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DISEÑO DE UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA EN CONTRIBUCIÓN AL APRENDIZAJE
DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS MEDIADO POR LA TECNOLOGIA
PARA FAVORECER SU APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO CRITICO
ESTEBAN FERIA TORRES
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín – Colombia
2019
DISEÑO DE UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA EN CONTRIBUCIÓN AL APRENDIZAJE
DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS MEDIADO POR LA TECNOLOGIA
PARA FAVORECER SU APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO CRITICO
ESTEBAN FERIA TORRES
Trabajo final de maestría presentado como requisito para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
PhD Julia Victoria Escobar Londoño
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín – Colombia
2019
Dedicatoria…
Primeramente a Dios a quien debo todo cuanto soy, su mano
poderosa siempre me ha sostenido y en su infinita misericordia
me concede esta bendición.
A mis padres, quienes no ahorraron esfuerzo para hacer de mí
un hombre de buenos principios,
me inculcaron que la educación es un mecanismo que abre puertas.
A mi esposa e hijos de quienes recibí su comprensión y
apoyo incondicional cuando no dispuse de tiempo para compartirles.
Agradecimientos
Toda mi gratitud para aquellas personas que de una manera u otra hicieron posible este
trabajo brindándome su apoyo y alentándome a continuar adelante a pesar de las dificultades.
A la docente Julia Victoria Escobar Londoño, asesora de esta investigación, quien creyó en
este proyecto y me brindó su orientación profesional, su paciencia y motivación me incentivaron
a continuar en los momentos difíciles, sin ella no hubiera sido posible llegar a feliz término.
A los docentes de la maestría por su calidad humana y profesional, quienes en el transcurso
de cada clase me enseñaron diferentes estrategias para mejorar la práctica pedagógica y
contribuir con ello en la formación de ciudadanos generadores de cambio.
A los compañeros docentes de la Institución Educativa Maestro Pedro Nel Gómez, en
especial a Lina Lopera, Maribel Ruíz Botero y a Lina María Betancur Varela coordinadora de la
Institución quien siempre estuvo presta a colaborarme en todo cuanto le solicité.
Desde luego, a todos los estudiantes del grupo 10-2 de la Institución por su buena
disposición para participar de este trabajo, lo que hizo de la intervención una práctica cargada
de aprendizajes.
V
Resumen
El presente trabajo tiene como finalidad la implementación de una propuesta didáctica en
contribución al aprendizaje de las identidades trigonométricas en el ámbito del pensamiento
variacional y los sistemas algebraicos y analíticos con mediación de la tecnología a partir de
situaciones reales del contexto en estudiantes del grupo 10-2 de la Institución Educativa
Maestro Pedro Nel Gómez del municipio de Medellín. La enseñanza de las identidades
trigonométricas que contribuye al desarrollo del pensamiento lógico y del razonamiento se ha
venido convirtiendo en un proceso fallido que ha conducido a que algunos docentes desistan
de su enseñanza debido a la dificultad que esta representa desde la clase tradicional, en tal
virtud, se diseña e implementa una propuesta didáctica basada en la tecnología para contribuir
a la mejora de los procesos de aula para su enseñanza. Teniendo como base el paradigma
crítico social en el marco de la investigación acción se realiza un diagnóstico a partir de varias
actividades con el fin de identificar debilidades y fortalezas de los estudiantes en cuanto a los
saberes previos para el aprendizaje de las identidades trigonométricas. El análisis del
diagnóstico permite establecer elementos de juicio para el diseño y aplicación de una propuesta
didáctica teniendo como referente teórico a Moreira, a partir del cual se diseñan una serie de
actividades secuenciales para el aprendizaje significativo critico de las identidades
trigonométricas mediante la aplicación de estrategias que contribuyan a la formación de sujetos
reflexivos, críticos, creativos e innovadores que puedan influir de manera positiva en los
procesos de transformación social en las comunidades. La valoración final de los resultados
permitió evidenciar que los estudiantes se sintieron motivados a participar de las actividades,
catalogándolas en su propia opinión como positivas para el aprendizaje y señalando con
claridad que lograron aprehender aún conceptos ya vistos que les representó dificultad
mediante el modelo tradicional.
Palabras clave:
Aprendizaje significativo crítico, Identidad trigonométrica, tecnología, valoración
VI
Abstract
The purpose of this project is to implement a didactic proposal to contribute to the learning of
trigonometric identities in the field of variational thinking and algebraic and analytical systems
with mediation of technology based on real situations in the context of students of group 10- 2 of
the Educational Institution Maestro Pedro Nel Gómez of Medellin city. The teaching of
trigonometric identities that contributes to the development of logical thinking and reasoning has
become a failed process that has led some teachers to give up their teaching due to the
difficulty that this represents from the traditional class, in such case, a didactic proposal based
on technology is designed and implemented to contribute to the improvement of classroom
processes for teaching. Based on the critical social paradigm within the framework of action
research, a diagnosis is made based on several sequential activities to identify weaknesses and
strengths of the students in terms of prior knowledge for the learning of trigonometric identities.
The analysis of the diagnosis allows to establish judgment elements for the design and
application of a didactic proposal having Moreira as a theoretical reference, from which a series
of sequential activities are designed for critical meaningful learning of trigonometric identities
through the application of strategies that contribute to the formation of reflexive, critical, creative
and innovative subjects that can positively influence the processes of social transformation in
their communities. The final assessment of the results showed that the students felt motivated
to participate in the activities, cataloging them in their own opinion as positive for learning and
clearly indicating that they managed to grasp even concepts already seen that represented
difficulty through the traditional teaching model.
Keywords:
Critical meaningful learning, trigonometric identity, technology, assessment
VII
Tabla de contenido
Resumen ................................................................................................................................... v
Abstract ....................................................................................................................................vi
Lista de figuras ........................................................................................................................ x
Lista de tablas ........................................................................................................................ xiii
Introducción ............................................................................................................................. 1
1. DISEÑO TEÓRICO ................................................................................................................ 4
1.1. Selección y delimitación del tema ....................................................................................... 4
1.2. Planteamiento del problema ................................................................................................ 4
1.2.1. Antecedentes ................................................................................................................... 4
Antecedentes locales ................................................................................................................ 5
Antecedentes Nacionales .......................................................................................................... 6
Antecedentes internacionales .................................................................................................... 7
1.2.2. Descripción del problema ................................................................................................. 7
1.3. Formulación de la pregunta ................................................................................................. 9
1.4. Justificación .......................................................................................................................10
1.5. Objetivos ............................................................................................................................11
1.5.1. Objetivo general ..............................................................................................................11
1.5.2. Objetivos específicos ......................................................................................................11
2. MARCO REFERENCIAL ......................................................................................................12
2.1. Referente teórico................................................................................................................12
2.2. Referente conceptual .........................................................................................................16
2.3. Referente Legal .................................................................................................................19
2.4. Referente espacial .............................................................................................................20
3. DISEÑO METODOLÓGICO .................................................................................................21
3.1. Enfoque .............................................................................................................................21
3.2. Método ...............................................................................................................................22
3.3. Instrumentos de recolección de información ......................................................................23
3.4. Población y muestra ...........................................................................................................25
3.5. Impacto esperado ..............................................................................................................25
3.6. Programación de actividades .............................................................................................25
3.7. Cronograma de actividades ...............................................................................................27
VIII
4. Trabajo final y análisis de resultados ................................................................................28
4.1. Diagnóstico y análisis de resultados...................................................................................28
4.1.1. Dinámica Alcance la estrella: Identificación de saberes previos ......................................29
4.1.1.1. Análisis de los resultados con la aplicación del instrumento .........................................32
Conceptos básicos ....................................................................................................................33
Congruencia y semejanza de triángulos....................................................................................34
Plano cartesiano .......................................................................................................................35
Medición de ángulos .................................................................................................................36
Proporcionalidad .......................................................................................................................37
Solución de problemas ..............................................................................................................38
4.1.2. Actividad en línea sobre el Teorema de Pitágoras ..........................................................39
4.1.2.1. Análisis de los resultados obtenidos con el instrumento ...............................................41
Uso de conceptos geométricos en la construcción del applet ...................................................43
Uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno ....................................................44
Uso de tecnologías para buscar y validar información ..............................................................46
4.1.3. Prueba escrita .................................................................................................................48
4.1.3.1. Análisis de los resultados obtenidos con la aplicación del instrumento .........................51
Localización de objetos en el plano cartesiano .........................................................................53
Congruencia y semejanza de triángulos....................................................................................54
Propiedades del triángulo rectángulo ........................................................................................55
Resolución de problemas ..........................................................................................................57
4.1.4. Consolidado de los resultados de saberes previos ..........................................................58
4.2. Propuesta...........................................................................................................................63
4.2.1. Actividad 1: Congruencia y semejanza de triángulos.......................................................65
4.2.2. Actividad 2: Medición de alturas utilizando un teodolito casero .......................................70
4.2.3. Actividad 3: Análisis de las transformaciones en las funciones trigonométricas ..............75
4.2.4. Actividad 4: Construcción de identidades trigonométricas a partir de la circunferencia
unitaria ......................................................................................................................................83
4.2.5. Plataforma Moodle ..........................................................................................................89
4.3. Actividad final o de cierre ...................................................................................................92
4.3.1. Análisis por componentes de los resultados de la prueba escrita final ............................95
Localización de objetos en el plano cartesiano .........................................................................95
Congruencia y semejanza de triángulos....................................................................................96
Propiedades del triángulo rectángulo ........................................................................................97
IX
Resolución de problemas .........................................................................................................98
4.3.2. Comparativo general y por componentes entre los resultados iniciales y finales de la
prueba ......................................................................................................................................99
Comparativo de la ubicación de objetos en el plano cartesiano .............................................. 100
Comparativo congruencia y semejanza de triángulos ............................................................. 101
Comparativo propiedades del triángulo rectángulo ................................................................. 102
Comparativo resolución de problemas .................................................................................... 103
5. Conclusiones y recomendaciones .................................................................................. 105
5.1. Conclusiones ................................................................................................................... 105
5.2. Recomendaciones ........................................................................................................... 108
A. Anexo: Carta aval de la Institución ................................................................................. 110
B. Anexo: Modelo para consentimiento informado ............................................................ 111
C. Anexo: Ubicación geográfica IE. Maestro Pedro Nel Gómez ........................................ 112
D. Anexo. Actividad de diagnóstico: Dinámica alcance la estrella................................... 113
E. Anexo. Actividad de diagnóstico: Construcción de un applet para analizar el teorema
de Pitágoras .......................................................................................................................... 117
F. Anexo: Protocolo de construcción del applet de Geogebra para analizar el Teorema de
Pitágoras ............................................................................................................................... 118
G. Anexo. Actividad diagnóstica: Prueba escrita ............................................................... 120
H. Anexo. Actividad de intervención: Congruencia y semejanza de triángulos ............... 122
I. Anexo. Actividad de intervención: Medición de alturas con un teodolito casero ......... 123
J. Anexo. Construcción de un applet para analizar la transformación de las funciones
trigonométricas ..................................................................................................................... 124
K. Protocolo para la construcción del applet de Geogebra utilizado para el análisis de la
transformación de funciones trigonométricas ................................................................... 125
L. Anexo. Construcción de identidades trigonométricas a partir de la circunferencia
goniométrica utilizando Geogebra ...................................................................................... 126
Bibliografía .............................................................................................................................. 127
X
Lista de figuras
Figura 2 – 1: Esquema de la propuesta…………………………………………………….........16
Figura 4 – 1: Actividad alcance la estrella……………………………………………………......30
Figura 4 – 2: Evidencias de la actividad………………………………………………………......30
Figura 4 – 3: Conceptos básicos………………………………………………………………......34
Figura 4 – 4: Congruencia y semejanza de triángulos…………………………………………...35
Figura 4 – 5: Plano cartesiano……………………………………………………………………...36
Figura 4 – 6: Medición de ángulos…………………………………………………………………37
Figura 4 – 7: Proporcionalidad……………………………………………………………………..38
Figura 4 – 8: Solución de problemas………………………………………………………….......39
Figura 4 – 9: Desarrollo de la actividad para identificar el nivel competencias digitales…….40
Figura 4 – 10: Uso de conceptos geométricos en la construcción del applet…………………43
Figura 4 – 11: Uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno………………….45
Figura 4 – 12: Uso de tecnologías para buscar y validar información………………………….46
Figura 4 – 13: Apreciación de la estudiante E06EOE …………………………………………..47
Figura 4 – 14: Apreciación del estudiante E05CPS……………………………………………...47
Figura 4 – 15: Prueba escrita……………………………………………………………………….49
Figura 4 – 16: Resultado general de la prueba escrita…………………………………………..52
Figura 4 – 17: Localización de objetos en el plano cartesiano………………………………….53
Figura 4 – 18: Congruencia y semejanza de triángulos………………………………………….55
Figura 4 – 19: Propiedades del triángulo rectángulo……………………………………………..56
Figura 4 – 20: Resolución de problemas………………………………………………………….57
Figura 4 – 21: Consolidado definitivo de saberes previos……………………………………….61
Figura 4 – 22: Diagonal caso uno…………………………………………………………………..65
Figura 4 – 23: Diagonal caso dos…………………………………………………………………..65
Figura 4 – 24: Congruencia entre triángulos según la estudiante E04CCMJ…………………66
Figura 4 – 25: Ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios (E01AGMA)…..67
Figura 4 – 26: Ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios (E01AGMA)…..67
Figura 4 – 27: Ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios (E05CPS)…….68
Figura 4 – 28: Razón de proporcionalidad entre triángulos semejantes.
Estudiante E18PPD…………………………………………………………………………………..68
Figura 4 – 29: Razón de proporcionalidad entre triángulos semejantes.
Estudiante E22VMJH…………………………………………………………………………………69
XI
Figura 4 – 30: Estudiantes realizando mediciones de ángulos y longitudes……………………69
Figura 4 – 31: Bloque frente al patio uno de la I.E. Maestro Pedro Nel Gómez……………….70
Figura 4 – 32: Teodolito casero……………………………………………………………………...71
Figura 4 – 33: Modelo situacional realizado por los estudiantes E03CZJJ, E04CCMJ y
E09GTE…………………………………………………………………………………………………72
Figura 4 – 34: Modelo situacional realizado por los estudiantes E08GTI, E18PPD y
E25VIMP……………………………………………………………………………………………….72
Figura 4 – 35: Percepción de aprendizaje de algunos estudiantes……………………………..73
Figura 4 – 36: Percepción de satisfacción de algunos estudiantes frente a la actividad…….73
Figura 4 – 37: Estudiantes realizando mediciones, registro y procesamiento de datos……..74
Figura 4 – 38: Construcción realizada por el estudiante E15MGA……………………………..76
Figura 4 – 39: Construcción realizada por el estudiante E12HQBM…………………………...76
Figura 4 – 40: Otras construcciones realizadas durante la actividad…………………………..77
Figura 4 – 41: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E13MGS………….78
Figura 4 – 42: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E03CZJJ………….78
Figura 4 – 43: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E01AGMA………..78
Figura 4 – 44: Incidencia del elemento b en la función según Estudiante E15MGA………….79
Figura 4 – 45: Incidencia del elemento b en la función según Estudiante E16OSS………….79
Figura 4 – 46: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E14MPAM………..80
Figura 4 – 47: Percepciones de la estudiante E01AGMA………………………………………...81
Figura 4 – 48: Percepciones de la estudiante E04CCMJ…………………………………………81
Figura 4 – 49: Percepciones de la estudiante E02BAJF………………………………………….81
Figura 4 – 50: Estudiantes construyendo el applet y desarrollando la actividad……………….82
Figura 4 – 51: Applet utilizado para la construcción de identidades trigonométricas…………..83
Figura 4 – 52: Construcción del estudiante E03CZJJ……………………………………………...84
Figura 4 – 53: Construcción del estudiante E16OSS………………………………………………85
Figura 4 – 54: Procedimiento realizado por la estudiante E04CCMJ…………………………….86
Figura 4 – 55: Procedimiento realizado por el estudiante E09GTE………………………………86
Figura 4 – 56: Identidades Pitagóricas, procedimiento del estudiante E010GSJP…………….87
Figura 4 – 57: Actividad desarrollada por el estudiante E14MPAM……………………………...87
Figura 4 – 58: Apreciación del estudiante E02BAJF……………………………………………….88
Figura 4 – 59: Apreciación del estudiante E09GTE………………………………………………..88
Figura 4 – 60: Estudiantes durante la actividad de construcción de identidades
Trigonométricas………………………………………………………………………………………...89
XII
Figura 4 – 61: Estudiantes matriculados en la plataforma Moodle………………………………90
Figura 4 – 62: Actividad 3 depositada por algunos estudiantes………………………………….91
Figura 4 – 63: Estudiantes durante el desarrollo de la actividad final…………………………...92
Figura 4 – 64: Resultado general de la prueba escrita final………………………………………94
Figura 4 – 65: Localización de objetos en el plano cartesiano…………………………………...95
Figura 4 – 66: Congruencia y semejanza de triángulos…………………………………………..96
Figura 4 – 67: Propiedades del triángulo rectángulo………………………………………………97
Figura 4 – 68: Resolución de problemas……………………………………………………………98
Figura 4 – 69: Comparativo general entre los resultados iniciales y finales de la prueba…….99
Figura 4 – 70: Comparativo ubicación de objetos en el plano cartesiano……………………..100
Figura 4 – 71: Comparativo congruencia y semejanza de triángulos…………………………..102
Figura 4 – 72: Comparativo propiedades del triángulo rectángulo……………………………...103
Figura 4 – 73: Comparativo resolución de problemas…………………………………………….104
XIII
Lista de tablas
Tabla 2 – 1: Referente legal………………………………………………………………………19
Tabla 3 – 1: Programación de actividades………………………………………………………26
Tabla 3 – 2: Cronograma de actividades………………………………………………………..27
Tabla 4 – 1: Escala de valoración institucional………………………………………………...29
Tabla 4 – 2: Rúbrica para la identificación de saberes previos………………………………31
Tabla 4 – 3: Resultados de la identificación de saberes previos…………………………….32
Tabla 4 – 4: Resultados de conceptos básicos………………………………………………...33
Tabla 4 – 5: Resultados congruencia y semejanza de triángulos……………………………34
Tabla 4 – 6: Resultados plano cartesiano……………………………………………………....35
Tabla 4 – 7: Resultados de medición de ángulos……………………………………………....36
Tabla 4 – 8: Resultados de proporcionalidad…………………………………………………...37
Tabla 4 – 9: Resultados solución de problemas………………………………………………...38
Tabla 4 – 10: Rúbrica para el diagnóstico de competencias digitales………………………..41
Tabla 4 - 11: Resultados de la identificación de competencias digitales…………………….42
Tabla 4 – 12: Resultados del uso de conceptos geométricos en la construcción
del applet……………………………………………………………………………………………43
Tabla 4 – 13: Resultados uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno…..44
Tabla 4 – 14: Uso de tecnologías para buscar y validar información…………………………46
Tabla 4 – 15: Rúbrica para la identificación de competencias en el pensamiento
Matemático……………………………………………………………………………………………50
Tabla 4 – 16: Resultados de la prueba para identificar competencias del pensamiento
matemático……………………………………………………………………………………………51
Tabla 4 – 17: Resultados de la localización de objetos en el plano cartesiano……………...53
Tabla 4 – 18: Resultados congruencia y semejanza de triángulos……………………………54
Tabla 4 – 19: Resultados propiedades del triángulo rectángulo……………………………….55
Tabla 4 – 20: Resultado de la resolución de problemas………………………………………..57
Tabla 4 – 21: Resultados definitivos de saberes previos por estudiante……………………..58
Tabla 4 – 22: Consolidado definitivo de saberes previos……………………………………....61
Tabla 4 – 23: Actividades a implementar durante la intervención……………………………..64
Tabla 4 – 24: Resultados de la prueba para identificar competencias del pensamiento
matemático……………………………………………………………………………………………93
Tabla 4 – 25: Resultado general de la prueba escrita final……………………………………...94
XIV
Tabla 4 – 26: Resultado final sobre localización de objetos en el plano cartesiano…………95
Tabla 4 – 27: Resultados sobre la congruencia y semejanza de triángulos…………………..96
Tabla 4 – 28: Resultados sobre las propiedades del triángulo rectángulo…………………….97
Tabla 4 – 29: Resultados sobre la resolución de problemas……………………………………98
Tabla 4 – 30: Comparativo general entre los resultados iniciales y finales de la prueba……99
Tabla 4 – 31: Comparativo ubicación de objetos en el plano cartesiano…………………….100
Tabla 4 – 32: Comparativo congruencia y semejanza de triángulos………………………….101
Tabla 4 – 33: Comparativo propiedades del triángulo rectángulo……………………………..102
Tabla 4 – 34: Comparativo resolución de problemas…………………………………………...103
1
Introducción
El constante cuestionamiento sobre la praxis docente con el ánimo de mejorar los procesos
de aula en el caso particular del área de matemáticas que involucra gran parte de los saberes
que debe poseer un individuo para comprender el contexto y desenvolverse satisfactoriamente
en la solución de retos que representan los contextos. En este sentido se presenta este trabajo
de investigación que desarrolla una propuesta didáctica para la enseñanza de las identidades
trigonométricas.
