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Departamento de Aeronáutica
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
Mecanismos y Elementos de Máquinas – Mecanismos y
Sistemas de Aeronaves
DISEÑO EN CARGA VARIABLE
Pablo L. Ringegni
Revisión 3
La Plata 2020
Carga Variable
1
Índice 1.- ASPECTOS GENERALES ................................................................................................................................. 3
2.- CONCENTRACIÓN DE TENSIONES ............................................................................................................ 3
2.1 Para carga estática, el tipo de material determina su influencia: .............................................................. 6
2.2 Para el caso de carga variable: ................................................................................................................... 10
3.- CARGA VARIABLE (INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FATIGA): ................................................ 10
4.- TEORÍA DE LA FALLA POR FATIGA ........................................................................................................... 12
5.- RESISTENCIA A LA FATIGA ........................................................................................................................ 14
6.- EL LÍMITE DE FATIGA .................................................................................................................................... 16
6.1 Fatiga de bajo ciclaje: .................................................................................................................................. 19
6.2 Fatiga de alto ciclaje de duración finita: .................................................................................................... 20
7.- FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA (S’E) ................................. 22
- Factor de superficie Ka: ................................................................................................................................... 22
- Factor de tamaño Kb: ...................................................................................................................................... 24
- Factor de carga Kc: ........................................................................................................................................... 25
- Factor de temperatura kd: .............................................................................................................................. 26
- Factor de efectos diversos ke: ......................................................................................................................... 27
- Factor por efecto de la concentración de tensiones Kf: ................................................................................ 28
- Factor de confiabilidad Ks: .............................................................................................................................. 28
8.- ESFUERZOS FLUCTUANTES: INFLUENCIA DEL ESFUERZO MEDIO NO NULO. ................................... 29
La influencia del esfuerzo medio .................................................................................................................... 30
Línea de Sodeberg ............................................................................................................................................ 34
Línea de Goodman ........................................................................................................................................... 34
Curva de Gerber (relación parabólica) .............................................................................................................. 34
Línea de Fluencia ............................................................................................................................................. 34
Línea de Sodeberg ............................................................................................................................................ 35
Línea de Goodman ........................................................................................................................................... 35
Curva de Gerber (relación parabólica) ............................................................................................................. 35
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2
Línea de Fluencia ............................................................................................................................................. 35
Anexo 1: Tablas para la estimación de Kt ................................................................................................ 37
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1.- ASPECTOS GENERALES
El enfoque y objetivo del presente apunte es estudiar el comportamiento y el dimensionado de un
elemento de maquina de manera tal que tenga vida infinita, sometido a un estado de tensiones variable en el
tiempo.
No se hará hincapié en la obtención del estado de tensiones del elemento, dado que este problema ya
ha sido tratado en detalle en las diferentes asignaturas de estructuras. Tampoco se tratará el tema de carga
estática, por idénticas razones.
De todas maneras, recordamos algunos conceptos:
- Cuando una acción externa (fuerza, momento, gradiente de temperatura) es aplicada sobre un elemento se
generan esfuerzos o tensiones en este, tratando de resistir esas acciones.
- Se define:
Tensión de diseño o tensión admisible (σadm): tensión utilizada en los cálculos para el diseño del
elemento.
Tensión de trabajo o tensión nominal (σN): tensión desarrollada en el elemento bajo condiciones de
operación.
Para la determinación de los esfuerzos en el material, se deben tener en cuenta tanto las cargas
estáticas (por ejemplo: el peso) como las cargas producidas por efectos dinámicos (por ejemplo: desbalance de
una máquina rotante, acción de una carga variable, etc).
- El dimensionado del elemento se realiza para la tensión principal y luego se verifica la pieza para las tensiones
secundarias.
- El dimensionado se realiza para las cargas variables.
- Se toma la condición más limitante (si las cargas variables son las que originan la tensión principal el calculo es
uno solo).
- En todos los casos se deberá cumplir σN < σadm
2.- CONCENTRACIÓN DE TENSIONES
En el desarrollo de las ecuaciones de esfuerzo básicas para tensión, compresión, flexión y torsión, se
supuso que no hubo irregularidades (geométricas o propias del material) en el elemento analizado. Pero es muy
difícil diseñar una máquina sin encontrar algunos cambios en las secciones transversales de los elementos de la
misma o irregularidades en el material.
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- Por ejemplo:
Los ejes rotatorios deben tener hombros o resaltos para la adecuada instalación de cojinetes para
soportar carga axial.
Los ejes deben tener ranuras integradas para sujetar poleas y engranes.
Algunas partes requieren orificios, surcos para lubricación, o muescas de diverso tipo.
Así, cualquier discontinuidad en una parte de una máquina altera la distribución de tensiones en los
alrededores de si misma y de este modo las ecuaciones básicas de tensiones ya no describen el estado de
tensiones en dicha parte. A estas discontinuidades se las denomina Intensificadores de Esfuerzo o
Concentradores de Tensiones, dado que producen un incremento de tensión en los alrededores de la misma, y a
las regiones en las que ocurre, Áreas de Concentración de Esfuerzo o Tensiones.
