el bloque se muestra por:

32 otout fqq 3.4

La proporcin con la cual el petrleo se acumula en el bloque es:

)(32213221

ootototoutin ffqfqfqqq 3.5

La proporcin con la cual la saturacin de petrleo en el bloque-malla cambia es:

)(3221

22

oo

p

t

p

outin ffV

q

V

qq 3.6

Donde: qt = Proporcin de flujo total de todos los fluidos,

3221

, oo

ff = Flujo fraccional de petrleo en las interfaces de bloque 1,2 y 2,3 respectivamente

Vp2 = VP del bloque-malla 2. Los trminos de flujo-fraccional son funcin de la saturacin y necesitan ser definidos

antes de que la ecuacin pueda resolverse. La definicin de la funcin involucra varias decisiones de formulacin. La primera decisin concierne a las saturaciones a usarse al evaluar los trminos de flujo-fraccional en las interfaces de bloques 1,2 y 2,3. Una decisin apropiada es usar ponderacin de movilidad aguas arriba. Esta decisin define los

trminos21o

f y32o

f como los flujos fraccionales de petrleo fo1 y fo2, evaluados a la

saturacin de los bloques 1 y 2, respectivamente. Ahora el balance de materia total llega a ser:

)(

21

2

22

1

oo

p

tn

o

n

o ffV

qtSS 3.7

o, por razones convenientes, podemos reordenar la ecuacin a

)(21

2

22

1

oo

p

t

n

o

n

off

V

q

t

SS

3.8

Donde: t = Longitud del intervalo de tiempo 1

2

n

oS = Saturacin de petrleo en el bloque-malla 2 al final del intervalo de tiempo n+1

n

oS 2 = Saturacin de petrleo en el bloque-malla 2 al comienzo del intervalo de tiempo.

Los superndices en las saturaciones designan el nivel de tiempo al cual se evala la funcin. En esta terminologa, n es el ltimo intervalo de tiempo ya tomado y n+1 es el intervalo de tiempo en consideracin. Obviamente, el final de n es el comienzo de n+1. Otra decisin de formulacin que debe tomarse antes de calcular los valores para los flujos fraccionales es cundo evaluar fo1 y fo2. La decisin ms simple es evaluar flujo-fraccional al inicio del intervalo de tiempo. Esta sera una formulacin explcita. En este

caso, 12

n

oS sera la nica desconocida en la ecuacin y el cambio de saturacin durante el

intervalo de tiempo sera calculado como

)(

21

2

22

1 n

o

n

o

p

tn

o

n

o ffV

qtSS 3.9

Una funcin explcita puede expresarse directamente en trminos de otras cantidades conocidas. La decisin de formulacin que gua a la representacin explcita en la ecuacin 3.9 fue la decisin de evaluar flujos fraccionales a saturaciones que existan al comienzo del intervalo de tiempo.

La decisin pudo ser evaluar flujo-fraccional a saturaciones 1noS que habr al final del

intervalo de tiempo. La ecuacin de balance de materia sera:


)( 111

21

2

22

n

o

n

o

p

tn

o

n

o ffV

qtSS 3.10

La ecuacin 3.10 es una formulacin implcita (fully implicit). En tal caso, debido a

que 1nof es funcin de1n

oS , conocida al comienzo del intervalo de tiempo, debe tomarse

otra decisin: el procedimiento para estimar 1nof . Un enfoque es estimar por extrapolacin,

usando el conocimiento del aspecto de la funcin de flujo-fraccional. An cuando la curva de flujo-fraccional es no lineal, un mtodo comn es usar una extrapolacin lineal:

)( 11 non

o

o

n

on

o

n

o SSdS

dfff

Ahora es posible escribir la ecuacin de balance-de-materia como:

