Divisibilidad€¦ · Al iniciar la unidad • La lectura sirve de introducción a la unidad, informando de que sus con - tenidos, los conceptos relativos a la divisibilidad, ya preocupaban

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Presentación de la unidad

•La unidad retoma el estudio de la divisibilidad en el campo de los números naturales, consolidando conceptos y procedimien-tos ya iniciados en Primaria.

•Comenzamos recordando, como base previa, la reciprocidad en-tre multiplicación y división. Esa base servirá de punto de partida para asentar y manejar con soltura las expresiones “es múltiplo de” (es divisible por), “es divisor de”, y entender que son igual-mente recíprocas.

•A continuación, se introduce una serie de contenidos básicos im-prescindibles para seguir avanzando: diferenciación entre primos y compuestos, identificación de los primeros primos, criterios de divisibilidad, descomposición en factores, identificación de múl-tiplos y divisores de números descompuestos en factores primos.

•En el siguiente paso se aborda la construcción de los conceptos de máximo común divisor y de mínimo común múltiplo. Y, conse-guido eso, se estudian métodos para optimizar el cálculo.

Resaltamos las dos fases de este último paso: construcción de ideas-optimización del cálculo, como partes bien diferenciadas del proceso.

•La experiencia nos muestra la dificultad que ofrecen estos conte-nidos para una buena parte de los alumnos y alumnas. Por eso se

propone su introducción intuitiva y experimental, con ejemplos muy sencillos, partiendo de los conjuntos de múltiplos (o diviso-res), realizando su intersección, y seleccionando el menor múlti-plo (o el mayor divisor).

•Conseguido ese objetivo, pasamos a la obtención mediante los factores primos. En esta fase, llamamos la atención sobre la im-portancia de identificar, previamente, múltiplos y divisores de un número factorizado.

•Paralelamente a la secuencia presentada, se proponen proble-mas de aplicación que, aportando contexto a los conceptos, complementan su comprensión.

Conocimientos mínimos

•Significado de los conceptos de múltiplo y divisor. Identificación de la relación de divisibilidad, cuando exista.

•Cálculo de los múltiplos y divisores de un número.

•Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11.

• Identificar los números primos menores que 30.

•Descomponer un número en factores primos.

•Calcular el mínimo común múltiplo de dos números sencillos, mediante la intersección de los divisores comunes.

3 Divisibilidad

50

Esquema de la unidad

DIVISIBILIDAD

la división es exacta

comunes a distintos números

comunes a distintos números

NÚMEROS PRIMOS

NÚMEROS COMPUESTOS

que pueden ser

y al menor de los comunes se le denomina

y al mayor de los comunes se le denomina

que clasifican a los números enque pueden ser

cuando

cuando cuando

sus únicos divisores son él mismo y la unidad

tiene más de dos

divisoresMÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÚLTIPLOS DIVISORES

Entre dos números naturales puede existir relación de divisibilidad.

que genera

51

Anticipación de tareas

•Revisar las propiedades y las relaciones entre la multiplicación y la división.

•Practicar y asegurar el cálculo mental y el cálculo escrito con la multiplicación y, especialmente, con la división.

•Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para resolver problemas y describir los procesos de resolución.

Adaptación curricular

En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 3 del libro del alumnado, para cuya ela-boración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen.

La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáti-cas: el práctico y el intelectual.

Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen.

Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha su-primido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigi-dos.

Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la uni-dad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.

APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO

Pág. 45. Todas las propuestas Pág. 47. Actividad 5 Pág. 47. Actividad 13

Pág. 55. Actividad sugerida en esta P.D.(*) Pág. 49. Actividades 5 y 9 Pág. 49. Actividad 11

Pág. 58. Actividad sugerida en esta P.D.(*) Pág. 51. Actividad 4 Pág. 50. Actividad 15

Pág. 58. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 53. Actividad 11(*) Pág. 56. Actividad 8

Pág. 56. Actividad 9(*) Pág. 59. Actividad 8(*)

Pág. 60. Actividad 14 Pág. 62. Actividad “El 101 es el protagonista”

Pág. 60. Actividad 16(*)

INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Pág. 44. Historia Pág. 50. Actividad suge-rida en esta P.D.

Pág. 49. Actividad 6(*) y actividad sugerida en esta P.D.

Todos los problemas propuestos en el L.A. están en-cuadrados en este apartado. Aquí se señalan algu-nos que tienen especial interés.

Pág. 49. Actividad 10 Página 52. Ladillo Pág. 49. Actividad sugerida en es-ta P.D.

Pág. 47. Actividad 15

Pág. 60. Actividad 11 (*) Pág. 50 Actividad sugerida en es-ta P.D. (*)


Pág. 51. Actividad sugerida en es-ta P.D.


Pág. 60. Actividad 10 Pág. 61. Actividad “Aprende a resolver problemas”

Pág. 62. Actividad “Divisibilidad y geometría” (*)

Pág. 61 . Actividades “Problemas +”(*)

Pág. 62. Actividad “Los primos va-len dinero”

Pág. 63. Actividad “Entrénate resolviendo proble-mas”

En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa-miento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de pro-blemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).

Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).

52

Alejandría, fundada por Alejandro Magno en el siglo IV a.C., pasó a ser el centro cultural (científi co, artístico) de la civilización griega.

El sabio griego Euclides vivió en Alejandría en el si-glo III a.C., donde fundó una gran escuela de matemáti-

cas. Recopiló y sistematizó todo el conocimiento matemáti-co de su época y plasmó su obra en una colección de trece libros que se denominaron Elementos. La mayor parte de estos libros estaban dedicados a la geometría, y solo cuatro de ellos, a la aritmética. En estos últimos desarrolló, entre otras cosas, la teoría de la divisibilidad: números primos y compuestos, divisores, múltiplos, etc.

Los Elementos de Euclides han sido estudiados y admira-dos en todas las épocas.

Divisiones al estilo egipcioAntes de la llegada del sistema de numeración decimal, la operación de dividir no era tan sencilla como ahora. Observa, por ejemplo, cómo dividían los antiguos egipcios 380 : 20.Empezaban escribiendo dos columnas: — La primera, con sucesivas duplicaciones del divisor, 20, sin pasar de 380.

204080

160320380

1248

1619

⎯→⎯→

⎯→

→→

→←

←•←•

←•→

— La segunda, con sucesivas duplicaciones de la unidad.— Tomaban, en la columna de la izquierda, las sumas necesa-

rias para obtener 380 → 20 + 40 + 320 = 380.— Después, tomaban los sumandos correspondientes en la co-

lumna de la derecha → 1 + 2 + 16 = 19.— El resultado obtenido en la segunda columna es el cociente:

380 : 20 = 19

1 Divide, por el mismo procedimiento, 414 : 18.

RectángulosSobre una cuadrícula, se pueden construir cuatro rectángulos diferentes que ocupen una super� cie de 30 cuadraditos:

1 × 30

2 × 15

3 × 105 × 6

Los pares de números que coinciden con las dimensiones de los lados, 1-30, 2-15, 3-10 y 5-6, guardan con 30 relaciones que serán objeto de estudio en esta unidad.

2 Dibuja sobre una cuadrícula todos los rectángulos que ocupen 36 cuadraditos.

3 ¿Cuántos rectángulos de 100 cuadraditos podrías construir? ¿Y de 101?

Series en la calculadoraEn una calculadora sencilla, de las de 4 operaciones, pulsa esta secuencia de teclas:

7 + + = = = = …

Irás obteniendo la serie → 7; 14; 21; 28; 35; …O lo que es igual → 7 × 1; 7 × 2; 7 × 3; 7 × 4; 7 × 5; …Estas series están relacionadas con lo que vas a estudiar en la unidad.

4 Experimenta, partiendo de otros números, la formación de nuevas series ob-tenidas de la misma manera.

3 Divisibilidad

Al iniciar la unidad• La lectura sirve de introducción a la unidad, informando de que sus con-

tenidos, los conceptos relativos a la divisibilidad, ya preocupaban a los matemáticos de la Antigüedad, en Grecia y Egipto, trescientos años an-tes de Cristo. Los estudiantes constatarán así que el interés por la es-tructura y las propiedades de los números van unidos a su aparición y desarrollo, siendo consecuencia de la curiosidad humana y del afán de saber, cosas estas no exclusivas de la sociedad moderna. Es decir, so-mos consecuencia, beneficiarios y herederos de los que vivieron antes que nosotros.

• También puede servir como punto de partida para ampliar información en distintas direcciones: (TIC, emprendimiento, interdisciplinariedad…).

– Matemáticos de la Antigüedad.

– Vida y obra de Euclides.

– El papel de Alejandría y sus escuelas en la conservación y el impulso del saber en la historia antigua.

– El sistema de numeración griego.

Cuestiones para detectar ideas previas•Al hilo de la lectura de la página anterior, se puede hacer notar al alum-

nado la dificultad añadida que suponía para aquellos matemáticos, al carecer del sistema de numeración decimal, investigar sobre los núme-ros; es decir, con sistemas mucho más rudimentarios y menos potentes. Como prueba, pueden reflexionar sobre el hecho de que el algoritmo que usamos para dividir es imposible fuera del sistema decimal, y que los antiguos utilizaban otros métodos como el que se muestra en las actividades de esta página. Y conste que nosotros, para explicarlo, recu-rrimos a los números en forma decimal. Pueden imaginar la dificultad y el engorro que supondría hacerlo en el sistema de numeración egipcio o en el griego; este último utilizaba letras, de forma similar al romano que conocemos.

•En el segundo apartado, “Rectángulos”, en un contexto geométrico, los estudiantes resolverán cuestiones (búsqueda intuitiva de los divisores de un número), que después relacionarán con los contenidos de la unidad.

•En el último apartado, “Series en la calculadora”, se anticipa, también informalmente, la obtención de los múltiplos de un número.

Aprendizaje cooperativo Si el profesor o la profesora lo considera oportuno, las actividades de este apartado pueden realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer tiempo, los grupos buscarán soluciones, que se con-trastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conse-guidos, rebatiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclu-siones comunes.

Soluciones de las actividades

1 18 1

36 2

72 4

144 8

288 16 414 23

414 : 18 = 23

2 Dibujarán rectángulos de 1 × 36 cuadraditos, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6 cuadraditos.

3 Podría ser de 1 × 100, de 2 × 50, de 4 × 25, de 5 × 20 y de 10 × 10.

De 101 cuadrados solo podría ser un rectángulo de 1 × 101.

4 Solución abierta.

53

3UNIDAD

4746

Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno contiene al otro una cantidad exacta de veces; es decir, cuando su cociente es exacto.

Ejemplos

• Un listón de 60 cm se puede partir, exactamente, en trozos de 15 cm.

→ La división es exacta. → 60 es divisible entre 15.60 1500 4

• Sin embargo, un liston de 60 cm no se puede partir, exactamente, en trozos de 25 cm.

25 25 1060

→ La división no es exacta. → 60 no es divisible entre 25.60 2510 2

Ser múltiplo de…, ser divisor de…

Cuando dos números están emparejados por la relación de divisibilidad, decimos que:• El mayor es múltiplo del menor.• El menor es divisor del mayor.

Ejemplo

40 80 5

→ 40 = 8 · 5 → 40 es múltiplo de 8.8 es divisor de 40.

división exacta

• a es múltiplo de b

o lo que es igual si la división a : b es exacta.

• b es divisor de a

Los divisores van por parejas

Cada divisor de un número lleva otro divisor emparejado.40 80 5 ↔

40 50 8

8 es divisor de 40. 5 es divisor de 40.5

8 8 8 8 8

5 5 5 5 5 5 58 · 5

5 · 8

40

a b0 c

↓división exacta

a es divisible entre b.

a es múltiplode b.

b es divisorde a.

Relación de divisibilidad

1 La relación de divisibilidad1. Piensa y contesta, justificando tus respuestas.

a) ¿Se puede dividir una clase de 30 alumnos en equi-pos de 7, sin que sobre ninguno?

b) Marta da pasos de 60 cm. ¿Puede recorrer 100 me-tros en un número exacto de pasos?

c) ¿Puede vaciarse una tina de aceite, de 1 500 litros, en un número exacto de garrafas de 5 litros?

d) ¿Tiene algún mes un número exacto de semanas?