Si se analiza un caso general de una placa con un agujero:
A’ = Área efectiva de la sección (≠ A)
'0
A
P
Se define al factor geométrico de concentración de tensiones (Kt) como la relación:
Carga Variable
5
o
tK
max Para tensiones normales
o
o
tsK
max Para tensiones de corte
El valor de Kt depende de:
- Forma de la discontinuidad
- Geometría particular
- Tipo de tensión
En el anexo se encuentran varias tablas para factores de concentración de tensiones. Las mismas
además indican la expresión para calcular σ0 en cada caso. Por lo general esta tensión σ0 se calcula con el área
mínima en la zona de discontinuidad (A’), pero en otros casos se considera el área total (A).
El valor de σmax es difícil de determinar y se puede hallar experimentalmente (técnica de fotoelasticidad)
o analíticamente (por ejemplo, simulación numérica).
En la práctica estas tablas se utilizan para hallar la tensión σmax = Kt σo
Como los cambios de sección y las discontinuidades, se pueden producir en general de maneras muy
diversas, no siempre es posible hallar un coeficiente Kt aplicable al proyecto, por lo que habrá que verificarlo con
ensayos del modelo real y cálculos.
En las siguientes figuras se aprecia el campo de tensiones visualizado por un estudio fotoelástico.
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El factor Kt es puramente geométrico e independiente del material, pero su efecto esta relacionado con
el tipo de material (dúctil o frágil) y el tipo de carga (estática o variable).
2.1 Para carga estática, el tipo de material determina su influencia:
Si el material es frágil, tendrá poca capacidad de fluir en las zonas de tensiones máximas y se
originará una ruptura frágil en el entorno de la discontinuidad. Por lo tanto Kt se considera
importante.
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Si σmax = σadm → Ruptura frágil
Si el material es dúctil, este tendrá capacidad de fluir en la zona de concentración de tensiones y no
aparecerá fisura, se producirá una redistribución de tensiones y la pieza soportará la carga. Por este
motivo, para carga estática y material dúctil se considera Kt = 1. Luego σmax = σadm.
Para cuantificar su efecto considerando el tipo de material, se utiliza un factor reducido de kt, llamado kf.
Este factor kf es comúnmente llamado factor de concentración de tensiones por fatiga, pero su aplicación se da
también para casos estáticos.
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Así, la forma de considerar el material, se aborda usando un factor llamado factor de sensibilidad a la
entalla q, que se define como:
1
1
t
f
k
kq
La sensibilidad a la entalla es entonces una medida de considerar la ductilidad del material en la
concentración de tensiones.
Así, cuando q = 0 → kf = 1 y el material no tiene en absoluto sensibilidad a la entalla. Este es el caso del
material totalmente dúctil. Por otra parte, si q = 1 → kf = kt y el material tiene sensibilidad completa a la entalla.
Este es el caso de material “totalmente frágil”.
Con esto se ve que cuando el material es dúctil se toma un factor kf, que es un factor de kt reducido por
“q” y cuanto más frágil es más se aprecia que kf tiende a kt pues “q” no se reduce tanto (igual a 1) dado que el
material tiene más sensibilidad a la entalla.
En los trabajos de análisis o diseño, se determina primero el valor de Kt a partir de la geometría de la
pieza, luego se halla el valor de “q” (especificando el material) y posteriormente se despeja Kf de la ecuación:
11 tf KqK
A continuación, se presentan algunas curvas para aceros y aluminios para carga axial y de flexión por un
lado y de corte por el otro.
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Cabe considerar que los resultados de las pruebas para obtener “q”, poseen una gran dispersión, y si
además se tiene duda del valor verdadero de este factor, se debe emplear Kf = Kt (que es mucho mas seguro o
conservativo).
Se puede observar también que a medida que aumenta el radio de la entalla, los valores de “q” tienden
a 1.
La sensibilidad a la entalla para fundición de hierro es muy baja, para los cálculos se recomienda aplicar
q = 0,2.
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2.2 Para el caso de carga variable:
El factor Kt es siempre importante ya que la zona de concentración de esfuerzos máximos son zonas de
concentración de deformaciones (máximas) y estas se consideran como las principales causantes de la
promoción de la iniciación y crecimiento de grietas por fatiga con carga repetitiva, el esfuerzo en los puntos de
concentración puede exceder la resistencia a la fatiga entonces la pieza romperá por fatiga iniciada en esos
puntos.
Más adelante se verá como considerar este factor para los casos de carga variable.
3.- CARGA VARIABLE (INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FATIGA):
Frecuentemente ocurre que las piezas se someten a cargas con variación en el tiempo, o no estáticas
(llamadas cargas repetidas alternantes o fluctuantes) y para estos casos el diseño y análisis de dichos elementos
es completamente diferente.
Como ejemplo se puede tomar una fibra particular de la superficie de un eje rotatorio, sometido a la
acción de cargas de flexión (ya sea por desbalanceo o por carga externa) la cual pasa por esfuerzos de tensión y
compresión en cada revolución del eje. Si el eje gira a 1800 rpm, este es sometido a 1800 ciclos de tensión –
compresión por minuto.
