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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA
DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA í
Proyecto de Investigación I y I1
ALu2MNo.. Alvarez Cruz Daniel ~
LICENCLQTURQ: Ingeniería en Electrónica.
AREA DE C U N a m C I O N : Comunicaciones.
mm: Andlisis Espectral
ASBUR:
FECHA: I 7 de Octubre de I995. ~
Dr. Héctor Manuel Pérez Meana.
índice
Introducción.
Capítulo 1. Antecedentes Análisis de una señal.
1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3
1.1.4 1.2 1.2.1.
1.2.2
1.2.3. 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.1.1 1.3.1.2 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 1.3.8 1.3.9 1.3.10
Series de Fourier La serie trigonométrica de Fourier La serie exponencial de Fourier Representación de una función periódica mediante la serie de Fourier en todo el intervalo. El espectro complejo de Fourier La transformada de Fourier Representación de una función cualquiera en todo el intervalo: existencia de la trasformada de Fourier Representación de una señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia. Existencia de la transformada de Fourier La transformada de Fourier de una función periódica. Tratamiento de las señales El teorema de la convolución Convolución en el tiempo. Convolución en la fi-ecuencia El teorema del muestreo. Recuperación de f(t) a partir de sus muestras La transformada de Fourier discreta La transformada de Fourier rápida Transmisión de señales a través de sistemas lineales Características de filtro de los sistemas lineales Espectro de densidad de energía y de potencia Espectro de densidad de potencia de una señal periódica Señales estocásticas
Capítulo 2. Planteamiento del proyecto. Estimación de espectros de potencia.
2.1 2.1.1
Estimación de espectros de potencia Estimación de espectros de duración finita, observación de señales
1
5
6 6 7 7
8 8 8
9
10 10 12 12 12 13 13 13 14 16 17 17 18 18 20
21
22 22
2.1.2
2.1.3
2.1.4 2.2
2.2.1 2.2.2 2.2.3
2.2.3.1 2.2.3.2 2.2.4.
Acercamiento al calculo computacional del espectro de densidad de energía Estimación de la autocorrelación y espectros de potencia en señales aleatorias, el periodograma Uso de la DFT en la estimación de espectros de potencia. Métodos No-paramétricos para la estimación de espectros de potencia Método Bartlett. Periodogramas promediados Método Welch. Periodogramas promediados modificados Desempeño de los estimadores de espectros de potencia no-
Desempeño del método de Bartlett Desempeño del método Welch Requerimientos para la implementación en software de los estimadores de espectros de potencia con métodos no- paramétricos
paraméticos
Capítulo 3. Desarrollo del proyecto. Evaluación del desempeño de estimadores de espectros de potencia no- paramétricos mediante su implementación en software
23
30
35 36
37 39 41
42 43 45
46
Parte 1. Implementación del método Bartlett, periodogramas promediados 47 Parte 2. Implementación del método Welch, periodogramas promediados 48
Parte 3 Comparación de resultados 50 modificados
Comentarios 54
Apéndice Listado del programa por el método Bartlett A.
Apéndice Listado del programa por el método Welch B.
56
64
Bibliografía 73
Introducción
/ntroúucción
La comunicación ha sido pieza fundamental en el proceso evolutivo del ser humano, gracias a ésta hay tal desarrollo en las técnicas y procedimientos en el mundo actual, además del gran intercambio de conocimientos.
Nuestros antepasados se comunicaban de varias maneras; con mensajeros que llevaban la información recorriendo grandes distancias para llegar a un destinatario, se empleaban también palomas mensajeras, señales de humo, sonidos de tambores, etc.
A finales del siglo pasado, un grupo de investigadores encabezado por Maxwell desarrollaron toda una serie de teorías y estudios sobre las ondas electromagnéticas, siendo ésta la base para el posterior desarrollo de las comunicaciones por este medio.
Con el pronunciamiento de la teoría electromagnética se ponen de manifiesto dos cosas: Que la luz es una onda electromagnética y que se pueden utilizar estas ondas electromagnéticas para la transmisión de señales; esto último es lo que nos atañe a los interesados en área de comunicaciones.
En el presente siglo se ha dado un acelerado desarrollo en la tecnología, se empezó con la radiodifusión de audio y posteriormente la transmisión de video, pero con el advenimiento de distintas cosas: la invención del transistor, el encapsulamiento de circuitos integrados y su increíble miniaturización, la fibra óptica y el desarrollo de nuevas tecnologías entre otras cosas, han proyectado a las comunicaciones a un mar de recursos por explorar y explotar del que aún no percibimos toda su magnitud.
En un futuro no muy lejano se integraran las diferentes tecnologías de comunicación para implementar lo que llaman la super carretera de la información. Estas diferentes tecnologías son: la comunicación vía satélite, los enlaces por microondas, la comunicación por fibra óptica, las redes locales (datos) y urbanas (telefónicas), etc. para proporcionar un servicio denominado integrado.
Podríamos percibir una gran diferencia en estas tecnologías (por ejemplo la comunicación vía satélite con las redes de computadoras locales) pero, sin embargo, básicamente todo sistema de comunicación funciona de la siguiente manera:
2
I Destino del
mensaje +-
Codifícador de la fuente
I I
Decodifícador del canal
De co di ficador de la fuente
I I
Ruido c Demodulador
Entonces llámensele fibra óptica, vía satélite, redes LAN, etc. el principio de comunicación es el mismo que se menciona en el diagrama anterior.
Es tan amplio el campo de la electrónica en comunicaciones que su estudio se ha especializado tremendamente; en este proyecto apenas abarcamos una pequeña parte del análisis espectral, a saber, la evaluación de algunos algoritmos implementados para la estimación de espectros de potencia, lo que en el diagrama anterior comprendería una porción de la etapa de la decodificación de la fuente, este proyecto se justifica debido a lo siguiente:
La Transfonnada de Fourier puede hacer la estimación del espectro de potencia, pero tiene el inconveniente de tener poca resolución, esto genera el hecho de que cuando se tienen cortes o picos no son tomados en cuenta y sólo es válida para un conjunto de valores muy grande.
Las aplicaciones que tienen estas estimaciones son las siguientes:
- El método de compresión de voz (compresión de datos) mandar menos bits sin pérdida. Hay sistemas (como los teléfonos celulares, con PCM) que en lugar de mandar 64 bits, mandan 7 bits por muestra. - El cálculo del espectro. - En sistemas de guía se recibe una señal y se sabe cual es el ángulo de incidencia.
3
Todo este tipo de aplicaciones dependen de que la estimación sea buena. Para evaluar un método necesitamos compararlo con algo estándar, tomaremos como estándar a l a transformada de Fourier para la comparación de resultados.
4
Capítulo 1 Antecedentes.
Análisis de una señal.
1.1 Series de Fourier.
1.1. I La serie trigonométrica de Fourier.
Las funciones senmot, sen2coot, etc., forman un conjunto ortogonal en cualquier intervalo (to, to+27cloO). Este conjunto sin embargo, no es completo. Esto lo evidencía el hecho de que una función cosnoOt es ortogonal a senmoot en el mismo intervalo. Consecuentemente para completar el conjunto, debemos agregar funciones coseno así como funciones seno. Se puede demostrar que el conjunto de funciones que consta de un grupo cosno,t y otro sennoot (n=O,1,2 ...) forma un conjunto ortogonal completo. Nótese que para n=O sen noot es cero, pero cosno,t es igual a uno. Es así como tenemos un conjunto ortogonal completo, representado por las funciones 1, cosoot, cos2co0t cos3o0t.. . .,cosnoot.. . .,seno& sen2co0t,. . . .etc. Se deduce que cualquier función f(t) puede representarse en términos de estas funciones en cualquier intervalo (to, to+27c/oO). Así,
f ( t ) = a. + a coscoot +a, cos2coot+. . . . . . .. .+an cosncoot+. . .. . .b, sencoot + b2 sen 2c00t
. . . . b,, sen no0t (to < t < to2z I coo)
Denotaremos por conveniencia, 27clco,. La ecuación anterior queda entonces como:
00
f ( t ) = a. + c(an cosncoot + b, senncoot) (to < t < to + 2z I u,) (1.1.1) n= I
Esta ecuación es la representación de f(t) por medio de la serie trigonométrica de Fourier en el intervalo (to, to+27clo0). Las constantes a, y b, están dadas por:
( 1.1.2a)
( 1 . 1 .2 b) J sen2 ncootdt 10
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Si ponemos n=O en la ecuación (1.1.2a), obtenemos:
en donde
(1.1.3)
( 1 . I .2c)
1.1.2 La serie exponencial de Fourier.
Se puede demostrar fácilmente que el conjunto de funciones exponenciales {dnwot}, (n=O, +i, H, k3, ....) es ortogonal en el intervalo (to, to+27c/coO) para cualquier valor de to. Nótese que este es un conjunto de funciones complejas. Se puede expresar cualquier función f(t) dada como una suma discreta de funciones exponenciales {e'"""}, (n=O, +I, f2, k3, ....) en el intervalo to<t<to+T, (03, =27clT)
m
f ( t ) = C<eJnuJ (to < t <to + T)
( I . 1.4)
Obsérvese que las series exponencial y trigonométrica de Fourier no son dos tipos diferentes de series, sino dos formas distintas de expresar la misma serie.
1. 1.3 Representación de una función periódica mediante /a serie de Fourier en todo e/ intervalo (-GO e t .O).
Hemos representado una función f(t) como serie de Fourier en un intervalo finito (to, to+T). Fuera del intervalo la función f(t) y la serie de Fourier correspondiente no son necesariamente iguales. Sin embargo, si la función f(t) es periódica se puede demostrar que su representación en serie se aplica a todo el intervalo (-00,oo).
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1.1.4 El espectro complejo de Fourier.
El desarrollo en serie de Fourier de una función periódica equivale realmente a la transformación de la función en términos de sus componentes de diferentes frecuencias. Una fúnción periódica con periodo T tiene componentes de frecuencias angulares o,, 200, 300, ..., no,, etc. en donde ~,=27clT. Si se especifica f(t), se puede encontrar su espectro. Inversamente, si se conoce el espectro, se puede encontrar la función periódica f(t) correspondiente. Por lo tanto, tenemos dos maneras de especificar a la función f(t): por medio de la representación en el dominio del tiempo, y su representación en el dominio de la frecuencia, con la cual se especifica el espectro (es decir, las amplitudes de las diferentes componentes de frecuencia). Nótese que el espectro existe únicamente en o=oo, 2o,, 3o,, ..., no,. Así el espectro no es una curva continua, sino que existe en algunos valores discretos de o. Por lo tanto estamos hablando de un espectro discreto. Se puede utilizar cualquiera de los dos tipos con los cuales representamos la serie de Fourier, ya se de manera trigonométrica como exponencial, sin embargo, para nuestros fines nos resulta mas útil la forma exponencial.
