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8/3/2019 DisFactorialCompleto

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DISEO DE EXPERIMENTOS

En muchas industrias el uso efectivo del diseo de experimentos es la clave para

obtener altos rendimientos, reducir la variabilidad, reducir los tiempos de entrega, mejorar los

productos, reducir los tiempos de desarrollo de nuevos productos y tener clientes ms

satisfechos.

QU ES EL DISEO DE EXPERIMENTOS (DOE)?

Un diseo de experimentos es una prueba o serie de pruebas en las cuales se hacen cambios

a propsito en las variables de entrada de un proceso, de tal forma que se puedan observar e

identificar cambios en la respuesta de salida.

Los productos resultantes tienen una o ms caractersticas de calidad observables o

respuestas (Crticas para la calidad si el cliente reclama por su no cumplimiento CTQs).

Algunas de las variables del proceso X1, X2, X3,, Xp son controlables o factores de

control, mientras que otras Z1, Z2, Z3, .., Zq no son controlables (a pesar de que pueden ser

controladas durante el desarrollo de las pruebas), y se denominan factores de ruido.

Los objetivos del diseo de experimentos son:

1. Determinar cules variables tienen ms influencia en la respuesta, y.

2. Determinar en donde ajustar las variables de influencia xs, de tal forma que yse acerque

al requerimiento nominal deseado.

3. Determinar donde ajustar las variables de influenciaxs de tal forma que la variabilidad en

ysea pequea.

4. Determinar donde ajustar las variables de influenciaxs de tal forma que los efectos de las

variables incontrolables zsean minimizados.

Con la aplicacin del DOE durante el desarrollo de los procesos podemos obtener los

beneficios siguientes:

1. Rendimiento mejorado.

2. Variabilidad reducida y comportamiento cercano al valor nominal.

3. Tiempo de desarrollo reducido.

4. Costos totales reducidos.5. Mejor desempeo y confiabilidad en el campo.

Como ejemplos de aplicaciones del diseo de experimentos tenemos las siguientes:

1. Evaluacin y comparacin de configuraciones bsicas de diseo.

2. Evaluacin de alternativas de material.

3. Evaluacin de diferentes proveedores.

3. Determinacin de parmetros clave de diseo (ej: ngulo, velocidad, mtodo) con impacto en

el desempeo.


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GUA PARA EL DISEO DE EXPERIMENTOS

Para tener xito en el diseo de experimentos, es necesario que todos los involucrados

en el experimento tengan una idea clara del objetivo del experimento, de los factores a ser

estudiados, como se realizar el experimento y al menos una idea cualitativa de cmo se

analizarn los datos. El procedimiento recomendado por Montgomery tiene los pasos

siguientes:

1. Reconocimiento y establecimiento del problema.

2. Seleccin de factores y niveles.

3. Seleccin de la variable de respuesta.

4. Seleccin del diseo experimental.

5. Realizacin del experimento.

6. Anlisis de los datos.

7 Conclusiones y recomendaciones.

EXPERIMENTOS FACTORIALES

Los experimentos factoriales se utilizan cuando hay varios factores de inters en un

experimento. En los experimentos factoriales se deben utilizar en cada rplica, todas las

combinaciones de los factores que se estn investigando. Si se tienen dos factores A y B con

niveles a y b respectivamente, cada rplica contendr todas las posibles combinaciones ab.

Definiciones:

Factores: Son las variables controlables en el experimento Ej:Temperatura, Presin,

Velocidad; se designan con letras maysculas A, B,C. Niveles: Se refiere a la cantidad de valores que tienen los factores del experimento. Ej:

en un experimento tomamos los siguientes valores de Temperatura: 15, 20 ; en este

caso tenemos 2 niveles.

Los niveles se designan con nmeros: 1, 2 o con signos -, + que representan los

niveles bajo y alto en cada caso.

Replica: Es el nmero de repeticiones del experimento.

Efecto de un factor: es el cambio en la respuesta como resultado de un cambio en el

nivel del factor, se denomina efecto principalya que se refiere a los factores primarios

del estudio.

Ej. Consideremos el siguiente Experimento:


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El calculo de los factores primarios A y B es la diferencia entre la respuesta promedio en el

nivel alto y la respuesta promedio del nivel bajo.

212

3020

2

5240=

+

+=A

11

2

4020

2

5230=

+

+=B

Tratamientos: son todas las combinaciones posibles de los factores que se involucran

en un experimento. Ej: a, b, c, ab, ac, bc.