Se tiene como finalidad implementar una propuesta didáctica teniendo como referente
teórico el Aprendizaje Significativo Crítico de Moreira para enriquecer la enseñanza de las
identidades trigonométricas en el ámbito del pensamiento variacional y los sistemas
algebraicos y analíticos con apoyo de la tecnología a partir de situaciones propias del contexto,
en estudiantes del grupo 10-2 de la Institución Educativa Maestro Pedro Nel Gómez de la
ciudad de Medellín – Antioquia.
Para este fin se establece como punto de partida la de identificación de los saberes previos
para el desarrollo de la intervención, el nivel de competencias digitales y una tercera actividad
para identificar el nivel de competencias en el pensamiento matemático, la segunda de estas
permitió establecer el gusto de los estudiantes por el aprendizaje basado en medios
tecnológicos, por lo que se pensó que este componente debía formar parte de la propuesta. A
partir de los hallazgos en la identificación de saberes previos se diseñaron un total de cinco
actividades con el fin de captar la atención y el interés de los estudiantes en la clase en procura
de mejorar el aprendizaje y por tanto, el rendimiento académico.
2
La propuesta didáctica basada en el Aprendizaje Significativo Critico buscó entender al
estudiante como centro del proceso educativo y al docente como mediador del proceso de
aprendizaje, suscitando la pregunta del estudiante que es la realmente importante pues surge
desde las necesidades y fortalezas de este y no de supuestos, igualmente, se buscó incentivar
la interacción social privilegiando el lenguaje como elemento fundamental del aprendizaje, se
entendió al estudiante como perceptor representador promoviendo la creación de modelos, la
creatividad y la innovación, en fin, se procuró hacer una clase distante del libro de texto, la
pizarra y el discurso del docente.
Se asumió la evaluación como un proceso permanente donde la coevaluación resultó
fundamental para identificar tanto aprendizajes como la percepción de los estudiantes por cada
una de las actividades con el propósito de estimar posibles cambios, en este sentido, buscando
escuchar la voz de los estudiantes se plantearon dos preguntas al final de cada actividad,
¿Cómo te pareció la actividad? y, ¿Qué aprendiste con la actividad?, como un reconocimiento
al estudiante como sujeto activo en la construcción de su aprendizaje.
Una fortaleza de este proceso fue que cada actividad enfatizó en la mejora de falencias
cognitivas que iban siendo identificadas como sucedió por ejemplo, con la medición y trazado
de ángulos utilizando el transportador, así mismo, las rúbricas para la evaluación permitieron
identificar falencias específicas sobre las cuales incentivar la intervención.
La estructura de este trabajo se encuentra soportada en cinco capítulos, el primero de ellos
corresponde al diseño teórico en el que se identifica el tema sobre el cual se realiza la
intervención, igualmente, la búsqueda de antecedentes, la formulación de la pregunta de
investigación y los objetivos que permitirían dar respuesta a esta.
El segundo capítulo desarrolla el marco referencial que comprende la adopción del
Aprendizaje significativo crítico de Moreira como referente teórico el cual se basa en once
principios facilitadores algunos de los cuales se constituyeron en soporte para el diseño e
implementación de las actividades en la clase.
3
El tercer capítulo contiene el diseño metodológico sobre el cual se orienta esta
investigación, en primera medida, se adopta el enfoque de la investigación acción el cual es de
corte cualitativo, su desarrollo consta de tres fases como son el diagnóstico, el plan de acción
en el cual se seleccionan estrategias para desarrollar la propuesta, se planifican las actividades
y se definen los medios para la recolección de información que servirá posteriormente para
evaluar el trabajo realizado.
En el cuarto capítulo se presenta el desarrollo de las actividades tanto de diagnóstico como
de intervención, el análisis de cada una de ellas así como la valoración de los resultados
obtenidos con la intervención.
Por último, el quinto capítulo recoge las conclusiones derivadas de la implementación de la
propuesta, igualmente las recomendaciones que pueden contribuir a la mejora de los
resultados en intervenciones futuras.
4
1. DISEÑO TEÓRICO
1.1. Selección y delimitación del tema
Para efectos del presente trabajo, se delimita el tema a la enseñanza de las identidades
trigonométricas en la educación media en el ámbito del pensamiento variacional y los sistemas
algebraicos y analíticos a partir de sus tópicos generativos: relación, razón y función
trigonométricas con mediación de la tecnología.
1.2. Planteamiento del problema
1.2.1. Antecedentes
Con el ánimo de obtener un diagnóstico del estado en que se encuentra el conocimiento
acerca de las temáticas inmersas en el desarrollo del presente trabajo, se presenta a
continuación una relación de antecedentes a nivel local, nacional e internacional. Es necesario
subrayar que la búsqueda muestra que existen pocas investigaciones que referencien modelos
de enseñanza de la trigonometría y en especial de las identidades trigonométricas donde la
tecnología sea mediadora en el proceso. Para dar mayor sustento al desarrollo de este trabajo,
se toman en cuenta las siguientes pautas para la selección de los antecedentes:
Afinidad con el tema de la enseñanza y aprendizaje de las identidades
trigonométricas mediado por la tecnología
5
Diversidad de contextos por lo cual se citan antecedentes a nivel local, nacional e
internacional
Actualidad y pertinencia con los temas aquí abordados
Nivel de investigación igual o superior al de maestría
No obstante, algunos trabajos aquí citados tienen más de 10 años, se toman en cuenta ya
que han sido relevantes en su momento y aun se siguen tomando como referentes para
investigaciones actuales. También, se seleccionaron algunas investigaciones de pregrado por
su afinidad con el tema aquí tratado y por su estructura concatenada. Los antecedentes
seleccionados son los siguientes:
Antecedentes locales
Una investigación desarrollada por Muñoz (2015), permitió identificar algunas dificultades
que se presentan en la enseñanza aprendizaje de las identidades trigonométricas, tales como
falta de manejo del lenguaje simbólico, debilidades en los saberes previos, clases tradicionales,
desmotivación, todos factores que contribuyen al bajo rendimiento académico. Su intervención
tuvo como objetivo principal el desarrollo de fortalezas lógicas y operativas en los estudiantes
de grado décimo de la I. E. San Roberto Belarmino ubicada en Medellín - Antioquia, a partir de
una reforma a la práctica docente tradicional teniendo como estrategia metodológica el diseño
de un proyecto de aula a partir de una serie de actividades secuenciales sustentadas en el
Aprendizaje Basado en Problemas o ABP y la incorporación de la tecnología en una de las
actividades que consiste en un juego de bloques lógicos, obteniendo resultados satisfactorios
evidenciados en la mejora del rendimiento académico.
Así mismo, Urrea (2015), en un trabajo de tesis de maestría desarrollado mediante el
estudio de caso realiza una intervención en estudiantes que presentan rendimiento bajo en las
pruebas de admisión a la Universidad Nacional sede Medellín, la cual consiste en la
implementación de un ambiente virtual de aprendizaje a través de la plataforma Moodle como
una estrategia didáctica para fortalecer el proceso de enseñanza aprendizaje de la
trigonometría, la cual se venía realizando de manera tradicional. El objetivo principal es el de
6
posibilitar el trabajo colaborativo y el aprendizaje colectivo mediante el diseño de actividades
como foros y wikis, obteniendo como resultado una mejora considerable en el desempeño de
los estudiantes.
También Díaz Et all (2015), describe el desarrollo de un trabajo de campo realizado en
estudiantes del grado 10-1 de la Institución Educativa El Bosque del municipio de Medellín, con
el ánimo de mejorar el aprendizaje de las funciones trigonométricas. El trabajo es de corte
cualitativo y tiene como como objetivo general la mejora del proceso de enseñanza y
aprendizaje de las funciones trigonométricas seno y coseno, a partir de la transformación de la
práctica docente tradicional mediante la incorporación de la didáctica representada en el diseño
de actividades a partir de programas computacionales como el Geogebra y Phet. Basado en los
resultados concluye la importancia de la incorporación de la tecnología al aula de clase como
facilitador de los procesos de modelación y comunicación en la solución de problemas.
Antecedentes nacionales
Una práctica de investigación cualitativa realizada por Valderrama (2013), consistente en
una propuesta didáctica para favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje de las funciones
trigonométricas seno, coseno y tangente, en estudiantes de grado décimo de la I. E. Distrital
Los Alpes, Bogotá D.C. mediante el uso de las TIC, específicamente de la plataforma Moodle,
evidenció en el grupo experimental una mejora notoria en el desarrollo y fluidez de la clase, en
la participación de los estudiantes y en general, del rendimiento académico. Los mismos
resultados obtuvo Jiménez Et all (2015) en la enseñanza de los mismos conceptos mediante el
diseño y aplicación de una unidad didáctica que utiliza el software Geogebra encontrando que
este fue determinante para fortalecer la percepción de las funciones trigonométricas citadas y
una redefinición tanto del rol del docente y estudiante, considerándose como una experiencia
significativa en la cual es determinante la planeación y secuencia de las actividades.
De acuerdo con Campo et all (2014), en una investigación sobre las dificultades que se
presentan en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas y su
evolución al concepto de funciones trigonométricas, estas se deben a que, habitualmente las
7
primeras se abordan de una manera mecánica a partir de las propiedades del triángulo
rectángulo, luego, para aproximar al estudiante al concepto de función, se hace desde la
circunferencia unitaria sin hacer claridad en las relaciones que existen entre unas y otras,
evidenciándose una desarticulación en el paso de un concepto a otro. La propuesta tiene como
objetivo general superar esta problemática mediante la incorporación de un Software de
Geometría Dinámica o SGD representado en la plataforma tecnológica Geogebra, adoptando
como fundamento teórico la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau. El trabajo
demostró la importancia de la innovación el en proceso de enseñanza-aprendizaje, pues, la
mediación de la tecnología facilitó al estudiante el análisis, la reflexión e inferencia de
conceptos de trigonometría.
Antecedentes internacionales
A la misma conclusión llegó Fiallo (2010), quien además, de las dificultades anteriormente
descritas, encontró que el aprendizaje de las razones y funciones trigonométricas requiere de
la memorización de gran cantidad de fórmulas, por lo que es imperante la creatividad del
docente en la planeación de situaciones problémicas que faciliten el aprendizaje de conceptos
y no de recetas complejas. También, Flores (2008) en un artículo en línea resalta la importancia
de que el estudiante aprenda mientras resuelve problemas relacionados con su entorno, que se
propicie el aprendizaje colaborativo y que se fomente la imaginación, la curiosidad y la
creatividad, en lo cual pueden ser de gran ayuda las TIC.
1.2.2. Descripción del problema
El bajo rendimiento académico en lo referente al tema de identidades trigonométricas
evidenciado en estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa Maestro Pedro Nel
Gómez, deja al descubierto modelos de enseñanza tradicionales poco motivadores que
conducen al desinterés del estudiante por el aprendizaje generándose falencias cognitivas y
conflictos de orden epistemológico, confunden conceptos como los de relación, razón y función
trigonométrica, por ejemplo, lo cual dificulta que el estudiante avance en su proceso de
aprendizaje.
8
Igualmente, a los estudiantes les cuesta abordar un texto desde lo semántico, ya que no
cuentan con un dominio del lenguaje propio de las matemáticas, lo que les impide identificar
conceptos intrínsecos en un problema de este orden, en tal virtud, no poseen la habilidad para
descomponerlo en fragmentos con sentido y realizar una consolidación de cara a obtener una
respuesta viable y acertada.
El bajo rendimiento académico implica dedicar tiempo a refuerzos, eliminar temas
programados en el plan de área y generar nuevos vacíos cognitivos, agravando aún más el
problema. En el caso de la trigonometría confluyen una serie de elementos abstractos que el
docente es incapaz de tangibilizar mediante clases tradicionales desarrolladas a partir de textos
desactualizados, tiza y tablero, las cuales no favorecen el aprendizaje significativo y el
desarrollo de competencias, pues, asumen al estudiante como sujeto pasivo en el proceso de
aprendizaje, como un aprendiz que se limita a memorizar de manera mecánica y arbitraria los
conceptos estudiados, no toma en cuenta los ritmos de aprendizaje ni los procesos que deben
darse en la construcción de aprendizajes significativos, tales como la comunicación, la
modelación, el razonamiento, los contextos, etc., este fenómeno corresponde con aquello que
el MEN (1998), llama estabilidad y pasividad de la praxis docente.
La situación se complejiza si, se toma en cuenta que la demostración de identidades
trigonométricas requiere de procesos de pensamiento lógico donde cada paso de la
demostración debe ser deducido de su anterior de manera lógica, con observación de reglas
según se requiera, conforme haya sido dilucidada la solución desde el comienzo del
procedimiento, pues, en buena parte de los problemas, no existe un único camino para llegar a
una demostración satisfactoria.
Otro aspecto no menos importante es el planteado por Schoenfeld (1992), sobre el sistema
de creencias el cual tiene influencia directa en el comportamiento del alumno frente a
situaciones de aprendizaje las cuales distorsionan su capacidad de aprender; éste puede
considerar que la trigonometría es difícil de aprender, que no es importante aprenderla porque
no la necesita en su vida diaria, porque no estudiará una carrera profesional, o simplemente,
que no es bueno para la trigonometría porque su padre o su madre tampoco lo fueron. Así
9
mismo, Gil, Blanco & Guerrero (2006) subrayan que los sentimientos de los alumnos son
factores determinantes para comprender su actitud hacia las matemáticas y por lo tanto deben
ser tomados en cuenta por el docente para favorecer la motivación, la autoconfianza y la
autoestima.
Según Restrepo (2002), estas problemáticas que subyacen a la educación deben conllevar
al docente a reflexionar sobre su praxis, a hacer una deconstrucción de la misma e interpretar
objetivamente esa realidad con el fin de diseñar estrategias y generar nuevas alternativas que
deben ser evaluadas al final de los procesos, de manera cíclica en la búsqueda constante por
mejorar.
En virtud de lo anteriormente expuesto, se piensa en el diseño de una propuesta didáctica
para la enseñanza de las identidades trigonométricas a partir del proceso de la resolución y el
planteamiento del problema ya que este es inclusivo de los demás, igualmente, se considera la
mediación de herramientas tecnológicas pertinentes con el fin de estimular el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las identidades trigonométricas, contribuir a la construcción de su
aprendizaje significativo crítico, potenciar el desarrollo del pensamiento lógico y las
competencias científicas, tecnológicas y sociales también llamadas competencias para el siglo
XXI.
1.3. Formulación de la pregunta
De acuerdo con los planteamientos expuestos, se plantea el siguiente interrogante que
surge de la búsqueda de alternativas que puedan contribuir a mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las identidades trigonométricas:
¿Cómo una propuesta didáctica para la enseñanza de las identidades trigonométricas basada
en la resolución y el planteamiento del problema con apoyo de la tecnología contribuye a su
aprendizaje significativo crítico?
10
1.4. Justificación
En el escenario descrito resulta perentoria la búsqueda de alternativas que permitan superar
la práctica docente tradicional y mejorar la enseñanza de las identidades trigonométricas a
partir de sus tópicos generativos como son el de razón, relación y función trigonométrica y
propiciar la construcción de competencias que convergen en los ámbitos científico, tecnológico
y social.
En este propósito, se requiere cambiar esa mala percepción que el estudiante suele tener
hacia las matemáticas, motivarlo, captar su atención diseñando ambientes de aprendizaje
innovadores, llamativos, que además, permitan modelar los conceptos abstractos que
comprende la trigonometría y traerlos a la realidad del alumno, de manera que pueda
percibirlos e incluso manipularlos, que aprenda mediante un contacto directo con ellos, es
decir, que se divierta mientras aprende. Una alternativa para alcanzar este objetivo lo
constituye la incorporación de la tecnología al aula de clase, existen numerosas investigaciones
que resaltan sus bondades como elemento didáctico, Sánchez (2001), Alemán (1998/1999),
Santos (2001), Weber (2005), etc.