)()()(

22

2

2

11

1

1

21

2

22

111 n

o

n

o

o

n

on

o

n

o

o

n

on

o

n

o

p

tn

o

n

o SSdS

dfSS

dS

dfff

V

qtSS 3.11

Debido a que esta ecuacin tiene dos incgnitas 11

n

oS y1

2

n

oS , ninguna puede calcularse

directamente de cantidades conocidas. Si una ecuacin de balance-de-materia similar se escribe para cada uno de los 4 bloques-malla en el modelo, el sistema resultante de cuatro ecuaciones contendr las cuatro saturaciones desconocidas, que pueden evaluarse resolviendo simultneamente las mismas. La ecuacin 3.11 es un tipo de formulacin implcita, pero debido a que involucra una aproximacin en la evaluacin de fo, la formulacin no es fully implicit y se llama semi-implcita. Llegar a la formulacin semi-implcita en la ecuacin 3.11 fue por la decisin de aproximar el flujo-fraccional por

extrapolacin de las saturaciones 1noS al final del intervalo de tiempo.

La ecuacin 3.11 es ms conveniente usar si es reordenada:

)()(1)(21

2

22

2

2

2

11

1

1

2

11 n

o

n

o

p

tn

o

n

o

o

n

o

p

tn

o

n

o

o

n

o

p

t ffV

tqSS

dS

df

V

tqSS

dS

df

V

tq

3.12

Se necesita una ecuacin como la 3.12 para cada bloque-malla del modelo. La estructura del sistema de ecuaciones resultante ser ms visible si se usa una notacin corta para la ecuacin 3.12. Como smbolos cortos consideremos:

1

1

i

i

i o

n

o

p

t

idS

df

V

tqa

1

i

i

i o

n

o

p

t

idS

df

V

tqb )(

1

n

o

n

o

p

t

i ii

i

ffV

tqd

y

n

o

n

oo iiiSSS 1

El subndice i se refiere al nmero de bloque-malla, como en las ecuaciones 3.3 a 3.12. La ecuacin 3.12 ahora se convierte en

222 21dSbSa oo 3.13

2a , 2b y 2d son combinaciones de cantidades conocidas; 1oS y 2oS son incgnitas.

La ecuacin 3.13 es la ecuacin de balance de materia para el bloque-malla 2. Ecuaciones similares para los otros tres bloques en el sistema completan el sistema de ecuaciones de balance de materia para el modelo de empuje hidrulico de cuatro bloques.

01 oSa +

11 oSb = 1d

12 o

Sa + 22 o

Sb = 2d

23 o

Sa + 33 o

Sb = 3d

34 o

Sa + 44 o

Sb = 4d 3.14


El trmino01 o

Sa es el influjo de petrleo al bloque-malla 1 a travs del lmite exterior

del modelo. En este problema, el bloque 1 contiene un pozo de inyeccin de agua, inyectando agua solo a un caudal especificado q1 y no hay flujo de petrleo al bloque 1.

Por tanto, 01 o

Sa = 0. Igualmente, en el bloque 4, hay un pozo productor cuyo caudal de

petrleo es equivalente al flujo de petrleo hacia fuera del bloque. 3.9.2 Ecuaciones de Presin.

La ecuacin 3.13 y el sistema de ecuaciones 3.14 son ecuaciones de saturacin que

describen el modelo de intrusin de agua de cuatro bloques-malla. No se necesitan ecuaciones que involucren la presin para este modelo porque el sistema se defini como incompresible con caudal de flujo total arbitrariamente especificado (el caudal de inyeccin de agua). Al modelar sistemas reales debe resolverse un juego de ecuaciones conteniendo presin y saturacin. Para un modelo bidimensional 2D, las ecuaciones de presin toman la siguiente forma:

)( 1,,1, jijiji ppB + )( ,1,,1 jijiji ppD - )( ,,1,1 jijiji ppF - )( ,1,1, jijiji ppH = jiq ,

Donde p es la presin en el bloque-malla identificado por los dos subndices i y j, y B, D, F y H contienen todos los trminos (movilidad, rea de corte transversal, distancia, funciones de presin, etc.) que, cuando se multiplica por el gradiente de presin, determina el caudal de flujo. El trmino fuente qi,j representa los pozos de inyeccin y produccin si estn presentes en el bloque i,j en formulacin de 5 puntos (Las ecuaciones de flujo llamadas formulacin de 9 puntos pueden interpretarse como teniendo trminos de flujo diagonal). Reuniendo los coeficientes de pi,j da:

