Cuando se hace una excavación subterránea en un macizo rocoso, los esfuerzos pre-existentes son disturbados, lo cual induce nuevos esfuerzos en la roca, en las vecindades inmediatas de la abertura. Un método de representar este nuevo campo de esfuerzos es por medio de las “trayectorias de los esfuerzos principales”, estas son líneas imaginarias en un cuerpo elástico esforzado a lo largo del cual actúan los esfuerzos principales.

ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION

Figura 4: Trayectorias de los esfuerzos mayor y menor en el material que rodea un hueco circular, construido en una placa elástica uniaxialmente esforzada.

En figura se pueden observar en las líneas discontinuas las trayectorias de los esfuerzos principales mayores. En puntos arbitrariamente seleccionados a lo largo de estas trayectorias, se muestran los esfuerzos principales sobre elementos imaginarios, puesto que el material está dividido en elementos. En cada caso, la dirección y magnitud del esfuerzos principal es mostrado por una flecha, las longitudes de las flechas dan la magnitud del esfuerzo principal a alguna escala especificada.

Con los conceptos previos, se analizará en primer lugar los esfuerzos alrededor de una excavación circular. A fin de calcular los esfuerzos, deformaciones y desplazamientos inducidos alrededor de excavaciones en materiales elásticos, será necesarios remontarnos a la teoría matemática de la elasticidad.

En primer lugar y a modo introductorio estudiaremos del caso de los túneles circulares estudiando el desarrollo y distribución de tensiones en terrenos elásticos para tensiones debidas a la gravedad.

Caso 1:

Datos x = z , a

parámetro r¿ t , r ?

ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION CIRCULAR

……… Ecuación 28

Análisis de las ecuaciones 28:

Es más importante en análisis de t la cual se duplica cuando r = a, de las

ecuaciones (28) se deduce que t en la pared del túnel “no varía” con el tamaño

del túnel, para x = z siempre t = 2x en toda la superficie.

Caso 2:

Datos x = z , a , Pi (contrapresión, caso típico revestimiento)

parámetro r¿ r , t ?

Análisis de las ecuaciones 29:

22

xixt

22xixr

ra P

ra P

1/,r

/P/,ar

xr

xixrr

1/,r

1/,ar

xt

xrt

……… Ecuación 29

Caso 3:

Datos x ≠ z (tensiones residuales)

Parámetros y r figura (5)

, aplicamos

Las ecuaciones (30) constituyen la solución bidimensional de la distribución de esfuerzos alrededor de una abertura en un campo elástico.

Análisis de las ecuaciones (30):

41

Kz

x

2Cos r/a3121

r/a121

2Cos r/a3r/a4121

r/a121

44zx

22yxt

4422zx

22yxr

……… Ecuación 30

Para el punto A:

Para el punto B:

xr

r

,r

0,ar0

zt

zxzt

,r

)4/(,75.2,ar0

zr

r

,r

0,ar

1180cos

90

zr

zxzt

,r

)4/(,25.0,ar

1180cos

90

Para un campo de esfuerzos donde x = z (casos 1 y 2), si la roca que rodea un túnel circular revestido falla, se origina una situación parecida al que se muestra en la siguiente figura :

Observando la figura la figura XX, podemos expresar las ecuaciones finales de la solución bidimensional de la distribución de esfuerzos alrededor de una abertura en un cuerpo elástico usando en este caso un sistema de coordenadas polares en la cual los esfuerzos no definidos en técnicas de tracciones, actuando sobre las caras de un elemento ubicado por un radio y un ángulo polar .

A partir de estas ecuaciones ampliaremos los conceptos anteriormente dados, observando hechos muy interesantes e importantes sobre los esfuerzos alrededor de aberturas:

Las ecuaciones muestran que el esfuerzo radial r y el esfuerzo de corte r son

ambos iguales a cero en los bordes de la excavación cuando r = a. El esfuerzo tangencial en los bordes esta dado por:

En el techo y en el piso de la abertura, es decir cuando q = 0º y 180º respectivamente, esta ecuación se reduce a:

En las paredes de la excavación, es decir cuando o = 90 y 270º se reduce a:

kpz 3

2Cosk12k1pz

1k3pz

Esfuerzos en los bordes de la excavación

Inclinaciones en un punto

2Senra3

ra2

1k1P21

2Cosra

31K1ra

1K1P21

2Cosra3

ra4

1K1ra

1K1P21

4

4

2

2

Zr

4

4

2

2

Z

4

4

2

2

2

2

Zr

r

rTan

22

Esfuerzos alejados de los límites de la excavación

212r

2rr3

212r

2rr1

41

21

41

21

Componentes de los esfuerzos en el punto (r,) de la figura XX.

Esfuerzos principales en el plano del papel en el punto (r,).