Mltiplos y divisores de un nmero natural

Mltiplo

Se llaman mltiplos de un nmero a todos los nmeros que resultan de la multiplicacin de ese nmero con cada uno de los naturales.

Divisor

Un nmero es divisor de otro si lo divide exactamente, es decir, si el segundo es mltiplo del primero.

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, Divisores de 35: 1, 5, 7, 35Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

El uno es divisor de todos los nmeros. Todo nmero es divisor de s mismo.

Para determinar los divisores de un nmero, se buscan todos los nmeros que lo dividen en forma exacta, es decir, el resto debe ser cero.

Relacin de divisibilidad

Entre dos nmeros naturales se establece una relacin de divisibilidad cuando el primero es mltiplo del segundo y, por tanto, este ltimo es divisor del primero.

Criterios de divisibilidad

A continuacin encontrars algunas reglas que te harn saber cundo un nmero es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la operacin.

A este conjunto de reglas le llamamos CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2: un nmero es divisible por 2 cuando termina en cifra par.8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3: un nmero es divisible por 3, si la suma de los dgitos que lo componen, es mltiplo de tres. 6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3

Divisibilidad por 5: un nmero es divisible por 5 si su ltimo dgito es 0 o 5.

Divisibilidad por 6: un nmero es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

Divisibilidad por 10: un nmero es divisible por 10, si su ltimo dgito es 0.Nmeros primos y compuestos. Descomposicin factorialNmero primo

Los nmeros primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer nicamente dos divisores: el mismo nmero y el 1, que es divisor de todo nmero.El 2, 3, 5, 7, 11 solo son divisibles por s mismos y por 1.Nmero compuesto

Un nmero es compuesto si tiene tres o ms divisores, es decir, si tienen otros divisores distintos de la unidad y de l mismo.El nmero 6 es compuesto , pues adems de ser divisible por 1 y 6, tambin lo es por 2 y 3.El nmero 1 no es primo porque no tiene dos divisores (slo l mismo) y tampoco es compuesto.

+Descomposicin factorial en nmeros primos

La descomposicin factorial en nmeros primos de un nmero es la representacin de este como producto de nmeros primos.Para descomponer un nmero en sus factores primos se sigue el siguiente procedimiento:1. Se divide el nmero entre el nmero primo ms pequeo que lo divida exactamente.2. Se divide el cociente de la divisin anterior entre el siguiente nmero primo que d divisin exacta.3. Se continan efectuando clculos hasta llegar a un cociente igual a uno.El nmero que se descompuso en sus factores primos debe ser igual al producto de todos los divisores resultantes.Existe dos formas de hacerlo: Por divisiones sucesivas en cascada o por disposicin prctica, esta ltima es la ms utilizada aunque requiere tener un aceptable clculo mental.

Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo Mximo comn divisor

Para hallar el mximo comn divisor (m.c.d.) de varios nmeros, debemos encontrar un nmero que sea divisor a todos (comn) y en concreto el ms grande de todos (mximo)

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, Divisores de 60: 1, 2, 3, 4 ,5, 6,10, 12, 15, 30, 60

Ejemplo: Si sacamos todos los divisores como en el ejemplo de 24 y 60, encontramos que el 2, 3,4,6 y 12 son divisores que se encuentran en los dos nmeros dados, siendo el 12, el ms grande de todos. Por lo tanto, el mximo comn divisor de 24 y 60 m.c.d. (24,60) es 12.

Existe una manera ms prctica para hallar el m.c.m, sobre todo si se trata de nmeros muy altos:

Se procede a descomponer las cantidades dadas en sus factores primos,

24260224: 2 x 2 x 2 x 3122302 6215360: 2 x 2 x 3 x 5 33 55 1 1

Nos fijamos en los divisores primos que aparecen en las dos descomposiciones (comunes a los dos): el dos aparece dos veces en ambos nmeros y el 3 una slo. Todas las opciones en las que podamos combinar la multiplicacin de estos nmeros sern sus divisores comunes = 2,3, 4(2x2), 6(2x3),12(2x2x3). Ser la multiplicacin de todos ellos 2 x 2 x 3 el mximo comn divisor (12).

En resumen, el producto de los factores comunes con su menor exponente, o el producto de todos los factores primos que aparecen en todos los nmeros a descomponer.

Mnimo comn mltiplo

Mltiplos de 2: 0,2,4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, Mltiplos de 3:0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,

Para hallar el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de varios nmeros, debemos encontrar un nmero que sea mltiplo de todos (comn) y en concreto el ms pequeo de todos (mnimo)

Ejemplo: Si sacamos los 10 primeros mltiplos de 2 y 3 como en el ejemplo, encontramos que 6, 12 y 18 son mltiplos que se encuentran en los dos nmeros dados, siendo el 6, el ms pequeo de todos. Por lo tanto, el mnimo comn mltiplo de 2 y 3 m.c.m. (2,3) es 6.

Existe una manera ms prctica para hallar el m.c.m, sobre todo si se trata de nmeros muy altos:

Se procede a descomponer las cantidades dadas en sus factores primos,

24260224: 2 x 2 x 2 x 3122302 6215360: 2 x 2 x 3 x 5 33 55 1 1m.c.m (24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

Nos fijamos en los divisores primos que aparecen en las dos descomposiciones.

Est claro que un mltiplo de ambos nmeros debe ser divisible por los dos. En este caso entre 24 y entre 60.

Si nos fijamos en sus factores primos deber ser divisible entre (2x2x2x3) y (2x2x3x5) lo que implica que ese nmero debe contener los factores primos de 24 (23 y 3) y los de 60 (22,3 y 5)

Si eliminamos los factores que se repiten (22 y 3 ) hallaremos el mltiplo ms pequeo posible. En este caso, el nmero que nos saldr, estar compuesto por 23 x 3 x 5 = 120, siendo ste el menor de los mltiplos comunes.

m.c.m (24, 60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

En resumen, el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente., o el producto de todos los factores primos que aparecen en cada nmero, quitando los que ya se repiten en alguno de ellos.