Así mismo, los aprendizajes se deben evidenciar en el desarrollo de competencias que
faciliten al estudiante desenvolverse en el entorno social al cual es inherente la ciencia y la
tecnología. Con este fin, los alumnos deben recibir una educación integral, pertinente y de
calidad, que propenda por el desarrollo de habilidades en el campo científico, tecnológico y
social, tal como está contemplado en los DBA, articulados con los Estándares Básicos de
Competencias y con los Lineamientos Curriculares del área de matemáticas. Es evidente que
estas metas no se alcanzan con el modelo de enseñanza tradicional cuyas características se
han tratado en párrafos anteriores.
Además, la búsqueda de antecedentes evidencia que existe poca investigación sobre el
caso concreto de las problemáticas que se presentan en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de las identidades trigonométricas, algunas de ellas indagan sobre la construcción
de los conceptos de razón y función, otras, sobre casos particulares como la función seno,
11
coseno o ambas. En este orden de ideas, se considera que el presente proyecto es novedoso,
ya que favorece la generación de conocimiento en este asunto; también contempla elementos
diferenciadores como es el caso de la integración de la tecnología a la clase de trigonometría
como un elemento didáctico que puede enriquecer el desarrollo de los procesos generales,
favorecer el pensamiento lógico y propiciar la construcción de aprendizaje significativo crítico
que derive en el desarrollo de competencias. Aún, este proyecto puede convertirse en un
incentivo para que los docentes pierdan el temor por lo desconocido, que salgan de la zona de
confort que les proporciona el modelo de enseñanza tradicional y asuman un rol determinante
en la construcción de sociedad, también, los resultados obtenidos pueden convertirse en
alternativas de solución a problemáticas similares y en un referente para futuras
investigaciones. Este proyecto es pertinente y necesario, acorde con las nuevas tendencias
educativas que van en la misma dirección del progreso y desarrollo del país.
1.5. Objetivos
1.5.1. Objetivo general
Diseñar una propuesta didáctica para la enseñanza de las identidades trigonométricas
basada en la resolución y el planteamiento del problema con apoyo de la tecnología
para contribuir a su aprendizaje significativo crítico.
1.5.2. Objetivos específicos
Analizar la pertinencia de la incorporación de herramientas tecnológicas como
mediadoras en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las identidades trigonométricas
basado en la resolución y el planteamiento del problema.
Diseñar y aplicar una secuencia de actividades didácticas para la enseñanza de las
identidades trigonométricas mediada por herramientas tecnológicas.
Evaluar cualitativamente la propuesta a la luz de la Teoría del Aprendizaje Significativo
Crítico.
12
2. MARCO REFERENCIAL
2.1. Referente teórico
La teoría del aprendizaje significativo crítico de Moreira, concibe un estudiante capaz de
percibir y representar su entorno, de participar activamente en la construcción de aprendizaje,
en este propósito la incorporación de la tecnología, en particular, la plataforma Moodle puede
contribuir a captar el interés y la atención del estudiante, a incentivar su participación activa en
la construcción social del conocimiento, para el caso, las identidades trigonométricas a partir de
los conceptos de relación, razón y función trigonométrica.
Moreira expone su pensamiento a partir de once principios facilitadores del Aprendizaje
Significativo Crítico, algunos de los cuales soportan las actividades que se desarrollarán
durante la intervención proyectada en esta propuesta, de acuerdo con el siguiente orden:
Principio del conocimiento previo
Se debe enseñar a partir de lo que el estudiante ya sabe, de sus saberes previos o
subsunsores que son conceptos, ideas, enunciados, información que analógicamente funciona
como anclaje para facilitar la asimilación de nuevos conocimientos mediante una interacción
con los ya existentes, de manera que la información se relaciona entre sí de manera oportuna,
relevante incorporándose a la estructura cognitiva del sujeto. Dado que la indagación de los
conceptos subsunsores evidencie falencias en estos, es necesario recurrir a organizadores
13
previos para suplir esos vacíos en el aprendiz. Este principio le sirve de fundamento a la
aplicación de las siguientes actividades:
Una primera actividad consistente en una dinámica conocida como Alcance la estrella
con el fin de identificar los saberes previos para el desarrollo de la intervención (anexo
D).
Una segunda actividad para identificar el nivel de los estudiantes en competencias
digitales (anexo E).
Y una tercera actividad para identificar el nivel de competencias en el pensamiento
matemático (anexo G).
Principio de la no utilización de la pizarra, de la participación activa del
alumno, de la diversidad de estrategias de enseñanza
Este principio señala el significado del tablero como elemento de la enseñanza transmisiva
que asume al estudiante como simple receptor, es decir, que aprende mecánicamente
copiando ejercicios que el docente escribe en la pizarra, memorizando conceptos que debe
replicar durante la evaluación, por ello, Moreira recomienda el uso de actividades didácticas
donde el estudiante participe activamente en la construcción de su conocimiento.
El principio descrito le sirve de sustento a una actividad a desarrollarse de forma individual
que tiene como finalidad el aprendizaje del concepto de proporcionalidad aplicado a la
congruencia y semejanza de triángulos a partir de dobleces realizados en una hoja de papel
iris.
Principio de la interacción social y del cuestionamiento. Enseñar/aprender
preguntas en lugar de respuestas
Este principio destaca la interacción social entre alumno y docente, siendo esta una condición
para que se produzca un episodio de enseñanza en el que se comparten significados como
14
consecuencia de la negociación de los mismos, suscitando la pregunta del estudiante, pues la
respuesta a esta es la que origina el conocimiento, por lo tanto, se debe enseñar a formular
preguntas más que respuestas.
Principio de incertidumbre del conocimiento
El ser humano construye su visión de mundo principalmente a través de tres elementos
relacionados con el lenguaje, como son, las preguntas que son las que dan origen al
conocimiento; las definiciones como construcciones significativas propias que tienen una
finalidad y las metáforas que son mecanismos de pensamiento simbólico. En síntesis, el
conocimiento es una construcción limitada por la forma como haya sido elaborado, luego, cabe
la posibilidad de ser equivocado o temporal.
Los dos principios anteriores son el soporte de una actividad por grupos de tres estudiantes
que consistirá en medir la altura a la que se encuentra la loza del tercer piso, costado sur con
respecto al piso del patio uno. Su desarrollo puede propiciar preguntas en los estudiantes
debido a que, generalmente el aprendizaje se planea desde la solución de ejercicios que sólo
existen en el imaginario de quien los diseña, no es común que los aprendices se vean
enfrentados a la solución de situaciones reales propias del contexto, por lo tanto, puede resultar
motivadora e interesante para ellos, igualmente, puede propiciar la interacción social y el
aprendizaje activo y colaborativo a partir de respuestas colectivas producto de acuerdos sobre
significados.
Principio de la no centralización en el libro de texto
Este principio cuestiona la concepción del libro de texto como fuente única de conocimiento,
como verdad revelada a la espera de ser aprendida sin cuestionamientos, pues es absoluta y
permanente, como alternativa, se sugiere el uso de diversos materiales educativos, de otro tipo
de elementos de conocimiento producido como puede ser el aprendizaje basado en juegos
digitales en línea, que además puede resultar divertido y captar la atención del estudiante lo
cual es considerado un requisito básico para el aprendizaje significativo crítico.
15
Basado en este principio se realizará una actividad consistente en un juego digital en línea
de diseño propio del docente investigador, Triangulandia se encuentra disponible en
http://erudito.medellin.unal.edu.co/ donde el estudiante deberá registrarse inicialmente para
generar un usuario y contraseña que le permitirá acceder al juego.
Principio del abandono de la narrativa
De acuerdo con este principio, el docente narra a sus estudiantes algo que ignoran, este
modelo transmisivo que conduce a informaciones temporales a todos parece normal y por esa
razón no se cuestiona, se propone como opción un modelo de enseñanza y aprendizaje
centrado en el estudiante teniendo al profesor como mediador propiciando que el alumno hable
más y el docente hable menos.
El principio enunciado le sirve de sustento a la realización de una actividad individual
consistente en la construcción de un applet en la plataforma Geogebra en línea de diseño
propio del docente, disponible en https://www.geogebra.org/m/qhuw3hue, con el fin de analizar
las transformaciones de las funciones trigonométricas, en especial de la función seno, se busca
que el estudiante sea quien interprete y narre lo que observa.
Principio del aprendiz como perceptor representador
El estudiante percibe su entorno y luego lo representa mediante modelos mentales, de esta
forma el aprendizaje podría verse como la reestructuración de estos modelos para convertirlos
en otros más funcionales. En este sentido, el docente es igualmente un perceptor y por lo tanto
la comunicación entre este y el estudiante sucederá cuando sus percepciones respecto al
material potencialmente significativo sean semejantes.
En este principio se fundamenta una actividad a desarrollarse de forma individual
consistente en la construcción de un applet en la plataforma Geogebra en línea, de diseño
propio del docente, disponible en https://www.geogebra.org/m/cmwp2tkw con el fin de construir
el concepto de algunas identidades trigonométricas sencillas y cuadráticas a partir de su origen
en la circunferencia unitaria.
16
Figura 2 – 1: Esquema de la propuesta (fuente propia)
Como se ha mencionado, el desarrollo de este proyecto contará igualmente con una
plataforma Moodle, a través de la cual se desarrollarán actividades complementarias como
conversión de ángulos al primer cuadrante, análisis del signo de las funciones trigonométricas
según el cuadrante en que se analiza, ángulos notables, etc. mediante applets interactivos de
Geogebra. Igualmente se desarrollarán foros, tareas, actividades las cuales deberán
depositarse en el Moodle.
2.2. Referente conceptual
Desde sus orígenes que se remontan a babilonios y egipcios unos 3000 años antes de
Cristo, la trigonometría ha cumplido un papel fundamental en la agrimensura, la arquitectura, la
astronomía, la cartografía y la navegación. El estudio de la trigonometría se aborda en el grado
décimo de la educación media, específicamente los conceptos de razón, relación y función
trigonométrica y sus aplicaciones en diversas situaciones como ángulos de elevación y de
depresión, por ejemplo, para desembocar en el tema de las identidades trigonométricas.
Cada uno de estos conceptos se reviste de especial importancia, por un lado, el concepto
de razón, asociado al de proporcionalidad, base fundamental del modelo espacial abstracto
heredado de los griegos, cuya aplicación ha conducido a la solución de innumerables
17
problemas cotidianos, entre ellos, los relacionados con triángulos rectángulos, como es el caso
de los teoremas de Thales de Mileto; de otro lado, el concepto de función que emerge entre
babilonios y egipcios en su empeño por entender los movimientos periódicos de los cuerpos
celestes y que trasciende actualmente a la economía , la ingeniería, la arquitectura, la
navegación, las comunicaciones, y en general, al estudio de todas aquellas situaciones
relacionadas con la dependencia entre cantidades variables.
Las razones y funciones trigonométricas se dimensionan desde los pensamientos numérico,
espacial, variacional y métrico, para el caso de las identidades trigonométricas, su ámbito son
los pensamientos variacional y numérico, el primero cumple un papel determinante en la
resolución de problemas que tienden al cambio, propio de modelos funcionales que se
caracterizan por la dependencia e independencia de las variables; el segundo, con la habilidad
de operar con números. Como se puede apreciar, el tema genera transversalidad entre los
pensamientos, hecho que puede favorecer el análisis de diversas situaciones que enriquecen el
quehacer matemático.
La enseñanza de las identidades trigonométricas conlleva en primera instancia a la
comprensión de procesos relacionados con el pensamiento variacional, el manejo operativo de
variables, como segundo aspecto, aparece de forma manifiesta la lógica proposicional, el
concepto de proposición como elemento válido para hacer razonamientos coherentes,
ordenados, libres de contradicciones, se cambia el modelo de la ejecución mecánica de
fórmulas al que el estudiante venía acostumbrado desde la educación básica, por el desarrollo
de algoritmos propios para resolver situaciones que se le ponen de presente, cambio que
puede estar sustentado en la ley 115 de 1994, cuando se refiere a la educación media, como
de un nivel más avanzado que tiene entre sus objetivos capacitar al estudiante para el ingreso
a la educación superior.
Como queda expresado, la enseñanza de las identidades trigonométricas contribuye al
desarrollo del pensamiento lógico, que según los Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas está vinculado con el razonamiento al que es inherente la competencia
argumentativa útil para probar o refutar procedimientos en una demostración formal.
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Las identidades trigonométricas también facilitan la evaluación de funciones trigonométricas
complejas en el cálculo diferencial que se enseña en el grado undécimo, extendiéndose al
cálculo integral y a la trigonometría analítica en estudios de pregrado relacionados con ciencias
exactas, allí permiten reescribir expresiones trigonométricas en términos de otras haciendo
posible la simplificación y abreviación del procedimiento, así mismo, hacen posible el análisis
de situaciones que se relacionan con ecuaciones trigonométricas, por lo que se pueden
considerar como saberes previos para el aprendizaje significativo de estos temas; igualmente,
en astronomía facilitan el estudio de las trayectorias de los cuerpos celestes, el cálculo de
distancias inconmesurables, en medicina, son útiles en el desarrollo de aparatos tecnológicos
para el análisis del ritmo cardiaco, por ejemplo. En un entorno más próximo son útiles en el
cálculo del ángulo de inclinación o peralte de una vía que toma una curva, para hallar la
inclinación del techo de una vivienda o en mediciones de alturas donde es difícil realizar una
medición directa.
Los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas para el grado décimo resaltan la
importancia de la enseñanza de las identidades trigonométricas en tanto que, pueden contribuir
al desarrollo de habilidades relacionadas con el empleo de argumentos de tipo geométrico en la
resolución y formulación de problemas, además, desde los DBA, se plantea que facilitan el
análisis de fenómenos periódicos como el movimiento ondulatorio y el circular.
Los DBA de matemáticas también proponen una educación de calidad que prepare al
estudiante para desenvolverse en el medio científico, tecnológico y social, capacitado para
gestionar, organizar y procesar información que le sirva como soporte para la toma de
decisiones, que conozca los procesos económicos, políticos y sociales de su entorno y
participe de ellos, es por ello que la tecnología y la informática son parte integral de esta
propuesta.
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2.3. Referente Legal
Tabla 2 – 1: Referente legal
NORMA DESCRIPCIÓN CONTEXTO
Ley 115 de febrero 8 de 1994 MEN
Por medio de la cual se regula el servicio público de educación como derecho fundamental de toda persona.
- Artículo 5, numeral 5, 7 y 9. Incentivar el pensamiento reflexivo, crítico promoviendo el desarrollo de conocimientos científicos y tecnológicos que propendan por unas mejores condiciones de vida. Artículo 23, numeral 8. Obligatoriedad de la enseñanza de las matemáticas.
Lineamientos Curriculares de Matemáticas, MEN, junio 7 de 1998.
Por medio de los cuales se dan orientaciones a las instituciones educativas para la organización del currículo de acuerdo a su plan de estudios.
Se plantea el aprendizaje como un proceso socio-cultural encaminado al desarrollo de habilidades, en síntesis, el aprendizaje de las matemáticas como un proceso de abstracciones, demostraciones y aplicaciones.
Estándares de Competencias Básicas en Matemáticas, MEN, 2006.
Por medio de los cuales se establecen parámetros sobre lo que todo estudiante debe saber y lo que puede hacer con los conocimientos a medida que avanza en su formación.
En el ámbito de los pensamientos espacial y variacional, la descripción y modelación de fenómenos periódicos mediante funciones trigonométricas.
Derechos Básicos de Aprendizaje en Matemáticas (DBA) Versión dos, MEN, 2016.
Por medio de los cuales se dan orientaciones sobre los aprendizajes por áreas y grados de manera que los estudiantes alcancen los Estándares Básicos de Competencias.
DBA grado décimo numeral 4. Comprensión y utilización de funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos argumentando sus soluciones.
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2.4. Referente espacial
La presente propuesta se desarrollará en el grado 10-2 de la Institución Educativa Maestro
Pedro Nel Gómez, ubicada en la zona 2 de la comuna 5, barrio Florencia del municipio de
Medellín Antioquia, de carácter oficial, tiene como área de influencia los barrios Boyacá las
brisas, Cerros de la madera, Tejelo, Pedregal y Santander, también, Las cabañas, Las
cabañitas, La maruchenga y Barrio nuevo del municipio de Bello (Anexo B), comunidades de
estratos 1, 2 y 3, con mayor presencia de estrato 3, familias de clase media baja, empleados,
comerciantes y trabajadores independientes. La Institución presta el servicio en los cuatro
niveles de educación formal únicamente en la jornada de la mañana y el año escolar está
dividido en tres periodos académicos; su visión a 2020 es convertirse en una institución
reconocida por formar individuos capacitados para desenvolverse en las dinámicas del sistema
social contribuyendo así a mejorar la situación sociocultural del contexto.
Se tiene como filosofía la formación integral de los estudiantes a partir del ser fomentando la
cultura de la tolerancia y la aceptación de diferencias, el modelo pedagógico es
autoestructurante con enfoque constructivista social que considera el conocimiento como
producto del hacer, del trabajo colaborativo y de estrategias que faciliten la movilidad de
saberes, tomando en cuenta las particularidades de cada estudiante, sus intereses y
necesidades.
De acuerdo con estos planteamientos se considera que esta propuesta es acorde con el
modelo pedagógico y con la visión institucional a 2020, por lo cual se espera que esta
contribuya en la formación de individuos capacitados para asumir una participación activa en la
transformación del entorno.
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3. DISEÑO METODOLÓGICO
3.1. Enfoque
El enfoque en el que se fundamenta la presente propuesta es el de investigación acción
según el cual se plantea un proceso de reflexión continua y sistemática del docente en torno a
su praxis de enseñanza con el fin de entender y mejorar los procesos que se dan en el aula de
clase. Una variante de la Investigación Acción es la Investigación Acción Educativa o IAE, en la
cual Restrepo (2002), propone que el docente debe ir más allá de la reflexión para hacer lo que
él llama una deconstrucción de la práctica a partir del análisis crítico de esta con el fin de
identificar su estructura, los fundamentos teóricos que la soportan y posibles falencias
susceptibles de ser mejoradas, para obtener elementos de juicio que faciliten una segunda
instancia en la que se produzca la reconstrucción de la práctica docente.