2. Observa estas divisiones y completa en tu cuaderno:Observa estas divisiones y completa en tu cuaderno:

36 90 4

15 63 2

55 505 110

126 12006 10

225 1575 150

575 23115 2500

— 36 es divisible por …— 15 no es divisible por …— …

3. Di si los números de cada pareja están emparentados por la relación de divisibilidad:a) 224 y 16 b) 420 y 35 c) 613 y 13d) 513 y 19 e) 688 y 44 f ) 2 070 y 46

4. Copia estos números y une con flechas los que están emparentados por la relación de divisibilidad:

12 108 75 20 13 57 3 100 99 260

5. ¿Verdadero o falso?a) 15 está contenido exactamente 4 veces en 60.b) 75 está contenido exactamente 3 veces en 225.c) 42 es divisible entre 7.d) 54 es divisible entre 8.e) 65 contiene a 13 un número exacto de veces.

6. Busca todos los números que están contenidos en 24 una cantidad exacta de veces.

7. Explica con claridad.a) ¿Por qué 522 es múltiplo de 29?b) ¿Por qué 17 es divisor de 544?

8. Calcula y responde, justificando tu respuesta.a) ¿Es 35 divisor de 728?b) ¿Es 1 800 múltiplo de 90?

9. Busca:a) Tres números que sean divisores de 40.b) Tres números que sean múltiplos de 7.c) Tres números que sean divisores de 770.d) Tres números que sean múltiplos de 50.

10. Busca entre estos números:5 10 15 20 30

35 45 60 75 90a) Todos los que sean divisores de 90.b) Todos los que sean múltiplos de 3.

11. Considera estos números:8 10 20 24 30

45 60 75 95 120a) ¿Cuáles son múltiplos de 4?b) ¿Cuáles son múltiplos de 10?c) ¿Cuáles son múltiplos de 15?

12. Observa el ejemplo, copia en tu cuaderno y completa.• 20 : 5 = 4

20 : 4 = 5 →

20 es múltiplo de 4 y de 5.

4 y 5 son divisores de 20.

a) 12 : 4 = 312 : 3 = 4

→

12 es … de 3 y de 4.3 y 4 son … de 12.

b)30 : 5 = 630 : 6 = 5

→

……

c) 56 : 7 = 856 : 8 = 7

→

……

13. ¿Verdadero o falso?a) Si m es divisible entre n, n es divisible entre m.b) Si a es distinto de b y divisible entre b, a es

mayor que b.c) Si u es múltiplo de v, v es divisor de u.d) Si b cabe una cantidad exacta de veces en a, b

es múltiplo de a.e) Si m ∙ n = k, m y n son divisores de k.

Piensa y practica

Practica la relación de divisibilidad.En la web

En la web • Encuentra múltiplos de un número.• Encuentra divisores de un número.

6015 151515

Sugerencias•Comenzamos con un planteamiento gráfico muy sencillo del concepto

de divisibilidad asociado a la división:

Cabe una cantidad La división Existe relación ↔ ↔ exacta de veces es exacta de divisibilidad

La relación fundamental D = d · c debe ser manejada mentalmente por los alumnos y las alumnas para reconocer relaciones de divisibilidad.

•Una vez construida la idea de divisibilidad, es necesario dotar a sus ele-mentos de una nomenclatura que facilite su incorporación al lenguaje. Con este fin se introducen los términos múltiplo y divisor. Los estudian-tes han de integrar ambos conceptos como inseparables:

D : d = c D es múltiplo c y d son ↔ ↔ (exacta) de c y de d divisores de D

• Se sugiere practicar la implantación de dichos conceptos tomando con-ciencia de que todos los mensajes siguientes son equivalentes y se utili-zan de forma indistinta:

12 es divisible entre 4, 4 divide a 12, 12 es múltiplo de 4, 4 es divisor de 12

Refuerzo y AmpliaciónComo ejercicios de refuerzo y ampliación se recomiendan los siguientes, todos ellos del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 22.

Ampliación: Ejercicio 4 de la pág. 22.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 a) No. 30 : 7 no es exacta.

b) No. 100 m = 10 000 cm : 60 no da exacto.

c) Sí. La división 1 500 : 5 es exacta.

d) Solo febrero en años no bisiestos.

2 • 36esdivisiblepor9. • 15noesdivisiblepor6.

• 55esdivisiblepor5. • 126noesdivisiblepor12.

• 255esdivisiblepor15. • 575esdivisiblepor23.

3 a) Sí b) Sí c) No d) Sí e) No f ) Sí

4 12 108 75 20 13

57 3 100 99 260

5 a) Verdadero b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero

6 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

7 a) Porque 522 : 29 = 18 y, por tanto, 522 = 29 · 18.

b) Porque la división de 544 entre 17 es exacta, 544 : 17 = 32.

8 a) 35 no es divisor de 728 porque 728 : 35 no es exacta.

b) Sí, pues 1 800 : 90 = 20 de manera exacta.

9 a) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b) 7, 14, 21, 28, …

c) 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, … d) 50, 100, 150, 200, …

10 a) 5, 10, 15, 30, 45, 90 b) 15, 30, 45, 60, 75, 90

11 a) 8, 20, 24, 60, 120 b) 10, 20, 30, 60, 120 c) 30, 45, 60, 75, 120

12 a) 12 es múltiplo de 3 y de 4. 3 y 4 son divisores de 12.

b) 30 es múltiplo de 5 y de 6. 5 y 6 son divisores de 30.

c) 56 es múltiplo de 7 y de 8. 7 y 8 son divisores de 56.

13 a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero

54

3UNIDAD

4948

Cálculo de los múltiplos de un número

Observa los primeros múltiplos de 20:

Los números 20, 40, 60, 80, … son divisibles por 20; es decir, son múltiplos de 20.Cada uno de ellos se obtiene multiplicando 20 por un número natural. Y la serie puede continuar inde� nidamente.

20 · 1 20 · 2 20 · 3 … 20 · 6 … 20 · 10 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 20 40 60 … 120 … 200 …

• Los múltiplos de un número natural, a, se obtienen al multiplicar a por cualquier otro número natural k. a · k → múltiplo de a

• Todo número natural, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. → a · 1 = a• Un número distinto de cero tiene in� nitos múltiplos.

Cálculo de los divisores de un número

Observa, ahora, cómo calculamos los divisores de 20:

20 100 20

20 2000 1

20 200 10

20 1000 2

20 400 5

20 500 4

Los números 1, 2, 4, 5, 10 y 20 son los divisores de 20.Son todas las cantidades entre las que se puede dividir 20 de forma exacta.Observa, también, que forman parejas cuyo producto es 20:

1 ∙ 20 = 20 2 ∙ 10 = 20 4 ∙ 5 = 20

• Para obtener todos los divisores de un número, a, buscamos las divisiones exactas:

a : b = ca : c = b → a = b · c → Entonces b y c son divisores de a.

• Todo número es divisor de sí mismo. → a : a = 1• El 1 es divisor de cualquier número. → a : 1 = a

Cuando nos referimos a un múltiplo de un número, podemos escribirlo con un punto encima, así:

•7 → múltiplo de 7•a → múltiplo de a

18 = •3 → 18 es múltiplo de 3.

Notación

Búsqueda de los divisores de 18:

: 1 = 18 → SÍ

: 2 = 9 → SÍ

: 3 = 6 → SÍ

: 4 → NO

: 5 → NO

: 6 = 3 → SÍ

18

Los divisores de 18 son:

1 2 3

18 9 6

Divisores de 18

2 Los múltiplos y los divisores de un número Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que sirven para descubrir si un número es divisible por 2, 3, 5 u otros números sencillos.

■ DIVISIBILIDAD POR 2

Los múltiplos de 2 son los números pares: 2 - 4 - 6 - 8 ‐ 10 - … - 68 - 70 - …Y para que un número sea par, basta con que lo sea su última cifra.

Un número es divisible por 2 (es múltiplo de 2) si termina en cifra par:0 - 2 - 4 - 6 - 8

■ DIVISIBILIDAD POR 5 Y POR 10

Observa las series de los múltiplos de 5 y de 10:•5 → 10 - 15 - 20 - 25 - … - 125 - 130 - … - 200 - 205 - …•10 → 10 - 20 - 30 - 40 - … - 120 - 130 - … - 200 - 210 - …

Los múltiplos de 5, y solo ellos, terminan en 0 o 5, y los de 10, en 0.

• Un número es divisible por 5 (es múltiplo de 5) si termina en 0 o en 5.• Un número es divisible por 10 (es múltiplo de 10) si termina en 0.

■ DIVISIBILIDAD POR 3 Y POR 9

Toma cualquier múltiplo de 3 y suma sus cifras. Obtendrás un múltiplo de 3.3 ∙ 16 = 48 → 4 + 8 = 12 → •3 3 ∙ 47 = 141 → 1 + 4 + 1 = 6 → •3Comprueba, también, que eso solo les ocurre a los múltiplos de 3.Toma cualquier múltiplo de 9 y suma sus cifras. Obtendrás un múltiplo de 9.9 ∙ 21 = 189 → 1 + 8 + 9 = 18 → •9 9 ∙ 68 = 612 → 6 + 1 + 2 = 9 → •9Comprueba, también, que eso solo les ocurre a los múltiplos de 9.

• Un número es divisible por 3 (es múltiplo de 3) si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 9 (es múltiplo de 9) si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

■ DIVISIBILIDAD POR 11

Toma algunos múltiplos de 11, por ejemplo: 11 · 34 = 374 y 11 · 347 = 3 817Ahora, observa:

3 7 4 7 – 7 = 03 + 4 = 7

7

8 + 7 = 15

3 + 1 = 43 8 1 7 15 – 4 = 11

Si, en cada uno, sumas por un lado las cifras de las casillas rojas, y por otro, las de las casillas verdes, y restas los resultados, obtienes cero u once.Comprueba, también, que solo ocurre con los múltiplos de 11.

Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar es 0 o un múltiplo de 11.

•3• 411 → 4 + 1 + 1 = 6 •9 411 es múltiplo de 3 pero no de 9.

•3• 432 → 4 + 3 + 2 = 9 •9 432 es múltiplo de 3 y de 9.

•3• 473 → 4 + 7 + 3 = 14 •9 473 no es múltiplo ni de 3 ni de 9.

Ejemplos

• 516 → cifra par516 es múltiplo de 2.

• 371 → cifra impar371 no es múltiplo de 2.

Ejemplos

• 325 → es múltiplo de 5.• 560 → es múltiplo de 5 y de 10.• 703 → no es múltiplo ni de 5 ni de 10.

Ejemplos

Practica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10.

En la web

Ejemplos

• 418 → (4 + 8) – (1) = 11 Es múltiplo de 11.• 1 543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3 No es múltiplo de 11.• 7 458 → (7 + 5) – (4 + 8) = 0 Es múltiplo de 11.

Sugerencias• Tratamos, ahora, distintos procedimientos para encontrar los múltiplos

de un número:

– Buscar cantidades que lo contienen un número exacto de veces.

– Buscar cantidades divisibles por el número.

– Multiplicar el número por cualquier otro número natural. Este proce-dimiento ayuda a ver que es posible encontrar tantos múltiplos de un número como se desee.

• Por otro lado, vale la pena que los alumnos y las alumnas, de forma indi-vidual o en pequeño grupo, mediante propuestas guiadas, investiguen algunas propiedades:

– Buscar el menor múltiplo de un número dado.

– Buscar un múltiplo comprendido entre dos valores a y b.

– Buscar números que sean a la vez múltiplos de 2 y de 3. ¿Son múlti-plos de 6?

– Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, ¿es a múltiplo de c?

• Abordamos, también, la construcción del conjunto de los divisores de un número dado. Para ello, proponemos ir buscando divisiones exactas que tengan al número por dividendo.

• Señalaremos a los estudiantes que un número tiene una cantidad finita de divisores, en contraste con los múltiplos, que son infinitos.

• Resaltaremos también el hecho de que los divisores van emparejados como consecuencia de las relaciones entre los términos de una división exacta:

D : d = c; D : c = d; d · c = D

Esta propiedad solo se rompe en los cuadrados perfectos, en los que hay un divisor que se empareja consigo mismo. De ahí que todos los números tienen una cantidad par de divisores, excepto los cuadrados perfectos.

• Podemos también proponer actividades destinadas a investigar las pro-piedades de los divisores:

– ¿Cuál es el mayor divisor de un número?

– Si a es divisor de b y b lo es de c, ¿es a divisor de c?

• Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que apoyan el cálculo mental y simplifican multitud de tareas, todas ellas relacionadas con los contenidos que se presentarán en las próximas páginas.