1.2 La transformada de Fourier.
1.2. I Representación de una función Cualquiera en todo el intervalo (- m, a): Existencia de la transformada de Fourier.
En los párrafos anteriores notamos como representar cualquier función en términos de una serie exponencial (ó trigonométrica) en un intervalo fmito. En el caso especial de una función periódica, se puede extender la representación a todo el intervalo (-00,oo). Sin embargo, conviene representar cualquier función periódica o no, en todo el intervalo (-03,co) en términos de señales exponenciales. Veremos que una señal no periódica se puede expresar generalmente como una suma (integral) continua de señales exponenciales, en contraste con las señales periódicas, que se pueden representar mediante una suma discreta de señales exponenciales.
Este problema puede tratarse de dos formas. Podemos expresar f(t) en términos de funciones exponenciales en un intervalo finito (-T/2<t<T/2) y suponer que T tiende a infinito. También podemos construir una función periódica con periodo T de modo que f(t) represente el primer ciclo de la onda periódica. En el límite el periodo T tiende a infinito y, entonces, la función periódica solamente tendrá un ciclo en el intervalo (- m<t<oo) representado por f(t). De hecho no existe diferencia alguna entre estas dos
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formas, pero la segunda es la más conveniente, porque nos permite visualizar el proceso de límites sin alterar la forma del espectro de frecuencia
1.2.2 Representación de una señal en e/ dominio de/ tiempo y en e/ de /a frecuencia.
La transformada de Fourier es un instnunento con el cual expresamos una señal dada en términos de sus componentes exponenciales. La función F(o) es la transformada directa de Fourier de f(t) y representa las amplitudes relativas de las diferentes componentes. Por lo tanto F(o) es la transformada directa de Fourier de f(t) en el dominio de la frecuencia. La representación en el dominio del tiempo especifica la función en cada instante de tiempo, mientras que la representación en el dominio de la frecuencia especifica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la función. Ambas representaciones especifican en forma Única la función. En general, la función F(o) es compleja y se necesitan dos diagramas para su representación gráfica completa.
(1.2.1)
Así entonces, F(o) se puede representar mediante un diagrama de magnitud IF(c0)l y un diagrama de fase e(o). En muchos casos, F(o) es sólo real o imaginaria y entonces sólo se requiere de un diagrama. Demostraremos a continuación que, cuando f(t) es función real,
F*(o)=F( -a) (1.2.2) Tenemos
De la misma manera,
(1.2.3)
(1.2.4)
De las dos ecuaciones anteriores, se infiere que , si f(t) es función real de t, entonces
F" ( CO)=F( -o) Por lo tanto, si
9
(1.2.5)
(1.2.6)
Es evidente a partir de estas ecuaciones que el espectro de magnitud IF(o)l es función par de 03 y el espectro de fase €)(o) es función impar de 03.
I. 2.3 Existencia de la transformada de Fourier.
De la ecuación 1.77 que defme la transformada de Fourier, se desprende claramente que si la integral es fmita, entonces existe la transformada de Fourier. Pero, como la magnitud de e-Jmt es la unidad, una condición suficiente para la existencia de la transformada de Fourier de f(t) es que la integral sea finita. Sin embargo, si se consideran funciones singulares (por ejemplo, funciones impulso), entonces esta condición de absoluta integrabilidad no siempre es necesaria, existen funciones que no son absolutamente integrables, aunque si tienen transformadas. Es decir, la integrabilidad absoluta de f(t) es condición suficiente pero no necesaria, para la existencia de la transformada de Fourier de f(t).
Las funciones como sen(ot), cos(ot), u(t), etc. no satisfacen la condición anterior y, en un sentido estricto, no poseen transformada de Fourier. Sin embargo, estas funciones sí tienen transformada de Fourier en el límite.
Se puede suponer que la función sen(ot) existe únicamente en el intervalo - T/2<t<T/2. En estas condiciones la función posee transformada de Fourier, siempre y cuando T sea finito. En el límite, T tiende a un valor muy grande pero finito.
1.2.4 La transformada de Fourier de una función periódica.
Se ha desarrollado la transformada de Fourier como caso límite de la serie de Fourier, al suponer que el periodo de una función periódica se vuelve infmito. Ahora se procederá en la dirección opuesta, para demostrar que la serie de Fourier sólo es un caso límite de la transformada de Fourier. Este punto de vista es muy Útil, pues permite unificar el tratamiento de ambas funciones, las periódicas y las no periódicas.
En un sentido estricto, la transformada de Fourier de una función periódica no existe, ya que esta no satisface la condición de integrabilidad absoluta. Para cualquier función periódica f(t):
10
(1.2.7) t -m
No obstante, la transformada existe en el límite. La transformada de Fourier de una función periódica es la suma de las transformadas de Fourier de sus componentes. Podemos expresar la función periódica f(t) con periodo T como
n=-m 1
Si tomamos las trasformadas de Fourier de ambos miembros, tenemos
m
F [ f ( t ) ] = F CFneJnmo' n=-m
(1.2.8)
(1.2.9)
(1.2.10)
Realizando algunas manipulaciones con e-Jwot y con las propiedades de la transformada, tenemos
m
F [ f ( t ) ] = 2n CFnG(w - nao) n=-m
(1.2.1 I )
Este es un resultado significativo. La relación anterior establece que la función de densidad espectral o la transformada de Fourier de una señal periódica esta compuesta por impulsos localizados en las frecuencias armónicas de dicha señal siendo la intensidad de cada impulso igual a 2n multiplicado por el valor del coeficiente correspondiente de la serie exponencial de Fourier. La secuencia de pulsos equidistantes no es más que la forma límite de una función de densidad continua. Este resultado no nos sorprende, pues, sabemos que una función periódica contiene solamente componentes de frecuencias armónicas discretas.
11
7.3 Tratamiento de las señales.
7.3.7 El teorema de la convolución.
El teorema de la convolución es quizá uno de los instrumentos más eficaces en el análisis armónico; con su empleo, se obtiene con facilidad muchos resultados importantes.
Dadas dos funciones fi(t) y fi(t), podemos formar la integral siguiente:
(1.3.1)
Esta integral llamada de convolución, define la convolución de las funciones fl(t) y fi(t), y también se expresa simbólicamente como:
En este caso tenemos dos teoremas: la convolución en el tiempo y la convolución en la fiecuencia.
7.3.7.7 Convolución en el tiempo.
Si
Y
entonces
(1.3.3)
12
es decir
7.3.7.2 Convolución en la frecuencia.
Si
Y
entonces
o sea
(1.3.4)
(1.3.5)
( 1.3.6)
7.3.2 El teorema del muestreo.
Si se divide el intervalo de tiempo de una señal limitada en banda en partes iguales para formar subintervalos tales que cada uno contenga un duración de T segundos, donde T es menor que ?4 fm y si se toma una muestra instantánea de cada subintervalo, entonces el conocimiento de la magnitud instantánea de cada muestra y de los instantes en que se toma la muestra de cada subintervalo nos proporciona toda la información de la señal original.
1.3.3 Recuperación de f(t) a partir de sus muestras.
Se puede recuperar la función original si se hace pasar la función muestreada por un filtro de pasa bajo, con frecuencia de corte a,. Se trata evidentemente de una
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operación en el dominio de la frecuencia. Debido a la dualidad entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia, existe una operación equivalente en el dominio del tiempo con la que se recupera f(t) a partir de sus muestras.
En la práctica, la mayoría de las señales se aproximan a las señales limitadas en banda. Conviene aclarar aquí que, en un sentido estricto, no existen esas señales limitadas en banda. Puede demostrarse que si existe una señal en un intervalo finito del tiempo, posee componentes de todas las frecuencias, sin embargo, en la práctica, las funciones de densidad espectral disminuyen a frecuencias superiores. La mayor parte de la energía reside en las componentes que ocupan un cierto intervalo de frecuencia de manera que para propósitos prácticos, se puede considerar la señal limitada en banda. El error que procede de no tomar en cuenta las componentes de alta frecuencia es despreciable.
El teorema del muestreo es un concepto muy importante, pues nos permite reemplazar una señal continua limitada en banda por una secuencia discreta de sus muestras sin perder información alguna. Por tanto, el contenido de información de la señal equivale a elementos discretos de información. Ya que el principio de muestreo especifica el número mínimo de valores discretos necesarios para reproducir una señal continua, el problema de transmitir dicha señal se reduce al de la transmisión de un número finito de valores. Esa información discreta se puede transmitir mediante un grupo de pulsos cuyas amplitudes varían de acuerdo con los valores de las muestras (modulación en amplitud de pulsos, pulsos codificados y otras formas de modulación).
1.3.4 La transformada de Fourier discreta.
El aumento en la utilización de métodos digitales para ayuda en los cálculos y para aplicaciones de procesamiento de señales ha provocado un interés creciente en la versión discreta de la transformada de Fourier.
La notación usada por convención para la transformada de Fourier discreta difiere un poco de la utilizada para la transformada continua. Seguiremos lo más posible la convención en uso.
Sea la representación de una secuencia de N muestras uniformemente espaciadas sobre el intervalo (0,NT) la siguiente:
(1.3.7)
14
La transformada de Fourier discreta (DFT, discrete Fourier transform) se define como la secuencia de N muestras de valor complejo en el dominio de la frecuencia dada por:
N-1
FD(nsZ) = Cf(kT)e-JnT”’, II = 0,1, ..., N - 1, (1.3.8) k = O
donde R=2nI(NT). Nótese que !2T=27c/N y R y T no aparecen en forma explícita en la DFT. Estos parámetros son sólo factores de escala para interpretar los resultados y no son necesarios en los pasos del cálculo.
Al utilizar aproximaciones numéricas a la transformada de Fourier, es necesario restringir el intervalo de observación a un valor fmito. Por tanto definamos la función truncada f(t) en términos de f(t) por
La transformada de Fourier, F(o), de esta función truncada es:
(1.3.9)
( 1.3.1 O)
Haciendo los cambios de variable o + n Q t+kT, dt+T, la ecuación anterior se puede aproximar por medio de
N-I
F(nsZ) z f (kT)éJnmTT k = 0
En las ecuaciones 1.3.8 y 1.3.1 1 se muestra que
( 1.3.1 1)
( I .3.12)
Una comparación con la transformada de Fourier continua muestra que las dos son análogas si (1) La señal f(t) se trunca en el intervalo (O,NT), (2) Dentro de este intervalo la señal f(t) esta disponible como una secuencia de N valores igualmente espaciados, y (3) El intervalo se extiende en forma periódica dando lugar a frecuencias armónicas discretas nR=2nn/(NT).
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Nótese que la segunda condición implica que los espectros de frecuencia
Como resultado de la periodicidad de FD(nSZ), la exactitud en el cálculo de la calculados son periódicos con periodo NSZ.
transformada de Fourier continua utilizando la DFT se ve afectada por el alias.
Los coeficientes de la serie de Fourier exponencial se pueden calcular usando la DFT para luego multiplicar por l/N. La frecuencia más alta que se puede determinar corresponde a n=N/2, esto va de acuerdo con el teorema del muestreo.