Hoy en día, se estima que el 90 % de los casos de fallas metálicas se producen por la acción de cargas
repetidas o fluctuantes. Dichas fallas se caracterizan por ser causadas por esfuerzos o tensiones máximas reales
inferiores a la resistencia última del material y muchas veces inferiores a la resistencia de fluencia y además
porque los esfuerzos se repitieron muchas veces. A este tipo de falla se la denomina falla por fatiga.
Sintetizando se puede decir que la falla por fatiga es la ruptura del elemento al ser sometido a una carga
variable en el tiempo con el valor de la tensión máxima inferior a la tensión admisible del material.
Las fallas por fatiga, especialmente en las estructuras, resultan catastróficas y ocurren repentinamente,
a menudo sin advertencia.
La fatiga es un fenómeno muy complejo, y su mecanismo consiste en la aparición y propagación de
grietas muy pequeñas al principio (imperceptibles a simple vista), las cuales avanzan hasta producir la rotura de
la pieza.
Las grietas, por lo general, se desarrollan en la superficie, en un punto de discontinuidad en el material,
tal como un cambio en la sección transversal, un chavetero o un orificio. También hay otros puntos donde es
probable que se inicien fallas por fatiga tal como las marcas de inspección o de otra clase, grietas o defectos
internos del material o irregularidades causadas por el mecanizado. Una vez formada la grieta, el efecto de
concentración de esfuerzo se hace mayor y se extiende rápidamente. Así, como el área resistente disminuye de
tamaño, el esfuerzo aumenta en magnitud, hasta que finalmente, el área restante falla repentinamente.
En consecuencia, la falla por fatiga esta caracterizada por dos áreas diferentes (Ver figura); un área
correspondiente al desarrollo progresivo de la grieta y la otra originada por la ruptura repentina.
Esta última tiene el aspecto parecido a la fractura de un material frágil como puede ser la fundición gris
que ha fallado por tracción.
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Cuando las piezas fallan estáticamente, por lo general sufren una deformación muy grande debido a que
la tensión excedió la resistencia a la fluencia, teniendo que repararse antes de que ocurra la rotura. Por lo tanto,
muchas fallas estáticas son visibles y se detectan con anticipación, pero una falla por fatiga no da señal alguna y
es repentina y total.
Como consideraciones generales a tener en cuenta en el diseño para maximizar la vida en fatiga se
pueden mencionar:
- Minimizar los defectos iniciales, en especial los defectos de superficie (mecanizado cuidadoso, pulido,
protección de la superficie antes de la puesta en servicio).
- Maximizar el tiempo de iniciación de la falla (proceso de granallado o tratamiento superficial adecuado).
- Maximizar el tiempo de propagación: Trabajando con aquellas propiedades del sustrato que retardan el
crecimiento de las grietas. Las grietas por fatiga se propagan mas rápido a lo largo de los planos de la estructura
reticular, que a través de los granos (la disposición de los granos tiene una estructura reticular más eficiente). Así
el uso de un material que no posee granos alargados en la dirección del crecimiento de grietas por fatiga,
extiende la vida a fatiga. Por ejemplo, usando componentes trabajados en frío en vez de fundidos.
- Maximizar la longitud crítica de la grieta: esto es utilizar materiales que posean una buena tenacidad a la
fractura. Esta se define como el valor critico de la intensidad de esfuerzo para el cual ocurre la extensión de la
grieta. Esta tenacidad a la fractura se utiliza como criterio de diseño en la prevención de fracturas para
materiales frágiles, al igual que la fluencia para materiales dúctiles en carga estática.
aYK nomci ...
Donde:
Kci = tenacidad a la fractura
Y = factor de corrección que toma en cuenta la parte que contiene a la grieta.
σnom = esfuerzo nominal a la fractura. Por ejemplo, generalmente σnom = 0.8 σf
a = mitad de la longitud de la grieta.
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4.- TEORÍA DE LA FALLA POR FATIGA
La teoría más exacta para explicar la falla por fatiga se denomina “teoría de la duración hasta la
deformación”.
Si bien esta teoría se utiliza para determinar valores de duración a la fatiga, sus resultados poseen
algunas incertidumbres, por lo cual se la presenta con motivo de explicar la naturaleza de la fatiga.
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Para que ocurra falla por fatiga, deberán existir deformaciones cíclicas de naturaleza plástica.
En 1910 Bairstow verifico la teoría de Bauschinger de que pueden cambiar los límites elásticos del hierro
y el acero, hacia arriba o hacia abajo, al ocurrir variaciones cíclicas del esfuerzo producido.
En forma general, los límites elásticos de los aceros recocidos tienden a aumentar cuando están
sometidos a ciclos de esfuerzos alternados, en tanto que los estirados en frío presentan un límite decreciente.
