DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS

DISEÑO DE EJES

M.C. PEDRO LÓPEZ CRUZ

EJES

• DEFINICIÓN• Un eje es un elemento rotatorio generalmente

de sección transversal circular cuya función estransmitir movimiento y potencia.

• Contituye elemento de rotación dedispositivos como engranes, poleas, volantes,manivelas, ruedas, catarinas y otros elementos

PARÁMETROS A CONSIDERAR EN EL DISEÑO DE EJES

• DEFORMACIÓN Y RIGIDEZ– Deformación por flexión– Deformación por torsión– Inclinación en cojinetes y elementos soportados por los

ejes– Deformación por cortante

• ESFUERZO Y RESISTENCIA– Resistencia estática– Resistencia a la fatiga– Confiabilidad

CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA

• Barra cilindrica escalonada

• Los escalones u hombros son utilizados para localizaraxialmente algunos elementos

• Generalmente son maquinados, para poder colocar conpresición los elementos mecánicos

CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA

• Muchos casos en el diseño de ejes implican el problema detransmitir momento de torsión de un elemento a otro en eleje.

• Elementos mutilizados para transmisión de momentorotacional (ver figura):– Cuñas

– Conectores ranurados

– Tornillos de fijación (opresores)

– Pasadores

MATERIALES PARA EJES

• Tipicamentes son maquinados o estirados en frio apartir de placas de acero al carbón rolada encaliente

• Para aplicaciones de alta resistencia, se utilizanaceros especiales

• Algunas aplicaciones donde se requiera de buenaresistencia a la corrosión pueden utilizas bronces,titanio u otros elementos

• El aluminio no es comunmente utilizado por subaja resistencia mecánica y baja dureza superficial

DISEÑO POR DEFORMACIÓN Y POR RESISTENCIA

• El análisis de deformaciones y pendientes, no puederealizarse hasta que hayan sido definidas lascaracterísticas geométricas de todo el eje

• LA DEFORMACIÓN ES FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA DE TODAS LAS PARTES

• EL ESFUERZO EN UNA SECCIÓN DE INTERÉS ES FUNCIÓN DE CONDICIONES GEOMÉTRICAS Y CARGAS LOCALES

• ***EN NUESTRO CASO, NOS INTERESA SOLAMENTE EL ANÁLISIS DE ESFUERZOS***

CARGAS• Para determinar los esfuerzos en un punto especifico del eje,

solo es necesario conocer las cargas aplicadas en ese punto• Para esto utilizaremos los diagramas de momento flexionante y

torque aplicado. (Figura)

ESFUERZOS

• Entonces los esfuerzos aplicadosEN LA SUPERFICIEdel eje de diámetro“d” estan determinados por:

• AXIAL (F):

• FLEXIÓN (M):

• CORTANTE (T):

2

32d

M

I

Mc

πσ ==

2

4d

F

A

P

πσ ==

3

16d

T

J

Tc

πσ ==

CARGA ESTÁTICA

• Utilizando el circulo de mhor, se puede calcular:

[ ] 21

223 )8()8(

2TFdM

dmáx ++=π

τ

[ ] 21

223 )48()8(

4´ TFdM

d++=

πσ

• ¿CUÁL SERÍA EL FACTOR DE SEGURIDAD DE ACUERDO ALA TEORÍA DEL CORTANTE MÁXIMO Y ENERGÍA DEDISTORSIÓN?

CARGA ESTÁTICA (FLEXIÓN + TORSIÓN)

• Típicamente la carga axial en un eje es pequeñacomparada con el momento flexionante M y el torqueaplicado T, y generalmente es despreciada.

[ ] 21

223

16TM

dmáx +=π

τ

[ ] 21

223 )3()4(

16´ TM

d+=

πσ

CARGA ESTÁTICA (FLEXIÓN + TORSIÓN)

• Generalmente, cuando se diseña una eje, se desea saber eldiámetro adecuado para un factor de seguridaddeterminado, o viceversa, para un diámetro seleccionado,conocer su factor de seguridad.