Estas reglas se descubren aquí a través de la observación de regularida-des en conjuntos numéricos apropiados, quedando la demostración ri-gurosa para niveles superiores.

Ahora nos interesa, sobre todo, su adquisición práctica y su aplicación con agilidad y destreza.

Emprendimiento Se sugiere la siguiente actividad:

Investiga.

Los divisores de un número van emparejados. Sin embargo, hay números con una cantidad impar de divisores. ¿Cuáles son?

Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan los siguientes ejercicios, todos ellos del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:


Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 25.


Ampliación: Ejercicios 4, 5 y 6 de la pág. 24.

Ejercicios 4 y 5 de la pág. 25.

Ejercicios 4 y 5 de la pág. 27.

55

1 Los números naturales

Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.

Los sistemas de numeración sirven para escribir números y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, tam-

bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que ya conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar.

Mayas2000 a.C. Romanos

100 a.C.

Babilonios2000 a.C.

Egipcios3500 a.C.

Chinos 3500 a.C.

Hindúes 500 a.C.

Árabes 700 d.C.

Sistema decimal que usamos

Así multiplicaban los antiguos hindúes

– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la ca-silla sombreada, 4 × 7 = 28.

– Se suman los resultados en vertical. En cada columna solo cabe un dígito.

Así multiplicaban los antiguos egipcios Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo hacían 23 × 18.

Escribían dos columnas de números siguiendo las si-guientes reglas:– En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepa-

sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.– La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo fac-

tor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna.

– Después, en la primera columna tomaban los números necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23:

1 + 2 + 4 + 16 = 23– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los nú-

meros correspondientes a los sumandos de la primera columna y los sumaban. En nuestro caso:

18 + 36 + 72 + 288 = 414El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el pro-ducto buscado. En nuestro ejemplo:

23 × 18 = 414

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8

2 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:

a) 208 × 34 b) 453 × 26

3 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta.

1 Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:a) 17 × 41 b) 41 × 17

1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

3UNIDAD

5150

Los divisores de un número permiten expresarlo en forma de producto.

Ejemplo··· ·

18 1 2 3 6 9 18

18 2 918 3 618 2 3 3

DIVISORES" "- - - - -

===

d nZ

[

\

]]

]]

Los números, como 18, que se pueden descomponer en factores más sencillos se llaman números compuestos.

Sin embargo, hay números que solo tienen dos divisores (el mismo número y la unidad), lo cual impide su descomposición.

Ejemplo

·1 1 13 13 13 13DIVISORES

" "- =d n

Los números, como 13, que no se pueden descomponer en factores más senci-llos se llaman números primos.

Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

En la tabla se han marcado:— los múltiplos de 2, •, excepto el 2. — los múltiplos de 3, •, excepto el 3.— los múltiplos de 5, •, excepto el 5.— … y así, sucesivamente, con los múltiplos

de 7, ⊕; de 11, *; de 13, ▲; …

1 2 3 4• 5 6

• •7 8

•9•

10• • 11 12

• •13 14

• ⊕15• •

16• 17 18

• •19 20

• •21• ⊕

22• *

23 24• •

25•

26• ▲

27•

28• ⊕

29 30• • •

Los números sin marcar, rodeados con un círculo, son los primos menores que 30. Comprueba que ninguno de ellos se puede descomponer en factores.

El número 1, como solo tiene un divisor, no se considera primo. Cualquier otro número, o es primo o es compuesto.

→ 18 = 2 · 9

→ 18 = 3 · 6

→ 18 = 2 · 3 · 3

Descomposiciones de 18

13 = 13 · 1

El 13 no se puede descomponer

3 Números primos y compuestos

1. Clasifica en primos y compuestos.5 8 11 15 21 28 31 33 45 49

2. Entre estos números hay dos primos. Búscalos.

Expresa cada uno de los compuestos co-mo un producto de dos factores.

47 5767

77 87

3. Busca todos los números primos menores que 60. Son diecisiete en total.

4. ¿Verdadero o falso?a) El número uno (1) no es primo ni compuesto.b) No hay números primos mayores que 100.c) Un número, si es impar, es primo.d) Todos los números primos, excepto el 2, son impares.

5. Descompón el número 100.a) En dos factores. b) En tres factores.c) En el máximo número de factores que sea posible.

Piensa y practica

Marca números primos en una tabla numérica.

En la web

Clasifica en primos y compuestos.

En la web

1. Calcular los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200.

Primero, buscaremos los múltiplos de 17 próximos a 150:

150 1714 8

17 · 8 = 13617 · 9 = 153 → primer múltiplo de 17 mayor que 150.

Entonces, los múltiplos de 17 entre 150 y 200 son:

17 · 9 = 153 17 · 10 = 170 17 · 11 = 187 17 · 12 = 204

2. Calcular todos los divisores de 44.

Buscamos, ordenadamente, las divisiones exactas con dividendo 44:44 100 44

44 5 4 8

44 6 2 7

44 7 2 6

44 200 22

44 400 11

44 314 14 2

Ya tenemos seis divisores de 44:1 ↔ 44 2 ↔ 22 4 ↔ 11

Y no es necesario buscar más, pues en las divisiones que siguen, entre 8, 9, 10, … el cociente es menor que el dividendo. Es decir, solo lograríamos encontrar exactas las que ya conocemos de antemano: 44 : 11, 44 : 22 y 44 : 44, cuyos cocientes son 4, 2 y 1.

Ejercicios resueltos

1. Escribe.a) Tres múltiplos de 9. b) Tres múltiplos de 15.c) Tres múltiplos de 17. d) Tres múltiplos de 40.

2. Encuentra todos los divisores de cada número:a) 8 b) 12 c) 15 d) 28e) 36 f ) 55 g) 60 h) 80

3. Busca todos los múltiplos de 7 comprendidos entre 300 y 360.

4. a) ¿Cuál es el primer múltiplo de 8 mayor que 100?b) ¿Cuál es el último múltiplo de 8, antes de 1 000?

5. Encuentra todos los divisores de:a) 7 b) 13 c) 17 d) 29¿Qué observas?

6. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir en equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de una cla-se? ¿Cuántos equipos salen en cada caso?

7. ¿Verdadero o falso?a) Un múltiplo de a es igual o mayor que a.b) Un divisor de a es siempre menor que a.c) Un número tiene infinitos divisores.d) Los múltiplos de un número son infinitos.e) Todo número es a la vez múltiplo y divisor de sí

mismo.

8. De los números siguientes, ¿cuáles son múltiplos de 3? ¿Y de 5? ¿Y de 9? ¿Hay algún múltiplo de 11? Justi-fica tus respuestas.

173 510 555 576 679 754 774 1 023

9. Copia y sigue las instrucciones.108; 123; 162; 215; 247; 315; 328; 370; 417; 455

a) Rodea de rojo los múltiplos de 2.b) Rodea de azul los múltiplos de 3.c) Los múltiplos de 2 y de 3, ¿son también múltiplos

de 6?

Piensa y practica

Resuelve el problema "Las estante-rías".

En la web

En la web Resuelve el problema "Los collares".

Sugerencias

• El ejercicio resuelto 1 se centra en la búsqueda de los múltiplos de un número que están comprendidos entre dos cantidades dadas. Incide, por tanto, en reforzar el concepto de múltiplo, marcando pautas que serán muy útiles para resolver problemas similares.

• El ejercicio resuelto 2 pide buscar todos los divisores de un número, re-marcando de nuevo la diferencia entre la finitud de los divisores y la infi-nitud de los múltiplos. A la vez, se hace uso de la propiedad que dicta que los divisores de un número van emparejados.

• Podemos proponer la búsqueda de los criterios de divisibilidad por 6, 9, 25 o 100, donde los alumnos y las alumnas tendrán que combinar crite-rios ya conocidos.

En estos ejercicios de ampliación, la tarea de detectar regularidades y las de formular y comprobar hipótesis tienen valor por sí mismas para el estímulo de capacidades y para la implantación de competencias en los estudiantes, más allá de la obtención de reglas prácticas para el cálculo.

TIC

Se sugiere la siguiente actividad:

Busca en Internet el criterio de divisibilidad por 7. Escríbelo en tu cuader-no y pruébalo con distintos números.

Emprendimiento

Se sugiere la siguiente actividad:

Reflexiona.

¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múltiplo de 20? Enuncia el criterio de divisibilidad por 20.


1 a) 9, 18, 27, 36, 45, 54, … b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, …

c) 17, 34, 51, 68, 85, 102, … d) 40, 80, 120, 160, 200, 240, …

2 a) 1, 2, 4, 8

b) 1, 2, 3, 4, 6, 12

c) 1, 3, 5, 15

d) 1, 2, 4, 7, 14, 28

e) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

f ) 1, 5, 11, 55

g) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

h) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

3 301, 308, 315, 322, 329, 336, 343, 350, 357

4 a) Es el 104. b) Es el 992.

5 a) 1, 7 b) 1, 13 c) 1, 17 d) 1, 29

Cada número tiene solo dos divisores, él mismo y la unidad.

6 24 equipos de 1; 1 equipo de 24; 12 equipos de 2; 2 equipos de 12; 8 equipos de 3; 3 equipos de 8; 6 equipos de 4; 4 equipos de 6

7 a) Verdadero b) Falso c) Falso d) Verdadero e) Verdadero

8 Múltiplos de 3: 510, 555, 576, 774 y 1 023, pues la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

Múltiplos de 5: 510 y 555, pues acaban en 0 o en 5.

Múltiplos de 9: 576 y 774, pues la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Múltiplos de 11: 1 023, pues (3 + 0) – (2 + 1) = 0.

9 a) 108, 162, 328, 370

b) 108, 123, 162, 315, 417

c) Sí, 108 = 6 · 18 y 162 = 6 · 27

ANOTACIONES

56






100 a.C.

Babilonios2000 a.C.

Egipcios3500 a.C.

Chinos 3500 a.C.

Hindúes 500 a.C.

Árabes 700 d.C.













23 × 18 = 414

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8


a) 208 × 34 b) 453 × 26



1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

3UNIDAD

5150

Los divisores de un número permiten expresarlo en forma de producto.

Ejemplo··· ·

18 1 2 3 6 9 18

18 2 918 3 618 2 3 3

DIVISORES" "- - - - -

===

d nZ

[

\

]]

]]

Los números, como 18, que se pueden descomponer en factores más sencillos se llaman números compuestos.

Sin embargo, hay números que solo tienen dos divisores (el mismo número y la unidad), lo cual impide su descomposición.

Ejemplo

·1 1 13 13 13 13DIVISORES

" "- =d n

Los números, como 13, que no se pueden descomponer en factores más senci-llos se llaman números primos.

Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

En la tabla se han marcado:— los múltiplos de 2, •, excepto el 2. — los múltiplos de 3, •, excepto el 3.— los múltiplos de 5, •, excepto el 5.— … y así, sucesivamente, con los múltiplos

de 7, ⊕; de 11, *; de 13, ▲; …

1 2 3 4• 5 6

• •7 8

•9•

10• • 11 12

• •13 14

• ⊕15• •

16• 17 18

• •19 20

• •21• ⊕

22• *

23 24• •

25•

26• ▲

27•

28• ⊕

29 30• • •

Los números sin marcar, rodeados con un círculo, son los primos menores que 30. Comprueba que ninguno de ellos se puede descomponer en factores.

El número 1, como solo tiene un divisor, no se considera primo. Cualquier otro número, o es primo o es compuesto.

→ 18 = 2 · 9

→ 18 = 3 · 6

→ 18 = 2 · 3 · 3

Descomposiciones de 18

13 = 13 · 1

El 13 no se puede descomponer

3 Números primos y compuestos

1. Clasifica en primos y compuestos.5 8 11 15 21 28 31 33 45 49

2. Entre estos números hay dos primos. Búscalos.

Expresa cada uno de los compuestos co-mo un producto de dos factores.

47 5767

77 87

3. Busca todos los números primos menores que 60. Son diecisiete en total.

4. ¿Verdadero o falso?a) El número uno (1) no es primo ni compuesto.b) No hay números primos mayores que 100.c) Un número, si es impar, es primo.d) Todos los números primos, excepto el 2, son impares.

5. Descompón el número 100.a) En dos factores. b) En tres factores.c) En el máximo número de factores que sea posible.

Piensa y practica

Marca números primos en una tabla numérica.