Ciclos de histéresis de esfuerzo y deformación reales que muestran las cinco primeras inversiones de esfuerzo
de un material con suavización cíclica. La gráfica se ha exagerado un poco para mayor claridad. Obsérvese que la
pendiente de la recta AB es el módulo de elasticidad E. El intervalo de esfuerzo es Δσ; así mismo Δεp es el intervalo de
deformación plástica, y Δεe es el de deformación elástica. El intervalo de deformación total es Δε = Δεp + Δεe.
En este caso la resistencia disminuye con la repetición de los esfuerzos.
La ecuación que se presenta a continuación es la relación de Manson – Coffin entre la duración a la
fatiga, y la deformación total:
c
f
bfNN
E).2.(').2.(
'
2
Donde:
Δε = ver figura anterior
N = nº de ciclos antes de la falla (duración a fatiga)
c = exponente de ductilidad a la fatiga
b = exponente de resistencia a la fatiga
ε’f = coeficiente de ductilidad a la fatiga (punto A de la figura)
σ’f = esfuerzo real correspondiente a la rotura en un ciclo (punto A de la figura)
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Esta expresión es perfectamente aplicable, pero resulta ser de poca utilidad para el diseñador.
5.- RESISTENCIA A LA FATIGA
Para determinar la resistencia de materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las probetas se someten
a fuerzas variables de magnitud especificadas y así se cuentan los ciclos o alteraciones de esfuerzos que soporta
el material hasta la falla o ruptura. El dispositivo mas empleado para efectuar los ensayos de fatiga es la máquina
de viga rotatoria, donde se utilizan probetas pulidas axialmente. Dada la naturaleza estadística de la fatiga de un
material es necesario un gran número de pruebas.
El espécimen de prueba se somete a un ciclo de esfuerzos completamente alternante (σm = 0).
El primer ensayo se realiza con una tensión algo menor que la resistencia última del material, y el
segundo se realiza con una tensión menor que la utilizada en la primera. Este proceso se continua y los
resultados se grafican, obteniendo un diagrama llamado (S – N) o curvas de Wöhler (1870).
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En el caso de materiales férreos y sus aleaciones, y aleaciones de titanio, la curva se vuelve horizontal
luego de que el material llegó a un determinado número de ciclos. Mas allá de ese punto no ocurrirá falla
cualquiera sea el número de ciclos. La resistencia correspondiente al quiebre se denomina Límite de Resistencia
a la Fatiga (Se) ó Limite de Fatiga.
En caso de materiales no ferrosos y sus aleaciones (aluminio, cobre y magnesio), la gráfica nunca llega a
ser horizontal y por lo tanto no tienen límite de resistencia a la fatiga. La resistencia a la fatiga para estos
materiales es el nivel de esfuerzo en el cual se presenta la falla para un nº específico de ciclos (por ejemplo 107).
Cabe mencionar además que estos diagramas S – N pueden ser determinados para una probeta del
material o para el componente mecánico real fabricado con el mismo material, encontrándose diferencias
significativas entre ambos diagramas.
La fatiga que se produce de N = 1 a N = 1000, se denomina fatiga de ciclo bajo. La fatiga de ciclo alto es
aquella donde la falla ocurre mas allá de N = 1000.
También se distinguen dos regiones, una de duración finita y otra de duración infinita. En el caso de los
aceros, este límite de regiones se halla entre 106 y 107 ciclos.
Dado que los resultados o enfoques analíticos, no son totalmente precisos, es una buena práctica de la
ingeniería elaborar un programa de ensayos de los materiales que se emplearán en el diseño y fabricación. De
hecho, esto es un requisito y no una opción.
6.- EL LÍMITE DE FATIGA
Existen gran cantidad de datos publicados acerca de los resultados de ensayos con máquina de viga
rotatoria. La gráfica siguiente indica la dependencia del limite de fatiga del material S’e (Se se llama al del
elemento o pieza y puede ser muy diferente de S’e) con la resistencia última a la tracción Sut (Sut son los valores
mínimos, dado la distribución probabilística) para los aceros.
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Se observa que:
S’e varia entre 0.4 a 0.6 de Sut aproximadamente hasta Sut = 200 kpsi (1400 MPa)
S’e ≈ 100 kpsi constante para Sut > 200 kpsi (se nivela la tendencia).
La tabla siguiente muestra que la relación S’e / Sut puede tener más variación cuando se varia la
microestructura del material.
Se observa que las microestructuras más dúctiles tienen las relaciones más altas. La martensita es muy
frágil y muy susceptible al agrietamiento inducido por fatiga (posee un valor de relación bajo). La dispersión de
S’e ocurrirá aún cuando la Sut de un número considerable de probetas se mantenga constante.
Como resumen y para utilizar como datos para un diseño preliminar se puede tomar para los aceros:
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0.504 Sut Sut ≤ 200 kpsi (1400 MPa)
S’e (Flexión)
100 kpsi Sut > 200 kpsi
S’e = 0.45 Sut (carga axial)
S’e = 0.29 Sut (torsión)
En las tablas que se exponen a continuación se dan los valores de S’e para aceros, para aluminios (en
este último caso se da para 50.107 ciclos de esfuerzo invertido) y para otros materiales.