El proceso inicia con el reconocimiento de las propias falencias pedagógicas, luego se
realiza un diagnóstico que identifique necesidades y/o problemáticas, para el caso, dificultades
en la enseñanza de las identidades trigonométricas, basado en este se estructura un plan de
acción, luego se procede a su ejecución y, posteriormente, se hace una evaluación centrada en
el análisis e interpretación de los resultados que serán la base para realizar una nueva
planificación, convirtiéndose este en un proceso cíclico que procura el mejoramiento continuo.
Como se puede apreciar, este proceso de investigación genera un conocimiento metódico en
tanto obedece a una serie de pasos ordenados, al tiempo que origina un nuevo saber
pedagógico en el docente.
22
Este enfoque es acorde con el paradigma crítico social donde la autorreflexión del docente
conduce a la introducción de mejoras en la práctica buscando transformarla en bien de toda la
comunidad, el profesor es investigador a la vez que es investigado por ser parte integral de la
comunidad donde se lleva a cabo la investigación. Como se puede ver, este paradigma no es
estrictamente teórico ni práctico sino que ambos se complementan en relación dialógica para
dar respuestas efectivas a las problemáticas identificadas.
De acuerdo con las ideas expuestas, la Investigación Acción Educativa se circunscribe
dentro de las características de la investigación cualitativa, pues se aparta del positivismo que
tiene como principal soporte la cantidad, para hacer énfasis en la descripción a partir del
análisis e interpretación de los resultados logrados a través de los instrumentos de recolección
de datos.
3.2. Método
Como se ha dicho, este proyecto se circunscribe dentro de la Investigación Acción
Educativa en la cual se parte de la reflexión del docente sobre su quehacer pedagógico para
definir un problema, planificar y ejecutar una intervención para producir una mejora en la praxis
docente. Este proceso se desarrolla a través de tres fases que se describen a continuación.
Fase I: diagnóstico
Comprende la identificación del problema, para el caso, dificultades en la enseñanza y
aprendizaje de las identidades trigonométricas, aquí es necesario definir el problema, su
alcance, para determinar factores de inefectividad, vacíos teóricos y prácticos, realizar la
búsqueda bibliográfica sobre antecedentes relacionados con el problema y las consultas sobre
teorías y modelos de enseñanza, de tal forma que se tengan argumentos suficientes para
formular una pregunta de investigación, que buscara ser resuelta a partir de objetivos claros y
alcanzables que señalarán el alcance de la propuesta de investigación.
23
Fase II: plan de acción
Este se desarrolla en dos momentos, el primero que corresponde a la etapa del diseño, en
este se adopta un referente teórico a partir del cual se procede a seleccionar ideas, estrategias
para desarrollar la propuesta, se planifican actividades, pruebas, exámenes, y se definen
herramientas para la recolección de información, que bien pueden ser videos, diarios de
campo, audios, bitácoras, actividades y evaluaciones, entre otras.
La segunda etapa es la intervención en el aula de clase que corresponde al desarrollo
secuencial de las acciones planificadas tendientes a obtener mejoras en la problemática
encontrada, igualmente entra en ejecución la recolección de información a través de las
herramientas seleccionadas, que servirá para determinar el alcance de la propuesta, además,
es preciso estar atento para atender oportunamente situaciones imprevistas que impliquen
modificaciones a la planificación inicial.
Fase III o de la evaluación
Una vez recolectada la información es preciso organizarla por categorías de acuerdo a
características en común que bien pueden ser los significados interpretados por el investigador,
lo cual facilita el análisis y le da solidez a las interpretaciones e inferencias, se prosigue al
análisis de la información a la luz de la teoría del aprendizaje adoptada, en este caso, el
Aprendizaje Significativo Crítico, se elaboran unas conclusiones debidamente argumentadas,
luego, los resultados se contrastan con trabajos similares y se procede a hacer unas
recomendaciones.
3.3. Instrumentos de recolección de información
La selección y diseño de los instrumentos de recolección de información es un aspecto
importante, ya que un buen instrumento determinará en buena medida la calidad de los datos
recolectados con este y desde esa perspectiva tener elementos de juicio para describir cómo
fue el proceso de enseñanza aprendizaje. Las fuentes son aquellas de las cuales procede la
información, pueden ser primarias cuando los datos se obtienen directamente de la población
24
en estudio, o secundarias, si los datos proceden de otras fuentes como internet, libros o
documentos. En la ejecución del presente proyecto se utilizarán las siguientes herramientas en
las fuentes primarias:
Informes de actividades
Corresponden al producto de las actividades desarrolladas por los estudiantes, en ellos es
posible evidenciar fortalezas, debilidades, dudas, que los estudiantes tienen respecto al tema
de estudio y puede proveer criterios para hacer ajustes a la planificación.
Evaluaciones
Es la valoración que hace el docente a las actividades realizadas por los estudiantes por lo
que comprende la tanto la evaluación formativa como sumativa, así mismo, una evaluación al
final de cada tema a manera de test. Esta puede brindar abundante información sobre el
proceso de enseñanza y aprendizaje que puede ser triangulada con otras herramientas como el
diario de campo.
La bitácora o diario de campo
Es un registro escrito de tipo descriptivo que da cuenta de la observación de situaciones que
el investigador considera relevantes para el proceso, además, conduce a la reflexión de este
para establecer nexos entre la teoría y la práctica.
La fotografía
Puede ser útil en la interpretación de expresiones de tipo no verbal relacionadas con lo
kinestésico, lo proxémico y lo gestual.
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3.4. Población y muestra
La intervención se llevará a cabo en uno de los dos grupos décimo de la Institución
Educativa Maestro Pedro Nel Gómez, más exactamente en el grupo 10-2 de la jornada de la
mañana que cuenta con 25 estudiantes de ambos sexos, cuyas edades oscilan entre los 14 y
16 años. La selección de este se debió a que mostró una mejor disposición a participar de este
proyecto.
3.5. Impacto esperado
Se espera que el presente proyecto contribuya a mejorar la enseñanza y aprendizaje de las
identidades trigonométricas en la Institución Educativa Maestro Pedro Nel Gómez, además la
revisión bibliográfica evidenció poca investigación conocida sobre esta problemática por lo que
se espera que este trabajo se constituya en referente de consulta para el desarrollo de nuevas
estrategias tendientes a mejorar este problema. Igualmente, se espera que este trabajo
promueva la transformación de las prácticas docentes eminentemente tradicionales
evolucionando del modelo de enseñanza transmisivo a otros que conduzcan a la formación de
sujetos reflexivos, críticos, creativos, innovadores, que puedan influir de manera positiva en los
procesos de transformación social en las comunidades.
3.6. Programación de actividades
En la página siguiente se muestra la tabla 3 – 1 con la programación de las actividades cuyo
desarrollo deberá aportar argumentos que permitan dar respuesta a la pregunta de
investigación.
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Tabla 3 – 1: Programación de actividades
FASE
OBJETIVOS
ACTIVIDADES
Fase 1: Diagnóstico
- Identificar el problema.
- Caracterizar el problema.
- Seleccionar una teoría del aprendizaje para aplicarla en el plan de acción.
1.1. Búsqueda bibliográfica sobre antecedentes de la enseñanza de las identidades trigonométricas.
1.2. Búsqueda bibliográfica para caracterizar la Teoría del Aprendizaje significativo Crítico (TASC) aplicada a la enseñanza de las identidades trigonométricas
1.3. Búsqueda bibliográfica sobre legislación para identificar puntos en común con el trabajo.
1.4. Búsqueda bibliográfica para
caracterizar diferentes plataformas e-learning y escoger aquella que más se adecue a la enseñanza de las identidades trigonométricas de acuerdo a la propuesta.
Fase 2: Plan de acción
2.1. Diseño
- Diseñar actividades apoyadas en la tecnología, en especial de la plataforma Moodle, para la enseñanza de las identidades trigonométricas.
2.1.1. Diseño de actividades de acuerdo a la TASC aplicada a la enseñanza de las identidades trigonométricas.
2.1.2. Diseño de las guías para implementar las actividades acordes al trabajo apoyado en la plataforma Moodle.
2.2.Intervención
Implementar las actividades en el grupo 10-2 de la Institución Educativa Maestro Pedro Nel Gómez.
2.2 2.2.1. Intervención en el aula para implementar la propuesta didáctica.
Fase 3: Evaluación
Evaluar cualitativamente el alcance de la propuesta a partir de los objetivos inicialmente propuestos.
3.1. Organización de datos en categorías de acuerdo a características comunes.
3.2. Análisis e interpretación de los resultados obtenidos con la intervención a partir de la TASC.
3.3. Elaboración de conclusiones para identificar el alcance real del trabajo.
3.4. Elaboración de recomendaciones sustentadas para ser tenidas en cuenta en la próxima planificación.
27
3.7. Cronograma de actividades
Tabla 3 – 2: Cronograma de actividades
ACTIVIDADES
SEMANAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Actividad 1.1.
x x
Actividad 1.2.
x x
Actividad 1.3.
x x
Actividad 1.4
x x
Actividad 2.1.1.
x x x x
Actividad 2.1.2.
x x x x
Actividad 2.2.1.
x x x x x x x x
Actividad 3.1.
x x x
Actividad 3.2.
x x x
Actividad 3.3.
x x
Actividad 3.4.
x x
28
4. Trabajo final y análisis de resultados
4.1. Diagnóstico y análisis de resultados
De acuerdo con la teoría del aprendizaje significativo el estudiante aprende a partir de lo que
ya sabe, para dar cumplimiento a este principio se diseñaron tres actividades que permitieran
identificar en nivel los saberes previos necesarios para incorporar a su estructura cognitiva los
conceptos que involucra el tratamiento de las identidades trigonométricas, para este propósito
se tuvo en cuenta lo dispuesto en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, los
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, los Derechos Básicos de Aprendizaje
de las Matemáticas Versión Dos y las directrices institucionales contempladas en Plan de área
de matemáticas para el grado décimo de la educación media.
Se diseñaron tres actividades a saber:
Una primera actividad consistente en una dinámica conocida como Alcance la estrella
con el fin de identificar los saberes previos para el desarrollo de la intervención (anexo
D).
Una segunda actividad para identificar el nivel de los estudiantes en competencias
digitales (anexo E).
Y una tercera actividad para identificar el nivel de competencias en el pensamiento
matemático (anexo G).
29
Para la evaluación de los resultados se utilizó la siguiente escala de valoración ajustada al
Sistema Institucional de Evaluación de Estudiantes (SIIE) contemplada en el PEI de la
Institución Educativa Maestro Pedro Nel Gómez del municipio de Medellín:
TABLA 4- 1: Escala de valoración institucional
SISTEMA DE EVALUACIÓN INSTITUCIONAL
CUALITATIVO SÍMBOLO CUANTITATIVO
Desempeño Superior S 4.6 a 5.0
Desempeño Alto A 4.0 a 4.5
Desempeño Básico B 3.0 a 3.9
Desempeño Bajo b 1.0 a 2.9
Seguidamente se relacionan las herramientas utilizadas para la recolección de información y
los diferentes criterios para la evaluación de resultados.
4.1.1. Dinámica Alcance la estrella: Identificación de saberes previos
Con el propósito de identificar los saberes previos de los estudiantes necesarios para el
aprendizaje de las identidades trigonométricas a partir de los conceptos de relación, razón y
función trigonométrica se empleó una dinámica de grupo llamada "Alcance la estrella" (anexo
D), que consiste en la elaboración de una serie de preguntas facilitadoras (ítems) dispuestas
aleatoriamente en el tablero, escritas en recortes de cartulina de colores con forma de estrella;
para este fin los estudiantes se organizaron a voluntad en seis equipos cada uno de los cuales
debió nombrar un representante para desplazarse al tablero y tomar una estrella la cual tenía
un número escrito oculto que correspondía a una pregunta, luego de un minuto para unificar el
concepto se debía resolver la pregunta, si esta no era resuelta, el equipo siguiente tenía la
opción de responderla y dado el caso que ninguno de los grupos supiese la respuesta, la
30
solución sería construida por todos los estudiantes con la guía del docente. Cada respuesta fue
sometida al juicio de los demás equipos para verificar si existía algún tipo de contradicción y
para efectos de la evaluación.
Figura 4 – 1: Actividad alcance la estrella
Figura 4 – 2: Evidencias de la actividad
31
…Continuación
Tabla 4 – 2: Rúbrica para la identificación de saberes previos
ASPECTOS ÍTEMS NIVELES DE DESEMPEÑO
SUPERIOR ALTO BÁSICO BAJO
Conceptos básicos
1, 2, 3,
5, 8, 9,
10, 20,
24
Identifica, define y representa conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc.
Identifica y representa conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc.
Identifica y representa con dificultad conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc.
Confunde conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc.
Congruencia y semejanza de
triángulos
15, 16,
17, 18
Identifica y diferencia relaciones de semejanza y congruencia entre triángulos.
Identifica relaciones de semejanza y congruencia entre triángulos.
Identifica con dificultad relaciones de semejanza y congruencia entre triángulos.
Confunde las relaciones de semejanza y congruencia entre triángulos.
Plano cartesiano
13,14,
20
- Identifica características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico.
- Identifica algunas características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico en la mayoría de situaciones.
Identifica con dificultad algunas características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico.
- Se le dificulta identificar características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico.
Medición de ángulos
3, 4, 6,
7, 12
Identifica y describe los distintos sistemas de
Identifica los distintos sistemas de medición de ángulos.
Identifica con dificultad los distintos sistemas de
Le cuesta identificar los distintos sistemas de
32
medición de ángulos.
medición de ángulos.
medición de ángulos.
Proporcionalida
d
21, 22,
25, 26,
27, 28
Reconoce y aplica el concepto de razón y lo asocia al de razón trigonométrica.
Reconoce el concepto de razón y lo asocia al de razón trigonométrica.
Asocia con dificultad el concepto de razón al de razón trigonométrica.
Se le dificulta asociar el concepto de razón al de razón trigonométrica.
Solución de problemas
11, 19,
23,29,
30
Identifica, describe y aplica el método más apropiado para la resolución de triángulos rectángulos.
Identifica, describe y aplica en la mayoría de los casos el método más apropiado para la resolución de triángulos rectángulos.
Identifica con dificultad el método más apropiado para la resolución de triángulos rectángulos.
Le cuesta identificar el método más apropiado para la resolución de triángulos rectángulos.
4.1.1.1. Análisis de los resultados con la aplicación del instrumento
En la tabla 4 – 3 se muestran los resultados cualitativos y cuantitativos obtenidos con la
actividad de acuerdo a los criterios pre-establecidos en las tablas 4 – 1 y 4 – 2.
Tabla 4 – 3: Resultados de la identificación de saberes previos
CRITERIOS PARA EL DIAGNÓSTICO DE SABERES PREVIOS
CÓDIGO DEL
ESTUDIANTE
Conceptos básicos
Congruencia y semejanza
de triángulos
Plano cartesiano
Medición de
ángulos Proporcionalidad
Solución de
problemas
DEFINITIVA
Ítems
1, 2, 3, 5, 8, 9, 10, 20, 24
Ítems
15, 16, 17, 18
Ítems
13, 14
Ítems
3, 4, 6, 7, 12
Ítems
21, 22, 25, 26, 27, 28
Ítems
11, 19, 23, 29, 30
Cuantitativa Cualitativa
E01AGMA A b A B b A 3.3 Básico
E02BAJF NP NP NP NP NP NP NA NA
E03CZJJ A A S S b S 4.2 Alto
E04CCMJ A A S S b S 4.2 Alto
E05CPS A A S S b S 4.2 Alto
33
E06EOE A A A A b S 3.8 Básico
E07EZS A b A B b A 3.4 Básico
E08GTI A b A B b A 3.3 Básico
E09GTE A A S S b S 4.2 Alto
E010GSJP A A A A b S 3.8 Básico
E11HVDA A B A B b A 3.6 Básico
E12HQBM A A A A b A 3.7 Básico
E13MGS A A A A b A 3.7 Básico
E14MPAM A B A B b A 3.6 Básico
E15MGA A B A B b A 3.6 Básico
E16OSS A A A A b S 3.8 Básico
E17PHI A b A B b A 3.4 Básico
E18PPD A B A B b A 3.6 Básico
E19RUBS A A A A b A 3.7 Básico
E20SDSA NP NP NP NP NP NP NA NA
E21TRBS A b A B b A 3.4 Básico
E22VMJH A A A A b A 3.7 Básico
E23VMV A b A B b A 3.3 Básico
E24VOJD A B A B b A 3.6 Básico
E25VIMP A b A B b A 3.3 Básico
NP: No presentó, NA: No aplica.
Análisis especifico de cada uno de los aspectos evaluados
Conceptos básicos
Tabla 4 – 4: Resultados de conceptos básicos
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 0 0
Alto 23 100
Básico 0 0
Bajo 0 0
34
Figura 4 – 3: Conceptos básicos
De acuerdo con Moreira, la clave para comprender un conocimiento o cuerpo de
conocimientos es comprender su lenguaje, por esta razón, se buscó indagar por el
conocimiento de aquellos conceptos más básicos que soportan la trigonometría como son el
punto, línea recta, plano cartesiano, etc., encontrándose que los estudiantes saben los
conceptos y son capaces de explicarlos a pesar de su carácter abstracto, en su totalidad, se
ubicaron en nivel alto, evidenciándose fortaleza en estos conceptos, hecho que puede
constituirse en un facilitador del aprendizaje de conceptos más complejos como es el caso de
las identidades trigonométricas.
Congruencia y semejanza de triángulos
Tabla 4 – 5: Resultados congruencia y semejanza de triángulos
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 0 0
Alto 11 47.83
Básico 5 21.74
Bajo 7 30.43
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 0% 100% 0% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Conceptos básicos
35
Figura 4 – 4: Congruencia y semejanza de triángulos
En este aspecto se presentó dificultad con el ítem 17 que consistía en hallar la razón de
proporcionalidad entre dos triángulos rectángulos dadas las longitudes de sus lados, por este
motivo se debió guiar a los estudiantes para construir la respuesta. Para el caso de la
congruencia y semejanza de triángulos, los estudiantes sabían el concepto de congruencia e
infirieron el de semejanza a partir de este, si no es A, es B. En la figura 4 – 4 se puede apreciar
que cerca del 70% de los estudiantes se ubicaron en los niveles básico y alto con prevalencia
de este último.