• Evaluando las ecuaciones anteriores para el diámetro yfactor de seguridad tenemos:

31

2122 )(32

+= TM

S

nd

yπ

TEORÍA DEL ESFUERZO

CORTANTE MÁXIMO

2122

3 )(321

TMSdn y

+=π

TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN

31

2122 )34(16

+= TM

S

nd

yπ

2122

3 )34(161

TMSdn y

+=π

CARGA ESTÁTICA (FLEXIÓN + TORSIÓN)

31

2122 )(32

+= TM

S

nd

yπ

TEORÍA DEL ESFUERZO

CORTANTE MÁXIMO

2122

3 )(321

TMSdn y

+=π

TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN

31

2122 )34(16

+= TM

S

nd

yπ

2122

3 )34(161

TMSdn y

+=π

EJEMPLO 1 EJES

• 2.- Un eje está cargado por un par de torsión de 40,000 lb-in. El material tiene una resistencia de cedencia de 50,000 psi. Si se requiere que el diseño tenga un factor de seguridad de 2, calcule el diámetro requerido del eje de acuerdo a:

• Teoría del cortante máximo

• Teoría de la energía de distorsión

EJEMPLO 2 EJES

• 3.- El eje que se muestra, esta empotrado a la pared y esta hecho de aluminio 6061-T6, con Sy=40,000 psi y Su=45,000 psi.

• La carga F aplicada es de 350 lb. ¿Cuál es el factor de seguridad?

CARGA VARIABLE

• Cualquier eje rotatorio cargado por momentos deflexión y torsión varibles, producirá un estado deesfuerzos con cargas variables

• Además, se debe considerar el efecto de los factores deconcentración de esfuerzos a la fatiga para las cargasflexionantes y de torsión

• ¿CÓMO RESOLVERIAMOS EL PROBLEMAPARA UN EJE CON ESTAS CONDICIONES DECARGA?

CARGA VARIABLE

• APLICANDO LOS CRITERIOS DE FALLA PARACARGAS FLUCTUANTES

• SODERBERG

• GOODMAN

• GERBER

• ECUACIÓNDE LA ASME

nSS y

m

e

a 1=+ σσ

nSS u

m

e

a 1=+ σσ

12

=

+

u

m

e

a

S

n

S

n σσ

1

22

=

+

y

m

e

a

S

n

S

n σσ

CARGA VARIABLE

• ¿ COMO INCLUIMOS EL EFECTODE LA COMBINACIÓN DE LASCARGAS?

SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO

• SODERBERG

d

n

31

21

2

2

2

232

++

+=

e

a

y

mfs

e

a

y

mf S

T

S

TK

S

M

S

MK

nd

π

21

2

2

2

23

321

++

+=

e

a

y

mfs

e

a

y

mf S

T

S

TK

S

M

S

MK

dn π

CORTANTE MÁXIMO

d

n

31

21

2

2

2

248

++

+=

e

a

y

mfs

e

a

y

mf S

T

S

TK

S

M

S

MK

nd

π

21

2

2

2

23

481

++

+=

e

a

y

mfs

e

a

y

mf S

T

S

TK

S

M

S

MK

dn π

ENERGÍA DE DISTORSIÓN

d

n

31

21

2232

+

=

y

mfs

e

af S

TK

S

MK

nd

π

21

22

3

321

+

=

y

mfs

e

af S

TK

S

MK

dn π

CORTANTE MÁXIMO

d

n

ENERGÍA DE DISTORSIÓN

MOMENTO COMPLETAMENTE ALTERNANTE Y PAR CONSTANTE (Mm=Ta=0)