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6.1 Fatiga de bajo ciclaje:
Esta corresponde cuando la falla ocurre por debajo de los 1000 ciclos (por ejemplo, cerradura de
guantera de automóviles, pernos de la llanta de camiones, etc.).
t
t
t
t
t t
t t
t t
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Como se muestra en la figura, la pendiente de la curva es muy pequeña hasta 1000 ciclos. Por lo tanto,
para el diseño, en estos casos, se utiliza el concepto estático ignorando el fenómeno de fatiga, dado que en
general, en el diseño estático se utiliza la tensión de fluencia Sy y no la última Sut (Sy < Sut). Esta diferencia entre
Sy y Sut compensa en cierta manera la pequeña variación de S’e a baja cantidad de ciclos.
6.2 Fatiga de alto ciclaje de duración finita:
Esta corresponde cuando el número de ciclos esta entre 103 y 106 o 107 (Por ejemplo bisagras de
puertas, paneles de aeronaves, etc). La idea es desarrollar algún método analítico para aproximar el diagrama S
– N cuando solo se tengan los resultados de tracción simple del material.
La ecuación de la recta S – N puede ser escrita como:
S´f = a . Nb (A)
→ log S´f = log a + b log N
Tomando en cuenta que para S´f = S´e → N = 106 ciclos y para 103 ciclos es S´f = f Sut, substituyendo en la
ecuación anterior.
Donde f es la fracción de resistencia a la fatiga de Sut a los 103 ciclos
Así, si se cuenta con S´e y Sut, se puede obtener la resistencia a la fatiga para un número determinado de
ciclos.
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Si, en cambio, se tiene un esfuerzo completamente invertido de fatiga σa, se puede obtener el número
de ciclos de duración con ese esfuerzo despejando de la ecuación (A).
b
a
aN
/1
Ejemplo de aplicación:
Un acero AISI 1045 tiene una resistencia a la tensión mínima de 95 kpsi y una resistencia de fluencia
esperada mínima de 74 kpsi.
a) Se desea determinar el límite de resistencia a la fatiga de la viga rotatoria.
b) Se quiere obtener la resistencia a la fatiga correspondiente a 104 ciclos de duración.
c) Se desea estimar también la duración esperada correspondiente a un esfuerzo completamente invertido de 55
kpsi.
a) De la ecuación:
0.504 Sut Sut ≤ 200 kpsi (1400 MPa)
S’e
100 kpsi Sut > 200 kpsi
S’e =0.5 . Sut = 0.5 . 95 kpsi = 47.5 kpsi
b) De la ecuación y del gráfico:
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Después, en la ecuación:
S´f = a . Nb = 137.2 . (104)-0.076 = 56.6 kpsi
c) Sea la ecuación:
Para σa = 55 kpsi
7.- FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA
(S’E)
Dado que los datos de fatiga obtenidos experimentalmente por el método de viga rotatoria son
obtenidos en condiciones muy cuidadosas y controladas, sucede en la realidad que el límite de fatiga de un
elemento mecánico o estructural (Se) es diferente al del material.
Los factores más importantes que se utilizan para modificar a S’e son los expuestos en la siguiente
expresión:
eSkkkkkkS sedcbae '......
Con:
Ka = Factor de superficie
Kb = Factor de tamaño
Kc = Factor de carga
Kd = Factor de temperatura
Ke = Factor de efectos diversos
Ks = Factor de confiabilidad
- Factor de superficie Ka:
Este factor corrige el efecto de acabado, es decir, la diferencia que puede haber entre la terminación
pulida longitudinal de la probeta de ensayo y la terminación ó acabado para un determinado elemento de
Carga Variable
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máquina (muchas veces estos elementos no presentan un acabado de calidad). Este factor depende del proceso
usado en la generación de la superficie y de la resistencia mínima a la rotura.
Se puede obtener de la siguiente gráfica:
O con la siguiente ecuación y la tabla asociada:
b
uta Sak . Sut es la resistencia mínima a la tracción
Si no se conoce el proceso de acabado superficial, pero se puede medir la rugosidad superficial Ra, se
puede obtener ka usando el gráfico siguiente:
Ka
Carga Variable
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- Factor de tamaño Kb:
Este factor corrige el fenómeno por el cual, sin considerar el proceso de manufactura, las partes más
grandes son las más probables de contener defectos y así no tendrían la misma resistencia de la probeta de
ensayo que solamente tiene 0,3 in de diámetro.
Para una barra redonda, el factor de tamaño kb se obtiene según el tipo de carga y vale:
Para carga axial: kb = 1
ind
1133.0
3.0
ind 211.0
Para torsión y flexión: kb = mmd
1133.0
62.7
mmd 5179.2
7.06.0 bk ind 2
En el caso de una viga de sección no circular, hay dos líneas de acción propuestas:
1) Igualar la sección transversal con una sección circular hallando un diámetro equivalente de (Elementos
de Maquinas – Hamrock).