En la web

Clasifica en primos y compuestos.

En la web

1. Calcular los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200.

Primero, buscaremos los múltiplos de 17 próximos a 150:

150 1714 8

17 · 8 = 13617 · 9 = 153 → primer múltiplo de 17 mayor que 150.

Entonces, los múltiplos de 17 entre 150 y 200 son:

17 · 9 = 153 17 · 10 = 170 17 · 11 = 187 17 · 12 = 204

2. Calcular todos los divisores de 44.

Buscamos, ordenadamente, las divisiones exactas con dividendo 44:44 100 44

44 5 4 8

44 6 2 7

44 7 2 6

44 200 22

44 400 11

44 314 14 2

Ya tenemos seis divisores de 44:1 ↔ 44 2 ↔ 22 4 ↔ 11

Y no es necesario buscar más, pues en las divisiones que siguen, entre 8, 9, 10, … el cociente es menor que el dividendo. Es decir, solo lograríamos encontrar exactas las que ya conocemos de antemano: 44 : 11, 44 : 22 y 44 : 44, cuyos cocientes son 4, 2 y 1.

Ejercicios resueltos

1. Escribe.a) Tres múltiplos de 9. b) Tres múltiplos de 15.c) Tres múltiplos de 17. d) Tres múltiplos de 40.

2. Encuentra todos los divisores de cada número:a) 8 b) 12 c) 15 d) 28e) 36 f ) 55 g) 60 h) 80

3. Busca todos los múltiplos de 7 comprendidos entre 300 y 360.

4. a) ¿Cuál es el primer múltiplo de 8 mayor que 100?b) ¿Cuál es el último múltiplo de 8, antes de 1 000?

5. Encuentra todos los divisores de:a) 7 b) 13 c) 17 d) 29¿Qué observas?

6. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir en equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de una cla-se? ¿Cuántos equipos salen en cada caso?

7. ¿Verdadero o falso?a) Un múltiplo de a es igual o mayor que a.b) Un divisor de a es siempre menor que a.c) Un número tiene infinitos divisores.d) Los múltiplos de un número son infinitos.e) Todo número es a la vez múltiplo y divisor de sí

mismo.

8. De los números siguientes, ¿cuáles son múltiplos de 3? ¿Y de 5? ¿Y de 9? ¿Hay algún múltiplo de 11? Justi-fica tus respuestas.

173 510 555 576 679 754 774 1 023

9. Copia y sigue las instrucciones.108; 123; 162; 215; 247; 315; 328; 370; 417; 455

a) Rodea de rojo los múltiplos de 2.b) Rodea de azul los múltiplos de 3.c) Los múltiplos de 2 y de 3, ¿son también múltiplos

de 6?

Piensa y practica

Resuelve el problema "Las estante-rías".

En la web

En la web Resuelve el problema "Los collares".

Sugerencias• Se sugiere abordar el epígrafe con actividades manipulativas como la

que se representa en el margen: “Buscar todas las formas de construir ortoedros con n cubitos”. Los alumnos y las alumnas descubrirán que hay números que ofrecen una sola solución a la propuesta anterior, son los números que no se pueden descomponer, los números primos.

• Se señalará que primo significa “primero”, en el sentido de que son las piezas con las que se construirán, mediante el producto, todos los de-más números.

• Posteriormente se propone una criba de Eratóstenes en la que apare-cen los números primos menores que 30. Como actividad complemen-taria, se sugiere continuar dicha criba hasta el 50 o hasta el 100.

Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan los siguientes ejercicios del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:


Ampliación: Ejercicios 2, 4 y 5 de la pág. 26.

Emprendimiento Se sugiere la siguiente actividad:

Busca el menor número primo mayor que 500.


1 Primos → 5, 11, 31

Compuestos → 8, 15, 21, 28, 33, 45, 49

2 Primos → 47 y 67

Compuestos → 57 = 3 · 19

77 = 7 · 11

87 = 3 · 29

3 2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 - 43 - 47 - 53 - 59

4 a) Verdadero

b) Falso

c) Falso

d) Verdadero

5 a) 100 = 2 · 50 = 4 · 25

b) 100 = 2 · 2 · 25 = 4 · 5 · 5 = 10 · 2 · 5

c) 100 = 2 · 2 · 5 · 5

ANOTACIONES

57

3UNIDAD

5352

Un número, si no es primo, se puede descomponer en factores, y estos, a su vez, en otros factores, hasta que todos sean primos.Veamos dos formas de conseguir esa factorización:• Si el número es pequeño, puedes apoyarte en el cálculo mental.

Ejemplo

Descomponer 36 en factores primos.36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32

• Sin embargo, para números mayores conviene actuar con método, teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad.

Ejemplo

Descomponer 792 en factores primos. 792 es divisible entre 2 → 792 = 2 · 396 396 es divisible entre 2 → 792 = 2 · 2 · 198 198 es divisible entre 2 → 792 = 2 · 2 · 2 · 99 99 es divisible entre 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 33 33 es divisible entre 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11

Como el último factor (11) es primo, hemos terminado la descomposición:792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 23 · 32 · 11

Todo el proceso se suele abreviar como se indica al margen.

Para descomponer un número en sus factores primos (factorizar), lo vamos dividiendo entre sus factores primos: primero, entre 2 tantas veces como sea posible; después, entre 3, entre 5, … y así, sucesivamente, hasta obtener 1 en el cociente.

cocientes factores parciales primos 792 2792 : 2 → 396 2396 : 2 → 198 2198 : 2 → 99 3 99 : 3 → 33 3 33 : 3 → 11 11 11 : 11 → 1

792 = 23 · 32 · 11

Factorización del 792

792 2 792 2 396 2 198 2 99 3 33 3 11 11

¿Cuál es la relación entre la descomposiciónde un número y la descomposición de sus múltiplos?

Compara los divisores primos de 40 con los de algunos de sus múltiplos:

Un múltiplo de 40 contiene todos los factores primos de 40.

40 = 2 · 2 · 2 · 540 · 3 = 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 540 · 5 = 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 540 · 6 = 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5

En la descomposición de los múltiplos de un número aparecen todos los fac-tores primos del número (y, generalmente, algunos más).

¿Cuál es la relación entre la descomposiciónde un número y la descomposición de sus divisores?

Compara, ahora, los factores primos de 40 con los de algunos de sus divisores:

Un divisor de 40 contiene algunos de los factores primos de 40.

40 = 2 · 2 · 2 · 540 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 540 = 4 · 10 = 2 · 2 · 2 · 540 = 2 · 20 = 2 · 2 · 2 · 5

En la descomposición de los divisores de un número aparecen algunos de los factores primos del número (generalmente, no todos) y ningún factor más.

Con el número descompuesto en fac-tores, buscamos todos los productos posibles entre ellos.Por ejemplo, calculemos los divisores de 40:

40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 51 = 12 = 25 = 52 · 2 = 42 · 5 = 102 · 2 · 2 = 82 · 2 · 5 = 202 · 2 · 2 · 5 = 40

Otra forma de obtenerlos divisores de un número

4 Descomposición de un número en sus factores primos

1. Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno la descomposición en factores de estos números:

80 100

8 × 10 25 ×

× × × × × × ×

2. Descompón artesanalmente, como en el ejemplo.• 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3

a) 18 b) 20 c) 40 d) 72 e) 150 f ) 240

3. ¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales?a) 22 · 32 · 5 b) 2 · 5 · 13 c ) 2 · 52 · 7

4. Copia, completa y descompón en factores primos. 4 2 9 0 1 2 6 3 7 2 1 1 1

42 = … 90 = … 126 = …

5. Descompón en factores primos.a) 45 b) 60 c) 76 d) 81 e) 88 f ) 98

6. Escribe como producto de números primos.a) 170 b) 350 c) 580d) 888 e) 1 024 f ) 1 296

Piensa y practica

7. Contesta, sin hacer ninguna operación, y razona tus respuestas como en el ejemplo.• 18 es divisor de 90, porque todos los factores primos

de 18 están en 90 → 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 18 · 5

a) ¿Es 12 divisor de 270? 12 2 3270 2 3 3 3 5

2· ·· · · ·

==

*

b) ¿Es 270 múltiplo de 18? · ·

·270 2 3 518 2 3

3

2=

=*

8. Teniendo en cuenta la descomposición en factores de 126, averigua, a simple vista, cuáles de los números que aparecen a continuación están entre sus divisores:

126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7a) 4 = 2 · 2 b) 21 = 3 · 7c) 18 = 2 · 3 · 3 d) 28 = 2 · 2 · 7

9. Escribe factorizados, sin hacer operaciones:a) Tres múltiplos de 12 = 22 · 3.b) Tres múltiplos de 45 = 32 · 5.

10. Escribe todos los divisores de:a) 70 = 2 · 5 · 7 b) 80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5

11. Responde a simple vista, sin dividir, cuál es el cociente en cada caso:

a) 300 : 12 ↔ 300 = 12

2 · 2 · 3 · 5 · 5

b) 294 : 21 ↔ 294 = 2 · 21

3 · 7 · 7

c) 495 : 55 ↔ 495 = 3 · 3 · 55

5 · 11

12. ¿Verdadero o falso?a) Si m es múltiplo de n, todos los factores primos

de m están también en n.b) Si a es divisor de b, todos los factores primos de

a están también en b.c) El número a2 ∙ b es divisor del número a ∙ b2.d) El número a2 ∙ b2 ∙ c es múltiplo de a ∙ b ∙ c.e) Si un número, u, tiene los mismos factores pri-

mos que otro número, v, pero con los exponen-tes mayores, entonces u es múltiplo de v.

Piensa y practica

Practica la descomposición de un número en sus factores primos.

Practica un poco más esta descom-posición.

En la web

En la web Encuentra los divisores de un número.

Sugerencias

•Aquí se puede insistir en el significado de los números primos (piezas básicas para construir todos los demás). Así, la descomposición de un número nos permitirá establecer relaciones de divisibilidad con otros números, descubrir todos sus divisores, construir sus múltiplos y, luego, calcular ágilmente el máximo común divisor y el mínimo común múlti-plo, herramientas que ayudarán a resolver problemas y facilitarán nue-vos procedimientos matemáticos.

•Desde el punto de vista didáctico, se puede empezar descomponiendo números con lo que ya se sabe, sin instrucciones previas. Por ejemplo:

400 = 4 · 100 = 4 · 10 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5 · 2 · 5

• El alumnado debe llegar a la conclusión de que la descomposición en factores de un número es única, sin que importe el orden en que se ob-tenga, pero, aun así, por cuestión de eficacia, conviene acostumbrarse a proceder ordenadamente probando con los sucesivos números primos, de menor a mayor.

•Como último objetivo del epígrafe, los estudiantes han de reconocer y construir múltiplos y divisores de un número a partir de sus divisores primos. Aquí reforzaremos las ideas de todos los divisores primos, para los múltiplos, y solo algunos, para los divisores. Este aprendizaje es bási-co en la comprensión de los procedimientos óptimos para el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor.

Refuerzo y AmpliaciónComo ejercicios de refuerzo y ampliación recomendamos, del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 28.




1 80 = 8 · 10 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 100 = 25 · 4 = 5 · 5 · 2 · 2

2 a) 18 = 2 · 9 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

b) 20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5 = 22 · 5

c) 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5 = 23 · 5

d) 72 = 8 · 9 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32

e) 150 = 10 · 15 = 2 · 5 · 3 · 5 = 2 · 3 · 52

f ) 240 = 24 · 10 = 8 · 3 · 2 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 24 · 3 · 5

3 a) 180 b) 130 c) 350

4 42 = 2 · 3 · 7 90 = 2 · 32 · 5 126 = 2 · 32 · 7

5 a) 45 = 32 · 5 b) 60 = 22 · 3 · 5 c) 76 = 22 · 19

d) 81 = 34 e) 88 = 23 · 11 f ) 98 = 2 · 72

6 a) 170 = 2 · 5 · 17 b) 350 = 2 · 52 · 7 c) 580 = 22 · 5 · 29

d) 888 = 23 · 3 · 37 e) 1 024 = 210 f ) 1 296 = 24 · 34

7 a) 12 no es divisor de 270 porque no todos los factores de 12 están en la descomposición de 270.

b 270 sí es múltiplo de 18 porque en su descomposición están todos los factores primos de 18.

8 b) 21 y c) 18.