Plano cartesiano
Tabla 4 – 6: Resultados plano cartesiano
PLANO CARTESIANO
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 4 17,4
Alto 19 82,6
Básico 0 0
Bajo 0 0
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 0% 47,83% 21,74% 30,43%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Congruencia y semejanza de triángulos
36
Figura 4 – 5: Plano cartesiano
Los ítems correspondientes a este aspecto fueron resueltos sin dificultad por los estudiantes
y no se presentaron controversias en torno a los mismos. La figura 4 – 5 puede dar una idea
clara al respecto, pues como se puede apreciar, los estudiantes se encuentran en nivel alto y
superior prevaleciendo el primero de estos. Este resultado puede soportarse en que el
concepto de plano cartesiano se empieza a construir en la Institución a partir del grado 4º de la
básica primaria por lo que al cursar el grado décimo los estudiantes pueden tener afianzado
este significado.
Medición de ángulos
Tabla 4 – 7: Resultados de medición de ángulos
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 4 17.4
Alto 7 30.43
Básico 12 52.17
Bajo 0 0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 17,4% 82,6% 0% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Plano cartesiano
37
Figura 4 – 6: Medición de ángulos
En este apartado se presentó dificultad con el ítem 6 que indagaba por la definición de
radián, ninguno de los grupos la pudo recordar el concepto, no obstante dieron ejemplos de
equivalencia con el sistema sexagesimal para la medición de ángulos lo que se utilizó para
construir la definición citada. La figura 4 – 6, permite evidenciar que el 52.1% de los estudiantes
se situó en el nivel básico, los demás, en los niveles alto y superior.
Proporcionalidad
Tabla 4 – 8: Resultados de proporcionalidad
PROPORCIONALIDAD
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 0 0
Alto 0 0
Básico 0 0
Bajo 23 100
0%10%20%30%40%50%60%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 17,4% 30,43% 52,17% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Medición de ángulos
38
Figura 4 – 7: Proporcionalidad
Este aspecto evidenció su criticidad, pues como puede apreciarse en la figura 4 – 7, la
totalidad de los estudiantes obtuvo un nivel de desempeño bajo, se presentó dificultad para
definir una razón y una proporción en términos generales de matemáticas, no obstante los
ítems 26, 27 y 28 que correspondían a casos particulares de razones como son las razones
trigonométricas, fueron resueltos sin problema. No se puede perder de vista que este aspecto
es susceptible de causar dificultades para el aprendizaje significativo de las identidades
trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria, motivo por el cual será necesario reforzar
este concepto.
Solución de problemas
Tabla 4 – 9: Resultados solución de problemas
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 7 30.43
Alto 16 69.57
Básico 0 0
Bajo 0 0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 0% 0% 0% 100%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Proporcionalidad
39
Figura 4 – 8: Solución de problemas
La solución de problemas relacionados con la aplicación del Teorema de Pitágoras y las
razones trigonométricas evidenció el conocimiento que tienen los estudiantes de estos
conceptos, son capaces de utilizarlos de manera clara y fluida por lo menos en la solución de
triángulos rectángulos. Es necesario precisar que los resultados de las Pruebas Saber han
reflejado debilidades en el componente de razonamiento el cual es esencial en la resolución de
situaciones problema.
4.1.2. Actividad en línea sobre el Teorema de Pitágoras
Con el fin de identificar el nivel de competencias digitales el docente diseñó previamente un
applet interactivo en la plataforma Geogebra a ser construido en clase por cada uno de los
estudiantes y a partir de este resolver unas preguntas facilitadoras, el applet está disponible en
https://ggbm.at/uzmxcbg8. Esta actividad (anexo F) se desarrolló en la sala de tecnología
donde inicialmente se dio una inducción a los estudiantes a cerca del manejo de la plataforma
Geogebra en línea, al final, cada uno debió enviar un pantallazo de la actividad realizada en
clase, sin embargo, hubo la necesidad de que algunos estudiantes compartieran el equipo
debido a que no se contó con máquinas suficientes para asignar una a cada estudiante.
0%10%20%30%40%50%60%70%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 30,43% 69,57% 0% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Solución de problemas
40
Se siguieron las directrices del MEN (2008) que define la evaluación como un proceso
permanente, continuo, procurando que los estudiantes no percibieran este proceso como tal,
sino el desarrollo de una actividad motivadora que condujera a generar aprendizaje
significativo crítico, luego, para indagar si el efecto fue el esperado, se buscó identificar la
percepción de la actividad en cuanto a satisfacción y aprendizajes, tal como se hizo en todas
las actividades en las que fue posible este cuestionamiento.
Figura 4 – 9: Desarrollo de la actividad para identificar el nivel competencias digitales
41
Tabla 4 – 10: Rúbrica para el diagnóstico de competencias digitales
ASPECTOS ÍTEMS NIVELES DE DESEMPEÑO
SUPERIOR ALTO BÁSICO BAJO
Uso de conceptos geométricos en la construcción del applet
1, 2, 3 Define e identifica conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc. mediante Geogebra.
Define e identifica algunos conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc. mediante Geogebra.
Define e identifica con dificultad conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc. mediante Geogebra.
Confunde conceptos básicos como, línea recta, ángulo, triángulo, etc. por lo que se le dificulta el uso de Geogebra.
Uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno.
1, 2, 3, utilización del applet
- Utiliza el applet de manera apropiada para dar solución a interrogantes.
- Utiliza el applet en la mayoría de los casos para dar solución a interrogantes.
Presenta dificultad para usar el applet de manera apropiada para resolver las preguntas.
- No resuelve los interrogantes debido a que no maneja el applet porque no entiende su funcionamiento.
Uso de tecnologías para buscar y validar información
4, 5 Utiliza adecuadamente las tecnologías y el internet para buscar y validar información.
Observa la mayor parte de los protocolos de confiabilidad para buscar y validar información en internet.
Observa algunos protocolos de confiabilidad para buscar y validar información en internet.
Toma información de sitios web no confiables que lo inducen en error. No entrega la actividad.
4.1.2.1. Análisis de los resultados obtenidos con el instrumento
La tabla 4 – 11 muestra los resultados cualitativos y cuantitativos obtenidos con la actividad
de acuerdo a los criterios pre-establecidos en las tablas 4 – 1 y 4 – 10.
42
Tabla 4 - 11: Resultados de la identificación de competencias digitales
CRITERIOS PARA EL DIAGNÓSTICO DE COMPETENCIAS DIGITALES
CÓDIGO DEL
ESTUDIANTE
Uso de conceptos geométricos en la construcción del
applet
Uso de tecnologías en la solución de
problemas del entorno.
Uso de tecnologías
para buscar y validar
información
DEFINITIVA
Ítems 1, 2, 3 , construcción
del applet
Ítems 1, 2, 3, utilización del
applet
Ítems 4, 5 Cuantitativa Cualitativa
E01AGMA A A B 4.0 Alto
E02BAJF A S b 3.7 Básico
E03CZJJ A B B 3.9 Básico
E04CCMJ A S A 4.3 Alto
E05CPS A S A 4.2 Alto
E06EOE A B A 3.8 Básico
E07EZS NP*
NP NP NA*
NA
E08GTI S S A 4.5 Alto
E09GTE S S S 4.6 Superior
E010GSJP A S A 4.2 Alto
E11HVDA A A B 3.8 Básico
E12HQBM S S S 4.6 Superior
E13MGS A S B 4.0 Alto
E14MPAM A S b 3.5 Básico
E15MGA A A b 3.3 Básico
E16OSS B B b 2.7 Bajo
E17PHI NP NP NP NA NA
E18PPD NP NP NP NA NA
E19RUBS A S b 3.5 Básico
E20SDSA NP NP NP NA NA
E21TRBS NP NP NP NA NA
E22VMJH B A A 3.7 Básico
E23VMV B S B 3.7 Básico
E24VOJD B S B 3.6 Básico
E25VIMP A S B 3.9 Básico
NP*: No presentó, NA*: No aplica.
43
Análisis especifico de cada uno de los aspectos por los que se indaga.
Uso de conceptos geométricos en la construcción del applet
Tabla 4 – 12: Resultados del uso de conceptos geométricos en la construcción del applet
USO DE CONCEPTOS GEOMÉTRICOS EN LA CONSTRUCCIÓN DEL APPLET
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE EVIDENCIA
Superior 3 15
Alto 13 65
Básico 4 20
Bajo 0 0
Figura 4 – 10: Uso de conceptos geométricos en la construcción del applet
0%
20%
40%
60%
80%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 15% 65% 20% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Uso de concetos geométricos en la construcción del applet
44
Como se puede apreciar en la figura 4 – 3, donde se aprecia la apropiación de los
conceptos básicos de la geometría, esta favoreció la construcción del applet, pues no hubo
dificultad para interactuar con la interfaz de la plataforma Geogebra y con los menús que
requieren comandos precisos para el paso a paso de la construcción del applet, el principio del
conocimiento previo fue fundamental para el buen desarrollo de la actividad.
Uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno
Tabla 4 – 13: Resultados uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno
USO DE TECNOLOGÍAS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL ENTORNO
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE EVIDENCIA
Superior 13 65
Alto 4 20
Básico 3 15
Bajo 0 0
45
Figura 4 – 11: Uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno
Los estudiantes se mostraron fascinados con el software Geogebra, fue algo nuevo para
ellos, manipulable, interactivo, semejante a los juegos digitales y les permitió realizar una
construcción con la cual fue posible interactuar y resolver interrogantes, acertaron al afirmar
que este software se asemeja a una calculadora gráfica pues solo era necesario ejecutar la
opción correcta en el menú para obtener los valores de longitudes, ángulos, radios de
circunferencias entre otros. Algunos decidieron comprobar la respuesta del software y
desarrollaron el procedimiento mediante el despeje de ecuaciones y el uso de la calculadora,
en fin, un ambiente científico, cordial que puso de manifiesto el trabajo colaborativo, la
interacción social y sobre todo la motivación como presupuesto para alcanzar aprendizaje
significativo crítico.
0%10%20%30%40%50%60%70%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 65% 20% 15% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Uso de tecnologías en la solución de problemas del entorno
46
Uso de tecnologías para buscar y validar información
Tabla 4 – 14: Uso de tecnologías para buscar y validar información
USO DE TECNOLOGÍAS PARA BUSCAR Y VALIDAR INFORMACIÓN
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE EVIDENCIA
Superior 2 10
Alto 6 30
Básico 7 35
Bajo 5 25
Figura 4 – 12: Uso de tecnologías para buscar y validar información
0%
10%
20%
30%
40%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 10% 30% 35% 25%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Uso de tecnologías para buscar y validar información
47
En este aspecto se evidenció que cuando los estudiantes recurrieron a internet para realizar
sus consultas, posiblemente lo hicieron en la primera página web que les apareció en el
navegador pues varias respuestas coincidieron en que el Teorema de Pitágoras se utiliza para
el cálculo de las escalas de una vivienda, otras respuestas fueron que se utiliza en la
construcción de piscinas y para el cálculo de distancias.
Como se había expresado, se indagó por la percepción de los estudiantes frente a la
actividad desarrollada, para ello se utilizaron las siguientes preguntas:
¿Cómo te pareció la actividad?
¿Qué aprendiste con la actividad?
Se encontraron respuestas como las siguientes:
Figura 4 – 13: Apreciación de la estudiante E06EOE
Figura 4 – 14: Apreciación del estudiante E05CPS
48
El estudiante E02BAJF consideró que la actividad fue interactiva y que pudo aprender con
ayuda mutua de todos los compañeros, igualmente pudo comprobar que, efectivamente el
Teorema de Pitágoras tiene aplicaciones en la vida diaria. Por su parte el alumno E05CPS,
manifestó que la actividad tuvo como eje central un concepto de aplicación para la vida diaria,
como son todos aquellos que pertenecen a las matemáticas. La estudiante E06EOE pudo
concluir que la dinámica de la clase se salió de la rutina acostumbrada donde el docente dicta
la clase, el estudiante la copia y luego la memoriza para repetirla en la evaluación.
Claramente los estudiantes expresaron que se trató de una actividad en la que se
construyeron saberes con el aporte de todos y todas en observación del principio de la
interacción social, que fue agradable pues se apartó "de la misma dinámica de las clases", es
decir, del modelo tradicional basado en la pizarra y el libro de texto, así mismo, se sintieron
investigadores construyendo conocimiento aplicable a la vida diaria mediante su participación
activa, algunos reconocieron haber aprendido el significado del Teorema de Pitágoras. Todos
estos aspectos evidencian además, la motivación de los estudiantes la cual es presupuesto
básico para lograr aprendizajes significativos.
4.1.3. Prueba escrita
Con el fin de identificar algunas competencias en el pensamiento matemático como son:
Identificar características de localización de objetos en sistemas de representación
cartesiana.
Aplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución
y formulación de problemas.
Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en
demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).
Y por último, una más general como es la resolución de problemas asociada a
triángulos rectángulos.
49
Se utilizó una prueba escrita de 15 ítems (anexo G), acorde a los Lineamientos curriculares,
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas y del SIIE que consta en el PEI
Institucional.
Figura 4 – 15: Prueba escrita
50
La siguiente es la rúbrica de esta prueba:
Tabla 4 – 15: Rúbrica para la identificación de competencias en el pensamiento matemático
ASPECTOS ÍTEMS NIVELES DE DESEMPEÑO
SUPERIOR ALTO BÁSICO BAJO
Localización de objetos en el plano cartesiano
1, 6,
7, 15
Identifica con destreza características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico.
Identifica algunas características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico en la mayoría de situaciones.
Identifica con dificultad algunas características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico.
Se le dificulta identificar características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiano y geográfico.
Congruencia y semejanza de triángulos
10, 11
Aplica y justifica criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.
Aplica y justifica criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas en la mayoría de los casos.
Aplica y justifica con dificultad criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.
Muestra dificultad para aplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.
Propiedades del triángulo rectángulo
2, 3,
9, 14,
Reconoce propiedades del triángulo rectángulo como relación de sus lados, suma de sus ángulos internos y Teorema de Pitágoras.
Reconoce la mayoría de propiedades del triángulo rectángulo como relación de sus lados, suma de sus ángulos internos y Teorema de Pitágoras.
Reconoce con dificultad propiedades del triángulo rectángulo como relación de sus lados, suma de sus ángulos internos y Teorema de Pitágoras.
Confunde las propiedades del triángulo rectángulo como relación de sus lados, suma de sus ángulos internos y Teorema de Pitágoras.
Resolución de problemas
4, 5,
8, 12,
13
Aplica correctamente las propiedades del triángulo rectángulo y los sistemas de medidas de ángulos en la resolución de problemas.
Aplica en la mayoría de los casos las propiedades del triángulo rectángulo y los sistemas de medidas de ángulos en la resolución de problemas.
Aplica con dificultad las propiedades del triángulo rectángulo y los sistemas de medidas de ángulos en la resolución de problemas.
Confunde las propiedades del triángulo rectángulo y los sistemas de medidas de ángulos por lo que le no le es posible aplicarlos en la resolución de problemas.
51
4.1.3.1. Análisis de los resultados obtenidos con la aplicación del
instrumento
Tabla 4 – 16: Resultados de la prueba para identificar competencias del pensamiento
matemático
CRITERIOS PARA EL DIAGNÓSTICO DE COMPETENCIAS EN EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
CÓDIGO DEL
ESTUDIANTE
Localización de objetos en el plano cartesiano
Congruencia y
semejanza de
triángulos
Propiedades
del triángulo
rectángulo
Resolución de
problemas
CALIFICACIÓN DEFINITIVA
Ítems 1, 6, 7, 15
Ítems 10, 11
Ítems 2, 3, 9, 14
Ítems 4, 5, 8, 12,
13
Cuantitativa Cualitativa
E01AGMA S S B b 3.7 Básico
E02BAJF b b B b 2.2 Bajo
E03CZJJ b b B b 1.8 Bajo
E04CCMJ b b B B 3.0 Básico
E05CPS b b b b 1.4 Bajo
E06EOE B b b S 3.5 Básico
E07EZS S b B b 2.7 Bajo
E08GTI b b S b 3 Básico
E09GTE NP NP NP NP NA NA
E010GSJP NP NP NP NP NA NA
E11HVDA NP NP NP NP NA NA
E12HQBM b S S b 3.4 Básico
E13MGS B b b b 2.5 Bajo
E14MPAM b S S b 3.3 Básico
E15MGA b b B B 2.6 Bajo
E16OSS S S S S 5 Superior
E17PHI NP NP NP NP NA NA
E18PPD b b B b 1.7 Bajo
E19RUBS b b S B 3.3 Básico
E20SDSA NP NP NP NP NA NA
E21TRBS b S B b 2.8 Bajo
E22VMJH b b B B 3 Básico
52
E23VMV B S B b 3.4 Básico
E24VOJD b b b b 1.8 Bajo
E25VIMP b b S b 3.0 Básico
NP: No presentó, NA: No aplica.
Figura 4 – 16: Resultado general de la prueba escrita
La figura 4 – 16 muestra que el 45% de los estudiantes se encuentran en el nivel bajo,
mientras que el 50% se ubican en el nivel básico. Esta prueba arroja unos resultados
desfavorables en las competencias del pensamiento matemático, por lo cual uno de los
objetivos de las actividades a desarrollar durante la intervención es buscar la mejora en estas.
Análisis específico de cada una de las competencias
A continuación se analizan por separado cada una de las competencias evaluadas con el fin
de alcanzar una mejor comprensión de las mismas.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 0,5% 0% 50% 45%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Resultado de la prueba escrita
53
Localización de objetos en el plano cartesiano
Tabla 4 – 17: Resultados de la localización de objetos en el plano cartesiano
LOCALIZACIÓN DE OBJETOS EN EL PLANO CARTESIANO
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE EVIDENCIA
Superior 3 15
Alto 0 0
Básico 3 15
Bajo 14 70
Figura 4 – 17: Localización de objetos en el plano cartesiano
0%
10%
20%
30%
40%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 10% 30% 35% 25%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Localización de objetos en el plano cartesiano
54
La mayor dificultad se presentó en los ítems 1, 6 y 7 en los cuales hubo entre 6 y 8
estudiantes con respuestas correctas de un total de 21, este hallazgo es contradictorio con lo
evidenciado en la figura 4 – 5 donde, como se puede apreciar este mismo aspecto ubicó a los
estudiantes en los niveles de desempeño alto y superior, por lo que es posible que subsistan
algunas falencias conceptuales en cuanto al plano cartesiano y en especial a los ángulos de
referencia, debilidades que pueden causar dificultades en el aprendizaje significativo crítico de
las identidades trigonométricas.