Interaccin: Cuando la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la

misma en todos los niveles de los otros factores.

Respuesta

B2 B2

B1 B1

A1 A2 A1 A2

a) Sin interaccin b) Con interaccin

En la grfica de la izquierda observamos que las lneas B1 y B2 son paralelas lo cual indica que

no hay interaccin. En la siguiente grfica al estar cruzadas las lneas B1 y B2 significa que

existe interaccin.

El clculo de la interaccin AB es la diferencia entre los promedios del nivel alto de A y B y

el nivel bajo de los mismos

192

2052

2

3040=

+=AB

Principios bsicos del diseo de experimentos:

Normalidad.- Siempre que se conduce un experimento las muestras son tomadas de

poblaciones normales, en el anlisis de los experimentos se verifica que se cumpla con este

principio, de lo contrario los resultados obtenidos no sern confiables.

Replicacin.- Significa la repeticin de un experimento, permitiendo el experimentador la

obtencin de un error experimental. El error es la unidad bsica de medida para determinar si

las diferencias observadas en los datos son realmente diferentes estadsticamente. La

replicacin permite tener una estimacin ms precisa de los efectos.

Aleatoriedad.- Por aleatoriedad entendemos que la posicin del material y el orden en el cual

las corridas se realizan en los experimentos son determinadas aleatoriamente (al azar).

Bloqueo.- Es una tcnica usada para incrementar la precisin de un experimento, Un bloquees una porcin del material experimental el cual es ms homogeneo que el material restante.


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Diseos factoriales en MINITAB

Supongamos que queremos disear un experimento para probar tres factores: temperatura,

presin y tipo de catlisis. Se trata de un diseo factorial completo 2^3, ya que consta de dos

niveles y tres factores, a continuacin se muestra el diseo:

FACTOR NIVEL BAJO NIVEL ALTOTemperatura 20C 40C

Presin 1 atmsfera 4 atmsferas

Catlisis A B

Seleccionamos la opcin Stat > DOE > Crear Diseos Factoriales.

La ventana muestra los diferentes tipos de diseos factoriales que pueden ser creados y el

nmero de factores, en este ejemplo seleccionamos en el campo number of factors = 3 y

2-level factorial (default generators) en tipo de diseo.

Tambin tiene diferentes iconos, en el cual encontramos informacin especifica del diseo.

Solamente estn habilitados dos iconos: Display Available Designs y Designs. En la primera

opcin se muestran todos los diseos factoriales que contiene el sistema.


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En la segunda opcin diseos, seleccionamos el diseo factorial completo full

factorial. Y se llenan los siguientes campos, que en este ejemplo los valores son los

siguientes:

Number of center points = 0

Number of replicates = 2

Number of blocks = 1

AL Presionar OK el diseo es seleccionado y se regresa al la pantalla principal. En esta

pantalla todos los iconos quedan habilitados

Se seleccionan las siguientes opciones:

Factores

En esta pantalla se escribe el nombre de los factores as como los diferentes niveles bajo y

alto para cada factor ( estos ltimos son dados por default)


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Opciones:

En la pantalla se escoge la opcin: do not fold(el sistema la da por default)

La opcin randomize no debe de estar seleccionada, de lo contrario se cambia el orden de

todo el experimento.La opcin store design in worksheet: guardar diseo en la hoja de trabajo,es seleccionada. Presionar OK

Presionar OK en la pantalla principal. El sistema despliega el experimento en la hoja de

trabajo.


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En la columna C8 capturamos la respuesta Yield, para cada combinacin del experimento.

Para analizar el experimento se selecciona la siguiente opcin de la barra de herramientas:

STAT > DOE > Analyze Factorial design.La pantalla tiene las siguientes opciones: Responses, Graphs, Terms, Covariates, Results,

Storage.

En el cuadro de Respuestas Responsesseleccinamos la columna C8, correspondiende a

la variable de respuesta del experimento.


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En la opcin Termstrminos,se muestran los factores y sus interacciones, las cuales se

dan por default, en el caso de que se quiera hacer una modificacin el sistema permite

realizarla. Ej.: Ignorar interacciones mayores a grado 2. Si se desea eliminar un factor en

esta pantalla tambin se puede hacer.

En la opcin Graphs, grficas, se seleccionan las grficas de efectos deseadas, as

como las grficas de residuos, estas nos permiten realizar el anlisis del experimento.