9 a) 22 · 32; 22 · 3 · 5; 22 · 3 · 7 b) 2 · 32 · 5; 32 · 52; 32 · 5 · 7

10 a) 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 b) 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 80

11 a) 5 · 5 = 25 b) 2 · 7 = 14 c) 3 · 3 = 9

12 a) Falso b) Verdadero c) Falso d) Verdadero e) Verdadero

58

3UNIDAD

5554

La resolución de ciertos problemas exige el manejo de los múltiplos comunes de varios números. Veamos un ejemplo:

Ejemplo

En una compañía de taxis, tienen por norma lavar los coches cada cuatro días y revi-sar el nivel de aceite cada 6 días.¿Cada cuántos días coinciden en un coche ambas tareas de mantenimiento?

Ambas coinciden en los días que son múltiplos comunes de 4 y 6, y se repiten cada 12 días.

12 24 36 48 …+12 +12 +12 +12

El menor de estos múltiplos comunes es 12 y recibe el nombre de mínimo co-mún múltiplo de 4 y 6.

El menor de los múltiplos comunes de dos o más números, a, b, c, … se llama mínimo común múltiplo, y se expresa así:

mín.c.m. (a, b, c, …)

Cálculo del mínimo común múltiplo (método artesanal)

Para obtener el mínimo común múltiplo de dos números:• Escribimos los múltiplos de cada uno.• Entresacamos los comunes.• Tomamos el menor.

Calcular mín.c.m. (10, 15).

Múltiplos de 10 → 10 20 30 40 50 60 70 …

Múltiplos de 15 → 15 30 45 60 75 90 105 …

Múltiplos comunes → 30 - 60 - 90 …

El menor de los múltiploscomunes de10 y 15 es 30.

4 → mín.c.m. (10, 15) = 30

Ejercicio resuelto

→ 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24múltiplosde 4

→ 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36múltiplosde 6

comunesmúltiplos4→ 12 - 24 - 36 - 48

mín.c.m. (4, 6) = 12

Cálculo del mín.c.m. (4, 6)

Cálculo del mínimo común múltiplo (método óptimo)

El método anterior resulta apropiado para números sencillos, pero se complica demasiado con números mayores.Observa una nueva forma de calcular el mínimo común múltiplo con los núme-ros descompuestos en factores primos.

Ejemplo

Calcular mín.c.m. (20, 30).• Primer paso: Descomponer en factores primos.

20 = 22 · 5 30 = 2 · 3 · 5

2 0 2 1 0 2 5 5 1

20 = 2

3 0 2 1 5 3 5 5 1

· 5 30 = 2 · 3 · 5

• Segundo paso: Elegir los factores primos del mín.c.m. Recordando que el mín.c.m. ha de ser múltiplo de 20 y de 30, y lo más peque-

ño posible, hemos de tomar:

— Todos los factores primos de 20. — Todos los factores primos de 30. mín.c.m. (20, 30) = — El mínimo número de factores

que sea posible.

202 · 2 · 5

2 · 2 · 3 · 5

2 · 3 · 530

Comprueba que todos los factores escogidos son imprescindibles, pues si se suprime cualquiera de ellos, deja de ser múltiplo de alguno de los números.

• Tercer paso: Calcular, � nalmente, el mín.c.m.mín.c.m. (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:

1. Se descomponen los números en factores primos.2. Se toman todos los factores primos (comunes y no comunes) elevado cada

uno al mayor exponente con el que aparece.3. Se multiplican los factores elegidos.

Un distribuidor de electrodomésticos desea cargar dos palés, uno con lava-vajillas de 45 kg y otro con frigoríficos de 40 kg, de forma que ambos pesen lo mismo y lo menos posible. ¿Cuánto pesará cada palé?

La carga de un palé será un múltiplo común de 45 kg y de 40 kg, y además el más pequeño posible, es decir, su mínimo común múltiplo.

mín.c.m. (45, 40) = 360 kg ::

360 45 8360 40 9

lavavajillasfrigoríficos

==

*Solución: Cada palé pesará 360 kilos, uno con 8 lavavajillas y el otro con 9 fri-

gorí� cos.

Problema resuelto

Cuando uno de los números es múlti-plo del otro, el mín.c.m. es el mayor.Ejemplo: mín.c.m. (15, 30) = 30Compruébalo.

15 = 3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 15 3 · 5 mín.c.m. (15, 30) = 2 · 3 · 5 = 30 2 · 3 · 5 30

Ten en cuenta

→ 20 - 40 - 60 - 80 …múltiplosde 20

→ 30 - 60 - 90 - 120 …múltiplosde 30

mín.c.m. (20, 30) = 60

Método artesanal

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26

4 5 3 1 5 3 5 5 1

4 0 2 2 0 2 1 0 2 5 5 1

mín.c.m. (45, 40) = 23 · 32 · 5 = 360

Cálculo del mín.c.m. (45, 40)

5 Mínimo común múltiplo de dos números

Calcula el mín.c.m. de dos núme-ros.

En la web

Refuerzo y AmpliaciónComo ejercicios de refuerzo y ampliación recomendamos, del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág. 30. Ejercicios 6, 7, 8 y 9 de la pág. 31. Ejercicio 10 de la pág. 32.

Ampliación: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la pág. 36. Ejercicio 9 de la pág. 37.

Aprendizaje cooperativo Si la programación lo contempla, se sugiere la siguiente dinámica meto-dológica, que persigue afianzar los procedimientos para el cálculo del mín.c.m., recurriendo al aprendizaje entre iguales:

– Formar parejas según el criterio del profesorado (puede ser interesante mezclar estudiantes con diferentes niveles de competencia).

– Se propondrán ejercicios para calcular el mín.c.m.

– En cada pareja, un alumno o alumna resolverá por el método artesanal, y su compañero por el método óptimo.

– Si no coinciden los resultados, los mismos estudiantes, en colaboración, deben descubrir los errores.

El profesorado hará las propuestas y actuará de supervisor.

Sugerencias• Presentamos la idea de mínimo común múltiplo contextualizado en un

ejemplo sencillo, y con ayuda de un gráfico, haciendo hincapié en que las dos colecciones de números representadas coinciden con los sucesi-vos múltiplos de 4 y de 6. Después, generalizando el proceso, presenta-mos el primer método para la obtención del mínimo común múltiplo.

• En él, destacamos las siguientes etapas:

– Construcción de las series ordenadas de los primeros múltiplos de ca-da número.

– Intersección de las series obtenidas.

– Selección del menor número de la intersección.

Se trata, evidentemente, de un método artesanal que resulta muy ade-cuado en la etapa de construcción de ideas. Una vez adquirido el con-cepto de mínimo común múltiplo, se propone la optimización del cálcu-lo mediante la descomposición en factores primos.

• En este aprendizaje se sugiere que el estudiante, inicialmente, ante los números descompuestos en factores primos, decida por sí mismo los factores primos necesarios, sin el apoyo de ninguna regla. El trabajo puede comenzar con la realización colectiva de ejemplos, en gran grupo, y pasar después a la práctica individual seguida de cerca por el profeso-rado. La regla aparecerá, por sí sola, como resultado final de la praxis.

Este camino fijará sólidamente el procedimiento y contribuirá a evitar las dudas que observamos frecuentemente sobre la elección de facto-res y exponentes cuando los estudiantes tratan de aplicar mecánica-mente el algoritmo sin haber comprendido los conceptos.

• El alumnado contrastará los dos métodos aprendidos, el artesanal y el de los factores primos. Así, comprobará la ventaja del primero cuando se trabaja con ejemplos sencillos, dándose cuenta de lo engorroso que resulta cuando los números son más complicados. Es decir, podemos dejar el primer método para el cálculo mental, y el segundo, para todos los demás casos.

ANOTACIONES

59

3UNIDAD

5756

También encontrarás problemas que exigen el manejo de los divisores comunes a varios números. Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Se van a colocar maceteros, a intervalos iguales, en las esquinas y bordes de un patio interior de 8 × 12 metros.¿A qué distancia se debe colocar un macetero del siguiente?Tanteando, se encuentran tres posibles soluciones:

Las soluciones coinciden con los divisores comunes de 8 y 12:1 - 2 - 4

El mayor de estos divisores comunes es 4 y recibe el nombre de máximo común divisor de 8 y 12.

El mayor de los divisores comunes a dos o más números, a, b, c, … se llama máximo común divisor, y se expresa así:

máx.c.d. (a, b, c, …)

Cálculo del máximo común divisor (método artesanal)

Para obtener el máximo común divisor de dos números:• Escribimos los divisores de cada uno.• Entresacamos los comunes.• Tomamos el mayor.

Calcular máx.c.d. (20, 30)

Divisores de 20 → 1 2 4 5 10 20

Divisores de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30

Divisores comunes → 1 - 2 - 5 - 10

El de loscomunes de 0 y es 0.

mayor divisores2 30 1

4 → máx.c.d. (20, 30) = 10

Ejercicio resuelto

→ 1 - 2 - 4 - 8divisoresde 8

→ 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12divisoresde 12

comunesdivisores4→ 1 - 2 - 4

máx.c.d. (8, 12) = 4

Cálculo del máx.c.d. (8, 12)

A 1 metro de distancia. A 2 metros de distancia. A 4 metros de distancia.

1. Copia, observa y completa a simple vista.

a) •6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54 …•8 → 8 16 24 32 40 48 56 …mín.c.m. (6, 8) =

b) •9 → 9 18 27 36 45 54 63 72 …•12 → 12 24 36 48 60 72 84 …

mín.c.m. (9, 12) = c) •15 → 15 30 45 60 75 90 105 …

•25 → 25 50 75 100 125 150 …mín.c.m. (15, 25) =

2. Calcula como en el ejercicio anterior.a) mín.c.m. (5, 8) b) mín.c.m. (8, 12)c) mín.c.m. (12, 24) d) mín.c.m. (30, 40)e) mín.c.m. (50, 75) f ) mín.c.m. (200, 300)

3. Calcula mentalmente.a) mín.c.m. (6, 9) b) mín.c.m. (6, 12)c) mín.c.m. (5, 10) d) mín.c.m. (15, 20)

4. Observa, completa en tu cuaderno y calcula. 3 0 2 1 5 3 5 5 1

4 0 2 0 1

5 4 1

30 2 3 54054

· ·……

mín.c.m.(30, 40) …mín.c.m.(40,54) …

===

==

_

`

a

bb

bb

5. Calcula mín.c.m. (a, b) por el método óptimo:a) a = 2 · 11 b) a = 24 · 5 c) a = 52 · 7 b = 3 · 11 b = 22 · 52 b = 5 · 72

d) a = 24 · 32 e) a = 2 · 5 · 11 f ) a = 23 · 3 · 5 b = 22 · 3 · 5 b = 3 · 5 · 11 b = 22 · 32 · 5

6. Calcula.a) mín.c.m. (20, 25) b) mín.c.m. (28, 35)c) mín.c.m. (35, 40) d) mín.c.m. (36, 54)e) mín.c.m. (42, 63) f ) mín.c.m. (72, 108)g) mín.c.m. (99, 165) h) mín.c.m. (216, 288)

7. Calcula mín.c.m. (a, b) en cada caso. ¿Qué obser-vas?:a) a = 4 b) a = 5 c) a = 4 d) a = 6 b = 8 b = 10 b = 12 b = 18

8. ¿Verdadero o falso?a) El mínimo común múltiplo de dos números es

igual al mayor de ellos.b) El mín.c.m. de dos números contiene los facto-

res comunes a ambos y también los no comunes.c) mín.c.m (1, k) = kd) Si a es múltiplo de b, mín.c.m. (a, b) = a.e) El mínimo común múltiplo de dos números pri-

mos es su producto.

9. Julio cuenta de cuatro en cuatro; Adela, de seis en seis, y Virginia, de diez en diez. ¿Cuáles son los tres primeros números en los que coinciden?

4

6

10

8

12

20

12

18

30

16

24

40

…

…

…

10. Victoria tiene fichas de colores que puede apilar en montones de 8 y, también, en montones de 10 sin que sobre ninguna. Explica cuántas fichas puede te-ner Victoria y justifica tu respuesta.

11. Una fábrica envía mercancía a Valencia cada 6 días y a Sevilla cada 8 días. Hoy han coincidido ambos envíos. ¿Cuándo volverán a coincidir?

12. Se han construido dos columnas de igual altura: la primera apilando cubos de 40 cm de arista, y la se-gunda, con cubos de 30 cm de arista. ¿Qué altura al-canzarán sabiendo que superan los dos metros, pero no llegan a tres?