La DFT y la IDFT (transformada discreta, inversa de Fourier) forman un par transformado exacto, sólo al comparar con la transformada continua pueden surgir diferencias. Las propiedades de la DFT son análogas a las de la transformada de Fourier continua, con las restricciones dadas antes. Como ejemplo la IDFT del producto de la DFT de dos secuencias es la convolución de las secuencias. Sin embargo, la convolución resultante es periódica. (la convolución periódica suele llamarse convolución circular). De hecho, como la IDFT tiene básicamente la misma forma que la DFT, todas las funciones que tienen DFT se extienden en forma automática y periódica con periodo NT. Para una fiinción truncada, una forma conveniente para minimizar los efectos de la periodicidad es añadir ceros a la secuencia como puntos extra de muestra. Estos ceros añadidos se llaman ceros aumentados. Los ceros aumentados disminuyen el espaciamiento entre frecuencias armónicas y los efectos del alias para una señal dada, con el costo de un tiempo de cálculo mayor.
1.3.5 La transformada de Fourier rápida.
El cálculo de la DFT requiere N2 multiplicaciones (esto es, Olk<N, Oln<N), y el tiempo de cálculo resultante se vuelve excesivo cuando N se hace muy grande. La clave de los métodos de cálculo más eficientes es el empleo de toda la simetría posible de los exponentes complejos antes de realizar las multiplicaciones.
Avances recientes en esta área han dado lugar a una clase de algoritmos eficientes conocidos como transformada rápida de Fourier (FFT, fast Fourier transform), los cuales ofrecen reducciones significativas en el tiempo de cálculo. La FFT es un algoritmo (es decir, un método sistemático para realizar una serie de cálculos en secuencia) que permite al usuario calcular la DFT con un tiempo de cálculo mínimo. Aparte del algoritmo mismo la interpretación de la FFT es igual que la DFT .
16
1.3.6 Transmisión de señales a través de sistemas lineales.
Los sistemas lineales están caracterizados por el principio de superposición. Esto implica que si rl(t) es la respuesta a la función de excitación fl(t) y r2(t) es la respuesta a la función de excitación f2(t), entonces la respuesta a la función de excitación fi(t)+fi(t) será ri(t)+r2(t). Este es el postulado del principio de superposición. En general, la respuesta de un sistema lineal a la función de excitación afI(t)+pfi(t) está dada por arl(t)++Pr2(t), siendo a y p constantes arbitrarias.
Para determinar la respuesta de un sistema lineal a una función de excitación dada, se puede emplear el principio de superposición. Se puede expresar una función de excitación como suma de funciones más simples, para los cuales se calcula fácilmente la respuesta del sistema. En las secciones anteriores se ha visto que se puede expresar una función arbitraria de excitación f(t) como suma (continua) de exponenciales por medio de la transformada de Fourier. Podemos utilizar eso para obtener la respuesta de un sistema con los métodos de Fourier.
1.3.7 Caracferisficas de filfro de los sistemas lineales.
En un sistema dado, una señal f(t) de entrada produce una señal de respuesta r(t) de manera característica al sistema. La función de densidad espectral de la señal de entrada es F(o) mientras que la función de densidad espectral de la respuesta es F(o)H(o). Por lo tanto, el sistema modifica la función de densidad espectral de la señal de entrada. Es evidente que el sistema actúa como una especie de filtro de las diferentes componentes de frecuencia. La intensidad de algunas componentes aumenta, la de otras se atenúa y otras ,mas pueden quedar iguales. De manera semejante, cada componente sufre un cambio de fase diferente en el proceso de transmisión. Por lo tanto el sistema modifica la función de densidad espectral de acuerdo con sus características de filtro. Esta modificación depende de la función de la función de transferencia. H(o) que representa la respuesta del sistema a las diferentes componentes de frecuencia. Así, H(o) actúa como una función de ponderación según las diferentes frecuencias. La respuesta resultante tiene densidad espectral F(o)H(o). La señal de entrada tiene densidad espectral F(o) y la función de transferencia esta dada por H(o). La densidad espectral de la respuesta evidentemente es F(o)H(o).
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1.3.8 Espectro de densidad de energía y de potencia.
Un parámetro útil de una señal f(t) es su energía normalizada. Se define la energía normalizada E (o simplemente energía) de una señal f(t) como la energía disipada por un resistor de 1 ohm cuando se le aplica el voltaje f(t).Así
E = Jf2(t)dt -00
(1.3.13)
El concepto de energía de señal sólo tiene significado si la integral de la ecuación (1.3.7) es fmita. Las señales que la energía E es finita se llaman señales de energía. Con algunas señales, como por ejemplo, las señales periódicas, la integral (1.3.7) es obviamente infinita y el concepto de energía no tiene sentido. En esos casos consideramos el promedio en el tiempo de la energía que es evidentemente el promedio de la potencia de la señal. A esas señales se les da el nombre de señales de potencia, y con ellas trabajaremos en este proyecto. El parámetro significativo de una señal de potencia f(t) es la potencia promedio P. Definimos la potencia promedio (o simplemente la potencia) de una señal f(t) como el promedio de la potencia disipada por un resistor de 1 ohm al aplicársele un voltaje f(t). Así la potencia promedio P de la señal f(t) esta dada por:
( I .3.14)
1.3.9 Espectro de densidad de potencia de una señal periódica.
Consideremos una señal periódica f(t) y su representación como serie de Fourier
n=-m 1
F(co), la transformada de Fourier de f(t) esta dada por
(1.3.15)
W
F [ f ( t ) ] = 2 z CFnG(w - nw,) ( 1.3.16)
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Se puede obtener la función f(t) al multiplicar f(t) por una función pulso rectangular.
Al recurrir al teorema de la convolución en frecuencia, obtenemos después de ciertas manipulaciones.
r
FT(w) = T O0 FnSd ' (W-nwo)T ~ I Por lo tanto
( 1 .3.17)
( I .3.18)
Nótese que cuando T+co, la función sa{ [(~~-nco~)T]/2} tiende a concentrarse en o=ncuo. En consecuencia, la expresión de I FT(m)l en la ecuación anterior no tiene ningún término doble producto, ya que cada componente existe en donde las otras son cero. Manipulando un poco la ecuación anterior obtenemos:
Pero si tenemos que:
f ( t ) = ucos(w,t + e)
(1.3.19)
19
entonces por la ecuación (1.3.19)
a2 4
- a@) + -6(w + U@)
(1.3.20) mL
2 = -[6(w - a()) +&(o + U@)]
Así, el espectro de densidad de potencia de una señal sinusoidal acos(oot+8) está dado por dos impulsos en foo, cada uno de intensidad 7ca2/2. Obsérvese que el espectro de densidad de potencia es independiente de 0.
7.3.70 Señales estocásticas.
Las señales que comúnmente nos encontramos en la práctica son, en muchos casos, no deterministicas. Una señal de voz por ejemplo, no puede ser descrita por una ecuación. Sin embargo, también todas las señales que nosotros manejamos en comunicaciones y en muchos otros campos de la ingeniería y la ciencia son de naturaleza estocástica. (también llamada aleatoria).
Una señal estocástica tiene dos formas: Como un instante en tiempo fijo y su valor es una variable aleatoria, y como una función del tiempo en donde las variables aleatorias pueden estar interrelacionadas. La defmición de señal aleatoria esta hecha por sus propiedades estadísticas: función de densidad de probabilidad, media, autocorrelación, etc. En un problema teórico, esta descripción cuantitativa se emplea para el ensamble de todas las realizaciones del proceso aleatorio particular. Estas son funciones determinísticas, se comportan bien en el sentido matemático, sin embargo, en un problema práctico estas pueden ser estimadas usando mediciones sobre un campo finito de datos tomados de observaciones de procesos aleatorios. A partir de estas estimaciones las cuales son formadas, ahora, por variables aleatorias, ellas mismas son variables aleatorias. De esta manera nosotros podemos hacer solamente enunciados probabilísticos acerca de valores estimados cercanos a los valores reales (por ejemplo 95% de intervalo de confianza).
20
Capítulo 2 Planteamiento del Proyecto.
Estimación de espectros de potencia.
2. I Estimación de espectros de potencia.
En este proyecto se trabajó con la estimación de espectros característicos de señales que pueden ser representadas como un proceso aleatorio. Muchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza son mejor caracterizados estadísticamente en términos de sus promedios, por ejemplo, un fenómeno meteorológico que presenta fluctuaciones en la temperatura y presión del aire, esta mejor caracterizado estadísticamente como un proceso aleatorio. El ruido térmico de voltajes generado en resistores y dispositivos electrónicos es un ejemplo de señales fisicas que pueden ser modeladas como un proceso aleatorio.
Debido a las fluctuaciones aleatorias en señales de esta naturaleza, tendremos que adoptar un punto de vista estadístico. En particular, la función de autocorrelación de un proceso aleatorio, es el promedio estadístico apropiado que utilizaremos para la caracterización de señales aleatorias en el dominio del tiempo, y la transformada de Fourier de la función de autocorrelación (de la cual obtenemos el espectro de densidad de potencia), provee la transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Los métodos de estimación de espectros de potencia tienen relativamente una historia larga. Nuestro trabajo esta basado en algunos métodos clásicos basados en el periodograma, originalmente introducido por Schuster ( 1898) y posteriormente desarrollado por Barlett (1948) y Welch (1967).
2.1. I Estimación de espectros de duración finita, observación de señales.
El problema básico a considerar es la estimación del espectro de densidad de potencia de una señal, notamos que la mayor limitación para el estudio de una señal es observarla en un intervalo de tiempo finito, debido a que reduce la calidad de la estimación del espectro de potencia. Cuando trabajamos con señales que son estadísticamente estacionarias, el hacer mas largo el registro de datos nos podría proporcionar una mejor estimación del espectro; de otro modo, si la señal no es estacionaria no podemos seleccionar un largo arbitrario de registros para la estimación del espectro. En dichos casos, el largo del registro esta determinado por la rapidez de las variaciones en tiempo de la señal estadística. Pero defiitivamente nuestra meta es seleccionar un registro de datos corto que posiblemente nos resolvería las características espectrales de los diferentes componentes de una señal, contenidos en el registro de datos, que tenemos en el espectro de espacio cerrado.
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Uno de los problemas que encontramos en los métodos de estimación clásicos, basados en un largo finito es la distorsión del espectro cuando intentamos la estimación. A partir de los inconvenientes observados en un registro de largo finito en una señal determinista, mencionaremos primeramente este caso; pero posteriormente nos enfocaremos sólo a señales aleatorias y la estimación de sus espectros.
2.1.2 Acercamiento al cálculo computacional del espectro de densidad de energía.
La secuencia X(n) es usualmente el resultado del muestreo de una señal continua X,(t) con una velocidad uniforme de muestreo Fs. Nuestro objetivo es obtener una estimación del espectro real de la secuencia de duración finita X(n).
Recordamos que si X,(t) es una señal de energía finita
Su transformada de Fourier existe y esta dada por:
Del teorema de Parseval tenemos:
(2.1.1)
La cantidad I Xa(F)I representa la distribución de la señal de energía como una función de la frecuencia y por lo tanto es llamada el espectro de densidad de energía de la señal.