Seleccionamos las grficas de Efectos: Normal y Pareto, el nivel alfa deseado que en este caso

es de 0.05 y en la opcin Residual for Plotsseleccionamos la opcin regular que viene por

default. En el caso de que queramos ms grficos podemos seleccionar las que vienen en la

parte de Residual Plots. Dar click en OK

En la opcin Results (Resultados) se muestra la siguiente ventana:


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Seleccionamos la opcin por default: coefficients, ANOVA Table, and unusual observations.

En el cuadro Available Terms, se muestran los Factores y las interacciones, estos se

seleccionan y se pasan del lado derecho. Click en OK

En la grfica de Pareto observamos que los principales efectos son aquellos que pasan la lnea

punteada: C, B, y BC. Estos son los que ms afectan el experimento.

6543210

C

B

BC

A

AC

ABC

AB

Pareto Chart of the Standardized Effects

(response is C8, Alpha = .05)

A: TemperatB: PresinC: Catalisi

3210-1-2-3-4-5-6

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

Standardized Effect

NormalScore

C

BC

B

Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is C8, Alpha = .05)

A: TemperatB: PresinC: Catalisi


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La grfica normal de probabilidad muestra los efectos ms significativos que en este

caso son los mismos que en la grfica de pareto: C, B y BC.

En la tabla observamos los coeficientes de los efectos, as como el anlisis de varianza.

Fractional Factorial Fit

Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units)

Term Effect Coef StDev T P

Constant 74.81 2.561 29.21 0.000Temperat 1.38 0.69 2.561 0.27 0.795Presin 14.13 7.06 2.561 2.76 0.025Catalisis -30.37 -15.19 2.561 -5.93 0.000Temperat*Presin -0.13 -0.06 2.561 -0.02 0.981Temperat*Catalisis -1.13 -0.56 2.561 -0.22 0.832Presin*Catalisi -13.38 -6.69 2.561 -2.61 0.031Temperat*Presin*Catalisi -0.12 -0.06 2.561 -0.02 0.981

Analysis of Variance for Yield (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 4496.19 4496.19 1498.73 14.28 0.001

2-Way Interactions 3 720.69 720.69 240.23 2.29 0.1553-Way Interactions 1 0.06 0.06 0.06 0.00 0.981Residual Error 8 839.50 839.50 104.94Pure Error 8 839.50 839.50 104.94Total 15 6056.44

Los efectos principales son los menores al nivel de significancia 0.05, P-Values (columna P),

estos estn sombreados en la tabla.

Para generar las grficas que nos permitirn determinar y visualizar cuales son los niveles

ptimos de los efectos (grfica de efectos principales, grfica de interacciones y grfica de cuboutilizamos la siguiente opcin: Stat > DOE > Factorial plots


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Seleccionamos la opcin Main effects y damos click en Setup.

Se despliega la ventana Factorial Plots-Main, en la cual seleccionamos en el cuadro

Responses C8. Posteriormente seleccionamos los Factores principales. Damos click en OKRepetimos los pasos anteriores para las grficas de interaccin y cubica. Damos click en OK y

obtenemos las grficas deseadas.

En est grfica obtenemos los niveles que maximizan la respuesta.


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Temperatura : nivel alto = 40, Presin nivel alto = 4, Catlisis nivel bajo = A

En la interaccin Presin*Catlisis el nivel ptimo es: Presin = 4 nivel alto y Catlisis A nivel

Bajo

77.5

59.5

105.0

60.0

75.0

59.0

102.5

60.0

20 40

Temperatura

Presin

Catalisis

1

4

A

B

Cube Plot (data means) for Yield

CatalisisPresinTemperatura

BA414020

91

83

75

67

59

Yield

Main Effects Plot (data means) for Yield


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En la grfica de cubo observamos que la mayor respuesta se encuentra en el vrtice 102.5. De

est grfica tambin podemos saber cuales son los niveles ptimos de cada factor.

Frmulas de clculo para diseos factoriales.