Congruencia y semejanza de triángulos
Tabla 4 – 18: Resultados congruencia y semejanza de triángulos
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE EVIDENCIA
Superior 6 30
Alto 0 0
Básico 0 0
Bajo 14 70
55
Figura 4 – 18: Congruencia y semejanza de triángulos
Este aspecto evidenció dificultades en situaciones cuya solución requiere de la aplicación
del concepto de proporcionalidad, lo que es acorde con los resultados presentados en la tabla
4 – 8 que corresponde a la indagación de saberes previos en lo relacionado con la
proporcionalidad (anexo G, ítems 21, 22, 25, 26, 27, 28), allí se puede apreciar que el 100%
de los estudiantes desconoce los conceptos de razón y proporción, por lo tanto, no pudieron
hacer uso de ellos para solucionar las situaciones planteadas.
Propiedades del triángulo rectángulo
Tabla 4 – 19: Propiedades del triángulo rectángulo
PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE EVIDENCIA
Superior 6 30
Alto 0 0
0%
20%
40%
60%
80%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 30% 0% 0% 70%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Congruencia y semejanza de triángulos
56
Básico 10 50
Bajo 4 20
Figura 4 – 19: Propiedades del triángulo rectángulo
Este apartado señala de acuerdo con la figura 4 – 19, que el 50% de los estudiantes se
encuentra en el nivel básico y el 20% en el nivel bajo, por lo cual será necesario reforzar
algunas propiedades del triángulo rectángulo como son la relación de sus lados y ángulos que
dieron origen al Teorema de Pitágoras y posteriormente a las razones trigonométricas, entre
otros, pues estos constituyen pre-saberes básicos para el aprendizaje significativo crítico de las
identidades trigonométricas.
0%
20%
40%
60%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 30% 0% 50% 20%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Propiedades del triángulo rectángulo
57
Resolución de problemas
Tabla 4 – 20: Resultado de la resolución de problemas
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE EVIDENCIA
Superior 2 10
Alto 0 0
Básico 4 20
Bajo 14 70
Figura 4 – 20: Resolución de problemas
0%
20%
40%
60%
80%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 10% 0% 20% 70%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Resolución de problemas
58
Los resultados de este aspecto advierten que el 70% de los estudiantes tiene dificultades en
la resolución de problemas, especialmente aquellos relacionados con la aplicación de las
razones trigonométricas para hallar longitudes desconocidas de los lados de un triángulo
rectángulo. Este hecho evidencia aprendizajes memorísticos, transmitidos al estudiante los
cuales deben ser transformado en aprendizaje significativo crítico al que el estudiante le
atribuya significación y sentido.
4.1.4. Consolidado de los resultados de saberes previos
Para efectos del cálculo de la nota definitiva de la evaluación se asignará igual peso a cada
una de las actividades, es decir el 33.33%, los resultados se muestran en la tabla 4 – 22.
Tabla 4 – 21: Resultados definitivos de saberes previos por estudiante
Código
del
estudiante
ACTIVIDADES DE DIAGNÓSTICO
DEFINITIVA ANÁLISIS CUALITATIVO Actividad
1
Actividad 2
Actividad 3
E01AGMA 3.3 4.0 3.7 3.7
La estudiante se ubica en nivel
básico, el resultado obtenido en la
prueba escrita superó el de la
actividad lúdica, como no sucedió
con la mayoría de estudiantes
E02BAJF NP 3.7 2.2 NA NA
E03CZJJ 4.2 3.9 1.8 3.3
Presenta dificultades en la prueba
escrita en lo referente al plano
cartesiano, la congruencia y
semejanza de triángulos y la
resolución de problemas. Se ubica
en el nivel básico.
E04CCMJ 4.2 4.3 3.0 3.8
Se ubica en el nivel básico,
presentó deficiencias cognitivas en
la localización de objetos en el
plano cartesiano y en congruencia y
semejanza de triángulos.
E05CPS 4.2 4.2 1.4 3.3 Presenta dificultad en la prueba
59
escrita en todos los aspectos
evaluados, es necesario recurrir a
organizadores previos para que el
estudiante logre un aprendizaje
significativo de las identidades
trigonométricas. Se encuentra en el
nivel básico.
E06EOE 3.8 3.8 3.5 3.7
Se ubica en el nivel básico, con una
desviación estándar mínima en sus
notas, por lo que el promedio
representa su realidad cognitiva. No
obstante presentó dificultades en la
resolución de problemas en las
pruebas.
E07EZS 3.4 NP 2.7 NA NA
E08GTI 3.3 4.5 3 3.6
Se encuentra en el nivel básico, presentó dificultades en la resolución de problemas relacionados con proporcionalidad y aplicación de razones trigonométricas.
E09GTE 4.2 4.6 NP NA NA
E010GSJP 3.8 4.2 NP NA NA
E11HVDA 3.6 3.8 NP NA NA
E12HQBM 3.7 4.6 3.4 3.9
Su definitiva corresponde al nivel básico, observó falencias en la localización de objetos en el plano cartesiano y en la resolución de problemas.
E13MGS 3.7 4.0 2.5 3.4
Se encuentra en el nivel básico y evidencia dificultades cognitivos en lo relacionado con la congruencia y semejanza de triángulos, propiedades del triángulo rectángulo y en resolución de problemas.
E14MPAM 3.6 3.5 3.3 3.5
Se ubica en el nivel básico su definitiva presenta una desviación estándar baja por lo que su nivel en cada una de las actividades es básico. Presenta dificultades cognitivas en la localización de objetos en el plano cartesiano y en la resolución de problemas.
E15MGA 3.6 3.3 2.6 3.2
Su definitiva corresponde al nivel básico, presentó falencias en la localización de objetos en el plano cartesiano, lo referente a
60
proporcionalidad y resolución de problemas.
E16OSS 3.8 2.7 5 3.8
Se encuentra en el nivel básico, sus falencias corresponden principalmente a competencias digitales pero operativamente, su nivel fue superior.
E17PHI 3.4 NP NP NA NA
E18PPD 3.6 NP 1.7 NP NA
E19RUBS 3.7 3.5 3.3 3.5
Se sitúa en el nivel básico, presenta vacíos cognitivos en lo referente a la localización de objetos en el plano cartesiano, proporcionalidad y resolución de problemas.
E20SDSA NP NP NP NA NA
E21TRBS 3.4 NP 2.8 NA NA
E22VMJH 3.7 3.7 3 3.5
Se ubica en el nivel básico, evidenció dificultades en la localización de objetos en el plano cartesiano, proporcionalidad y resolución de problemas.
E23VMV 3.3 3.7 3.4 3.5
Su definitiva corresponde al nivel básico, presentó falencias en proporcionalidad y en resolución y planteamiento de problemas.
E24VOJD 3.6 3.6 1.8 3.0
Se sitúa al inicio del nivel básico, se evidencias dificultades en la localización de objetos en el plano cartesiano, proporcionalidad, propiedades del triángulo rectángulo y la resolución de problemas. Obtuvo un mejor desempeño en las habilidades digitales. Es preciso recurrir a organizadores previos para que alcance un aprendizaje significativo de las identidades trigonométricas.
E25VIMP 3.3 3.9 3.0 3.4
Se encuentra en el nivel básico, presenta vacíos conceptuales en la ubicación de objetos en el plano cartesiano, proporcionalidad y la resolución de problemas.
NP: No presentó, NA: No aplica.
61
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 0% 0% 100% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Resultado definitivo de saberes previos
Con el fin de facilitar el análisis cuantitativo y cualitativo del proceso, sólo se tomarán en
cuenta aquellos estudiantes que participaron satisfactoriamente de las tres actividades de
diagnóstico. Para efectos del presente trabajo, se asignará el mismo peso a cada una de las
actividades para obtener la calificación cuantitativa del 100%, los resultados se presentan a
continuación:
Tabla 4 – 22: Consolidado definitivo de saberes previos
CONSOLIDADO DEFINITIVO DE SABERES PREVIOS
DESEMPEÑO CANTIDAD
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 0 0
Alto 0 0
Básico 16 100
Bajo 0 0
Figura 4 – 21: Consolidado definitivo de saberes previos
Para el desarrollo de esta propuesta y en concordancia con el primer principio de la Teoría
del aprendizaje significativo crítico o del conocimiento previo se consideró necesario que los
estudiantes tuviesen algunos subsunsores por lo que se buscó a indagar por el nivel de
conocimiento en cuanto al plano cartesiano, la ubicación de puntos en este, medición de
62
ángulos, proporcionalidad, razones trigonométricas, resolución de problemas asociados a estos
conceptos y otros referentes a competencias digitales como la resolución de problemas
utilizando herramientas tecnológicas así como la búsqueda y validación de información por
estos medios.
Toda vez que la evaluación es continua en el proceso de aprendizaje se observaron algunos
principios de la Teoría del aprendizaje significativo crítico, es así que, durante el desarrollo de
la actividad grupal Alcance la estrella, se atendió al segundo principio relacionado con la
interacción social y el cuestionamiento ya que los estudiantes de cada grupo pudieron
interactuar entre sí y con los demás grupos cuando fue necesario construir conceptos
relacionados con preguntas que no fueron resueltas, incluso se plantearon interrogantes entre
los grupos para quienes estaban respondiendo alguna de las situaciones planteadas, lo cual
generó un dialogo alrededor de los conceptos estudiados, lo que pudo ayudar a resolver vacíos
conceptuales.
Se procuró que fuese el estudiante quien construyese el concepto, a partir de sus propias
preguntas, de fuese reconstruyendo su aprendizaje de manera progresiva, conforme a sus
necesidades, y no simplemente dado por el docente. Esta participación de los estudiantes
mediante preguntas no es usual en la clase, el aprendizaje tradicional se desarrolla en un
ambiente pasivo que no genera preguntas pues la autoridad que encarna el docente va más
allá de toda duda razonable, así mismo, esta participación es muestra de predisposición para
aprender de manera significativa.
También, en la evaluación de competencias digitales se observó el principio de la no
centralización en el libro de texto, pues se utilizó un material distinto al que proveen los libros
de texto cuya forma plana y simple no permite interactuar con los conceptos inmersos en las
situaciones, lo que sí es posible mediante un SGD como Geogebra. De la misma forma se
contempló el principio de la no utilización de la pizarra, pues la actividad se desarrolló en línea,
el aprendizaje sucedió de manera particular en cada caso, de acuerdo a la forma en cada
estudiante interactuó con su construcción geométrica, generando interrogantes por resolver.
63
En lo concerniente a los resultados obtenidos con el desarrollo de las actividades se
encontró que los estudiantes tenían falencias en lo referente a algunos conceptos básicos
como la ubicación de puntos en el plano cartesiano, la resolución de situaciones problema
especialmente aquellas asociadas a la congruencia y semejanza de triángulos debido a
deficiencias en la aplicación de la proporcionalidad, y en algunas propiedades del triángulo
rectángulo relacionadas con la longitud de sus lados y ángulos comprendidos entre ellos,
hechos que representaban un impedimento para el aprendizaje significativo crítico de las
identidades trigonométricas, por ello se hizo necesario diseñar estrategias que facilitaran el
aprendizaje de estos conceptos de manera que los estudiantes del grado décimo dos de la
Institución Educativa Maestro Pedro Nel Gómez pudiesen robustecer su estructura cognitiva
incorporando aprendizajes significativos.
En virtud de lo anteriormente expuesto, las actividades diseñadas para la intervención
debieron suplir estas falencias de manera tal que puedan atribuirle significado a las identidades
trigonométricas.
4.2. Propuesta
De acuerdo con los resultados obtenidos en la fase diagnóstica se evidencia la necesidad
de diseñar una propuesta que busque fortalecer algunas falencias encontradas como son la
ubicación de puntos en el plano cartesiano, las aplicaciones de la proporcionalidad en la
resolución de problemas relacionados con triángulos. Igualmente se hicieron visibles
dificultades de carácter logístico y técnico, entre otras, la avería de algunos equipos de
cómputo y no disponer del navegador Internet Explorer para ejecutar plataformas en línea
como NLVM, lo cual es una limitante para el desarrollo de actividades de aprendizaje basadas
en aplicaciones tecnológicas, por lo que se dispondrán igualmente, actividades prácticas que
faciliten el aprendizaje significativo crítico de los conceptos que conforman la estructura de las
identidades trigonométricas.
64
Este planteamiento implica aprendizajes basados en el contexto de los estudiantes donde
se motive la interacción social, el surgimiento de interrogantes a partir de diversas actividades
que se aparten de la transcripción del texto y del uso excesivo de la pizarra.
Para este propósito se diseñaron un total de cinco actividades pero debido a la premura del
tiempo no fue posible implementar la número 3, se optó por priorizar las otras cuatro
actividades ya que su contenido corresponde con los resultados más bajos obtenidos en la fase
diagnóstica. En cada una de estas se tomó en cuenta el aprendizaje tanto individual como
cooperativo privilegiando el dialogo, la discusión en torno a los diferentes conceptos debido a la
manera distinta en que cada estudiante pudo haber percibido cada situación.
A continuación se relacionan las cinco actividades con las temáticas abordadas.
Tabla 4 – 23: Actividades a implementar durante la intervención
Actividad No. Título Temas
1 Congruencia y semejanza de triángulos Medición de ángulos, proporcionalidad, semejanza y congruencia de triángulos
2 Medición de alturas utilizando un teodolito casero
Medición de ángulos y longitudes, cálculo de alturas por medición indirecta, errores en la medición.
3 Triangulandia
Aprendizaje basado en juegos, aplicaciones de las razones y funciones trigonométricas en la cotidianidad
4 Análisis de las transformaciones en las funciones trigonométricas (función seno)
Análisis de la estructura algebraica de las funciones trigonométricas y sus transformaciones cuando varían algunos valores
5 Construcción de identidades trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria.
Análisis del origen común de razones, funciones e identidades trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria
65
En las siguientes líneas se realizará el análisis de las actividades aplicadas durante la
intervención.
4.2.1. Actividad 1: Congruencia y semejanza de triángulos
Esta actividad se llevó a cabo el día 22 de octubre de 2018 con una intensidad de dos horas
y tuvo como finalidad mejorar falencias evidenciadas en la fase diagnóstica con respecto al
concepto de proporcionalidad, para este propósito se tomó como punto de partida las
relaciones de semejanza y congruencia de triángulos ya que estas se constituyen en saber
previo para la resolución de triángulos en posición de Tales y a su vez para el aprendizaje
significativo crítico de las identidades trigonométricas. La proporcionalidad es un concepto que
se empieza a trabajar desde el primer año escolar en el ámbito del pensamiento numérico y
métrico, luego al inicio de la básica secundaria se va complejizando al integrar el pensamiento
variacional, bastante sensible en el concepto de identidades trigonométricas.
Se dio inicio a la actividad con una breve reseña histórica que buscó resaltar la importancia
de la proporcionalidad como base de la matemática y geometría griega, luego se abordó el
concepto de semejanza y congruencia de triángulos mediante una actividad práctica
consistente en realizar algunos dobleces en una hoja de papel iris tamaño carta. Como consta
en el anexo H, primero se debía doblar la hoja de forma diagonal, luego, con esta en posición
vertical medir 9 centímetros hacia abajo y doblarla verticalmente. En el procedimiento se
previeron dos situaciones posibles de acuerdo con el sentido de la diagonal:
Figura 4 – 22: Diagonal caso uno Figura 4 – 23: Diagonal caso dos
66
Se dio libertad a los estudiantes para nombrar los triángulos formados de manera que cada
uno pudiese considerarse como perceptor y representador de su propia situación facilitando la
organización de un modelo mental acorde a su estructura cognitiva, de esta forma los alumnos
llegaron a la conclusión de que los dos triángulos rectángulos grandes eran congruentes debido
a que se obtuvieron al doblar una forma rectangular mediante una diagonal originando dos
mitades iguales (punto 1), como es el caso de la estudiante E04CCMJ (figura 4 – 24).
Figura 4 – 24: Congruencia entre triángulos según la estudiante E04CCMJ
En el punto dos de la actividad hubo dificultad para medir los ángulos internos en los
triángulos ya que la mayoría de los estudiantes presentaron dudas sobre el uso correcto del
transportador, por lo que el docente aprovechó la actividad para mejorar esta competencia en
los alumnos. Este hecho puso en evidencia prácticas de aula anteriores que no tomaron en
cuenta lo que Moreira llama en el principio diez, la participación activa del estudiante en su
proceso de aprendizaje así como el uso de diversas estrategias que propicien aprendizaje
significativo crítico que pueda ser implementado en la vida práctica.
La actividad permitió que los estudiantes concluyeran que los ángulos opuestos por el
vértice son congruentes, por ejemplo, en el triángulo BCG de la figura 4 – 22, el ángulo G mide
igual que su opuesto en el triángulo EFG y su medida experimentó variaciones de acuerdo a la
exactitud en el trazado de la diagonal con respecto a los vértices de la hoja. Igualmente se
verificó el concepto de complementariedad de ángulos en la mayoría de los casos, es decir,
aquellos que su suma es noventa grados. En las figura 4 – 25 y 4 – 26, se puede apreciar como
el estudiante E01AGMA identificó ambos conceptos, no obstante la figura 4 – 27, muestra que
el alumno E05CPS, identificó el concepto de congruencia en ángulos opuestos por el vértice,
pero no le fue posible alcanzar el concepto de complementariedad pues en la esquina superior
67
derecha se puede apreciar que el ángulo C mide 50º y su complemento 45º, situación que, de
acuerdo con Moreira pudo deberse a la falta del principio del conocimiento previo sobre
ángulos complementarios cuya suma es noventa grados.
Figura 4 – 25: Ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios (E01AGMA)
Figura 4 – 26: Ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios (E01AGMA)
68
Figura 4 – 27: Ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios (E05CPS)
Algunos estudiantes, como es el caso de E18PPD (figura 4 – 28) y E22VMJH (figura 4 –
29), no lograron terminar la actividad, les costó el proceso de medición tanto con el
transportador como con la regla, básicos para avanzar al concepto de proporcionalidad entre
triángulos semejantes.
Figura 4 – 28: Razón de proporcionalidad entre triángulos semejantes. Estudiante E18PPD
69
Figura 4 – 29: Razón de proporcionalidad entre triángulos semejantes. Estudiante E22VMJH
Figura 4 – 30: Estudiantes realizando mediciones de ángulos y longitudes
70
4.2.2. Actividad 2: Medición de alturas utilizando un teodolito casero
Esta actividad se llevó a cabo el día 1 de noviembre de 2018 con una duración de dos
horas, y tuvo como finalidad afianzar el aprendizaje de las razones trigonométricas a partir de
una actividad práctica basada en una situación problema consistente en medir la altura a la que
se encuentra la loza del tercer nivel del bloque donde están ubicadas las aulas 4 a 7 (figura 4 –
31).