Sxx(F)= I Xa(F)I (2.1.2)
De esta manera el total de la energía de la señal es simplemente l a integral de Sxx(F) sobre todo F [ i.e. el total del área bajo Sxx(F)]
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Esto es muy interesante notando que Sxx(F) podría denotar la transformada de Fourier de otra función, Rxx(.r;), llamada la función de autocorrelación de la señal de energía finita x(t) definida como:
En efecto, fácilmente se sigue que:
(2.1.3)
(2.1.4)
Luego entonces, Rxx(7) y Sxx(F) son el par de transformadas de Fourier.
Como supusimos una velocidad de muestreo de Fs muestras por segundo para calcular el espectro de densidad de energía de la señal Xa(t). Para asegurarnos que no ocurra el efecto de alisamiento espectral en el muestreo, asumimos que la señal esta prefiltrada, así que, para propósitos prácticos, su ancho de banda esta limitado por B hertz. Entonces la frecuencia de muestreo Fs es seleccionada de manera que Fs>2B.
Al muestrear Xa(t) obtenemos una secuencia x(n), -00 < n < 00, la cual tiene una transformada de Fourier (espectro de voltaje).
o equivalentemente:
nz-m (2.1.5)
Recordemos que x(f) podría estar expresada en términos del espectro de voltaje de la señal analógica Xa(t) como:
m F Fs k=-m
X(-) = Fs C X a ( F - kFs) (2.1.6)
donde f=F/Fs es la variable de frecuencia normalizada.
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Con la ausencia del alisamiento y dentro del rango fundamental IF15 Fs/2 obtenemos:
(2.1.7) F Fs
X(-) = FsXi(F) IF15 Fd2
Por lo tanto el espectro de voltaje de la señal muestreada es idéntico al espectro de voltaje de la señal analógica, consecuentemente, el espectro de densidad de energía de la señal muestreada es:
F Fs
(2.1.8)
Podríamos ir más lejos por nada, la autocorrelación de la señal muestreada la cual esta definida como:
n=-m
que tiene su transformada de Fourier:
(2.1.9)
(2.1.10) k=-m
Por lo tanto, el espectro de densidad de energía podríamos obtenerlo por medio de la transformada de Fourier de la autocorrelación de la secuencia {x(n)}.
Las relaciones arriba mencionadas nos conducen a distinguir entre dos distintos métodos para calcular el espectro de densidad de energía de la señal Xa(t) de su muestre0 x(n). Uno es el método directo, el cual involucra el calculo de la transformada de Fourier de x(n) y tenemos:
(2.1.11)
La segunda aproximación es el llamado método indirecto, porque requiere 2 pasos. Primero, la autocorrelación rm(k) es calculada de x(n) y después se calcula la transformada de Fourier de la autocorrelación como lo indica (8.1.10) para obtener el espectro de densidad de energía.
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En la práctica, de cualquier manera, solo la secuencia de duración finita x(n), O I n I N-1 tenemos disponible para el calculo del espectro de la señal. En efecto, limitando la duración de la secuencia x(n) por N puntos, es equivalente a multiplicar x(n) por una ventana rectangular, por lo que tenemos:
x(n),OlnlN-l (2.1.12)
0,otro - valor F(n) = x(n)w(n) =
De las propiedades básicas de la transformada de Fourier, recordemos que la multiplicación de dos secuencias es equivalente a la convolución de sus espectros, consecuentemente con esto, la relación correspondiente en el dominio de la frecuencia de (8.1.12) es:
= 'rX(a)WCf - a)da -112
(2.1.13)
La convolución de la función ventana W(f) con X(f) produce un alisamiento o suavizamiento del espectro de X(f), nos muestra que W(f) es relativamente pequeño comparado con X(f), pero esta condición implica que la ventana w(n) deberá ser lo suficientemente larga. (i.e. N debe ser lo suficientemente largo, tal que W(f) sea pequeña comparada con X(f)).
Aún si W(f) es pequeña comparada con X(f), la convolución de X(f) con el lóbulo lateral de W(f) resulta un lóbulo de energía en f ( f ) en la banda de frecuencia, donde el espectro real de la señal x(f)=O. El lóbulo de energía es llamado Iimwimiento' .
Sólo como en el caso del diseño de filtros FIR, podemos reducir el escurrimiento del Lóbulo (más adelante veremos gráficamente este efecto), seleccionando una ventana que tenga un lóbulo corto. Esto implica que la ventana en el dominio del tiempo debe tener un corte suave en lugar del corte abrupto que proporciona la ventana rectangular. Aunque tales funciones ventana reducen el escurrimiento del lóbulo lateral, estas presentan un incremento en el alisamiento ó ensanchamiento del espectro de X(f). Por ejemplo, si usamos la ventana de Blackman con largo N=61 veamos en las gráficas 1 y 2 las características espectrales en comparación con la aplicación de una ventana rectangular.
' La palabra en Inglés es Leakage y se refiere al efecto visual de escurrimento de gotas que presenta la gráfica del espectro de X(f) convolucionado con la ventana. A lo largo de la lectura le llamaremos como escurrimiento
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Si tenemos una señal con espectro (de voltaje) dado como:
Y es convolucionada con una ventana rectangular con N=6 1 puntos. La convolución de X(f) con W(f) (espectro de la ventana rectangular) esta
ilustrada en la figura, notamos que la energía se "escurre" dentro de la banda de frecuencias 0.15 I f 1 10.5, donde X(f)=O. Esto es debido en parte a al ancho del lóbulo principal en W(f) el cual causa un ampliamiento ó manchamiento de X(f) fuera del rango I f I 50.1. De cualquier manera la energía del lóbulo lateral en X(f) es debida a la presencia de lóbulos laterales de W(f), los cuales son convolucionados con X(f). El manchamiento de X(f) para If1 10.1 y los lóbulos laterales en el rango de O. 1 I 1 f I 10.5, constituye el escunimiento
Gráfica 1
Si por el contrario utilizamos una ventana de Blackman de largo N=61, obtenemos también un espectro característico, como se muestra en la siguiente figura. El escurrimiento del lóbulo lateral se ha reducido, pero el ancho del espectro se ha incrementado alrededor del 50%.
27
Grápca 2
o .I .2 .4
El anchamiento que existe en el espectro debido al ventaneo es particularmente un problema cuando queremos analizar señales con componentes de frecuencia en espacio cerrado, por ejemplo, como muestra la gráfica 3, la señal con características espectrales X(f)=Xi(f)+X2(f), no puede ser analizada como dos funciones separadas a menos que el ancho de la función ventana sea significativamente más pequeña que la frecuencia de separación Af'. De esta manera observamos que si empleamos un alisamiento en la ventana en el dominio del tiempo reducimos el escurrimiento, a expensas de reducir la resolución en la frecuencia.
Kif1 xi I
Gráfica 3
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Queda claro de la discusión arriba hecha, que el espectro de densidad de energía de la secuencia ventaneada X(n) es una aproximación del espectro deseado de la secuencia X(n). La densidad del espectro obtenido de X(n) es:
(2.1.14)
El espectro dado por (8.1.14) puede ser calculado numéricamente como un conjunto de N puntos en la frecuencia por medio de la DFT(transformada discreta de Fourier). De esta manera:
n=O
Entonces
Y por lo tanto
(2.1. I 5)
(2.1.16)
(2.1.1 7)
k N
La cual es una versión distorsionada del verdadero espectro ,Y=(-)
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2.1.3 Estimación de la Autocorrelación y Espectros de Potencia en Señales Aleatorias, el Periodograma.
Las señales de energía finita poseen una transformada de Fourier y son caracterizadas en el dominio de la frecuencia por su espectro de densidad de energía. Por el contrario, las clases importantes de señales, caracterizadas como un proceso aleatorio estacionario, no contienen una energía fu-iita y por lo tanto no poseen una transformada de Fourier. Tales señales tienen una potencia promediada finita y por lo tanto son caracterizadas por un espectro de densidad de potencia.. Si x(t) es un proceso aleatorio estacionario, su función de autocon-elación esta dada por:
yxx(t) = E(x*(t)x(t+z)) (2.1.18)
Donde E[.] denota el promedio estadístico. Entonces, aplicando el teorema de Wiener-Khinchin, tenemos que el espectro de densidad de potencia de un proceso aleatorio estacionario es la transformada de Fourier de la función de autocon-elación,
-j2nFtdz Txx(F) = yxx(z)e (2.1.19)
En la práctica, tratamos con una simple realización del proceso aleatorio de la cual estimamos el espectro de potencia de este proceso. No conocemos la verdadera función de autocon-elación yxx(z) y como consecuencia no podemos calcular la transformada de Fourier en (2.1.19) para obtener Txx(F). De otra manera, de una simple realización del proceso aleatorio podemos calcular la función de autocorrelación en tiempo promediado.
(2.1.20)
Donde 2To es el intervalo observado. Si el proceso aleatorio estacionario es en el primer y segundo momentos, (punto medio y función de ergodico2
autocon-elación).
(2.1.2 1)
* Los datos aleatorios se pueden clasificar en cuatro tipos, a saber: Proceso aleatorio estacionario, Proceso aleatorio ergodico, proceso aleatorio no-estacionario, registro de muestra estacionario. Se hace referencia al proceso aleatorio ergodico cuando un fenomeno fisico que es considerado en términos de un proceso aleatorio, las propiedades del fenomeno pueden ser descritas hipoteticamente en cualquier instante de tiempo.
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l T = L i m p [x * (t)x(t + z )dt
TO+m 2To -To
Esta relación justifica el uso de una autocorrelación promediada en el tiempo Rxx(z) como una estimación de una función estadística de autocorrelación yxx(z). Además, la transformada de Fourier de Rxx(z) provee una estimación Pxx(F) de el espectro de densidad de energía.
(2.1.22)
El actual espectro de densidad de potencia es el valor esperado de P,(F) en el límite To+a.
(2.1.23)
De (2.1.20) y (2.1.22) nuevamente notamos las dos posibles aproximaciones para calcular P=(F), el método directo dado por (2.1.22) o el método indirecto, en el cual nosotros obtenemos R=(T) primero y entonces obtener la transfonnada de Fourier.
Pudiéramos considerar la estimación del espectro de densidad de energía de las muestras de la simple realización del proceso aleatorio. En particular, asumimos que, X,(t) es muestreada a una velocidad Fs > 2B, donde B es la frecuencia contenida en el espectro de densidad de energía del proceso aleatorio. Así de esta manera, nosotros obtenemos una secuencia de duración finita x(n), O I n 5 N-1, por muestreo X,(t). De este muestreo nosotros podemos calcular la secuencia de autocorrelación promediada en el tiempo.
m=O, l,.. . ..,N- 1 (2.1.24)
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donde r,(-m)= rm*(m) y entonces calculamos la transformada de Fourier.
(2.1.25) m=-N+l
El factor de normalización N- I m I en (2.1.24) resulta de una estimación con valor medio.
=Yxx(m) (2.1.26)
donde yxx(m) es la secuencia real (estadísticamente) de autocorrelación de x(n). Y por consiguiente rm(m) es una estimación imparcial de la función de autocorrelación ym(m). La Varianza de la estimación rm(m) es aproximadamente.
el cual es un resultado dado por Jenkins y Watts (1968). Claramente
(2. I .27)
(2.1.28)
dado que
L n=-m
Cuando E{rxx(m)}= y=(n) y la varianza de la estimación convergen a cero con N+m, la estimación rxx(m) se dice que es consistente.