Diseo factorial 22


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La siguiente figura muestra la diferentes combinaciones de los tratamientos, as como los

factores A y B en los niveles alto y bajo, para un diseo 22

Clculo de los efectos

Los efectos de inters en el diseo son los efectos principales de A y B y los efectos de la

interaccin AB, se denominan contrastes siendo calculados como sigue:

( )[ ]12

1+= baab

nA

( )[ ]1

2

1 += abab

n

B

( )[ ]baabn

AB += 12

1

Donde n = nmero de replicas

Las cantidades entre parntesis se denominan contrastes, aqu los coeficientes siempre son

+1 o 1. Tambin se pueden determinar usando una tabla de signos como sigue:

Efectos factoriales

Corrida I A B AB

1 (1) + - - +

2 a + + - -

3 b + - + -

4 ab + + + +

Ejemplo: Para determinar el contraste de A utilizando la tabla de signos obtenemos:

[ ]abb-a1- ++

+


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Suma de cuadrados

Para obtener la suma de cuadrados de A, B, y AB se usa:

=

2

2

)..(

)(

contrastesdeescoeficientn

contrasteSS

( )[ ]4*

12

n

baabSS

A

+=

( )[ ]4*

12

n

ababSS

B

+=

( )[ ]4*

12

n

baabSSAB

+=

=== =n

kji

Tn

yijkySS1

2

2

2

1

2

1 4

ABBATE SSSSSSSSSS =

DondeSST = Suma Total de CuadradosSSE = Suma de Cuadrados del Error

Grados de libertad (g.l.)

A = 1B = 1AB = 1SSE = 4 (n-1)SST = 4n -1

Cuadrados Medios (M.S.)

.gl

SSMS =

La tabla de Anlisis de varianza (ANOVA) queda como sigue:

Fuente de Suma de Grados de Cuadradovariacin cuadrados libertad medio Fo .

Factor A SSA a -1 MSA Fo = MSA / MSEFactor B SSB b- 1 MSB Fo = MSB / MSEInteraccin SSAB (a 1)(b-1) MSAB Fo = MSAB / MSEABError SSE ab(n-1) MSETotal SST abn-1

Valor crtico


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Calculamos el Valor de F en la tabla mediante: ),,( naF

Donde: = nivel de significancia.

a = nmero de niveles del factor An = tamao de muestra del Factor A

De la misma manera se calcula para los dems factores.

Regla de decisin: Si F0 > F, el factor es significativo.

Anlisis Residual

Para obtener los residuos se utiliza la ecuacin de regresin siguiente:

+++= 22110 xxy

El valor de la interseccin 0es el promedio del nmero total de observaciones y cada

coeficiente de regresin 2,1 es la mitad del efecto estimado del factor correspondiente .

Los valores X1 y X2 representan los efectos A y B. Estos valores se codifican en los niveles altoy bajo del experimento (-1 y +1)

Este modelo es usado para predecir los valores de y en los cuatro puntos del experimento.

Utilizando la ecuacin se buscan todas las combinaciones posibles, que en este tipo de diseo

son cuatro. Al obtener la respuesta ptima, determinamos cuales son los niveles ms

favorables para nuestro experimento.

Ej.

5

33.8

5.27

2

1

0

=

=

=

B

El modelo de regresin es:

212

5

2

33.85.27 xxy

+

+=

Realizando las diferentes combinaciones tenemos:

)1(2

5)1(

2

33.85.27 +

++

+=y = 29.165

165.34)1(2

5)1(

2

33.85.27 =

++

+=y

835.20)1(2

5)1(

2

33.85.27 =+

+

+=y


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835.25)1(2

5)1(

2

33.85.27 =

+

+=y

La respuesta ptima es 34.165, por lo cual los nveles ms favorables en este experimento sonx1 = +1 y x2 = -1.

Para obtener los residuos, se resta el valor observado (en la muestra) del valor predicho( ecuacin de regresin)

Ej:

Tenemos los siguientes valores observados: 28, 25 y 27. utilizando la primera ecuacin dondey = 29.165 el calculo de residuos sera:

e1 = 28-25.835 = 2.165e2 = 25-25.835 = -0.835e3 = 27-25.835 = 1.165

Los dems residuos se calculan de la misma manera, utilizando el valor predichocorrespondiente (de cada ecuacin), existen tantos residuos como nmero de observaciones.

Posteriormente los residuos se grafican en el papel normal de probabilidad. Para determinar sicumplen con el supuesto de normalidad.