13. El autobús de la línea roja pasa por la parada, frente a mi casa, cada 20 minutos, y el de la línea verde, cada 30 minutos. Si ambos pasan juntos a las dos de la tarde, ¿a qué hora vuelven a coincidir?

Piensa y practica 6 Máximo común divisor de dos números

En la web Resuelve los problemas: “Las balizas”, “Los coches”.

Sugerencias

•Como en el caso del mínimo común múltiplo, una vez presentado el concepto de máximo común divisor, se afianzará con el cálculo median-te el método artesanal:

– Obtención de los respectivos conjuntos de divisores.

– Intersección de los conjuntos obtenidos.

– Selección del mayor número de la intersección.

• Los estudiantes comprobarán, también aquí, que este método resulta eficaz con números sencillos, y que siempre será un recurso cuando el cálculo se haga mentalmente. Sin embargo, se complica demasiado cuando los números son grandes.


1 a) 24 b) 36 c) 75

2 a) 40 b) 24 c) 24

d) 120 e) 150 f ) 600

3 a) 18 b) 12 c) 10 d) 60

4 mín.c.m. (30, 40) = 23 · 3 · 5 = 120

mín.c.m. (40, 54) = 23 · 33 · 5 = 1 080

5 a) 66 b) 400 c) 1 225

d) 720 e) 330 f ) 360

6 a) 100 b) 140 c) 280 d) 108

e) 126 f ) 216 g) 495 h) 864

7 a) 8 b) 10 c) 12 d) 18

Si b es múltiplo de a, mín.c.m. (a, b) = b.

8 a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Verdadero e) Verdadero

9 60, 120 y 180.

10 El número de fichas de Victoria será múltiplo del mín.c.m (8, 10) = 40.

11 Ambos envíos coinciden cada 24 días.

12 2,4 m

13 Vuelven a coincidir una hora después, a las tres de la tarde.

ANOTACIONES

60

3UNIDAD

5958

Cálculo del máximo común divisor (método óptimo)

El método que has aprendido en la página anterior resulta adecuado para núme-ros sencillos. En casos más complicados, resulta mucho más cómodo utilizar la descomposi-ción en factores, como se muestra a continuación.

Ejemplo

Calcular máx.c.d. (40, 60).• Primer paso: Descomponer en factores primos.

40 = 23 · 5 60 = 22 · 3 · 5

4 0 2 2 0 2 1 0 2 5 5 1

40 = 2

6 0 2 3 0 2 1 5 3 5 5 1

· 5 60 = 2

• Segundo paso: Elegir los factores primos del máx.c.d. Recordando que el máx.c.d. ha de ser divisor de 40 y de 60, y lo más grande

posible, hemos de tomar:

— Los factores comunes de 40 y 60. — Ningún factor no común. — El máximo número de factores

que sea posible.

40 = 2 · 2 · 2 · 560 = 2 · 2 · 3 · 5

máx.c.d. (40, 60) = 2 · 2 · 5

• Tercer paso: Calcular, � nalmente, el máx.c.d.máx.c.d. (40, 60) = 2 · 2 · 5 = 20

Para calcular el máximo común divisor de varios números:

1. Se descomponen los números en factores primos.2. Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al me-

nor exponente con el que aparece.3. Se multiplican los factores elegidos.

En un almacén quieren envasar, para su distribución, 200 kilos de manza-nas y 260 kilos de naranjas en cajones del mismo peso y de la mayor carga que sea posible. ¿Cuántos kilos deben poner en cada cajón?

El peso de un cajón debe ser un divisor común de 200 y 260, y además el mayor posible, es decir, su máximo común divisor.

máx.c.d. (200, 260) = 20 kg 200 : 20 10 cajones de manzanas260 : 20 13 cajones de naranjas

==

*

Solución: Cada cajón pesará 20 kilos y llenarán 10 cajones de manzanas y 13 de naranjas.

Problema resuelto

Cuando uno de los números es múl-tiplo del otro, el máx.c.d. es el menor.Ejemplo: máx.c.d. (15, 30) = 15Compruébalo.

15 = 3 · 530 = 2 · 3 · 5

máx.c.d. (15, 30) = 3 · 5 = 15

Ten en cuenta

Divisores

de 40 1 2 4 5 8 10 20 401 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

Divisores

de 60

máx.c.d. (40, 60) = 20

Método artesanal

2 0 0 2 1 0 0 2 5 0 2 2 5 5 5 5 1

2 6 0 2 1 3 0 2 6 5 5 1 3 13 1

máx.c.d. (200, 260) = 22 · 5 = 20

Cálculo del máx.c.d. (200, 260)

1. Copia en tu cuaderno, observa y completa.a) Div. de 12 → 1 2 3 4 6 12 Div. de 16 → 1 2 4 8 16 máx.c.d. (12, 16) = b) Div. de 15 → 1 3 5 15 Div. de 20 → 1 2 4 5 10 20 máx.c.d. (15, 20) = c) Div. de 24 → 1 2 3 4 6 8 12 24 Div. de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30 máx.c.d. (24, 30) =

2. Calcula como en el ejercicio anterior.a) máx.c.d. (6, 8) b) máx.c.d. (8, 20)c) máx.c.d. (10, 15) d) máx.c.d. (12, 24)e) máx.c.d. (18, 24) f ) máx.c.d. (40, 50)

3. Calcula mentalmente.a) máx.c.d. (2, 3) b) máx.c.d. (4, 5)c) máx.c.d. (3, 9) d) máx.c.d. (6, 9)e) máx.c.d. (30, 40) f ) máx.c.d. (50, 75)

4. Completa en tu cuaderno y calcula. 6 0 2 3 0 1

9 0 2 4 5 1

1 0 0 2 5 0 1

··

. ( , ) …

.( , ) …

.( ) …

…

,

0 20 2

2

60 9060 0

69

10010

90 100

·……

máx.c.dmáx.c.dmáx.c.d

===

===

_

`

a

bb

bb

5. Calcula máx.c.d. (a, b) por el método óptimo.a) a = 3 · 7 b) a = 24 · 32 c) a = 52 · 7 b = 5 · 7 b = 22 · 33 b = 5 · 72

d) a = 3 · 5 · 11 e) a = 23 · 52 f ) a = 22 · 7 · 13 b = 2 · 5 · 11 b = 22 · 52 · 7 b = 2 · 32 · 13

6. Calcula.a) máx.c.d. (20, 24) b) máx.c.d. (24, 36)c) máx.c.d. (54, 60) d) máx.c.d. (56, 70)e) máx.c.d. (120, 144) f ) máx.c.d. (140, 180)g) máx.c.d. (168, 196) h) máx.c.d. (180, 270)

7. Calcula máx.c.d. (a, b) en cada caso. ¿Qué observas?:a) a = 4 b) a = 5 c) a = 4 d) a = 6 b = 8 b = 10 b = 12 b = 18

8. ¿Verdadero o falso?a) El máximo común divisor de dos números es igual

al menor de ellos.b) El máx.c.d. de dos números contiene solo los fac-

tores primos comunes a ambos números.c) máx.c.d. (1, k) = kd) El máx.c.d. de dos números primos es uno.e) Si a es divisible entre b, máx.c.d. (a, b) = b.

9. Supón que tienes una hoja de papel de 30 cm × 21 cm, y quieres dibujar sobre ella una cuadrícula lo más grande que sea posible en la que no haya cuadros frac-cionados. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadros?

10. Rosa ha sacado de la hucha un montón de mone-das, todas iguales, y ha comprado un lapicero de 70 céntimos. Después, ha vuelto a la tienda y ha com-prado un bolígrafo de 80 céntimos. ¿Cuál puede ser el valor de cada una de esas monedas si siempre ha dado el precio exacto? (Busca todas las soluciones posibles).

11. Alberto tiene 45 fichas rojas y 36 fichas verdes, y quiere apilarlas en columnas iguales, lo más altas que sea posible, y sin mezclar colores en la misma pila. ¿Cuántas fichas pondrá en cada montón?

12. El dueño de un restaurante compra un bidón de 80 litros de aceite de oliva y otro de 60 litros de aceite de girasol, y desea envasarlos en garrafas iguales, lo más grandes que sea posible, y sin mezclar. ¿Cuál se-rá la capacidad de las garrafas?

13. Un carpintero tiene dos listones de 180 cm y 240 cm, respectivamente, y desea cortarlos en trozos iguales, lo más largos que sea posible, y sin desperdiciar ma-dera. ¿Cuánto debe medir cada trozo?

Piensa y practica

Calcula el máx.c.d. de dos números.

En la web

La resolución de problemas puede ser un campo apropiado para el aprendizaje cooperativo. Se sugiere:

– Resuelven los problemas individualmente o por parejas.

– En una puesta en común se hacen aflorar los intentos fallidos, los distin-tos caminos seguidos, las formas de resolución, las diferentes soluciones.


1 a) 4 b) 5 c) 6

2 a) 2 b) 4 c) 5 d) 12 e) 6 f ) 10

3 a) 1 b) 1 c) 3 d) 3 e) 10 f ) 25

4 máx.c.d. (60, 90) = 2 · 3 · 5 = 30 máx.c.d. (60, 100) = 22 · 5 = 20

máx.c.d. (90, 100) = 2 · 5 = 10

5 a) 7 b) 36 c) 35 d) 55 e) 100 f ) 26

6 a) 4 b) 12 c) 6 d) 14

e) 24 f ) 20 g) 28 h) 90

7 a) 4 b) 5 c) 4 d) 6

Si a es divisor de b, máx.c.d. (a, b) = a.

8 a) Falso b) Verdadero c) Falso d) Verdadero e) Verdadero

9 El tamaño de los cuadros será de 3 cm.

10 Pueden ser monedas de 10 cént., de 5 cént., de 2 cént. y de 1 cént.

11 En cada montón pondrá 9 fichas.

12 Las garrafas serán de 20 litros.

13 Los listones se deben cortar en trozos de 60 cm.

Sugerencias• Tratamos aquí el método óptimo para calcular el máximo común divisor

mediante la descomposición de los números en factores primos. Y de la misma forma que en el epígrafe anterior, se recomienda que la regla surja de la práctica reiterada de ejercicios realizados con la guía del pro-fesorado, atendiendo al criterio: seleccionar los factores primos adecua-dos, de forma que el número resultante sea divisor común de ambos números y, además, el mayor posible. Así, ahora, se han de elegir solo los factores comunes con el menor exponente.

• La experiencia nos muestra que, pasado un tiempo, ante la demanda del máximo común divisor o del mínimo común múltiplo, los estudian-tes dudan: ¿Son todos los factores, o solo los comunes? ¿Se toma el mayor exponente, o el menor? En este caso conviene volver a los con-ceptos, para que ellos mismos resuelvan la duda; en caso contrario, el algoritmo no resulta operativo.

Refuerzo y AmpliaciónRecomendamos, del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág. 33.


Aprendizaje cooperativo Se sugiere la siguiente dinámica metodológica:

– Formar parejas según el criterio del profesorado (puede ser interesante mezclar estudiantes con diferentes niveles de competencia).

– Se propondrán ejercicios para calcular el máx.c.d.

– En cada pareja, un alumno o alumna resolverá por el método artesanal, y su compañero por el método óptimo.

– Si no coinciden los resultados, deben descubrir los errores.

61






100 a.C.

Babilonios2000 a.C.

Egipcios3500 a.C.

Chinos 3500 a.C.

Hindúes 500 a.C.

Árabes 700 d.C.













23 × 18 = 414

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8


a) 208 × 34 b) 453 × 26



1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

3UNIDAD

60 61

Ejercicios y problemas

La relación de divisibilidad1. Reflexiona, contesta “Sí” o “No” y justifícalo.

a) ¿Se pueden guardar 300 litros de aceite en bidones de 15 litros sin que sobre nada?

b) Si sacas del horno 100 magdalenas, y las empaque-tas por docenas, ¿queda alguna suelta?

c) ¿Se puede cortar un listón de 1,80 m en un núme-ro exacto de trozos de 20 cm?

d) ¿Hacen 100 minutos un número exacto de cuartos de hora?

2. Razona si existe relación de divisibilidad entre:a) 20 y 300 b) 13 y 195 c) 38 y 138d) 15 y 75 e) 23 y 203 f ) 117 y 702

3. Expresa el número 899 como producto de dos factores distintos de él mismo y de la unidad.

Múltiplos y divisores4. Escribe.

a) Los múltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210.b) Un múltiplo de 13 comprendido entre 190 y 200.c) Todos los pares de números cuyo producto es 80.