Para valores grandes del parámetro de retraso m, l a estimación rxx(m) dada por (2.1.24) tiene una varianza grande, especialmente a medida que m se aproxima a N. Esto es debido al factor de que hay pocos datos de entrada dentro de la estimación para retardos grande. Como una alternativa a (2.1.24) usamos la estimación
* (n)x(n + m),m 2 o (2.1.29)
32
La cual tiene una tendencia de: Imlp(m) / N a partir del valor de su media
(2.1.30)
Con todo esto, esta estimación tiene una varianza pequeña, dada aproximadamente por:
(2.1.3 1)
Observamos que rm(m) es asintoticamente imparcial
y su varianza converge a cero cuando N+m. Por eso la estimación F x Y ( ~ ) es también una estimación consistente de ym(m).
Usaremos la estimación dada por Tm(m) en nuestro tratamiento. La correspondiente estimación del espectro de densidad de potencia es
N - 1
(2.1.33)
Si sustituimos P,(f) también podría
rm(m) de la ecuación 2.1.29 en la ecuación 2.1.33 la estimación ser expresada como
(2.1.34)
donde X(f) es la transformada de Fourier de la secuencia de muestras x(n). Esta conocida forma del espectro de densidad de potencia es llamada El
Periodograma, que fue introducida por Schuster (1898) para calcular y medir “periodicidades ocultas” en los datos.
De (2.1.33) obtenemos el valor promedio del periodograma estimado P,(f) como:
33
(2.1.35)
La interpretación que dimos para (2.1.35) es que la media del espectro estimado es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación ventaneada
@(m) = 1-- p ( m ) 'Y (2.1.36)
Donde la función ventana es la ventana de Bartlett (triangular). Por lo que la media del espectro estimado es:
(2.1.37)
donde WB(f) es el espectro característico de la ventana de Bartlett. La relación (2.1.37) ilustra que la media del espectro estimado es la convolución del espectro de densidad de potencia real rxx(f) con la transformada de Fourier WB(f) en la ventana de Bartlett. Consecuentemente, la media del espectro estimado es una versión alisada del espectro real y padece el mismo problema de escurrimiento el cual se presenta debido al numero fmito de datos.
Observamos que el espectro estimado es asintoticamente imparcial,
Sin embargo, en general, la varianza de la estimación Pm(f) no decae a cero cuando N+ OO. Por ejemplo, cuando la secuencia de datos proviene de un proceso aleatorio gaussiano, la varianza puede mostrarse fácilmente como:
(2.1.38)
34
la cual, en el límite N+ 00, queda como
Por lo que concluimos que el periodograma no es una estimación consistente del valor real del espectro de densidad de potencia (i.e. no converge al verdadero espectro de densidad de potencia)
En resumen, La autocorrelación estimada Ym(m) es una estimación consistente de la función de autocorrelación real yxx(m). Sin embargo, su transformada de Fourier Pm(f), el periodograma, no es una estimación consistente del espectro de densidad de potencia real. Por lo que el espectro Sufi-e del alisamiento y del escurrimiento por la ventana de Bartlett. El alisamiento y escurrimiento limita nuestra habilidad para resolver el espectro en espacio cerrado.
El problema de resolución de frecuencia que hemos descrito arriba, nos indica que el periodograma no es una estimación consistente de la estimación del espectro de potencia, provee la motivación para los métodos de estimación descritos posteriormente, los métodos que describiremos son los clásicos métodos no paramétricos, los cuales no implican la secuencia de datos. El énfasis de los métodos clásicos es obtener una estimación consistente del espectro de potencia a través de algunos promedios u operaciones de suavizamiento aplicadas al periodograma o sobre la autocorrelación. Como podemos observar el efecto de estas operaciones es para reducir la resolución de la frecuencia mientras que la varianza de la estimación se reduce.
2.1.4 Uso de la DFT en la estimación de espectros de potencia.
Como fue dado por (2.1.14) y (2.1.34) el espectro de densidad de energía estimado Sxx(f) y el periodograma P=(f), pueden ser calculados por medio la DFT, la cual se puede implementar fácilmente en la computadora con el algoritmo de la FFT. Si nosotros tenemos N datos, calculamos como &o N puntos de la DFT.
Por ejemplo, los cálculos hechos por las muestras del periodograma
(2. I .40)
con la frecuencia fk=k/N
35
En la práctica sin embargo tal escasez de muestras no proveen una buena representación o una buena gráfica del espectro continuo estimado Pn(f). Esto es fácilmente remediado con la evaluación de Pm(f), con frecuencias adicionales. Equivalentemente podríamos incrementar la efectividad incrementando el largo de l a secuencia por medio del relleno de ceros y entonces evaluar Pm(f) como un juego mas denso de frecuencias. Por lo tanto si nosotros incrementamos el largo de la secuencia de datos a L puntos por medio del relleno de ceros y evaluamos los L puntos con la DFT, tenemos:
(2.1.4 1)
Enfatizamos que el relleno de ceros y la evaluación de DFT con L>N puntos, no mejoramos la resolución de la frecuencia en la estimación espectral, esto simplemente es un método de interpolación de los espectros medidos con mas frecuencias. L a resolución de la frecuencia en la estimación espectral Pm(f) es determinada por el largo de N en el registro de datos.
2.2 Métodos no paramétricos para estimación de espectros de potencia.
Los métodos de estimación de espectros de potencia que son descritos en este proyecto son los métodos clásicos desarrollados por Bartlett (1948) y Welch (1967).
Estos métodos no asumen acerca de como son generados los datos y por lo tanto son llamados no paramétricos.
Esta estimación esta basada enteramente como un registro fmito de datos, la frecuencia de resolución de estos métodos es, como lo mejor, igual al ancho del espectro de una ventana rectangular de largo N, la cual es aproximadamente UN con - 3dB. Podríamos ser más precisos si especificamos la resolución de la frecuencia del método especifico. Todas las técnicas de estimación descritas en esta sección, decrementan la frecuencia de resolución para reducir la varianza de la estimación espectral.
Primero, nosotros describiremos las estimaciones y derivamos la media y l a varianza de cada método, posteriormente veremos una comparación de los tres métodos en la siguiente sección.
36
Aunque las estimaciones espectrales son expresadas como una función continua de frecuencia variable f, en la practica, las estimaciones son evaluadas en la computadora vía el algoritmo de la FFT.
2.2. I Método Bartlett. Periodogramas Promediados.
El método Bartlett para reducir la varianza en el periodograma involucra 3 pasos. Primero, la secuencia de N puntos es subdividida en segmentos no traslapados, donde cada segmento tiene longitud M. Este resultado en los K segmentos de datos
i=O,l, ....., K-1
n=O,l, ...., M-1 xi(n)=x(n+iM), (2.2.1)
Para cada segmento calculamos el periodograma
(2.2.2)
Finalmente, promediamos los periodogramas de los K segmentos para obtener el espectro de potencia estimado por Bartlett.
(2.2.3)
Las propiedades estadísticas de esta estimación son fácilmente obtenidas. Primero, la media es calculada por:
De 2.1.35 y 2.1.37 para un periodograma sencillo el valor esperado es
(2.2.4)
(2.2.5)
donde
37
es la frecuencia característica de la ventana de Bartlett.
lml I M-1 M otro valor
(2.2.6)
(2.2.7)
De (2.2.5) observamos que el espectro original es ahora convolucionado con la frecuencia característica Wb(f) de la ventana de Bartlett. El efecto de reducir el largo de los datos de N puntos a M=NK puntos resultantes en una ventana cuyo ancho espectral ha sido incrementado por un factor K. Consecuentemente la frecuencia de resolución ha sido reducida por un factor K.
A cambio de esta reducción en la resolución, obtenemos decrementos en la varianza.
La varianza de la estimación de Bartlett es:
1 K
= -va r [~$~f ' ) ]
Si usamos (2.1.38) y (2.2.8) obtenemos
Por consiguiente la varianza ha sido reducida por el factor K.
(2.2.8)
(2.2.9)
del espectro de potencia por el método de Bartlett
2.2.2 Método Welch. Periodogramas promediados modificados.
38
Welch (1968) realizó dos modificaciones básicas al método de Bartlett. Primero permitió que los segmentos de datos se traslaparan, por lo que ahora los segmentos de datos serán representados como:
n = 0,l ..... M - 1 i = 0,1 ..... L - 1 x1 = x(n + U), (2.2.10)
donde iD es el punto de partida para la secuencia y. Observe que si D=M, los segmentos de datos no se traslapan y el número L de los segmentos de datos es idéntico al número K en el método de Bartlett. Sin embargo, si D=W2 habrá un traslape de 50% de datos sucesivos, y se obtendrán L=2K. Alternativamente podemos formar K segmentos de datos con largo 2M.
La segunda modificación se hizo en la ventana de segmentos de datos anterior al cálculo del periodograma promediado. El resultado es un periodograma “modificado”
(2.2. I I )
donde U es el factor de normalización para la potencia en la función ventana y es seleccionada como:
1 M-1
(2.2.12)
El espectro de potencia estimado por Welch es el valor promediado de estos periodogramas modificados
El valor de la media en este método es:
(2.2.13)
= E[ F$ (‘f )] (2.2.14)
39
Pero el valor esperado del periodograma modificado es:
A partir de:
11
p ( n ) = J’rm(a)ej2nanda -112
Sustituyendo yxx(n) de (2.2.16) en (2.2.15) tenemos
= rrm(a)W(f -a)da -112
donde, por definición
El factor de normalización U asegura que:
IrW(f)df = 1 -112
La varianza del espectro estimado por Welch es
(2.2.15)
(2.2.16)
(2.2.17)
(2.2.18)
(2.2.19)
(2.2.20)
En el caso de traslapamiento entre un segmento sucesivo de datos (L=K). Welch nos muestra que:
40
En el caso del 50% de traslapamiento entre una sucesión de segmentos de datos (I=2K) la varianza del espectro de potencia estimado por Welch, con la ventana triangular (Bartlett) también derivado en el papel por Welch es:
Nosotros también consideramos solamente la ventana triangular en la varianza calculada, podríamos usar otra función ventana, en realidad estos producen una varianza diferente en adición uno podría también traslapar los segmentos de datos mayor o menor que el 50% considerado en esta sección. Uno probaría mejorando las características de la estimación.
2.2.3 Desempeño de /os estimaciones de espectros de potencia no parametricos.
En esta sección compararemos la calidad de las estimaciones de espectros de potencia de los métodos de Bartlett y Welch. Como una medición de la calidad, usamos la razón del cuadrado de la media del espectro estimado sobre su varianza.
(2.2.23)
donde A=B, W o BT para los dos espectros de potencia estimados, el recíproco de esta cantidad llamado variabilidad puede también usarse como una medición del desempeño.
