Distribucion de Poisson

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DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE POISSONPOISSON

¿Cuándo usar esta distribución?• Útil para la ocurrencia de eventos por unidad de

tiempo: errores/mes, quejas/semana, defectos/día. • Para su aplicación, la probabilidad de ocurrencia del

evento debe ser constante en tiempo o espacio y debe haber independencia de ocurrencia de eventos.

• Cuando está en función del tiempo se debe multiplicar ese valor de por el número de unidades de tiempo, sea que se habla en este caso de =t.

• La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

• Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

• Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

• Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.

DISTRIBUCION DE POISSON- EJEMPLOS DE DISTRIBUCION DE POISSON- EJEMPLOS DE UTILIDADUTILIDAD

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DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE POISSONPOISSONFORMULAS

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1

var

),(),(

*!

),(

ianzaladeesperadoValor

medialadeesperadoValor

xpxP

acumuladaFunción

ex

xp

densidadFunción

X

ii

x

t

ianzaladeesperadoValor

t

medialadeesperadoValor

txptxP

acumuladaFuncion

ex

ttxp

densidadFuncion

X

ii

tx

2

1

var

),(),(

*!

)(),(

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Forma de la curva

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¿Cómo usar las tablas? Para usar las tablas se sigue este procedimiento:• Asegurar que la variable sigue un comportamiento

Poisson (prueba de bondad de ajuste).• Se identifican los valores de n, y x o el valor de si

este es dado.• Se determina el valor de multiplicando n por , en

el caso de una aproximación a la binomial.• En el caso de probabilidades puntuales, se localiza el

valor de x en la columna de la izquierda y el valor de o (media de la distribución de Poisson) en la parte superior de la tabla.

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¿Cómo usar las tablas? • En el caso de probabilidades acumuladas, se

localiza el valor de en la columna de la izquierda y el valor de x en la parte superior de la tabla.

• El valor de la probabilidad es el valor que interseca al valor de x con el valor de . Esto se muestra en el siguiente segmento de la tabla. Por ejemplo si =3.2, x=7, la respuesta es 0.0278.

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EJEMPLO 3

Una compañía vende productos en metros y se ha caracterizado por tener una tasa promedio de 4 defectos por cada 200 metros. Si se compran 80 metros, ¿cuál es la probabilidad de que haya:

1. dos defectos?2. más de cuatro defectos?

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SOLUCION1. dos defectos?P(x=2) para n=80. El valor de es (4/200)*80 = 1.6

defectos. Se usa la tabla densidad de Poisson con x=2, por lo que el resultado es:P(x=2)=p(2,1.6)=0.2584Se puede usar también la tabla Poisson acumulada con =1.6 defectos.P(x=2)= P(x2) – P(x1) = P(2,1.6)- P(1,1.6)P(X=2)=0.783-0.525 = 0.258 La probabilidad de que haya dos defectos es 0.2584.

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SOLUCION• También a manera de ejemplo se puede usar

la fórmula correspondiente, así:

La probabilidad de que haya dos defectos es 0.2584.

2584.0*!2

6.1)6.1,2( 6.1

2

ep

2584.0*!2

6.1)6.1,2( 6.1

2

ep

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SOLUCION2. más de cuatro defectos? P(x>4) = 1- P(x4)= 1- P(4,1.6)= 1-

0.976=0.024Se usa la tabla de Poisson acumulada con =1.6 defectos.P(x4)= 0.976La probabilidad de que haya más de cuatro defectos es 0.024.

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EJEMPLO 4 Una compañía de ventas por teléfono recibe

llamadas a razón de 5 por segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba:1. tres llamadas en un segundo?2. más de cuatro llamadas en dos

segundos?

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DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE POISSONPOISSONSOLUCION

1. El valor de es 5 llamadas por segundo y el de x es 3 llamadas en un segundo. Se usa la tabla densidad. Así:P(x=3)=p(3,5)=0.1404Se puede usar también la tabla Poisson acumulada de =5 llamadas por segundo.P(x=3)= P(x3) – P(x2) = 0.265-0.125 = 0.14La probabilidad de que haya dos defectos es 0.1404.2. El valor de es 5*2=10 llamadas por segundo y el de x>4 llamadas por segundo. Se usa la tabla Poisson acumulada de =10 llamadas por segundo.P(x>4)= 1- P(x4) = 1- 0.029 = 0.971La probabilidad de que haya dos defectos es 0.971.

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