5. Busca todos los divisores de:a) 10 b) 18 c) 20 d) 24 e) 28f ) 30 g) 39 h) 45 i) 50 j) 80

6. ¿De cuántas formas diferentes se pueden envasar 60 bombones en cajas con el mismo número de uni-dades en cada una sin que sobre ninguno?

7. Busca todas las formas posibles de hacer monto-nes iguales con 72 terrones de azúcar.

Criterios de divisibilidad8. Escribe.

a) Un número de tres cifras que sea divisible por 3.b) Un número de cuatro cifras que sea divisible por 5.c) Un número de cinco cifras que sea divisible por 9.

9. Sustituye cada letra por una cifra, para que el nú-mero resultante sea divisible entre 3.

A51 2B8 31C 52D 1E8

10. Busca, en cada caso, todos los valores posibles de a para que el número resultante sea, a la vez, múlti-plo de 2 y de 3:

4 a 3 2 a 2 4 a

11. Un año es bisiesto si es múltiplo de cuatro, pero no de 100. ¿Cuáles son los tres próximos bisiestos?

12. Para saber si un número es múltiplo de 11:— Suma las cifras que ocupan lugar par.— Suma las cifras que ocupan lugar impar.— El número es múltiplo de 11 si al restar esas dos

cantidades obtienes 0 o un múltiplo de 11.Compruébalo.

Números primos y compuestos13. Separa los números primos de los compuestos.

14 17 28 29 47 53

57 63 71 79 91 99

14. Busca el primer número, mayor que 500, que no se pueda expresar como el producto de dos factores diferentes de él mismo y de la unidad.

15. Averigua si el número 521 es primo o compues-to. Justifica tu respuesta.

16. Para saber si el número 223 es primo, solo se necesita aplicar los criterios de divisibilidad y divi-dir entre 7, 11, 13 y 17. ¿Por qué?

Mínimo común múltiplo y máximo común denominador17. Obtén mentalmente tres múltiplos comunes de:

a) 4 y 5 b) 10 y 12 c) 15 y 25d) 20 y 40 e) 100 y 150 f ) 20, 25 y 30

18. El mínimo común múltiplo de dos números es 15. ¿Cuáles pueden ser esos números?

19. Calcula.a) mín.c.m. (2, 4, 8) b) máx.c.d. (2, 4, 8)c) mín.c.m. (10, 15, 20) d) máx.c.d. (10, 15, 20)e) mín.c.m. (20, 30, 40) f ) máx.c.d. (20, 30, 40)

Resuelve problemas

20. Los miembros de un club social se pueden agru-par, sin que ninguno quede suelto, por parejas, por tríos y por grupos de 7. ¿Cuántos miembros tiene el club, sabiendo que son más de 80 pero menos de 90?

21. Ramón tiene un montón de monedas de 10 cén-timos, que puede agrupar en montones de 80 cén-timos y también en montones de un euro. ¿Cuánto dinero tiene, sabiendo que en total hay más de 5 € pero menos de 10 €?

22. Los trenes a Miramar salen cada 18 min, y los de Arandilla, cada 24 min. Si son las 15 h 45 min, y salen a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir?

23. Se desea partir una cartulina de 48 cm × 60 cm en tarjetas cuadradas que tengan entre cinco y diez centímetros de lado. ¿Cuál debe ser el tamaño de las tarjetas para no desperdiciar recortes de cartulina?

24. En una escuela de baloncesto había 20 equipos, todos con igual número de jugadores. Debido a un recorte de presupuesto, se han suprimido cuatro equi-pos, distribuyendo sus miembros entre los demás. Así, cada equipo ha aumentado en dos elementos. ¿Cuántos jugadores hay en la escuela de baloncesto?

25. Una bodega comercializa sus vinos en cajas con el mismo número de botellas. ¿Cuántas botellas van en cada caja, si un comercio ha comprado 60 botellas de vino tinto, 57 de blanco y 45 de rosado?

26. Un comerciante de ropa recibe una partida de camisas a 24 € la unidad. Un amigo suyo, con tien-da en otro barrio, recibe una partida de pantalones a 45 €. Puestos en contacto, deciden intercambiar parte de sus mercancías para mejorar la oferta de sus negocios. ¿En qué condiciones harán el intercambio?

Problemas “+” 27. Un restaurante, que está reponiendo menaje, in-

vierte 300 € en la compra de vasos y otro tanto en la de tazas. Sabiendo que una taza cuesta un euro más que un vaso, y que ha comprado 15 vasos más que tazas, ¿cuántos vasos y cuántas tazas ha adquirido?

28. Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha de huevos, piensa:— Si los envaso por docenas, me sobran 5.— Si tuviera uno más, podría envasarlos exactamente

en cajas de 10.— Casi he cogido 100.¿Cuántos huevos tiene?

Aprende a resolver problemas

¿Cuántas hornadas iguales hay? ¿Cómo empaquetan las magdalenas?¿Cuántas bolsas se han llenado? ¿Qué te preguntan?

Fíjate que cada hornada puede embolsarse de 6 en 6 y de 10 en 10.

Muy bien. Ahora recuerda que se han llenado algo más de 30 bolsas.

— Ya veo… Entonces estamos buscando un múltiplo común de 6 y 10. Como mín.c.m (6, 10) = 30, los múltiplos comunes son 30 - 60 - 90 - 120 - … Estos son posibles números de unidades de una hornada.

— Voy a probar. Con 90 magdalenas por hornada salen (90 : 6) + (90 : 10) = 24 bolsas. Con 120 salen (120 : 6) + (120 : 10) = 32 bolsas. ¡Algo más de 30!

Solucion: Cada hornada tiene 120 magdalenas.

Dos hornadas iguales de magdalenas se envasan, una, en bolsas de 6 unidades, y la otra, en bolsas de 10 unidades, sin que sobre ninguna en ambos casos. ¿Cuántas magdalenas salen en cada hornada si se han llenado algo más de 30 bolsas?

Comprueba que has entendido el enunciado.

Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?

Interdisciplinaridad Al realizar la actividad 11, se sugiere pedir a los estudiantes que se infor-men de la razón de ser de los años bisiestos, y que evalúen lo que ocurri-ría si no se incluyeran en el calendario.

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

1 a) Sí, porque 300 : 15 = 20.

b) Sí, quedan 4 sueltas (100 = 12 · 8 + 4).

c) Sí, se puede cortar en 9 trozos de 20 cm (180 : 20 = 9).

d) No (100 = 15 · 6 + 10).

2 a) 300 : 20 = 15 → exacta → Sí. b) 195 : 13 = 15 → exacta → Sí.

c) 138 : 38 → inexacta → No. d) 75 : 15 = 5 → exacta → Sí.

e) 203 : 23 → inexacta → No. f ) 702 : 117 = 6 → exacta → Sí.

3 899 = 31 · 29

4 a) 160, 180, 200 b) 195 = 13 · 15

c) 1 y 80, 2 y 40, 4 y 20, 5 y 16, 8 y 10

5 a) 1, 2, 5, 10 b) 1, 2, 3, 6, 9, 18

c) 1, 2, 4, 5, 10, 20 d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

e) 1, 2, 4, 7, 14, 28 f ) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

g) 1, 3, 13, 39 h) 1, 3, 5, 9, 15, 45

i ) 1, 2, 5, 10, 25, 50 j ) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

6 Una caja de 60 bombones. Sesenta cajas de 1 bombón.

Dos cajas de 30 bombones. Treinta cajas de 2 bombones.

Tres cajas de 20 bombones. Veinte cajas de 3 bombones.

Cuatro cajas de 15 bombones. Quince cajas de 4 bombones.

Cinco cajas de 12 bombones. Doce cajas de 5 bombones.

Seis cajas de 10 bombones. Diez cajas de 6 bombones.

7 72 montones de 1 terrón. 1 montón de 72 terrones.

36 montones de 2 terrones. 2 montones de 36 terrones.





8 a) 561 b) 2 090 c) 10 647

9 A51 → 351 - 651 – 951

2B8 → 228 - 258 - 288

31C → 312 - 315 – 318

52D → 522 - 525 - 528

1E8 → 108 - 138 - 168 - 198

10 4a → 42 – 48 32a → 324 24a → 240 - 246

11 2016, 2020, 2024

12 Por ejemplo:

11 · 15 = 165 → 1 + 5 = 6; 6 – 6 = 0

11 · 11 = 121 → 1 + 1 = 2; 2 – 2 = 0

13 Primos → 17, 29, 47, 53, 71, 79

Compuestos → 14, 28, 57, 63, 91, 99

14 503 es el número buscado.

15 521 es primo, porque todas sus divisiones entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 tienen resto distinto de cero y, además, 521 : 23 ≈ 22,65.

16 Porque el cociente de 223 : 17 es un número menor que 17, y si hubie-se divisores menores que 17 se habrían hallado antes de probar con este número.

17 a) 20, 40, 60 b) 120, 240, 360 c) 75, 150, 300

d) 40, 80, 120 e) 300, 600, 900 f ) 300, 600, 900

18 3 y 5, o bien, 1 y 15.

19 a) 8 b) 2 c) 60 d) 5 e) 120 f ) 10

ANOTACIONES

62






100 a.C.

Babilonios2000 a.C.

Egipcios3500 a.C.

Chinos 3500 a.C.

Hindúes 500 a.C.

Árabes 700 d.C.













23 × 18 = 414

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8


a) 208 × 34 b) 453 × 26



1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

3UNIDAD

60 61

Ejercicios y problemas

La relación de divisibilidad1. Reflexiona, contesta “Sí” o “No” y justifícalo.

a) ¿Se pueden guardar 300 litros de aceite en bidones de 15 litros sin que sobre nada?

b) Si sacas del horno 100 magdalenas, y las empaque-tas por docenas, ¿queda alguna suelta?

c) ¿Se puede cortar un listón de 1,80 m en un núme-ro exacto de trozos de 20 cm?

d) ¿Hacen 100 minutos un número exacto de cuartos de hora?

2. Razona si existe relación de divisibilidad entre:a) 20 y 300 b) 13 y 195 c) 38 y 138d) 15 y 75 e) 23 y 203 f ) 117 y 702

3. Expresa el número 899 como producto de dos factores distintos de él mismo y de la unidad.

Múltiplos y divisores4. Escribe.

a) Los múltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210.b) Un múltiplo de 13 comprendido entre 190 y 200.c) Todos los pares de números cuyo producto es 80.

5. Busca todos los divisores de:a) 10 b) 18 c) 20 d) 24 e) 28f ) 30 g) 39 h) 45 i) 50 j) 80

6. ¿De cuántas formas diferentes se pueden envasar 60 bombones en cajas con el mismo número de uni-dades en cada una sin que sobre ninguno?

7. Busca todas las formas posibles de hacer monto-nes iguales con 72 terrones de azúcar.

Criterios de divisibilidad8. Escribe.

a) Un número de tres cifras que sea divisible por 3.b) Un número de cuatro cifras que sea divisible por 5.c) Un número de cinco cifras que sea divisible por 9.

9. Sustituye cada letra por una cifra, para que el nú-mero resultante sea divisible entre 3.

A51 2B8 31C 52D 1E8

10. Busca, en cada caso, todos los valores posibles de a para que el número resultante sea, a la vez, múlti-plo de 2 y de 3:

4 a 3 2 a 2 4 a

11. Un año es bisiesto si es múltiplo de cuatro, pero no de 100. ¿Cuáles son los tres próximos bisiestos?

12. Para saber si un número es múltiplo de 11:— Suma las cifras que ocupan lugar par.— Suma las cifras que ocupan lugar impar.— El número es múltiplo de 11 si al restar esas dos

cantidades obtienes 0 o un múltiplo de 11.Compruébalo.

Números primos y compuestos13. Separa los números primos de los compuestos.

14 17 28 29 47 53

57 63 71 79 91 99

14. Busca el primer número, mayor que 500, que no se pueda expresar como el producto de dos factores diferentes de él mismo y de la unidad.

15. Averigua si el número 521 es primo o compues-to. Justifica tu respuesta.

16. Para saber si el número 223 es primo, solo se necesita aplicar los criterios de divisibilidad y divi-dir entre 7, 11, 13 y 17. ¿Por qué?