Para referencia el periodograma tiene una media y una varianza:
(2.2.24)
(2.2.25)
donde
41
Para N largo @e. N+ a)
(2.2.26)
(2.2.2 7 )
Por lo tanto, como indicamos previamente, el periodograma es una estimación asintoticamente imparcial del espectro de potencia pero esta no es consistente porque su varianza no se aproxima a cero cuando N tiende a infmito.
Asintoticamente, el periodograma es caracterizado por el factor de calidad
(2.2.28)
El dato que Qp es fijo e independiente de la longitud de datos N es otra indicación de la pobre calidad de la estimación.
2.2.3. I Desempeño de la estimación del espectro de potencia por el método de Bartlett.
La media y la varianza del espectro estimado son:
Y
(2.2.29)
(2.2.3 O)
(2.2.3 1)
42
Como N -+ 00 y M -+ 00, En cuanto K=N/M permanece fijo, encontramos que:
Observamos que el método Bartlett de estimación de espectros de potencia es asintoticamente imparcial y K es permitida para incrementarse, con incrementos de N, la estimación es también consistente, por lo tanto, asintoticamente, esta estimación esta caracterizada por el factor de calidad.
N M
Q = K = - B (2.2.33)
La frecuencia de resolución de la estimación de Bartlett, medida tomando los 3dB de ancho del lóbulo principal de la ventana rectangular es:
0.9 Af = -
A4
Por lo que M=0.9/M y por lo tanto el factor de calidad queda
N = 1.1 1NAf
= 0.9 I Af
(2.2.3 4)
(2.2.3 5)
2.2.3.2 Desempeño de la estimación del espectro de potencia por el método de Welch.
La media y la varianza por el método de Welch son:
I !
E [ ~ x f > ] = j r , ( Q ) w y . --If2
donde
(2.2.3 6)
(2.2.3 7)
Y
43
Para no traslape
Para 50% de traslape y ventana triangular (2.2.3 8)
Bartleti
Como N+ 00 y M-+ 00, la media converge a
1.1 1 NAf
(2.2.3 9)
Welch
y la varianza converge a cero, así que la estimación es consistente. Bajo las condiciones dadas por (2.2.38) el factor de calidad es
1.39NAf
Paranotraslape (2.2.40)
Para 50% de traslape y ventana triangular
De otra manera, el ancho espectral de la ventana triangular con los tres dB es
1.28 Af =- M (2.2.41)
Consecuentemente, el factor de calidad expresado en términos de Af y N es
(2.2.42) 0.78NAf Para no traslape = { 1.39NAf Para 50% de traslape y ventana triangular
Factor de calidad de los espectros de potencia.
44
2.2.4 Requerimientos para la implementación en software de los estimadores de espectros de potencia con los métodos no paramétricos.
Para el desarrollo de este proyecto, los aspectos más importantes de los estimadores de espectros de potencia son sus requerimientos computaciones. Para esta comparación asumimos que las estimaciones están basadas en un conjunto fijo de datos N y una resolución Af .El algoritmo de la FFT que tomamos es el llamado Radix2. Contaremos únicamente el numero de multiplicaciones complejas requeridas para calcular la estimación espectral. Método Bartlett.
0.9 Largo de la FFT = M = -
A?
N M nú merode FFT’s = - = 1.1 1NAf
N r M I N 0.9 Númerode operaciones = - -log, M =-log, - M l 2 1 2 4f
Método Welch. (50% de Traslape)
1.28 Largo de la FFT = A4 = -
A ?
2 N A4
númerode FFT’s = ~ = 1.56NAf
1.28
A ? 2 N r M
Nú merode operaciones = - -log, A4 M l 2
En adición a las 2N/M FFT’s se requiere adicionar más multiplicaciones por el ventaneo de datos. Cada registro de datos requiere M multiplicaciones, por lo que el número total de operaciones es:
1.28 5.1 2 - Nlog, ~
Total de operaciones = 2 N + N log, ~ -
A ? A ?
45
Capítulo 3 Desarrollo del Proyecto.
Evaluación del desempeño de estimadores de espectros de potencia con métodos no=
paramétricos.
Este conjunto de estimadores tratan con los métodos basados en la FFT para la estimación de espectros de potencia, la aproximación en la determinación de espectros de densidad de potencia QYy (eJm) de un proceso aleatorio ergodic0 [y(n)]
En la práctica esta medición no puede ser hecha acorde con la porque la secuencia de autocorrelación
puede ser sólo aproximada usando un segmento fmito disponible fuera del proceso.
de largo
ecuación anterior
N de y,[n] esta
Para evaluar el desempeño de los distintos métodos se usa como ejemplo un proceso aleatorio con espectro de densidad de potencia conocido, generado por un sistema lineal con función de transferencia también conocida excitado por un proceso gaussiano blanco Vn con una varianza ov = 1.
De esta manera en nuestro proyecto podemos comparar los resultados y observar las desviaciones en términos del espectro conocido.
Afortunadamente, para este caso, la secuencia de ruido blanco que utilizaremos para procesar estas estimaciones, así como el espectro real para realizar la comparación fue proporcionada por el profesor asesor Dr. Héctor Manuel Pérez Meana.
Para el caso del algoritmo de la FFT se utilizó el desarrollado por los profesores del departamento de Ingeniería Eléctrica de la UAM-I3 en su monografía de la Transformada Rápida de Fourier.
Ings. Fausto Casco Sánchez, Gonzalo Duchen S., Mauricio López Villaseñor. 3
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Parte 1. lmplementación del método Bartlett, periodogramas promediados.
Después de revisar teóricamente el método de Bartlett para le estimación de espectros de potencia. notamos que esta estimación esta basada sobre segmentos de y[n] extraídos de la secuencia de ruido blanco debido al ventaneo de w[n].
(3. I . 1)
Como notamos en el capítulo anterior el periodograma queda definido como:
i = 0,1, ...., K-1 (3.1.2)
Debido a que Bartlett propone realizar un promedio de varios periodogramas. Salta a la vista que la fórmula anterior se modificara para ahora quedar como dos sumatorias, una inherente a la fórmula del periodograma y la otra debido al promedio que haremos de varias ventanas.
(3.1.3)
podemos apreciar este procedimiento gráficamente.
Archivo a procesar
,I; ........................ w[nl ;;, I t o 256+ I
A cada segmento se le aplicara la FFT y posteriormente se promedian todos los resultados, como esta secuencia enorme de puntos los contenemos en un archivo y las operaciones con la FFT se realizaran con 256 Ó 512 muestras, entonces podemos
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apreciar que en el programa que se va a realizar se manipularan registros y archivos para poder realizar las FFT’s y los promedios.
Una primera aproximación a la realización del Pseudocódigo es la siguiente:
1 .- Abrir el archivo que contiene las 25000 muestras de ruido blanco. 2.- Tomar 256 muestras de este archivo 3 .- Obtener la FFT para estas muestras. 4.- Guardar en un registro que vaya sumando cada FFT obtenida para después sacar el promedio. 5.- Tomar las siguientes 256 muestras del archivo. 6.- Realizar todos los pasos a partir del 3.
Como podemos observar, el programa estaría basado en un ciclo que evaluaría la FFT a cada conjunto de muestras que de igual manera se irán almacenando en un registro, para posteriormente realizar su promedio. De manera modular el programa quedaría así:
-Inicio -módulo de acceso al archivo a procesar -modulo que toma las muestras por división -modulo que evalúa la fft a la ventana de datos -ciclo que realiza el inciso anterior k veces -módulo que almacena en un archivo de salida el resultado obtenido por este método
El listado del programa se proporciona en el apéndice A. Y el resultado lo compararemos en la tercera parte de este capítulo.
Parte 2. implementación de/ método Welch, periodogramas prom edia dos modifica dos.
En la parte 1 notamos que se realiza el periodograma por ser la solución más fácil a la vista, pero siguiendo a Welch y notándolo en las gráficas concluimos que esta es una estimación imparcial e inconsistente del espectro de densidad de potencia. Por lo que nosotros consideramos el siguiente método para mejorar el desempeño del periodograma. Hacemos algunas modificaciones para tener un cálculo más eficiente. El cambio esencial es el siguiente: Se traslaparan los segmentos ventaneados para mejorar el promedio y la resolución.
Si tomamos M puntos de una señal y[n] del proceso ergódico y,,, este bloque de datos puede ser dividido dentro K=M/N segmentos de largo N, donde por conveniencia
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asumimos que K es entero. Acorde con el procedimiento de Bartlett, nosotros llevamos a cabo lo expuesto en la parte 1.
Pero podemos reemplazar la fórmula (3.1.1) por
(3.2.1)
Estrictamente hablando la ecuación anterior describe el procedimiento de Bartlett sólo si w[n] es una ventana rectangular y el traslape es cero, es decir:
r(N-N,)=O (3.2.2)
la generalización para otras ventanas, especialmente para el caso de las ventanas traslapadas, es llamado el procedimiento de Welch.
En esencia el procedimiento para implementar el programa es el mismo, sólo que ahora tendríamos la siguiente diferencia:
En el método de Bartlett tenemos un control de línea para ir recorriendo el archivo a procesar, esto es, tomamos las primeras 256 líneas, después de realizar la FFT a estas muestras, tomamos las siguientes 256 líneas para aplicarle la FFT y así ir recorriendo el archivo. Para este procedimiento necesitamos traslapar los segmentos al 50%.
Lo que se realizó fue llevar dos controles de línea, el primero iniciará propiamente al comienzo del archivo y el otro 128 puntos después, ambos tomaran muestras de 256 puntos, pero, tendrán un defase de 128 puntos lo que propiciará el traslapamiento entre segmentos. veámoslo gráficamente.
Archivo a procesar.
Control 1
Control 2
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En la parte superior se encuentra el archivo a procesar, y en las partes inferiores los dos controles tomando las mismas muestras pero con un defase de la mitad de la ventana w[n].
Entonces el procedimiento fmalmente es semejante al anterior sólo que abriremos el archivo de entrada dos veces para tener dos controles de línea. el algoritmo del programa en general quedaría de la siguiente manera: 1 .- Abrir el archivo que contiene las 25000 muestras de ruido blanco. (control 1) 2.- Abrir el archivo nuevamente y contar 128 muestras para comenzar su ciclo (control
3.- Tomar 256 muestras de este archivo con el control 1 4.- Obtener la FFT para estas muestras. 5.- Tomar 256 muestras de este archivo con el control 2 (el mismo archivo pero recorrido 50%) 6.- Obtener la FFT para estas muestras. 7.- Guardar en un registro que vaya sumando cada FFT obtenida para después sacar el promedio. 8.- Tomar las siguientes 256 muestras del archivo con el control 1. 9.- Realizar todos los pasos a partir del 3.
2)
El listado del programa se proporciona en el apéndice B y la comparación de resultados se muestra en la siguiente sección.
Parfe 3. Comparación de resultados.
Como lo notamos en el capítulo anterior, revisando la teoría de estos métodos, el método de Bartlett es una estimación inconsistente para estimar espectros de potencia, el método propuesto por Welch se acerca un poco más a la estimación del espectro real, cabe aclarar que estos métodos son llamados no-paramétricos y actualmente hay investigaciones para mejorar su desempeño, existen hoy en día numerosas investigaciones con distintos métodos de estimaciones, estos incluyen algoritmos muy sofisticados, los principales métodos de estudio son los llamados paramétricos (AR, MA, ARMA). En las siguientes páginas notemos los resultados obtenidos gráficamente.