Diseo factorial 2k

El diseo de 3 factores es un cubo con ocho combinaciones factoriales, permite estimar

tres efectos principales (A, B, y C), tres interacciones de dos factores (AB, BC, y AC) y una

interaccin de tres factores (ABC). Considerando que las letras minsculas representan la

suma de las n replicas de cada uno de los ocho experimentos, se tiene:

))1((4

1

))1((4

1

))1((

4

1

))1((4

1

))1((4

1

))1((4

1

))1((4

1

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

ababcacbcabcn

ABC

acabcbaabcbcn

BC

bcabcababcac

n

AC

acbcabcabcabn

AB

abbaabcbcaccn

C

accaabcbcabbn

B

bccbabcacaban

A

Las cantidades entre parntesis se denominan contrastes de las ocho combinaciones de

niveles y factores. Tambin pueden obtenerse de la tabla siguiente:

Tabla de Signos para los efectos en el diseo 23


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Propiedades de la tabla:

1. Excepto por la columna identidad I, cada columna tiene un nmero igual de signos ms y

menos.

2. La suma de productos de los signos con cualquier par de columnas es cero, o sea que se

trata de una tabla ortogonal.

3. Al multiplicar cualquier columna por la columna I se obtiene la misma columna, entonces I es

el elemento identidad.

4. El producto de cualquier par de columnas resulta en otra columna en la tabla, AxB = AB,

ABxABC = A2B2C = C dado que una columna multiplicada por si misma da la columna

identidad.

El estimado de cualquier efecto principal o interaccin se determina como sigue:

12 =

kn

ContrasteEfecto

La suma de cuadrados de cualquier efecto es:

kn

contrasteSS

2

)( 2=

Ejemplo Se realiz un experimento para investigar el acabado superficial de una parte de

metal. El experimento es un diseo factorial 23 con los factores Velocidad de ataque (A),

profundidad de corte (B) y ngulo de corte (C), con n = 2 rplicas. En la tabla siguiente se

observan los resultados del acabado superficial.

Combinacin del Efectos factoriales

Tratamiento I A B AB C AC BC ABC

(1) + - - + - + + -

a + + - - - - + +

b + - + - - + - +

ab + + + + - - - -

c + - - + + - - +

ac + + - - + + - -

bc + - + - + - + -

abc + + + + + + + +


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Los efectos principales se calculan como sigue, por ejemplo para el factor A:

A =(22 + 27 +23 + 30 20 21 18 16) / 4(2) = 3.375

De la misma forma

B = 1.625

C = 1.375

AB = 1.375

AC = 0.125

BC = -0.625

ABC = 1.125

Calculando la suma de cuadrados como sigue:

( )56.45

8*2

2^==

ContrasteASSA

gl.SSA = 1

De la misma forma para los dems factores, se tiene:

SSB = 10.5625 todos con gl. = 1

SSC = 3.065

SSAB = 7.5625

SSAC = 0.0625

SSBC = 1.5625

SSABC = 5.5625

SSErr = 19.500 con (16 7 ) = 8 gl. MSE = 2.4375

SST = 92.9375 con 15 gl.

Datos del experimento

Factores de Diseo Acabado

Corrida A B C Superficial Total

1 (1) -1 -1 -1 9,7 16

2 a +1 -1 -1 10,12 22

3 b -1 +1 -1 9,11 20

4 ab +1 +1 -1 12,15 27

5 c -1 -1 +1 11,10 21

6 ac +1 -1 +1 10,13 23

7 bc -1 +1 +1 10,8 18

8 abc +1 +1 +1 16,14 30


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Formando la tabla ANOVA y calculando los valores de Fc para cada factor se tiene (Fcrtica

(0.1, 1, 8) = 3.45

Fuente Fc

A 18.69

B 4.33

C 1.26

AB 3.1

AC 0.03

BC 0.64

ABC 2.08

Por tanto slo son significativos los factores A y B por ser Fc > Fcrtica.

Para probar normalidad se puede utilizar la ecuacin de regresin anterior para las dos

variables A y B, con sus niveles codificados en (-1, +1), tomando la media general y los

estimados de los efectos de los factores A y B y de su interaccin, se tiene:

2121213221102

375.1

2

625.1

2

375.30625.11 xxxxxxxxy

+

+

+=++++=

Con esta ecuacin se pueden evaluar los residuos, que se calculan para cada

combinacin de las dos variables A y B ya que la C no fue relevante. Por ejemplo para el caso

de

A = -1 y B = -1 se tiene:

Yest = 9.25

Los valores observados para A = -1, B = -1 y

C = -1, corresponden a las respuestas 7 y 9. Obteniendo los residuos contra el valor estimado

de 9.25 se tiene:

r1 = 9 9.25 = - 0.25

r2 = 7 9.25 = - 2.25

Graficando estos residuos en papel normal no se observan anormalidades mayores.