Figura 4 – 31: Bloque frente al patio uno de la I.E. Maestro Pedro Nel Gómez
La actividad contó con la participación de veinte estudiantes dispuestos en 7 equipos de
trabajo, seis de tres alumnos y uno de dos. Se inició con el planteamiento de la situación
problema a los estudiantes e inmediatamente surgieron frases como, eso no se puede, no hay
un metro suficientemente largo para medir esa altura, e interrogantes como, ¿usted si trajo un
metro largo? ¿Cómo vamos a hacer eso, profe? Su expresión fue de inquietud pero también
de disposición. Durante su proceso de formación pocas veces los estudiantes se ven
enfrentados a este tipo de situaciones que requieren de su ingenio para ser resueltas, con
frecuencia se les pide que solucionen ejercicios descontextualizados y que, por tanto, puedan
resultar no significativos para ellos.
71
A continuación se les hizo una reseña histórica sobre el teodolito que es un instrumento de
origen griego que sirve para medir ángulos combinando mecánica y óptica, inicialmente se
utilizó en astronomía debido a su baja precisión para ser empleado en geodesia. Así mismo se
les indicó su utilidad y funcionamiento, seguidamente, el docente pidió a los estudiantes
organizarse a voluntad por grupos de tres, luego, les entregó el diseño de la actividad.
Figura 4 – 32: Teodolito casero
Es de resaltar que los estudiantes estuvieron motivados a pesar de lo caluroso del día y de
tratarse de una actividad a la intemperie, cada grupo pudo crear su propio modelo de la
situación a resolver, pues no hubo condicionantes de ningún tipo, solo la entrega de unas
herramientas efectivas para solucionar un problema. En la figura 4 – 33 se puede apreciar
como el grupo compuesto por los estudiantes E03CZJJ, E04CCMJ y E09GTE, realizó un
modelo de situación basado en dos triángulos independientes, mientras que los estudiantes
E08GTI, E18PPD y E25VIMP ( figura 4 – 34 ) se basaron en una representación de un triángulo
rectángulo que contiene otros dos.
72
Figura 4 – 33: Modelo situacional realizado por los estudiantes E03CZJJ, E04CCMJ y E09GTE
Figura 4 – 34: Modelo situacional realizado por los estudiantes E08GTI, E18PPD y E25VIMP
Como se puede apreciar, la actividad buscó reconocer los estudiantes como sujetos activos
en la construcción de su propio conocimiento, presupuesto que, según Moreira, puede
favorecer la construcción de aprendizaje significativo crítico debido a la interacción que se
produce entre los saberes previos y el significado de los conceptos inmersos en el material
educativo.
Así mismo, se buscó escuchar la voz de los estudiantes de manera libre y espontánea,
mediante la formulación de dos preguntas, la primera de ellas, ¿Qué aprendiste con la
actividad?, se obtuvieron respuestas como las siguientes:
73
Figura 4 – 35: Percepción de aprendizaje de algunos estudiantes
De acuerdo con Gowin (1981) citado por Moreira otro de los presupuestos para lograr que el
estudiante alcance aprendizajes significativos es tener una buena predisposición para
aprender, es decir, que este motivado para que pueda captar los conceptos inmersos en el
material potencialmente significativo preparado por el docente. Con el fin de conocer si la
actividad logró entre otros fines, la motivación, se formuló la segunda pregunta, ¿cómo te
pareció la actividad?, obteniendo apreciaciones como las siguientes:
Figura 4 – 36: Percepción de satisfacción de algunos estudiantes frente a la actividad
74
Figura 4 – 37: Estudiantes realizando mediciones, registro y procesamiento de datos
75
4.2.3. Actividad 3: Análisis de las transformaciones en las funciones
trigonométricas
Esta actividad se llevó a cabo el día 06 de noviembre de 2018 con una intensidad de dos
horas, de la que participaron 21 estudiantes, tuvo como propósito aportarle al concepto de
función como un objeto que puede mutar, susceptible de experimentar cambios para adaptarse
y explicar múltiples fenómenos físicos como las ondas, por ejemplo. A este respecto, Moreira
cita a Postman y Weingartner para referirse a que la escuela se ocupa de enseñar conceptos
de cosas y estados inmutables con la certeza de que, si se sabe el nombre del objeto, este se
entiende, despreciando así sus múltiples definiciones según el contexto, igualmente, el hecho
de que las diferencias apreciables sólo son aquellas paralelas, como bueno – malo, etc.
descartando estados intermedios que pueden relatar o, por lo menos, dar pistas sobre su
génesis y éxodo.
Desde la actividad de análisis del Teorema de Pitágoras los estudiantes estuvieron
motivados con la plataforma Geogebra, por ese motivo les causó júbilo saber que iban a
utilizarla nuevamente, su curiosidad los llevó a explorar por su propia cuenta y a redescubrir
temas ya vistos como es el caso de la función lineal y cuadrática, reconociendo que hubiese
sido más fácil su aprendizaje con ayuda de este software.
Se dio inicio a la actividad con la construcción del applet para analizar las transformaciones
de la función genérica, y = a sen (bx) + c, donde a, b y c son manipulables mediante
deslizadores que permiten analizar cambios progresivos con el incremento o disminución de
estos valores, esta herramienta es de diseño propio del docente investigador y está disponible
en https://www.geogebra.org/m/qhuw3hue, la actividad captó la atención de los estudiantes,
propició interacción entre ellos y con el maestro, la familiaridad con los menús del programa y
el aprendizaje de conceptos básicos hizo el proceso más fluido, su satisfacción fue evidente,
por ejemplo, el estudiante E010GSJP manifestó que su applet, pues lo vieron como una
creación propia, era similar a un juego de Play Station con el cual se podía interactuar y
además, aprender, pudiese decirse que estos jóvenes de la llamada generación digital tuvieran
una conexión innata con la tecnología que les facilita su desempeño en este campo.
76
Las siguientes son algunas de las construcciones realizadas por los estudiantes:
Figura 4 – 38: Construcción realizada por el estudiante E15MGA
Figura 4 – 39: Construcción realizada por el estudiante E12HQBM
77
Figura 4 – 40: Otras construcciones realizadas durante la actividad
Luego de construido el applet, se procedió a resolver algunas preguntas facilitadoras con el
fin de guiar a los estudiantes a la construcción de los significados de a, b y c, en la función y =
a sen (bx) + c, entendida esta como un sistema de causalidad múltiple, cambiante, relativo,
adaptable, características que como indica Moreira, dan sentido a la educación y fundamentan
el aprendizaje significativo crítico.
Respecto al elemento a, la mayoría de los estudiantes como es el caso de E01AGMA y
concluyeron que su crecimiento influye en el estiramiento o alargamiento vertical de la función,
no obstante, hubo dificultad para describir lo que sucede cuando a decrece, alumnos como
E13MGS (figura 4 – 41) y E03CZJJ (figura 4 – 42) describieron que la función se estira
78
horizontalmente cuando lo que ocurre es un recogimiento vertical, tal como lo indicó el
estudiante E01AGMA (figura 4 – 43).
Figura 4 – 41: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E13MGS
Figura 4 – 42: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E03CZJJ
Figura 4 – 43: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E01AGMA
79
Este resultado puede deberse a falencias en el principio cinco que se refiere al conocimiento
como lenguaje, pues este último permite expresar la forma en que se percibe la realidad, las
palabras se convierten en símbolos que la expresan y como se puede ver, en este caso las
palabras no son el reflejo de esta.
En relación al componente b, la mayor parte de los estudiantes concluyeron que este genera
cambios en el alargamiento o recogimiento horizontal de la función por lo que puede decirse
que no hubo dificultades notables en este aspecto, tal como se puede evidenciar en la actividad
realizada por los alumnos E15MGA (figura 4 – 44) y E16OSS (figura 4 – 45).
Figura 4 – 44: Incidencia del elemento b en la función según Estudiante E15MGA
Figura 4 – 45: Incidencia del elemento b en la función según Estudiante E16OSS
80
Sin embargo, el estudiante E14MPAM (figura 4 – 46) no definió el sentido horizontal o
vertical en que se alarga o recoge la función, además, planteó un movimiento vertical
inexistente. Este evento puede deberse a falencias en el principio facilitador número seis que
habla de la conciencia semántica pues es posible que no reconociera con claridad el significado
de las palabras horizontal y vertical y por ese motivo sintió temor de utilizarlas, además, como
se puede ver, no fue posible captar la atención del estudiante para que agudizara sus sentidos
y realizara observaciones libres de distractores que distorsionaran la realidad.
Figura 4 – 46: Incidencia del elemento a en la función según Estudiante E14MPAM
En cuanto al elemento c cuyas implicaciones en la transformación de la función es más
evidente, traslación completa de esta en sentido vertical ascendente o descendente conforme c
crece o decrece respectivamente, no se presentaron dificultades.
En lo que respecta a la percepción de la actividad los estudiantes hicieron apreciaciones
como las siguientes:
81
Figura 4 – 47: Percepciones de la estudiante E01AGMA
Figura 4 – 48: Percepciones de la estudiante E04CCMJ
Figura 4 – 49: Percepciones de la estudiante E02BAJF
82
Figura 4 – 50: Estudiantes construyendo el applet y desarrollando la actividad
83
4.2.4. Actividad 4: Construcción de identidades trigonométricas a
partir de la circunferencia unitaria
Esta actividad se llevó a cabo el día 14 de noviembre de 2018 con una intensidad de dos
horas y la participación de 19 estudiantes, tuvo como finalidad construir el concepto de algunas
identidades trigonométricas sencillas y cuadráticas a partir de la circunferencia unitaria con
ayuda de una herramienta tecnológica diseñada por el docente para ser construida durante la
clase por cada uno de los estudiantes, la plataforma utilizada fue Geogebra y el applet se
encuentra disponible en https://www.geogebra.org/m/cmwp2tkw.
Figura 4 – 51: Applet utilizado para la construcción de identidades trigonométricas
Generalmente la enseñanza de las identidades trigonométricas se realiza de manera
mecánica, como algo que el docente trae a la clase y lo expone a sus estudiantes como una
verdad incuestionable pues no les da un argumento sobre su origen y finalidad, razón por la
cual el aprendiz no incorpora este conocimiento de manera significativa anclado a saberes
84
previos, motivo por el cual su aprendizaje representa una dificultad al punto que muchos
docentes prescinden de este tema.
La actividad se inició con una introducción al tema y continuó con la construcción del applet
utilizando la plataforma Geogebra en línea, los numerosos conceptos implícitos en la
construcción y el desarrollo de la misma suscitaron variedad de preguntas, por ejemplo, generó
inquietud la forma en que se afectaron los objetos geométricos entre sí debido a la
interdependencia entre ellos, el movimiento de líneas secantes o tangentes una línea, en fin,
conceptos que generalmente son estáticos para los estudiantes adquirieron vida en esta
construcción lo cual fue muy motivante para ellos. La masiva participación de los estudiantes
hizo evidente su interés por aprender, todos querían terminar el applet, su atención estuvo
centrada en la clase y fue grato para cada uno terminar el applet.
Las siguientes son algunas de las construcciones realizadas por los estudiantes:
Figura 4 – 52: Construcción del estudiante E03CZJJ
85
Figura 4 – 53: Construcción del estudiante E16OSS
Luego, con ayuda de la herramienta se utilizó el triángulo BAD para construir las identidades
trigonométricas básicas expresadas en términos de seno y coseno, así como la pitagórica
sen2 α + cos2 α = 1, lo cual no representó dificultad para los estudiantes pues sólo fue
necesario aplicar las definiciones de las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras.
Las figuras 4 – 54 y 4 – 55 muestran el procedimiento realizado por los estudiantes
E04CCMJ y E09GTE, respectivamente.
Para la construcción de la identidades pitagóricas sec2 α = 1 + tan2 α, y, csc2 α = 1 + cot2 α
(figura 4 – 56) , se utilizaron los triángulos BHI y BRS en cada caso, aplicando únicamente el
Teorema de Pitágoras, es decir, acudiendo a presaberes que se encuentran en la base de la
estructura cognitiva facilitando así la construcción de aprendizaje significativo crítico.
Igualmente, la observación de principios facilitadores como la diversidad en el uso de
materiales educativos, apartándose del uso del tablero para diseñar modelos estáticos,
rústicos, no convencionales que no atraen la atención del estudiante, esta actividad convocó el
interés de los estudiantes a participar de su aprendizaje, a entenderse como perceptor y
representador de situaciones, a aprender a partir de lo que Moreira llama percepciones previas,
propiciando que el aprendizaje de cada estudiante sea único.
86
Figura 4 – 54: Procedimiento realizado por la estudiante E04CCMJ
Figura 4 – 55: Procedimiento realizado por el estudiante E09GTE
87
Figura 4 – 56: Identidades Pitagóricas, procedimiento del estudiante E010GSJP
A medida que la actividad fue avanzando, cada estudiante pudo identificar sus falencias
cognitivas causadas por aprendizajes no significativos, suscitándose la pregunta y con esta, la
interacción entre los estudiantes y el docente en torno al material de aprendizaje
potencialmente significativo. Una prueba de esta afirmación la constituyen las correcciones
realizadas por los estudiantes evidenciadas en los llamados tachones como es el caso del
estudiante E14MPAM (figura 4 – 57), donde además se puede identificar una construcción y
reconstrucción de conceptos y el llamado principio del aprendizaje por el error, no del ensayo y
error ya que los conceptos están inmersos en la construcción y por lo tanto, verificables.
Figura 4 – 57: Actividad desarrollada por el estudiante E14MPAM
88
La actividad cumplió entonces con una finalidad que, usualmente es difícil alcanzar en una
clase tradicional, provocar la pregunta del estudiante la cual resulta mucho más importante que
aquella que hace el docente, la primera es conforme a la realidad del estudiante, la segunda
proviene del imaginario del maestro.
En cuanto a la percepción de los estudiantes con respecto a la actividad se pudieron
recoger apreciaciones como las siguientes:
Figura 4 – 58: Apreciación del estudiante E02BAJF
Figura 4 – 59: Apreciación del estudiante E09GTE
89
Figura 4 – 60: Estudiantes durante la actividad de construcción de identidades trigonométricas
4.2.5. Plataforma Moodle
El potencial de la plataforma Moodle no pudo ser utilizado en toda su plenitud por falta de
tiempo para realizar una inducción a los estudiantes sobre su uso, no obstante, todos fueron
matriculados en un curso llamado Identidades Trigonométricas.
90
Figura 4 – 61: Estudiantes matriculados en la plataforma Moodle
Así mismo, se logró que los estudiantes interactuaran con los contenidos depositados en la
plataforma, inclusive, la actividad 3 correspondiente a las transformaciones de las funciones
trigonométricas fue enviada por algunos a través de la plataforma Moodle, lastimosamente,
91
como se ha dicho, su implementación completa hubiera demandado más tiempo del que se
disponía.
Figura 4 – 62: Actividad 3 depositada por algunos estudiantes
92
4.3. Actividad final o de cierre
Con el fin de establecer si hubo mejoras en el aprendizaje de los estudiantes con la
implementación de la propuesta se aplicó la misma prueba escrita a manera de test (anexo G)
que se utilizó en la fase diagnóstica, estableciendo parámetros para contrastar posibles
avances en el desempeño de los estudiantes relacionados con el aprendizaje de las
identidades trigonométricas.
Figura 4 – 63: Estudiantes durante el desarrollo de la actividad final
93
Tabla 4 – 24: Resultados de la prueba para identificar competencias del pensamiento
matemático
CRITERIOS PARA EL DIAGNÓSTICO FINAL DE COMPETENCIAS EN EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
CÓDIGO DEL
ESTUDIANTE
Localización de objetos en el plano cartesiano
Congruencia y semejanza
de triángulos
Propiedades del
triángulo rectángulo
Resolución de
problemas
DEFINITIVA
Ítems 1, 6, 7, 15
Ítems 10, 11
Ítems 2, 3, 9, 14
Ítems 4, 5, 8, 12,
13
Cuantitativa Cualitativa
E01AGMA S S S A 4.7 Superior
E02BAJF B S b b 3.3 Básico
E03CZJJ S S S S 5.0 Superior
E04CCMJ S S S A 4.7 Superior
E05CPS S S S B 4.5 Alto
E06EOE NP NP NP NP NA NA
E07EZS NP NP NP NP NA NA
E08GTI S S S S 5.0 Superior
E09GTE S S S A 4.7 Superior
E010GSJP NP NP NP NP NA NA
E11HVDA NP NP NP NP NA NA
E12HQBM S S S S 5.0 Superior
E13MGS B S S b 4.0 Alto
E14MPAM B S B b 3.7 Básico
E15MGA B S S S 4.7 Superior
E16OSS S S S S 5 Superior
E17PHI NP NP NP NP NA NA
E18PPD B S B B 3.9 Básico
E19RUBS S S S S 5.0 Superior
E20SDSA NP NP NP NP NA NA
E21TRBS S S B b 4.0 Alto
E22VMJH S b S B 4.0 Alto
E23VMV S S S S 5.0 Superior
E24VOJD B b B b 3.0 Básico
E25VIMP S S S S 5.0 Superior
NP: No presentó, NA: No aplica.
94
La rúbrica de esta prueba es la misma que la aplicada para la fase diagnóstica, como se
muestra en la tabla 4 – 15.
Tabla 4 – 25: Resultado general de la prueba escrita final
DEFINITIVA
NIVEL DE DESEMPEÑO
PORCENTAJE
Superior 57.9
Alto 21.05
Básico 21.05
Bajo 0
Figura 4 – 64: Resultado general de la prueba escrita final
La figura 4 – 64 muestra que el 57.9% de los estudiantes obtuvo un desempeño superior,
entre tanto que el 42.1% restante se ubicó en alto y básico, es decir, no hubo estudiantes en
nivel bajo.
0%10%20%30%40%50%60%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 57,90% 21,05% 21,05% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Resultado general de la prueba escrita final
95
4.3.1. Análisis por componentes de los resultados de la prueba
escrita final
Localización de objetos en el plano cartesiano
Tabla 4 – 26: Resultado final sobre localización de objetos en el plano cartesiano
LOCALIZACIÓN DE OBJETOS EN EL PLANO CARTESIANO
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 13 68.42
Alto 0 0
Básico 6 31.58
Bajo 0 0
Figura 4 – 65: Localización de objetos en el plano cartesiano
El ítem seis que consistió en seleccionar entre varios ángulos ubicados en el plano
cartesiano, aquél que se encontraba en el cuarto cuadrante, fue el que presentó mayor
0%
20%
40%
60%
80%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 68,42% 0% 31,58% 0%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Localización de objetos en el plano cartesiano
96
dificultad con tres casos de un total de 19, lo que quiere decir un 15.79%. Como se puede
apreciar en la figura 4 – 63, el 68.42% de los estudiantes alcanzó un desempeño superior,
mientras que el porcentaje restante se ubicó en el nivel básico, es decir, ningún estudiante
quedó en nivel bajo.