Mínimo común múltiplo y máximo común denominador17. Obtén mentalmente tres múltiplos comunes de:

a) 4 y 5 b) 10 y 12 c) 15 y 25d) 20 y 40 e) 100 y 150 f ) 20, 25 y 30

18. El mínimo común múltiplo de dos números es 15. ¿Cuáles pueden ser esos números?

19. Calcula.a) mín.c.m. (2, 4, 8) b) máx.c.d. (2, 4, 8)c) mín.c.m. (10, 15, 20) d) máx.c.d. (10, 15, 20)e) mín.c.m. (20, 30, 40) f ) máx.c.d. (20, 30, 40)

Resuelve problemas

20. Los miembros de un club social se pueden agru-par, sin que ninguno quede suelto, por parejas, por tríos y por grupos de 7. ¿Cuántos miembros tiene el club, sabiendo que son más de 80 pero menos de 90?

21. Ramón tiene un montón de monedas de 10 cén-timos, que puede agrupar en montones de 80 cén-timos y también en montones de un euro. ¿Cuánto dinero tiene, sabiendo que en total hay más de 5 € pero menos de 10 €?

22. Los trenes a Miramar salen cada 18 min, y los de Arandilla, cada 24 min. Si son las 15 h 45 min, y salen a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir?

23. Se desea partir una cartulina de 48 cm × 60 cm en tarjetas cuadradas que tengan entre cinco y diez centímetros de lado. ¿Cuál debe ser el tamaño de las tarjetas para no desperdiciar recortes de cartulina?

24. En una escuela de baloncesto había 20 equipos, todos con igual número de jugadores. Debido a un recorte de presupuesto, se han suprimido cuatro equi-pos, distribuyendo sus miembros entre los demás. Así, cada equipo ha aumentado en dos elementos. ¿Cuántos jugadores hay en la escuela de baloncesto?

25. Una bodega comercializa sus vinos en cajas con el mismo número de botellas. ¿Cuántas botellas van en cada caja, si un comercio ha comprado 60 botellas de vino tinto, 57 de blanco y 45 de rosado?

26. Un comerciante de ropa recibe una partida de camisas a 24 € la unidad. Un amigo suyo, con tien-da en otro barrio, recibe una partida de pantalones a 45 €. Puestos en contacto, deciden intercambiar parte de sus mercancías para mejorar la oferta de sus negocios. ¿En qué condiciones harán el intercambio?

Problemas “+” 27. Un restaurante, que está reponiendo menaje, in-

vierte 300 € en la compra de vasos y otro tanto en la de tazas. Sabiendo que una taza cuesta un euro más que un vaso, y que ha comprado 15 vasos más que tazas, ¿cuántos vasos y cuántas tazas ha adquirido?

28. Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha de huevos, piensa:— Si los envaso por docenas, me sobran 5.— Si tuviera uno más, podría envasarlos exactamente

en cajas de 10.— Casi he cogido 100.¿Cuántos huevos tiene?

Aprende a resolver problemas

¿Cuántas hornadas iguales hay? ¿Cómo empaquetan las magdalenas?¿Cuántas bolsas se han llenado? ¿Qué te preguntan?

Fíjate que cada hornada puede embolsarse de 6 en 6 y de 10 en 10.

Muy bien. Ahora recuerda que se han llenado algo más de 30 bolsas.

— Ya veo… Entonces estamos buscando un múltiplo común de 6 y 10. Como mín.c.m (6, 10) = 30, los múltiplos comunes son 30 - 60 - 90 - 120 - … Estos son posibles números de unidades de una hornada.

— Voy a probar. Con 90 magdalenas por hornada salen (90 : 6) + (90 : 10) = 24 bolsas. Con 120 salen (120 : 6) + (120 : 10) = 32 bolsas. ¡Algo más de 30!

Solucion: Cada hornada tiene 120 magdalenas.

Dos hornadas iguales de magdalenas se envasan, una, en bolsas de 6 unidades, y la otra, en bolsas de 10 unidades, sin que sobre ninguna en ambos casos. ¿Cuántas magdalenas salen en cada hornada si se han llenado algo más de 30 bolsas?

Comprueba que has entendido el enunciado.

Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?

Aprende a resolver problemas En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende ofrecer a los estudiantes modelos, estrategias y pautas para resolver pro-blemas. A saber:

– Detenerse en la comprensión del enunciado. Aclarar lo que se sabe y lo que se desea averiguar. No empezar hasta haber interiorizado el enun-ciado.

– Reflexionar sobre el proceso. Decidir los datos y los pasos intermedios necesarios para llegar a la solución.

– Conviene que los alumnos y alumnas comprueben que la búsqueda de la solución es un proceso abierto, en el que se utilizan diversos recursos. Así, en este caso, tras una primera parte en la que se utilizan los concep-tos y herramientas que proporciona la divisibilidad, el problema termina recurriendo al tanteo para ajustar lo descubierto a las condiciones del enunciado.

– Describir el proceso. Explicar el significado de cada operación y del da-to que se obtiene con ella.

– Presentar la solución.

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

20 El club tiene 84 miembros.

21 Ramón tiene 800 céntimos = 8 euros.

22 Después de las 15:45, volverán a coincidir a las 16:57.

23 Las tarjetas deben ser de 6 cm de lado.

24 En la escuela hay 160 jugadores.

25 En cada caja van 3 botellas.

26 Habría que intercambiar lotes de 15 camisas por lotes de 8 pantalo-nes.

27 Se han adquirido 75 vasos y 60 tazas.

28 El granjero tiene 89 huevos.

ANOTACIONES

63

Reflexiona y sé organizado

Divisibilidad y geometría

Soluciones

• 12 = 1 · 1 · 12 = 1 · 2 · 6 = 1 · 3 · 4 = 2 · 2 · 3

• 60 = 1 · 1 · 60 = 1 · 3 · 20 = 1 · 4 · 15 = 1 · 5 · 12 = 1 · 6 · 10 = 6 · 2 · 5 = = 4 · 3 · 5 = 2 · 6 · 5 = 2 · 3 · 10 = …

Puede derivarse la investigación hacia prismas de base no rectangular, del tipo de la solución 2 · 2 · 2 · 3 (de colores) que aparece en el texto.

Infórmate e investiga

Los primos valen dinero

Se puede sugerir el ir comprobando, por orden, si 1 001, 1 002, 1 003, etc., se pueden descomponer en factores.

Soluciones: • El primer número primo mayor que 1 000 es 1 009.

Ensaya y deduce

El 101 es el protagonista

Estos ejercicios contribuyen a desarrollar el interés por la búsqueda de re-gularidades y propiedades numéricas.

Soluciones

•Al multiplicar un número de dos cifras por 101, se obtiene el mismo re-sultado que si se escribe el número dos veces seguidas.

• Todos los números de cuatro cifras que se forman repitiendo alternati-vamente dos cifras son múltiplos de 101.

Entrénate resolviendo problemas

¡Echa cuentas!

Se incluyen problemas o retos que, aunque relacionados con la divisibili-dad, exigen la utilización de otros recursos, y cuyo objetivo es practicar estrategias de elaboración personal y enfrentarse a situaciones de lógica.

Soluciones

• Juntando ambos grupos se hace un equipo más y sobran 2.

• Las huellas del galgo y de la liebre coincidirán 16 veces.

Soluciones de la autoevaluación

1 60 y 90, 15 y 90, 80 y 240, 6 y 240

2 a) Verdadero b) Falso c) Verdadero d) Falso

3 a) 60, 72, 84, 96 b) 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

4 a) 1 001 b) 990

5 a) … la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

b) … acaba en 0 o en 5.

c) … la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

6 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

7 a) 101 es primo. b) 147 es compuesto. c) 247 es compuesto.

8 a) 36 = 22 · 32 b) 48 = 24 · 3 c) 396 = 22 · 32 · 11

9 a) 144 b) 12 c) 150 d) 5

10 n.º de equipos 1 2 4 7 14 28

miembros por equipo 28 14 7 4 2 1

11 El lado del menor cuadrado que se puede formar mide 30 cm.

12 En cada cabaña entrarán 12 personas. Ocuparán 7 cabañas.

3UNIDAD

62 63

Taller de matemáticas

62

Los primos valen dineroLos números primos se utilizan para la construcción de las claves que protegen las cuentas bancarias, los ordenadores, los teléfonos móviles, la información que circula por internet, etc.De hecho, para elaborar una clave, se necesitan dos números primos secretos. Por eso, el que descubre un par de números primos nuevos, descubre un tesoro codiciado por empre-sas informáticas y de comunicaciones, dispuestas a comprarlos a precios elevados. Lo malo es que los fáciles ya se han descubierto y los nuevos son muy difíciles de encontrar.• Busca el primer número primo mayor que 1 000.

Infórmate e investiga

62

El 101 es el protagonista• ¿Qué le ocurre a un número de dos cifras si lo

multiplicamos por 101?

29 × 101 = ?Ensaya otros casos y veri� ca que siempre ocurre lo mismo.

• ¿Qué tienen en común todos los números de cua-tro cifras que se forman repitiendo alternativa-mente dos cifras?

5 4 5 4 8 7 8 7

1 3 1 3 4 3 4 3

Ensaya y deduce

aprenderemprender

Divisibilidad y geometríaYa has visto en otras ocasiones cómo las características y propiedades de los números se re� ejan en relaciones y propiedades geométricas. Observa ahora cómo la descomposición factorial de un número, por ejemplo 24, está ligada a las posibilidades de construir prismas con un conjunto de 24 dados (cubos unitarios):

24 = 2 · 2 · 2 · 3

1 × 24

2 × 12

3 × 8

4 × 6

2 × 2 × 2

2 × 3 × 4

2 × 2 × 6

2 × 2 × 2 × 3

• ¿Cuántos prismas diferentes se pueden construir con 12 dados unitarios?• Más difícil: ¿Y con un conjunto de 60 dados?

Reflexiona y sé organizado ¡Echa cuentas!• En un colegio hay dos clases, A y B, de primero de ESO. Si en el grupo A se

hacen equipos de 5 para jugar a baloncesto, sobran 3 personas. Si se hace lo mismo en el grupo B, sobran 4.¿Cuántos sobrarán si se hacen los equipos después de juntar ambos grupos?

• Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la liebre, ¿cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m?

Entrénate resolviendo problemas

•

63

Autoevaluación En la web Resoluciones de estos ejercicios.

1. Busca, entre los siguientes, cuatro pares de números emparentados por la relación de divisibilidad:

6 15 35 80 90 240

2. ¿Verdadero o falso? a) 60 es divisible entre 15.b) 7 múltiplo de 21.c) 12 es divisor de 120.d) 162 múltiplo de 8.

3. Escribe.a) Los múltiplos de 12 comprendidos entre 50 y 100.b) Todos los divisores de 90.

4. Encuentra los números pedidos.a) El primer múltiplo de 13, después de 1 000.b) El último múltiplo de 11, antes de 1 000.

5. Completa en tu cuaderno.a) Un número es múltiplo de 3 cuando…b) Un número es divisible entre 5 cuando…c) Un número es múltiplo de 9 cuando…

6. Escribe, ordenados, todos los números primos meno-res que 50.

7. Averigua si los números siguientes son primos o compuestos:a) 101 b) 147 c) 247

8. Descompón en factores primos.a) 36 b) 48 c) 396

9. Calcula.a) mín.c.m. (36, 48) b) máx.c.d. (36, 48)c) mín.c.m. (10, 15, 25) d) máx.c.d. (10, 15, 25)

10. ¿De cuántas formas distintas se puede dividir una clase de 28 alumnos, en equipos con el mismo nú-mero de miembros, sin que sobre ninguno?

11. ¿Cuál es el lado del menor cuadrado que se puede formar uniendo baldosas rectangulares de 15 cm de largo por 6 cm de ancho?

12. Un grupo de 48 niños, acompañados de 36 padres, acuden a un campamento de montaña. Para dor-mir, acuerdan ocupar cada cabaña con el mismo número de personas. Además, cuantas menos ca-bañas ocupen, menos pagan. Por otro lado, ni los padres quieren dormir con niños, ni los niños con padres. ¿Cuántos entrarán en cada cabaña? ¿Cuán-tas cabañas ocuparán?

Documents

Divisibilidad€¦ · Al iniciar la unidad • La lectura sirve de introducción a la unidad, informando de que sus con - tenidos, los conceptos relativos a la divisibilidad, ya preocupaban