2) Obtener una dimensión efectiva de a partir de igualar el volumen del material sometido a un nivel de
esfuerzo igual o superior al 95% del esfuerzo máximo; con el mismo volumen de probeta de viga
rotatoria.
En este segundo caso, el área del 95 % de esfuerzo para una viga rotatoria, esta dado por.
222
95.0 0766.0).95.0(4
dddA
y el área del 95 % para una viga redonda sometida a flexión es:
2
95.0 0105.0 DA
Carga Variable
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Igualando ambos:
DdD
d
Dd
ee .370.00766.0
.0105.0
0105.00766.0
22
22
De igual forma se obtiene:
Para sección rectangular hbde ..808.0
Para perfil U y T tenemos:
En el caso del perfil U:
0.05.a.b eje 1-1
A0.95σ =
0.052.x.a + 0.1.tf.(b-x) eje 2-2
El área del 95% de esfuerzo de la viga I de patín ancho es:
0.10.a.tf eje 1-1
A0.95σ =
0.05.b.a tf > 0.025.a eje 2-2
- Factor de carga Kc:
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A partir de una gran cantidad de resultados obtenidos, experimentalmente se ha determinado una
diferencia importante entre los distintos límites de fatiga obtenidos bajo diferentes estados de carga.
Los factores correspondientes a cada tipo de carga se exponen a continuación:
Kc = 0.923 Carga axial Sut ≤ 220 kpsi (1520 Mpa)
Kc = 1 Carga axial Sut > 220 kpsi (1520 Mpa)
Kc = 1 Carga de flexión
Kc = 0.577 Carga de torsión y cortante
- Factor de temperatura kd: Las propiedades de los materiales, como ser la resistencia, la ductilidad o la fragilidad, son afectadas por
la temperatura del entorno de operación. Cuando las temperaturas de operación son menores que la
temperatura de ensayo (temperatura ambiente) (por ejemplo, ejes de automóviles en Alaska durante enero), los
materiales se vuelven frágiles y pueden fracturarse. En este caso se deberá tomar el material como frágil.
Cuando las temperaturas de operación son mayores que la temperatura ambiente (por ejemplo,
componentes de motores de aeronaves), la resistencia a la fluencia disminuye muy rápido y esto debería tenerse
en cuenta. La figura siguiente muestra el efecto de la temperatura sobre las propiedades estáticas del acero (Sut
= resistencia última a la tracción; Sy = resistencia a la fluencia; St = resistencia a la temperatura de operación; Srt =
resistencia a la temperatura ambiente).
De acuerdo a los datos recopilados que se poseen, el límite de resistencia a la fatiga para los aceros
aumenta ligeramente cuando se eleva la temperatura y luego comienza a disminuir entre los 200 y 350 ºC. Como
Kd
Carga Variable
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hay una tendencia muy parecida para el caso estático que muestra la figura, se utiliza a la misma para los casos
de fatiga.
La forma práctica de proceder es la siguiente:
- Si se conoce el límite de resistencia a la fatiga de una viga rotatoria a temperatura ambiente (S’e) entonces se
usa:
RT
Td
S
SK para multiplicarlo a S’e
Donde ST es la resistencia del material a la temperatura de trabajo y SRT es la resistencia del material a la
temperatura ambiente
- Factor de efectos diversos ke: Aparte de los efectos tratados anteriormente, existen muchos otros que pueden afectar la resistencia de
un componente. Estos “otros” efectos son más difíciles de cuantificar y se nuclean en el factor ke. Este factor es a
titulo recordatorio ya que no se disponen de valores de ke reales, es decir que se puede considerar a este como
un factor de incertidumbre. Algunos de estos efectos son:
- Tensiones residuales o remanentes:
Si el esfuerzo remanente en la superficie es de compresión; generalmente se mejora el límite de
resistencia a la fatiga, retardando el crecimiento de grietas pues las cierra. Hay operaciones como el granallado
con perdigones, martillado o laminado en frío, las cuales originan esfuerzos de compresión, ayudando a mejorar
el límite de fatiga.
En los elementos estirados o laminados, se tiene un límite de resistencia a la fatiga en dirección
transversal, un 10 o 20 % menos que el límite respectivo en dirección longitudinal. Los esfuerzos residuales de
tracción empeoran el límite de resistencia a la fatiga y estos pueden resultar del forjado, la extrusión, la
laminación o la rectificación.
Recubrimientos:
Los recubrimientos afectan enormemente a la fatiga.
Algunas operaciones como la carburización, conducen a un alto contenido de carbono, de la superficie
del acero, y generan un esfuerzo residual de compresión en la superficie, logrando de esta manera una
resistencia a la fractura elevada en la superficie.
Los recubrimientos metálicos como el cromado, niquelado o cadmizado, son muy porosos y reducen el
límite de fatiga hasta un 50 %.
El galvanizado (recubrimiento de zinc) es la excepción pues no afecta el límite de fatiga.
Los recubrimientos de óxido anodizado, son también porosos reduciendo el límite de fatiga a la flexión
hasta 39% y no afecta el límite de fatiga a la torsión.