Como el menor valor se obtiene al tener A y B en nivel bajo, esta es la solucin que se

recomienda.

Tcnica de confusin en los diseos 2k

Existen muchos problemas en los cuales es imposible desarrollar replicas completas de undiseo factorial en un solo bloque,

La confusin es una tcnica de diseo que sirve para arreglar un experimento factorialcompleto en bloques, donde el tamao del bloque es ms pequeo que el nmero de


21/23

combinaciones del tratamiento en una rplica. La tcnica origina informacin acerca de ciertosefectos del tratamiento (usualmente de mayor orden que las interacciones) que sonconfundidas con los bloques.

Diseos factoriales 2k en dos bloques.-Supongamos que deseamos dividir en dos bloques un diseo 22 . La figura muestra un posiblediseo para este problema. Aqu observamos que las combinaciones de los tratamientos en

diagonales opuestas son asignados a los diferentes bloques.

Notamos que el bloque 1 est compuesto por las combinaciones de los tratamientos (1) y ab,el bloque 2 esta compuesto por a y b.

Dado que las dos combinaciones con el signo positivo [ (1) y ab] estn en el bloque uno, y lasdos combinaciones [ a y b] estn en el bloque 2, el efecto de los bloques y la interaccin ABson idnticas. Esto significa que AB es confundida con los bloques.

Los signos de las combinaciones mencionadas los encontramos en la columna AB de la tabla.(1) y ab tienen signo positivo, a y b tienen signo negativo.

Corrida I A B AB

1 (1) + - - +

2 a + + - -

3 b + - + -

4 ab + + + +

Este mtodo puede ser usado para confundir cualquier efecto (A, B o AB) en bloques. Porejemplo, si (1) y b hubieran sido asignados al bloque 1, a y ab al bloque 2, entonces el efectoprincipal A hubiera sido confundido en bloques.

+

Bloqu


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Mtodo de combinacin linealOtro mtodo para construir este tipo de diseos consiste en el uso de la combinacin lineal:

kkxxxL .................2211 ++=

dondexi = nivel del factor que aparece en una combinacin particular del tratamiento.

xi = 0 (nivel bajo) 1 nivel alto.

=i es el exponente del factor en el efecto que es confundido.i

= 0 1

Las combinaciones del tratamiento que producen el mismo valor de L sern acomodadas en elmismo bloque. Dado que los valores de L pueden ser 0 1 el nmero de bloques en un diseo2k son dos.

Ejemplo:

Consideremos un diseo 23 con ABC confundida en bloques.

X1 corresponde a A, X2 corresponde a B, X3 corresponde a C, y 1321 === a

La combinacin lineal correspondiente a ABC es:

L = X1+ X2+ X3

Para determinar los valores Xi de la combinacin lineal L utilizamos la tabla de signos deldiseo 23 , Donde el signo - = 0 y + = 1

Para obtener la combinacin del tratamiento (1) procedemos de la siguiente manera:Observando el rengln del tratamiento (1) y tomando los signos de los efectos A, B, y Cobtenemos los valores de X1, X2, X3. = 000. Por tanto:

L = 1(0)+1(0)+1(0) = 0

De la misma manera la combinacin del tratamiento a sera:

L = 1(1) + 1(0) + 1(0) = 1

Calculando las dems combinaciones tenemos:

Combinacin del Efectos factoriales

Tratamiento I A B AB C AC BC ABC

(1) + - - + - + + -

a + + - - - - + +

b + - + - - + - +

ab + + + + - - - -

c + - - + + - - +

ac + + - - + + - -

bc + - + - + - + -

abc + + + + + + + +


23/23

b: L = 1(0)+1(1)+1(0) = 1 = 1ab: L = 1(1)+1(1)+1(0) = 2 = 0c: L = 1(0)+1(0)+1(1) = 1 = 1

ac: L = 1(1)+1(0)+1(1) = 2 = 0bc: L = 1(0)+1(1)+1(1) = 2 = 0

abc: L = 1(1)+1(1)+1(1) = 3 = 1

Nota cuando el valor de L>1 entonces L= 0, por ejemplo en la combinacin ab obtuvimos L = 2,entonces L = 0

Para formar el bloque 1, tomamos todas las combinaciones L = 0, el bloque dos se forma conlas combinaciones L = 1, resultando:

Bloq

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