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Gráfica del espectro original
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Gráfica del espectro obtenido por el método de Bart lett
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Gráfica del espectro obtenida por el método de Welch
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Comentarios.
La estimación de espectros de potencia es una de las más importantes áreas de aplicaciones e investigación en el procesamiento digital de señales. En este proyecto de investigación, apenas y echamos un vistazo a la ventana de las más importantes técnicas de estimación de espectros de potencia, que han sido desarrolladas en el presente siglo, trabajamos con los métodos no-paramétricos de ó también llamados clásicos que están basados en el periodograma, pero al realizar este estudio se encontró que existen métodos paramétricos más eficientes basados en los modelos lineales AR, MA y ARMA. Nuestro tratamiento estuvo limitado a alcanzar la estimación de espectros de potencia de series simples en tiempo, basados en el segundo momento de los datos estadísticos (autocomelación).
Los métodos no-paramétricos vistos aquí y los paramétricos han sido extendidos hacia la estimación de espectros multicanalizados y multidimensionales. McClellan ( 1982) trata el problema de estimación de espectros multidimensionales y Johnson (1 982) trató el problema de estimación de espectros multicanalizados. Adicionalmente se han desarrollado métodos de estimación espectros para usarse con filtros de alto orden que involucran a los llamados biespectros y triespectros.
Como una evidencia de nuestra discusión previa, la estimación de espectros de potencia es una área que atare a muchos investigadores, y como resultado miles de escritos sobre este tema han sido publicados en literatura técnica. Muchos de estos trabajos se han concernido con las nuevas técnicas y algoritmos y la modificación de técnicas existentes, Otros trabajos se han concernido con la obtención y el conocimiento de las capacidades y limitaciones de varios métodos de estimación de espectros de potencia. En este contexto las propiedades estadísticas y las limitaciones de los métodos clásicos no-paraméticos han sido enteramente analizados y son bien conocidas. Los métodos paramétricos también han sido analizados por muchos investigadores, pero el análisis de su desempeño es dificil y, consecuentemente, pocos resultados están disponibles. Algunos de estos escritos que manejan el problema de las características de desempeño de los métodos paraméticos son: Kromer (1 969), Lacoss (!971), Berk (1974), Baggeroer (1976), Sakai (1979), Swingler (1980), y Lang & McClellan (1980).
En adición a las referencias arriba mencionadas, incluiremos para referencia algunos textos. En particular citamos el texto de Kay y Marple (1981), el cual incluye alrededor de 280 referencias, el escrito de Brillinger (1974), y la edición especial de Estimación Espectral de IEEE Procedimientos, de Septiembre de 1982. Otro indicativo del amplio interés de este campo de estimación y análisis de espectros son las publicaciones de libros de textos por Gardner (1 987), Kay (1987), y Marple (1 987) y el texto de la IEEE editado por Childers (1978) y Kesler (1986).
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Apéndice A Listado del Programa por el
método de Bartlett.
Program PeriodogramasPromediados;
{ Este programa estima un espectro de una señal por el método propuesto por Bartlett } { periodogramas no traslapado, este se lleva a cabo particionando la } { seaal de entrada para aplicar la transformada discreta de fourier 1 { a cada intervalo y despues promediarla para obtener un espectro de } { mas resolucien }
{$I Float.Inc} uses Crt, Dos;
CONST max-real = 1E16; max-long = 80; BELL = 7; lmax = 1024;
TYPE arreglo = ARRAY[ 1. .Imax] OF Real; cadena = STRING[max-long];
VAR archivo 1 : cadena; arch1 ,AE¿CH,arch3 : text; NMPD . tamarch. contr2. numues, zui, zut, zur, zuc, mn, nip: INTEGER; hallado,MüE S : boolean; contrl,esc,x: real; preal,pimag,sumreal,sumimag,promed,promfh:arreglo;
{El siguiente procedimiento calcula la FFT de una lista que ha sido} {guardada previamente en un archivo denominado datosdat, el calculo} {puede ser cualquier cantidad de numeros que sean potencia de dos} {debe notarse que tiene varios procedimientos y funciones anidadas}
PROCEDURE FFTVl (var preal:arreglo;var pimag:arreglo);
VAR n, nu : Integer; mag, fase. fnci : arreglo;
{ Representa la potencia de 2 (2 a la nu) }
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adios : Boolean;
FUNCTION Potencia(base : Real; exponente : Real) : Real;
BEGIN { Potencia }
END; { Potencia } potencia:=EXP(exponente*LN(base))
PROCEDURE Lectura(VAR i : Integer; VAR adios : Boolean);
VAR archivo : cadena; arch : Text: datos : Real; pot : Integer; tecla : Char;
FUNCTION Pot-Dos (m : Integer) : Boolean;
{ Entrega un valor verdadero si el numero m es potencia de dos y define el valor de Nu para la FFT 1
BEGIN { Pot-Dos } nu:=O; WHILE (m>l) and ((m MOD 2)=0) DO
BEGIN nu:=SUCC(nu); m:=m DIV 2
END: IF (m=l)
THEN pot-dos:=true ELSE pot-dos:=false
END: { Pot-Dos }
BEGIN { Lectura } C 1 r S c r : adios := false; GotoXY(20,lO); ASSIGN(arch,'c:datos.dat'); {$I-} Reset (arch) {$I+};
i:=O; gotoxy(20,15); While (not Eof(arch)) Do BEGIN
i:=i+ 1: Readln( arch, datos) ; f n c i l i ] := datos; END:
Close(arch); IF (not Pot-dos(i)) THEN
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BEGIN gotoxy(20,15); Writeln('E1 valor de i es : ' j ) ; gotoxy(20,17); Write('Su archivo no es potencia de dos');
Write('se tomara el numero maximo de potencia de dos');
Write('Presi0ne cualquier tecla para continuar'); Repeat
Until (tecla <> 'I);
pot:=TRUNC(in(i)/in(2)); i:=TRUNC(potencia(2,pot))
END
gotoxy(20,18);
gotoxy(20,20);
tecla := Readkey;
END; { Lectura }
PROCEDURE FFT(VAR n,nu : Integer; VAR xrea1,ximag : arreglo);
{ Encuentra la Transformada Rapida de Fourier }
VAR 1. k, waste, P, N2. Nul.
i,a.
{ Parametro del arreglo 1 aconsiderar } { indice del arreglo (arriba hacia abajo) }
{ Auxiliar de la potencia de W } { Valor potenica de W (W a la p ) } { Espaciamiento de los nodos duales } { Commiento a la derecha en el
calculo del parametro p } { Contador que monitorea el numero de
pares de nodos duales que han sido considerados 1
kl.kln2 : Integer; { Variables auxiliares } arg, { Argumento del seno y del coseno } c.s, { Valores del coseno y del seno } trea1,timag : Real; { Variables temporales en la
transferencia de la parte real y parte imaginaria }
FUNCTION ibitr(j,nu : 1nteger):Integer;
{ Funcion invertidora de bits }
VAR j Li$, temp : Integer:
{ Variables auxiliares } { Variable temporal }
BEGIN { ibitr } jl:=j: temp:=O; FOR i:=l TO nu DO
BEGIN
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j2:=jl DIV 2; temp:=temp*2+01-2*j2); jl:=j2 END;
ibitr:=temp END; { Ibitr }
BEGIN { FFT } n2:=n DIV 2: nu 1 :=nu- 1 ; k:=O: 1:=0: REPEAT
l:=l+l: REPEAT
i:=O; REPEAT
i:=i+l; waste:=k DIV TRUNC(potencia(2,nu 1)); p: =ibitr(waste,nu); arg:=2*pi*p/n; c:=COS(arg);
k 1 :=k+ 1; k ln2:=kl+n2; treal:=xreal[kln2] *c+ximag@ 11121 *s; tiinag :=ximag[k 11121 *c-xreal[kl n2] *s; xreal[k 11121 :=xreal[kl]-treal; ximag[kln2] :=ximag[kl]-timag; xreal[k l]:=xreal[kl]+treal; xiinag[kl]:=ximag[kl]+timag; k:=k+l
Until (i=n2); k:=k+n2;
Until (k>=n): k:=O: nul :=nul - 1; n2:=n2 DIV 2;
s:=SrN(arg);
Until (l=nu); k:=O: REPEAT
k:=k+l: i:=ibitr(k-l,nu)+l; IF (i>k) THEN BEGIN
treal : =xreal [k] ; timag:=ximag[k] ; xreal[k] :=xreal[i]; ximag[k] :=ximag[i] ; xreai[i] :=treal; ximag[ i] : =timag
END Until (k=n); clrscr:
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END; { FFT }
PROCEDURE Calculo-FFT(n : Integer);
VAR i : Integer:
BEGIN { Calculo-FFT } preal :=fnci; FOR i:=l TO n DO
FFT(n,nu,preal,pimag) END: { Calculo-FFT }
pimag[i] :=O;
BEGIN {PROCEDURE FFTVl } Lectura(n, adios); IF (not adios)
THEN BEGIN Calculo-FFT(n);
END: END:
PROCEDURE PRESENTACION;
var r.s: integer;
BEGIN clrscr: FOR r:=l TO 65 DO
gotoxy(r+7,5); write('*'); gotoxy(r+7,20): write('*');
gotoxy( 10,lO); write('Este programa estima el espectro dada una lista de dmeros'); gotow( 10,12); write(' gotoxy( 10.14): write(' Usted ingresara el archivo que va a ser leido y el tamano'); gotoxy( 10,16); write(' de cada intervalo al que se le aplicara la FFT '); delay(5000);
BEGIN
END:
Por el m,todo de Periodogramas no traslapados');
61
end:
BEGIN presentacion; clrscr; hallado:=true; gotoxy( 15,lO); write('Escriba c. nombre del archivo a procesar: I);
readln(archiv0 I); assign(arch1 ,archivo 1);
IF (IOresult <> O) THEN {$I-} RESET(ARCH1) {$I+};
BEGIN gotoxy(20,19); write("o se encuentra ese archivo I); gotoxy(20,20); write('AD1OS I);
hallado: =false; deIay(5000); END:
IF (hallado) THEN BEGIN
gotoxy(lS,12); write('Por favor ingrese el n£mero de muestras por cada intervalo: I);
inues:=false; REPEAT readln(Numues) ; nmpd: =numues; WHILE (nmpd>l) AND ((nmpd MOD 2)=0) DO nmpd:=nmpd DIV 2; IF (NMPD=I) THEN BEGIN
gotoxy(l5,14); writeln('0K ES POTENCIA DE 27; mues : = true;
END ELSE BEGIN
clrscr; gotoxy( 15, IO); write('N0 E S POTENCIA DE DOS); gotoxy(l5,12); write('1ngrese nuevamente el nimero de muestras I);
END; UNTIL (MüES); goto.xy( 1S,16); write('ingrese ahora el tamaao de su archivo ');
62
readln(tamarch); contr 1 :=tamarch/numues: contr2:=tninc(contrl): gotoxy(l5,17); writeln('Se utilizaran ',contr2,' intervalos'); FOR zuc:= 1 TO numues DO (inicializa las sumatorias}
BEGIN sumreal [ zuc] :=O; sumimag[zuc] :=O: promed[zuc]:=O;
END:
BEGIN FOR zut:= 1 TO contr2 DO
assign(arch,'c:datos.dat'); rewrite(arch) : reset(arch1); FOR zul:= 1 TO numues DO { n£mero de muestras para cada particion}
{ n&mero de particiones del archivo}
BEGIN readin(arch1,X); writeln(arch,X); {para aplicarle la FFT}
{Guarda en un archvo cada ventana}
END: close(arch); FFTVl (prea1,pimag); FOR zun:= 1 TO numues DO
BEGIN sumreal [ zun] : =sumreal [ mn] + preai [zun] ; sumimag[mn] :=sumimag [zun] + pimag[zun] ;
END: clrscr: gotoxy( 15,lO): writeln('corriendo la ',zut,' particien'); END:
BEGIN FOR mr:= 1 TO numues DO
promed[ zur] : =( sqr(sumrea1 [zur]) + sqr(sumimag[zur]))/contr2 ; promfin[ zur] :=( 10) * (ln(promed[zur]));
END; assign(arch3 ,IC: salida.dat'); rewrite(arch3); FOR zup:=l TO numues DO
BEGIN esc:=promfn[ zup]: writeln(arch3,esc); END;
close(arch I); close(arch3);
end: END. U
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Apéndice B Listado del programa por el
método de Welch.