- jiji pD ,1,1 - 1,1, jiji pB + jijijijiji pHFDB ,1,,1,11, )( - 1,1, jiji pH - jiji pF ,1,1 = jiq ,

Hagamos que jiE , = )( 1,,1,11, jijijiji HFDB . Entonces:

- jiji pD ,1,1 - 1,1, jiji pB + jiji pE ,, - 1,1, jiji pH - jiji pF ,1,1 = jiq , 3.15

Se establece una nomenclatura estndar definida grficamente en la Fig. 3.5. Los coeficientes A, C, G e I son cero porque no puede haber flujo diagonal entre bloques. Estos coeficientes no aparecen en la ecuacin 3.15. 3.10 Funciones Implcitas.

El trmino fully implcit tiene cierta ambigedad. Se usa para indicar que todas las

funciones de presin y saturacin se evalan a un nivel de tiempo avanzado. Algunas veces se usa para identificar un esquema iterativo que puede aplicarse para aproximar

G H I

i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1

D E F

i-1,j i,j i+1,j

A B C

i-1,j-1 i,j-1 i+1,j-1

Fig. 3.5 Nomenclatura para coeficientes de presin


una solucin dentro de una tolerancia prescrita. Aunque inexacto en su uso, el trmino no es inapropiado, porque la mayora de las funciones de presin y saturacin son no lineales y pueden evaluarse a varios grados de exactitud. Si solo se requiere una aproximacin de primer orden, el procedimiento puede llamarse semi-implcito.

En general, cuanto ms implcita es la formulacin, ms estable ser la solucin. (Una solucin es estable si los errores de computacin no se propagan y crecen en etapas posteriores de la computacin. Un esquema de computacin es inestable si los errores se propagan y crecen sin control). Esto no necesariamente significa que los simuladores sean formulados con evaluaciones implcitas de todas las variables dependientes y todas las funciones de esas variables. Para algunos problemas, formulaciones implcitas pueden conducir a tanta dispersin numrica que las soluciones son demasiado inexactas para aceptarlas. Es tambin cierto que las ecuaciones generadas de formulaciones implcitas son ms costosas de resolver que aquellas generadas por otras formulaciones. Considerando todos estos factores, muchos simuladores se desarrollaron con opciones en la formulacin. El usuario puede entonces seleccionar la formulacin ms adecuada a la aplicacin particular.

Los lineamientos generales son que: 1) las presiones son siempre evaluadas implcitamente, 2) las funciones de presin y saturacin pueden o no ser evaluadas implcitamente, dependiendo del tipo de problema. 3.11 Tcnicas de Manipulacin de Ecuaciones

Otra formulacin hecha por los desarrolladores de simuladores de reservorios

conciernen a la manipulacin de las ecuaciones cuando estas se resuelven. Las dos tcnicas ms usuales son referidas como simultnea o secuencial. En el enfoque simultneo para resolver un problema trifsico, las tres variables dependientes para cada bloque-malla se incluyen en el mismo juego de ecuaciones. En el enfoque secuencial, las ecuaciones son manipuladas para separar la solucin de la ecuacin de presin de aquella de la ecuacin de saturacin. Estas manipulaciones eliminan las saturaciones de modo que el primer paso consiste en una solucin para una incgnita (presin de una fase) por bloque-malla. El segundo paso resuelve dos incgnitas (saturaciones de dos fases) por bloque-malla.

El enfoque secuencial ms usado se llama presin implcita-saturacin explcita IMPES (IMplicit Pressure-Explixit Saturation). En este procedimiento las saturaciones se eliminan por adicin de las ecuaciones de balance de materia de fases individuales y asumiendo que la presin capilar no cambia durante un intervalo de tiempo. La ecuacin resultante tiene solo una incgnita, presin de fase, que se obtiene por solucin simultnea de un juego de ecuaciones. Luego se determinan las saturaciones explcitamente por solucin de las ecuaciones de balance de materia. Dependiendo del uso en aplicaciones para las que es adecuado, IMPES no tiene limitaciones de estabilidad resultantes de tratamientos explcitos de movilidad y presin capilar.