31

21

2248

+

=

y

mfs

e

af S

TK

S

MK

nd

π

21

22

3

481

+

=

y

mfs

e

af S

TK

S

MK

dn π

SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO

31

21

2

2

2

232

++

+=

e

a

y

mfs

e

a

y

mf S

T

S

TK

S

M

S

MK

nd

π

21

2

2

2

23

321

++

+=

e

a

y

mfs

e

a

y

mf S

T

S

TK

S

M

S

MK

dn π

CORTANTE MÁXIMO

SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO

• GOODMAN (ENERGIA DE DISTORSION)

d

n

MOMENTO COMPLETAMENTE ALTERNANTE Y PAR CONSTANTE (Mm=Ta=0)

d

n

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 31

21

2221

22 341

34116

+++= mfsmfu

afsafe

TKMKS

TKMKS

nd

π

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

+++= 21

2221

22

3 341

341161

mfsmfu

afsafe

TKMKS

TKMKSdn π

31

3216

+=

u

mfs

e

af

S

TK

S

MKnd

π

+=

u

mfs

e

af

S

TK

S

MK

dn32

1613π

SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO

• GERBER (ENERGIA DE DISTORSION)

d

n

MOMENTO COMPLETAMENTE ALTERNANTE Y PAR CONSTANTE (Mm=Ta=0)

d

n

31

21

22

118

++=

u

e

e AS

BS

S

nAd

π

++=

21

2

3

211

81

u

e

e AS

BS

Sd

A

n π

22 )(3)(4 afsaf TKMKA +=

22 )(3)(4 mfsmf TKMKB +=

31

21

2

31116

++=

uaf

emfs

e

af

SMK

STK

S

MnKd

π

++=

21

2

3 311161

uaf

emfs

e

af

SMK

STK

Sd

MK

n π

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

1. Realizar el diagrama de cuerpo libre, reemplazandolos elementos de máquina montados en el eje porsus cargas estáticas equivalentes y torques

2. Dibujar los diagramas de momentos flexionanes enlos planos x-y , x-z. El momento resultante encualquier sección del eje esta determinado por:

3. Dibujar el diagrama de torque

22yzxyx MMM += **En caso de que se produzcan

momentos de flexión en 2 planos**

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

4. Identificar el punto crítico donde el momento ytorque sean máximos, ó

5. Seleccionar el (los) punto(s) a analizar

6. Calcular: Mm, Ma, Tm, Ta, Kf, Kfs, y Se (corregido)

7. Aplicar las ecuaciones de diseño para diámetro yfactor de seguridad, según se requiera

Concentradores de esfuerzos

• Cuñeros r/d=0.02

r- Radio del filete cuñero

d- Diámetro del eje

Con la cuña colocada

Kt = 2.2

Kts = 3

Sin la cuña colocada

Kt = 2.14

Kts = 2.62

• Anillos de retención

Concentradores de esfuerzos

• Factores de concentración de esfuerzos estimados.

• Se pueden utilizar como primera aproximación, cuando las dimensiones son desconocidas

Concentradores de esfuerzos

Ejercicio 2 (Tareas)

• La figura muestra una porción de eje de acero AISI 1040, forjado y tratado térmicamente, que tiene superficies maquinadas con dimensiones D= 1.875 in y d = 1.5 in. El proceso de tratamiento con calor da por resultado resistencia mínimas a la tensión de Su= 100 Kpsi y Sy= 70 Kpsi. La sección del eje en el hombro se somete a un momento flexionante con inversión completa de 1000 lb-in y a una torsión constante de 500 lb-in. Determine el factor de seguridad para duración infinita con base a la relación de Goodman y teoría de energía de distorsión

EJEMPLO 3. EJES

3.- La figura muestra un eje no rotatorio con una carga P que varía de 4,500 a 13,500 N. La prueba del material da: q = 1; Su=500 MPa, Sy=290 MPa y Se=130 MPa (corregido). Se desea diseñar el eje para un factor de seguridad de 2. Encuentre el valor de permisible para D, si las condiciones del esfuerzo en los filetes deben ser satisfactorias para una operación continua

EJEMPLO 4. EJES

4.- Un eje de acero AISI 1040 (Su= 750 MPa, Sy= 552 MPa) tiene la configuración geométrica que se muestra en la figura. El eje gira y soporta una carga transversal de 7KN y un momento de torsión de 110 N-m. El cuñero tiene un Kf de 2.14 y Kfs de 2.62. Revise el factor de seguridad para:

– La parte que tiene el cuñero

– Las secciones de 40 mm

– Las secciones de 35 mm

UTILICE EL CRITERIO DE GODMAN T.E.D.

**Todos los radios de las muescas son de 2 mm