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28
Los revestimientos aplicados a altas temperaturas como los procesos de deposición química de vapor o
inmersión en caliente, pueden inducir térmicamente esfuerzos residuales de tensión en la superficie.
Corrosión:
Las piezas que permanecen en ambientes corrosivos, poseen una menor resistencia a la fatiga. Esto se debe al
ataque o picadura de la superficie a causa del material corrosivo. Las causas principales de la corrosión en los
metales son el hidrógeno y el oxígeno. El hidrógeno, ayudado por las grandes tensiones en el extremo de la
grieta, se propaga en un material cerca del extremo de la grieta, fragilizando el material y promoviendo la
propagación de grietas. El oxígeno causa la formación de revestimientos frágiles o porosos, fomentando la
iniciación y crecimiento de grietas.
Las altas temperaturas combinados con entornos corrosivos aceleran los procesos de fatiga.
Corrosión por apriete (frettage):
Este fenómeno es el resultado de movimientos microscópicos en la superficie de piezas estrechamente
ajustadas, como juntas atornilladas, cojinetes, etc. El proceso implica cambio de color en la superficie, picadura y
eventualmente fatiga.
Frecuencia de aplicación de la carga:
En condiciones normales, la falla por fatiga es independiente de la frecuencia, pero con altas
temperaturas o ambientes corrosivos cuanto menor sea la frecuencia y más alta la temperatura, mayor será la
propagación de grietas y mas breve la duración a un nivel de carga dado.
- Factor por efecto de la concentración de tensiones Kf: Cuando se trato el tema de “factor geométrico de concentración de tensiones”, se vio que este era
puramente geométrico, pero su efecto dependía del tipo de material (dúctil o frágil) y del tipo de carga (estática
o variable).
Ahora, cuando consideramos cargas variables, asumiendo que la fatiga ocurre para más de 1 millón de
ciclos, se utilizará el factor Ke = 1/ Kf para afectar (reducir) el límite de fatiga.
En los casos que la fatiga se encuentra entre 1.103 y 1.106 ciclos, se puede utilizar un valor reducido de
K’f, designado como K’f.
Tomando:
b
f NaK '
y como se hizo anteriormente se pueden despejar a y b. (considerar Kf’ = Kf en 1.106 ciclos y Kf’ = 1 para 1.103
ciclos).
- Factor de confiabilidad Ks: Dado el carácter estocástico de los ensayos de fatiga, normalmente la información presentada está
asociada a una probabilidad, la cual no siempre está indicada.
La siguiente tabla constituye una guía y fue elaborada inicialmente para aceros. Su uso es aplicable
cuando la información del límite de fatiga está dada para un % de probabilidad de vida.
Carga Variable
29
8.- ESFUERZOS FLUCTUANTES: INFLUENCIA DEL ESFUERZO MEDIO NO
NULO.
Se llama esfuerzo fluctuante a aquel que es variable en el tiempo y no necesariamente debe ser de
inversión completa, es decir tener valor medio nulo.
La figura siguiente muestra algunas de las diversas relaciones esfuerzo – tiempo que se pueden
presentar.
Carga Variable
30
a) esfuerzo fluctuante con pulsaciones de alta frecuencia; b) y c) esfuerzo fluctuante no senoidal; d) esfuerzo
fluctuante senoidal; e) esfuerzo repetido; f) esfuerzo alternante senoidal con inversión completa.
Así, los parámetros que definen a un esfuerzo fluctuante son:
mín = esfuerzo mínimo
máx = esfuerzo máximo
a = amplitud del esfuerzo
m = esfuerzo medio
s = esfuerzo estático
2
mínmáx
m
2
mínmáx
a
El esfuerzo estático, que es igual al esfuerzo medio, puede tener cualquier valor entre máx y mín y es
causado por una carga o precarga fija, como ser el pretensado de un tornillo.
Los parámetros mencionados se aplican tanto a esfuerzos normales como a los de corte.
La influencia del esfuerzo medio
Luego de investigar largamente el fenómeno se ha determinado que la resistencia a la fatiga de piezas
se modifica cuando varía el esfuerzo medio y su amplitud (esfuerzo fluctuante con m 0). Es así que los
diagramas S-N o curvas de Wöhler obtenidas de los ensayos de probetas estándar presentan el inconveniente de
ser dependientes del valor del esfuerzo medio aplicado, por lo tanto, no son útiles para el diseño, ya que se
debería contar con infinidad de ensayos para distintos valores medios y para cada uno de estos, diferentes a.
Al ser esto impracticable, dado que es necesario determinar el valor del límite de fatiga para distintos
valores de m, se propone emplear uno de los tres métodos generalmente utilizados, los cuales grafican los
resultados de tales ensayos. El método propuesto se basa en utilizar el diagrama de Goodman, el cual se ha
construido en función de los resultados de los ensayos de la siguiente manera:
1) Se elige un valor de m y a.
2) Si la pieza no se rompe, se aumenta el valor de a hasta que se rompa.
Si la pieza se rompe, se disminuye el valor de a hasta que la pieza no rompa.
