UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

FACULTAD DE CS. PURAS Y NATURALES

CARRERA DE INFORMATICA

NOMBRE:

IVAN QUISPE CHOQUE

DOCENTE:

LIC. GALLARDO P.

MATERIA:

TELEMATICA

FECHA:

12 DE MARZO DE 2013

DISTRIBUCION BINOMIAL

UN POCO DE HISTORIA

La distribución binomial es una generalización de la distribución de Bernoulli, cuando en lugar de realizar el experimento aleatorio una sola vez, se realiza n, siendo cada ensayo independiente del anterior.

DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidad que mide el numero de éxitos en una secuencia de n ensayos de bernoulli independientes entre si, con una probabilidad fija "p", de ocurrencia del éxito entre los ensayos

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros "n" y "p" se escribe de la siguiente forma:

X~ B(n,p)

La distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza,1654‐1705) y es la principal distribución de probabilidad discreta para variables dicotómicas, es decir, que sólo pueden tomar dos posibles resultados. Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre. Dicho proceso, consiste en realizar un experimento aleatorio una so l a vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que ocurra (éxito) y q=1‐p de que no ocurra (fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos posibles valores, el 1 si ocurre y el 0 sino sucede.

La distribución binomial es una variable discreta que toma únicamente valores enteros mayores de cero: 0,1,2,3,4..... de manera que puede modelizar comportamientos reales en lis casos en que se den las siguiente condiciones:

1. El experimento se puede repetir un número determinado de veces de manera que el resultado en una ejecución del experimento no influya en los resultados posteriores, es decir los experimentos realizados son independientes.

2. para cada realización solo se pueden conseguir un único resultado de dos posibilidades. O bien éxito o fracasos.

Como ya vimos hemos concluido que un problema se ajusta mediante un modelo binomial de parámetros n y p.

Y también sabemos la variable aleatoria X como una Binomial de parámetros n y p. Con este modelo queremos calcular cual es la probabilidad de que en n realizaciones del experimento se produzca k éxitos. Es decir P(X=k).

Si en el problema nos sale que puede haber k éxitos, deben de producirse a su vez n-k fracasos. Por su puesto, todos lo experimentos deben de hacerse de manera independiente, es decir: el resultado de una realización del experimento no influye en las posteriores realizaciones del mismo y sabemos que en el caso de sucesos independientes la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades. Por lo tanto tenemos lo siguiente:

Como tenemos k éxitos independientes con probabilidad p cada uno y n-k fracasos en las mismas condiciones, de las cuales:

Donde E = suceso éxito y F = Suceso fracaso.

Y como cada P(E)=p y cada P(F)=q=1-p, tenemos que:

  P(X=k)= pk·qn-k

Pero hasta ahora no hemos considerado que los éxitos y los fracasos se pueden dar de manera aleatoria, es decir, pueden darse combinaciones distintas con los k éxitos y los n-k fracaso. De esta manera tendremos que multiplicar por la combinación de n sobre k, es decir, por el número combinatorio:

Por lo tanto nos queda la fórmula de la binomial de la siguiente manera:                               

           

Una vez que una variable aleatoria queda modelizada mediante una ley Binomial de parámetros n y p, podemos calcular de los parámetros característicos más importantes que caracterizan a cualquier distribución binomial. Estos son la Esperanza Matemática y la varianza.

A continuación definiremos formulas:

Además, estos parámetros son característicos de una distribución binomial. Es decir, conocidas la Esperanza matemática y la Varianza, podemos resolver el sistema no-lineal con variables n y p. De esta manera la solución nos da la Variable aleatoria que sigue la ley binomial con los parámetros conocidos.  Ésta es, además, una manera de ver si una distribución de valores sigue una ley binomial o no.

Características analíticas

Su función de probabilidad está dada por:

donde

, siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

Un ejemplo sencillo seria el siguiente:

Ejemplo 1.

Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Ejemplo 2.

Un cazador tiene una probabilidad de acertar cada disparo que realiza con su

escopeta (suceso A) del 40%. ¿Qué probabilidad tiene de derribar a su presa si puede efectuar tres disparos consecutivos?

Sea el suceso A: derriba a la presa en el disparo. La probabilidad de A, sería p=0,4.Sea la variable X ~ número de disparos acertados ~ B (n=3, p=0,4).

P (derribarla) = P( derribarla en el primer disparo) + P( derribarla en el segundo

disparo) +p(derribarla en el tercer disparo

Sin embargo, al ser sucesos independientes, podemos calcularlo de manera más sencilla, mediante el complementario:P (derribarla) = 1 - P(no derribarla) = 1 - (P(no derribarla en el primer disparo)*

P(no derribarla en el segundo disparo)* P( no derribarla en el tercer disparo)

P (derribarla) = 1 - (0,6)3 = 1 − 0 ,216 = 0 ,784

Ejemplo 3.

¿Qué probabilidad hay de obtener al menos un seis al realizar seis

lanzamientos consecutivos de un dado?

Sea el suceso A: obtener un seis al lanzar un dado

La probabilidad de A, sería p= 1/6.Sea la variable X ~ número de seises obtenidos en los seis lanzamientos ~ B (n=6, p=1/6)

En resumen el modelo de distribución Binomial define experimentos consistentes en realizar ensayos repetidos e independientes. Cada uno de estos experimentos presenta dos posibles resultados que denominamos éxito o fracaso, cuya probabilidad se mantiene constante en lasdiferentes pruebas.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores

0,1,2,3,4,....., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

La variable se define como X~ "nº de veces que ocurre el suceso A en n experimentos”, y viene determinada por dos parámetros:• n = tamaño maestral, número de experimentos realizados.

• p = P(A) = probabilidad de que tenga lugar el suceso A.

En consecuencia, la distribución Binomial se suele representar por B (n,p) siendo n y p los parámetros característicos de dicha distribución.

El cálculo de la probabilidad de la distribución binomial, requiere la utilización de los números combinatorios, y aunque existe una tabla que proporciona los valores de probabilidad para diferentes valores de n y p, a veces el proceso se hace bastante tediosa, especialmente cuando es necesario calcular probabilidades acumuladas.

Bibliografía

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