Una ventaja del enfoque secuencial frente al simultneo es el menor costo. Otra ventaja es la flexibilidad, no se necesita usar en todos los pasos la misma tcnica de solucin, puede elegirse la tcnica ms adecuada para cada paso. Varios mtodos han tomado ventaja del ahorro asociado al enfoque secuencial. 3.12 Dispersin Numrica.

Discusiones anteriores demuestran que las formulaciones prcticas de las ecuaciones para simulacin de reservorios introducen errores. Uno de tales errores es la


dispersin numrica. Una descripcin menos grfica y ms cuantitativa de la dispersin numrica puede desarrollarse comparando la forma real de las ecuaciones usadas en simulacin con las ecuaciones diferenciales precedentes. La siguiente discusin compara la diferencial y diferentes formas de la ecuacin simplificada de balance de materia (Ec 3.9). La ecuacin 3.9 generalizada para cualquier bloque-malla i, es:

)(1

1 n

o

n

o

p

tn

o

n

o ii

i

iiff

V

qtSS

El trmino volumen en esta ecuacin,ip

V , puede tambin expresarse como producto

de la porosidad, , longitud del bloque en la direccin de flujo, x, y rea frontal disponible

para el flujo. Igualmente, el caudal de flujo, tq , puede escribirse como velocidad, tv , veces

el rea transversal abierto al flujo. Haciendo estas sustituciones y reordenando trminos llegamos a la siguiente ecuacin:

x

ffv

t

SS non

o

t

n

o

n

o iiii

1

1

3.16

En la ecuacin 3.16, la porosidad se incluye en el trmino velocidad, tv , por

simplificacin. Una vez simplificada, esta ecuacin puede expresarse como:

x

fv

t

St

3.17

Los subndices de S y f se omiten porque la ecuacin aplica a cualquier fase. Como f es solo dependiente de la saturacin, es ms apropiado expresar la ecuacin como:

x

S

dS

dfv

t

St

3.18

Para valores pequeos de t y x, esta llega a ser la ecuacin diferencial:

x

S

dS

dfv

t

St

3.19

La ecuacin 3.19 es una descripcin exacta de la fsica del proceso de desplazamiento, pero la ecuacin 3.18 es la ecuacin realmente resuelta en un simulador que usa esta formulacin. Y la ecuacin 3.18 no es igual que la ecuacin 3.19 excepto en el lmite de los valores infinitesimales de t y x.

Si S es funcin plana de t, el trmino diferencial S/t, puede expresarse como una serie de Taylor:

23

3

2

21

6121 tt

St

t

S

t

S

t

SS

t

S nn...

En forma similar, si S es funcin plana de x, y la ponderacin es aguas arriba, la saturacin en el bloque aguas arriba se usa en la ecuacin diferencial.

23

3

2

2

1 6121 xx

Sx

x

S

x

S

x

SS

x

S ii ...

Al resolver S/t y S/x en vez de S/t y S/x, introducimos errores de la forma:

2

3

3

2

2

6121 tt

St

t

S

...

y

- 23

3

2

2

6121 xx

Sx

x

S

...

El primer trmino de la serie usualmente es el nico de valor, por tanto esencialmente


tt

S

t

S

t

S

2

2

21 y xx

S

x

S

x

S

2

2

21

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin 3.18 da

x

x

S

x

S

dS

dfvt

t

S

t

St 2

2

2

2

2121 .

Reordenando la ecuacin de modo que pueda compararse directamente con la ecuacin 3.19 da:

tt

Sx

x

S

dS

dfv

x

S

dS

dfv

t

Stt

2

2

2

2

2121 3.20

La ecuacin 3.20 contiene dos trminos que no estn en la ecuacin 3.19.

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Diseño Del Modelo y Selección Del Método Numérico