3) Se grafican los puntos m en abscisa y en ordenadas los máx = m +a y mín = m - a , con el máximo valor
de a que no produce la rotura de la pieza.
4) Se eligen distintos m y se repite el procedimiento.
5) Se construye la curva de falla.
Carga Variable
31
El límite de resistencia a la fatiga Se se traza en ordenadas por arriba y por debajo del origen pues es el
caso de m = 0.
La línea de esfuerzo medio es una recta a 45º que va del origen a la resistencia última de la pieza Su (éste
es el otro extremo y se da cuando aplico un m = ut y no me admite ut dado que en el primer ciclo se rompe).
Para simplificarlo, se une Se con Su linealizando el diagrama. De esta manera se obtienen el diagrama de
Goodman (Puntos Se – Su –Se).
El diagrama de Goodman modificado queda:
Carga Variable
32
Nota:
Este diagrama puede trazarse para el límite de resistencia a la fatiga, para la resistencia a la fatiga o la
resistencia de vida finita según el caso para el que se ensaye.
Con el fin del análisis y diseño otros investigadores proponen estudiar o considerar el diagrama de
diferente manera:
- Gerber: Propone utilizar la línea que atraviesa la porción central, dado que es una distribución de puntos
para cada caso, de los puntos experimentales de falla. Es decir, propone utilizar la curva de falla ya vista. Permite
el ajuste más fino del diseño pero su aplicación práctica es complicada.
- Goodman: Como ya se vio linealiza el diagrama simplificándolo. El área de utilización es la encerrada por los
puntos A-B-D.
- Goodman modificado: Se propone además de la linealización, limitar las tensiones al límite elástico,
apareciendo los puntos E y F en el diagrama, siendo el área de utilización la encerrada por los puntos A E C F D
Carga Variable
33
- Sodeberg: Linealiza el diagrama entre los puntos A, C y D. Es el más conservativo y el más fácil de utilizar.
Este criterio es el único que ofrece protección en contra de la fluencia.
Haciendo un cambio de ejes, se puede presentar la información de manera más práctica para el cálculo:
Carga Variable
34
Las teorías linealizadas presentadas en la figura anterior se pueden expresar de la forma:
1b
y
a
x
De esta manera se tiene:
Línea de Sodeberg
1yt
m
e
a
S
S
S
S
Línea de Goodman
1ut
m
e
a
S
S
S
S
Curva de Gerber (relación parabólica)
1
2
ut
m
e
a
S
S
S
S
Línea de Fluencia
1yt
m
yt
a
S
S
S
S
Carga Variable
35
Para ver las ecuaciones del diagrama de Goodman modificado, ver páginas 282 y 283 de Hamrock
Elementos de máquina.
Si ahora se introduce además un coeficiente de seguridad “N” que divide a las resistencias, las
expresiones quedan:
Recordemos que a = Sa / N y m = Sm / N
Línea de Sodeberg
1
N
S
N
S yt
m
e
a
NSS yt
m
e
a 1
Línea de Goodman
1
N
S
N
S ut
m
e
a
NSS ut
m
e
a 1
Curva de Gerber (relación parabólica)
1
2
N
S
N
S ut
m
e
a 1
2
ut
m
e
a
S
N
S
N
Línea de Fluencia
NSS yt
m
yt
a 1
Por ejemplo, para el criterio de Sodeberg se tiene:
Para generalizar, y dado que el comportamiento a fatiga de un material dúctil es diferente que el de un
material frágil, se propone emplear las siguientes expresiones (para el caso de Goodman):
Para materiales dúctiles: (dan posibilidad a plastificarse) (Si se considera totalmente dúctil, kf → 1)
• Evitar la deformación plástica localizada en una muesca.
Utilizar Kf . σa y Kf . σm
Carga Variable
36
• Cuando no se pueda evitar la deformación plástica en una muesca,
Utilizar Kf . σa y 1. σm.
Para materiales frágiles: (si se considera totalmente frágil, kt = Kf
Ejemplo de Fatiga de alto ciclaje de duración finita, con tensión alternada y media
Estimar la cantidad de ciclos que puede soportar una barra de sección circular 10 mm de diámetro, sometida a un esfuerzo radial de flexión alternado de 150MPa y a un esfuerzo medio de 100MPa. La misma posee un agujero de 1mm, y el factor de sensibilidad de entalla q:0.86, con kt = 2.2 Material: Sut=689MPa=100kpsi Factor de seguridad N=1 Goodman
Se Despeja Sf
Se calcula Kf
Se despeja el limite de fatiga del material
De grafico fracción de resistencia a la fatiga con Sut=100MPa
f=0,84
NS
K
S
K
yt
mt
e
af 1
f
NSS
k
ut
m
e
af 1
NS
K
S
K
yt
mt
e
af 1
f
Carga Variable
37
Se calcula la cantidad de ciclos
Anexo 1: Tablas para la estimación de Kt
Carga Variable
38
Carga Variable
39
Carga Variable
40
Carga Variable
41
Carga Variable
42