Congruencia y semejanza de triángulos
Tabla 4 – 27: Resultados sobre la congruencia y semejanza de triángulos
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 17 89.47
Alto 0 0
Básico 0 0
Bajo 2 10.53
Figura 4 – 66: Congruencia y semejanza de triángulos
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 89,47% 0% 0% 10,53%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Congruencia y semejanza de triángulos
97
En este componente se obtuvo un 89.47% en desempeño superior, no obstante y pese a las
actividades desarrolladas, el 10.53% se ubicó en desempeño bajo debido a que le costó a los
estudiantes la aplicación de la proporcionalidad a la resolución de triángulos.
Propiedades del triángulo rectángulo
Tabla 4 – 28: Resultados sobre las propiedades del triángulo rectángulo
PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 14 73,68
Alto 0 0
Básico 4 21,05
Bajo 1 5,27
Figura 4 – 67: Propiedades del triángulo rectángulo
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Superior Alto Básico Bajo
Pordentaje 73,68% 0% 21% 5,27%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Propiedades del triángulo rectángulo
98
En cuanto a esta competencia se puede apreciar que el 73.68 de los estudiantes se ubicó
en desempeño superior, el 21% en básico y un 5.27% en bajo. La principal dificultad se
presentó en el ítem 9 del anexo G, relacionado con la suma de los ángulos internos de un
triángulo.
Resolución de problemas
Tabla 4 – 29: Resultados sobre la resolución de problemas
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DESEMPEÑO NÚMERO DE
ESTUDIANTES PORCENTAJE
Superior 8 42,1
Alto 3 15,79
Básico 3 15,79
Bajo 5 26,32
Figura 4 – 68: Resolución de problemas
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Superior Alto Básico Bajo
Porcentaje 42,10% 15,79% 15,79% 26,32%
Po
rce
nta
je d
e
est
ud
ian
tes
Niveles de desempeño
Resolución de problemas
99
La valoración de esta competencia permitió identificar que persiste el desempeño bajo en el
26.32% de los estudiantes, el cual corresponde con los resultados de las Pruebas Saber, por lo
que el cuerpo docente de la Institución implementa estrategias para mejorar esta competencia
al igual que el razonamiento. Igualmente se debe destacar que el 42.1% de los estudiantes
obtuvo un desempeño superior evidenciándose los buenos resultados obtenidos con la
intervención.
4.3.2. Comparativo general y por componentes entre los resultados
iniciales y finales de la prueba
Tabla 4 – 30: Comparativo general entre los resultados iniciales y finales de la prueba
DESEMPEÑO PORCENTAJE
INICIAL PORCENTAJE
FINAL
Superior 5 57.9
Alto 0 21.05
Básico 50 21.05
Bajo 45 0
Figura 4 – 69: Comparativo general entre los resultados iniciales y finales de la prueba
0
10
20
30
40
50
60
Superior Alto Básico Bajo
5 0
50 45
57,9
21,05 21,05
0
Po
rce
nta
je
Desempeños
Comparativo general
Prueba inicial Prueba final
100
De acuerdo con la figura 4 – 69, se puede evidenciar que se pasó de tener un 45% de
estudiantes en el nivel de desempeño bajo, a un 0%, mientras que el nivel básico en el que se
ubicaba el 50% de los estudiantes paso al 21.05%, esto sucedió debido a que hubo una mejora
en el desempeño que llevó a que los estudiantes migraran hacia el desempeño alto que
inicialmente fue de 0%, y pasó a un 21.05%, y al desempeño superior que pasó del 0.5% al
57,9%, es decir, en su mayoría, los estudiantes pasaron de desempeño bajo a superior.
Comparativo de la ubicación de objetos en el plano cartesiano
Tabla 4 – 31: Comparativo ubicación de objetos en el plano cartesiano
DESEMPEÑO PORCENTAJE
INICIAL PORCENTAJE
FINAL
Superior 15 68.42
Alto 0 0
Básico 15 31.58
Bajo 70 0
Figura 4 – 70: Comparativo ubicación de objetos en el plano cartesiano
0
10
20
30
40
50
60
70
Superior Alto Básico Bajo
15 0
15
70 68,42
0
31,58
0 Po
rce
nta
je
Desempeños
Comparativo de la ubicación de objetos en el plano cartesiano
Prueba inicial Prueba final
101
Como es evidente se produjo una mejora sustancial entre los resultados de la prueba inicial
y final en lo que respecta a la identificación de características de localización de objetos en
sistemas de representación cartesiana, pues se pasó de tener inicialmente el 70% de los
estudiantes en desempeño bajo al 0%, es decir, se presentó un decrecimiento en el
desempeño bajo que se vio reflejado en el incremento principalmente del desempeño superior
que paso de tener 15% al 68.42%. Se pudo apreciar a los estudiantes dispuestos para el
aprendizaje, participando de las actividades de la clase, argumentos que permiten afirmar que
pudieron aprender significativamente un concepto que había sido memorizado e incorporado
arbitrariamente a su estructura cognitiva y por lo tanto olvidado.
Comparativo congruencia y semejanza de triángulos
Tabla 4 – 32: Comparativo congruencia y semejanza de triángulos
DESEMPEÑO PORCENTAJE
INICIAL PORCENTAJE
FINAL
Superior 30 89.47
Alto 0 0
Básico 0 0
Bajo 70 10.53
No obstante se presentó una mejora importante en esta competencia, que pasó del 70% al
10.53% de los estudiantes en desempeño bajo, persiste en algunos casos la dificultad en la
aplicación de la proporcionalidad a la resolución de triángulos en posición de Tales, les cuesta
el razonamiento y por lo tanto la resolución de problemas, más aun tratándose de situaciones
que involucran conceptos altamente abstractos.
102
Figura 4 – 71: Comparativo congruencia y semejanza de triángulos
Comparativo propiedades del triángulo rectángulo
Tabla 4 – 33: Comparativo propiedades del triángulo rectángulo
DESEMPEÑO PORCENTAJE
INICIAL PORCENTAJE
FINAL
Superior 30 73,68
Alto 0 0
Básico 50 21,05
Bajo 20 5,27
La mejora más notoria en esta competencia se presentó en el desempeño superior que
pasó del 30% al 73.68% debido a una reducción en los desempeños bajo y básico que pasaron
del 20% al 5.27% y del 50& al 21.05%, por efecto de una migración ascendente en el
desempeño de los estudiantes. Aún persisten algunas dificultades en un pequeño grupo de
estudiantes que deberá mejorar con el trabajo continuado de este componente teórico.
0
20
40
60
80
100
Superior Alto Básico Bajo
30
0 0
70
89,47
0 0 10,53 P
orc
en
taje
Desempeños
Comparativo congruencia y semejanza de triángulos
Prueba inicial Prueba final
103
Figura 4 – 72: Comparativo propiedades del triángulo rectángulo
Comparativo resolución de problemas
Tabla 4 – 34: Comparativo resolución de problemas
DESEMPEÑO PORCENTAJE
INICIAL PORCENTAJE
FINAL
Superior 10 42,1
Alto 0 15,79
Básico 20 15,79
Bajo 70 26,32
0
20
40
60
80
Superior Alto Básico Bajo
30
0
50
20
73,68
0
21,05
5,27 Po
rce
nta
je
Desempeños
Comparativo propiedades del triángulo rectángulo
Prueba inicial Prueba final
104
Figura 4 – 73: Comparativo resolución de problemas
Con respecto a la resolución de problemas, se puede decir que es el desempeño más
sensible, no obstante se presentó una mejora considerable, pues se pasó de un 70% en
desempeño bajo a sólo un 26.32%, que aún es preocupante a pesar de esta mejora del
43.68%. Es importante resaltar que las actividades fueron participativas, novedosas, lo que
permitió captar la atención de los estudiantes y suscitar preguntas en torno a materiales
potencialmente significativos, evitando el uso excesivo de la pizarra y el libro de texto.
0
10
20
30
40
50
60
70
Superior Alto Básico Bajo
10
0
20
70
42,1
15,79 15,79
26,32
Po
rce
nta
je
Desempeños
Comparativo resolución de problemas
Prueba inicial Prueba final
105
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1. Conclusiones
La enseñanza de las identidades trigonométricas es necesaria ya que contribuye al
desarrollo del pensamiento lógico, del razonamiento y de habilidades relacionadas con el
empleo de argumentos de tipo geométrico en la resolución y formulación de problemas, así
mismo, desde los DBA se plantea que facilitan el análisis de fenómenos periódicos como el
movimiento ondulatorio y el circular. Las dificultades en su enseñanza y el desconocimiento de
que constituyen saber previo para el aprendizaje de conceptos de mayor complejidad ha
conducido a que muchos docentes desistan de su enseñanza, así mismo, es poca la
investigación que existe al respecto, en tal virtud, este trabajo busca convertirse en un referente
que motive a los docentes a transformar la clase y les dé algunas alternativas para la
enseñanza de este tema.
La puesta en ejecución de esta propuesta y los buenos resultados obtenidos con ella, deja
en evidencia que las dificultades en la enseñanza de las identidades trigonométricas y los bajos
resultados obtenidos en las pruebas Saber en cuanto al componente lógico y al razonamiento
en la resolución de problemas en estudiantes de la Institución Educativa Maestro Pedro Nel
Gómez, se debe a la falta de estrategias que capten la atención del estudiante y lo motiven al
aprendizaje, en este sentido, el trabajo realizado permite concluir lo siguiente:
Es importante que el docente reflexione sobre su praxis pedagógica con el fin de buscar
estrategias que mejoren los procesos de aula y faciliten tanto la enseñanza como el
106
aprendizaje de los conceptos matemáticos, máxime cuando la complejidad aumenta
debido a su alto nivel de abstracticidad. Es necesario buscar medios idóneos que
provean un cuerpo a estos conceptos de manera que el estudiante pueda interactuar
con ellos y percibirlos como parte del entorno, en este aspecto, la tecnología ha jugado
un papel determinante.
La ejecución de varias actividades de diagnóstico permitió identificar las falencias más
relevantes en cuanto a conceptos y competencias básicas para el aprendizaje
significativo crítico de las identidades trigonométricas, facilitando el diseño de una
intervención adecuada para producir mejoras en las necesidades encontradas. Por su
parte, la dinámica Alcance la estrella, además de contribuir a la identificación de
saberes previos, también impactó de manera positiva el desarrollo estático de la clase
imprimiéndole dinámica, participación, trabajo colaborativo, en fin, propició a los
estudiantes un espacio para expresar su pensamiento sin el temor a equivocarse, el
diagnóstico de competencia digitales evidenció el gusto de los estudiantes por el diseño,
la creatividad, la innovación y la solución de situaciones relacionadas con el entorno,
por último, la prueba escrita reveló las dificultades existentes en las competencias del
pensamiento matemático, especialmente en lo relacionado con la aplicación de la
proporcionalidad en la solución de triángulos.
Para el desarrollo de la intervención se diseñaron cinco actividades de las cuales solo
se pudo implementar cuatro, así mismo, no fue posible utilizar la plataforma Moodle con
la intensidad que se esperaba debido al corto tiempo disponible para la intervención, no
obstante, los estudiantes pudieron interactuar con ella, inclusive, subieron a esta una de
las actividades para ser evaluada. Este proceso captó el interés y la atención de los
estudiantes, por lo tanto, estuvieron concentrados en las actividades evitando que se
presentaran situaciones de indisciplina, así mismo, valoraron el trabajo en equipo que
pocas veces se utiliza en la clase de matemáticas, también, les agradaron las
actividades prácticas, destacándose la medición de alturas con el teodolito casero, la
cual fue igualmente significativa para el docente.
107
La incorporación de herramientas tecnológicas a la clase de matemáticas permitió la
interacción de los estudiantes con los conceptos geométricos inmersos en el tema de
las identidades trigonométricas, máxime cuando los applets utilizados en las actividades
fueron construidos por los mismos estudiantes previo el diseño del docente, lo cual fue
igualmente satisfactorio ya que fue concebido como parte de su propia creatividad. La
plataforma Geogebra en línea fue ideal para el trabajo realizado, favoreció el refuerzo
de conceptos aprendidos como es el caso de los diferentes tipos de líneas, y la
construcción de otros nuevos como sucedió con las identidades trigonométricas. Este
cúmulo de experiencias favoreció el dialogo directo del estudiante con los conceptos
geométricos ubicando al docente como mediador del proceso de aprendizaje.
Como una contribución a la labor pedagógica se diseñaron un total de tres applets
idóneos, libres y gratuitos para la enseñanza de conceptos como el Teorema de
Pitágoras, disponible en https://ggbm.at/uzmxcbg8, transformaciones de las funciones
trigonométricas, disponible en https://www.geogebra.org/m/qhuw3hue, e identidades
trigonométricas, disponible en https://www.geogebra.org/m/cmwp2tkw, de este último,
es la única versión disponible en internet. Estas herramientas se encuentran a
disposición para el uso público y gratuito de docentes de todo el mundo.
La elaboración de rúbricas para la evaluación de las actividades facilitó la valoración
objetiva de estas, así como el seguimiento y la identificación del nivel de competencias
de cada estudiante en todo momento del proceso, igualmente, los alumnos pudieron
conocer sus avances y falencias y contribuir a mejorar aquellos aspectos deficientes,
convirtiéndose en sujetos activos en la construcción de su conocimiento.
La implementación de este proyecto a la luz de la Teoría del Aprendizaje Significativo
Critico, produjo los resultados esperados, pues contribuyó a dinamizar los procesos de
aula, favoreció el trabajo tanto colaborativo como individual, el dialogo en torno al
conocimiento tanto entre estudiantes como entre estos y el docente, en fin, permitió
realizar una clase dentro de un ambiente de aprendizaje distinto, alejado de la pizarra,
la tiza, el libro de texto y el discurso del docente, se provocó la participación de los
108
estudiantes en la clase mediante la formulación de preguntas surgidas de sus propias
dudas y no de las del docente.
Así mismo, se produjo una mejora significativa en los desempeños de los estudiantes,
incluso aquellos que presentaron dificultades al inicio del proceso durante la fase
diagnóstica, lograron obtener un nivel de desempeño básico, lo cual es satisfactorio.
Como lo plantean los DBA, una de las funciones de la educación es promover en el
estudiante el desarrollo de competencias científicas, tecnológicas y sociales, que como ha
quedado expresado a lo largo de este documento, la ejecución del proyecto cumplió
ampliamente con estos fines, pues, por un lado, los estudiantes se proyectaron como
investigadores en la solución de situaciones problemicas de su entorno, en cuanto a lo
tecnológico, se procuró despertar el interés por la tecnología como herramienta para la
construcción de aprendizaje, y por último, pero no menos significativo, fue el proceso social que
experimentaron los estudiantes, en sus propias palabras, pudieron conversar con el docente en
torno a los conceptos de la clase, es decir, sintieron al docente más próximo, más cercano y
comprometido con su proceso de formación, hecho que los motivó a formular preguntas sin
temor, en fin, a participar de la clase.
5.2. Recomendaciones
No obstante los resultados satisfactorios obtenidos con la implementación de la propuesta
esta es susceptible de mejorar interviniendo los siguientes aspectos:
Destinar más tiempo para la ejecución de la propuesta de manera que sea posible
realizar todas las actividades planificadas, así como potenciar el aprendizaje a través de
la plataforma Moodle ya que esta permitiría trabajar de manera asincrónica en el tiempo
de casa de los estudiantes, incluso, implementar nuevas actividades como foros,
consultas y evaluaciones que podrían favorecer el aprendizaje de los conceptos
estudiados.
109
Implementar el proyecto buscando la transversalidad entre las áreas, por ejemplo
realizar un trabajo conjunto con el docente de tecnología daría la posibilidad de instruir
previamente los estudiantes en el manejo de las herramientas utilizadas, con lo cual se
podría dedicar más tiempo a la enseñanza de los conceptos disciplinares, igualmente,
a la resolución de dudas, por ejemplo, sobre cómo aplicar Geogebra a conceptos vistos
con anterioridad, lo cual fue recurrente en la clase.
La ejecución del proyecto mediante un trabajo en equipo con otros docentes facilitaría el
proceso ya que el desarrollo de las actividades implica la presencia de más de un
docente ya que cada estudiante requiere resolver dudas que deben ser atendidas, lo
que para un solo docente puede resultar una tarea difícil de cumplir.
Es preciso verificar con antelación que los estudiantes posean las habilidades
requeridas para el desarrollo de las actividades, por ejemplo, el uso correcto de
instrumentos de medición como el flexómetro, el transportador, etc. así mismo, realizar
una inducción previa en lo referente al manejo de menús y comandos de las
herramientas computacionales a utilizar favorece el buen desarrollo de las actividades.
Se debe tener en cuenta que la ejecución de algunos programas computacionales como
el NLVM requieren de navegadores específicos para su ejecución, en este caso,
Internet Explorer, además, cuando se trate de actividades en línea se debe contar con
una opción adicional para el caso en que llegado el momento no se disponga de
internet. Lo ideal sería contar con programas instalados directamente en los equipos, no
obstante esa opción puede resultar costosa en términos pecuniarios y se debe contar
con equipos de buena configuración tanto de software como de hardware.
110
A. Anexo: Carta aval de la Institución
111
B. Anexo: Modelo para consentimiento
informado
112
C. Anexo: Ubicación geográfica IE. Maestro Pedro Nel Gómez
Fuente: Google Maps.
113
D. Anexo. Actividad de diagnóstico: Dinámica alcance la estrella
114
115
116
117
E. Anexo. Actividad de diagnóstico: Construcción de un applet para analizar el teorema de Pitágoras
118
F. Anexo: Protocolo de construcción del applet de Geogebra para analizar el Teorema de Pitágoras
119
120
G. Anexo. Actividad diagnóstica: Prueba escrita
121
122
H. Anexo. Actividad de intervención: Congruencia y semejanza de triángulos
123
I. Anexo. Actividad de intervención: Medición de alturas con un teodolito casero
124
J. Anexo. Construcción de un applet para analizar la transformación de las funciones trigonométricas
125
K. Protocolo para la construcción del applet de Geogebra utilizado para el análisis de la transformación de funciones trigonométricas
126
L. Anexo. Construcción de identidades trigonométricas a partir de la circunferencia goniométrica utilizando Geogebra
127
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