Program Periodogramasqromediadosmodificados;
{ Este programa estima un espectro de una señal por el m,todo llamado } { periodogramas traslapado, este se lleva a cabo particionando la } { señal de entrada para aplicar la transformada discreta de fourier } { a cada intervalo y traslaparlos al 50% y despues promediar para obtener un espectro de } { mas resolución }
{$I Float.Inc} uses Crt, Dos;
CONST inax-real = 1E16; max-long = 80; BELL = 7; lmax = 1024;
TYPE arreglo = ARRAY [ 1. .lmax] OF Real; cadena = STRING[max-long];
VAR archivo1 : cadena; arch 1 ,ARCH,arch3 ,archaw<: text; W D , tamarch,contr2,contr3 ,numues,inter 1 ,zul,zut,zur,zuc,zun,zup:INTEGER; hallado,MüES :boolean; contr 1 ,esc,x,inter: real; preal, pimag,sumreal, sumimag,promed,promfin: arreglo;
{El siguiente procedimiento calcula la FFT de una lista que ha sido} {guardada previamente en un archivo denominado datos.dat, el calculo} {puede ser cualquier cantidad de numeros que sean potencia de dos} {debe notarse que tiene varios procedimientos y funciones anidadas}
PROCEDURE FFTVl(var prea1:arreglo;var pimagarreglo);
VAR n, nu : Integer; mag, fase. fnci : arreglo;
{ Representa la potencia de 2 (2 a la nu) }
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adios : Boolean;
FUNCTION Potenciapase : Real; exponente : Real) : Real;
BEGIN { Potencia }
END; { Potencia } potencia:=EXP(exponente*LN(base))
PROCEDURE Lectura(VAR i : Integer; VAR adios : Boolean);
VAR archivo : cadena; arch : Text; datos : Real; pot : Integer; tecla : Char;
FUNCTION Pot-Dos (m : Integer) : Boolean;
{ Entrega un valor verdadero si el numero m es potencia de dos y define el valor de Nu para la FFT 1
BEGIN { Pot-Dos } nu:=O; WHILE (m’l) and ((m MOD 2)=0) DO
BEGIN nu: = SUCC( nu); m:=m DIV 2
END; IF (m=l)
THEN pot-dos:=tme ELSE pot-dos:=false
END: { Pot-Dos }
BEGIN { Lectura } ClrScr; adios := false; GotoXY(20,lO); ASSIGN( arch, ‘c : datos 1 . dat’) ; {$I-) Reset (arch) {$I+};
,:=O. gotoxy(20,15); While (not Eof(arch)) Do BEGIN i:=i+l; Readln(arch,datos); fnci[i] := datos;
END: Close(arch); IF (not Pot-dos(i))
THEN
66
BEGIN
Writeln('E1 valor de i es : ',i); gotoxy(20,17); Write('Su archivo no es potencia de dos');
Write('se tomara el numero maximo de potencia de dos');
Write('Presione cualquier tecla para continuar'); Repeat
Until (tecla o 'I); pot:=TRUNC(ln(i)/ln(2)); i : =TRUNC(potencia(2,pot))
END
gotoxy(20,lS);
gotoxy(20,lS);
gotoxy(20,20);
tecla := Readkey;
END; { Lectura }
PROCEDURE FFT(VAR n,nu : Integer; VAR xreal,ximag : arreglo);
{ Encuentra la Transformada Rapida de Fourier }
VAR 1. k, waste, P, N2, Nu l ,
i.a,
{ Parametro del arreglo 1 aconsiderar } { indice del arreglo (arriba hacia abajo) }
{ Auxiliar de la potencia de W } { Valor potenica de W (W a la p ) } { Espaciamiento de los nodos duales } { Corrimiento a la derecha en el
calculo del parametro p } { Contador que monitorea el numero de
pares de nodos duales que han sido considerados 1
kl,kln2 : Integer; { Variables auxiliares } arg. { Argumento del seno y del coseno } c,s, { Valores del coseno y del seno } trea1,timag : Real; { Variables temporales en la
transferencia de la parte real y parte imaginaria }
FUNCTION ibitr(j,nu : 1nteger):Integer;
{ Funcion invertidora de bits }
VAR jl.i,j2, { Variables auxiliares } temp : Integer; { Variable temporal 1
BEGIN { Ibitr } jl:=j; temp:=0; FOR i:=l TO nu DO
BEGIN
67
j2:=jl DIV 2; temp:=temp*2+(j 1 -2*j2); j 1 :=j2 END;
ibitr:=temp END: { Ibitr }
BEGIN { FFT } n2:=n DIV 2; nul :=nu- 1 ; k:=O: ]:=O; REPEAT
1:=1+1;
i:=O; REPEAT
i:=i+l; waste:=k DIV TRUNC(potencia(2,nul)); p:=ibitr(waste,nu); arg:=2*pi*p/n; c : =COS(arg) ; s:=SIN(arg); kl:=k+l; k 1 n2:=k l+n2; treal : =xreal[k 1 n2] *c+ximag [kl n2] *s; tiinag:=ximag[kln2]*~-xreal[kln2] *s; xreal [k 1 n2] :=xreai[k 11-treai; xiinag[k 1 n2] :=ximag[k 11-timag; xreal [k 1 ] : =xreal [k 1 ] +treal ; ximagrk 11 : =ximag [k 1 ] +timag; k:=k+l
Until (i=n2); k: =k+n2;
Until (k>=n); k:=O: nu 1 :=nu 1 - 1 ; n2:=n2 DIV 2;
REPEAT
Until (i=nu); k:=O; REPEAT
k:=k+ 1; i:=ibitr(k-l,nu)+l; IF (i>k)
THEN BEGIN treal: =xreai [k] ; timag:=ximag[k] ; xreal[k] :=xreal[i]; ximag [k] : =ximag[ i] ; sreal[i]:=treal; ximag[i] :=timag
END Until (k=n); clrscr:
68
END; { FFT }
PROCEDURE Calculo-FFT(n : Integer);
VAR i : Integer:
BEGIN { C a l c u l o j T } preal:=fnci; FOR i:=l TO n DO
FFT(n,nu,preal,pimag) END: { CalculoFFT }
pimag [i] :=O;
BEGIN {PROCEDURE FFTVl } Lectura(n, adios); IF (not adios)
THEN BEGIN CalculoFFT(n);
END; END;
PROCEDURE PRESENTACION;
var r,s: integer.
BEGIN clrscr: FOR r:=l TO 65 DO
gotoxy(r+7,5); write('*'); gotoxy(r+7,20); write('*');
BEGIN
END: gotoxy( 10,lO); write('Este programa estima el espectro dada una lista de n&meros'); gotoxy( 10.12); write(' Por el m, todo de Periodogramas traslapados'); gotoxy( lo. 14); write(' Usted ingresara el archivo que va a ser leido y el tamano'); gotoxy( 10,16); write(' de cada intervalo al que se le aplicara la FFT I);
delay(S000);
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end:
BEGIN presentacion; clrscr; hallado: =true; gotoxy(l5,lO); write('Escriba el nombre del archivo a procesar: I);
readln(archiv0 I); assign(arch 1 ,archivo 1); assign(archaux,archivo 1);
IF (IOresult <> O) THEN ($1-1 RESET(ARCH1) {$I+};
BEGIN gotoxy(20,19); write('No se encuentra ese archivo '); gotoxy(20,20); write('AD1OS I);
hallado: =false; delay(5000):
END:
IF (hallado) THEN
gotoxy( 15,12); wríte('Por favor ingrese el nEmero de muestras por cada intervalo: I) ;
mues: =false; REPEAT readln(Numues); nmpd:=numues; WHILE (nmpd>l) AND ((nmpd MOD 2)=0) DO nmpd:=nmpd DIV 2; IF (NMPD=l) THEN
BEGIN
BEGIN gotoxy(l5,14); writeln('0K ES POTENCIA DE 2'); mues : =true;
END ELSE
BEGIN clrscr; gotoxy( 15,lO); write('N0 ES POTENCIA DE DOS'); gotoxy( 15,12); write('1ngrese nuevamente el n£mero de muestras ');
END; UNTIL (MUES); gotoxy(l5,16);
70
writecingrese ahora el tamano de su archivo I); readln(tamarch) ; contrl :=tamarch/numues; contr2:=tmnc(contrl); contr3:=contr2 - 1; gotoxy(l5,17); writeln('Se utilizaran ',contr3 ,' intervalos'); FOR zuc:= 1 TO numues DO { inicializa las sumatorias}
BEGIN sumreal[zuc] :=O; sumimag[zuc]:=O; promed[zuc] :=O;
END:
{primer bucle que realiza la FFT del primer intervalo que se traslapa}
assign(arch,'c:datos 1 .dat'); rewrite(arch); reset(arch I) ; reset(archaux); for zut:=1 to numues do begin readln(arch1 ,x); writeln(arch,x); end;
close(arch); FFTV l(prea1,pimag); for zut:= 1 to numues do begin sumreal[ zut] : =preal [nit] ; sumimag [ zut] : =pimag[ zut] ;
end:
{los primeros valores de la sumatoria} {son los valores de este intervalo}
{ el siguiente ciclo coloca el segundo apuntador en la posicién } { donde se ira traslapando }
inter:=numues/2; inter 1 :=trunc(inter); for zut:= 1 to inter1 do readln(archaux,x);
{ los siguientes ciclos calcularan la fft de los intervalos, } { arch1 evaluara los normales y archaux los que se traslapan }
for zuc:= 1 to contr3 do begin assign(arch,'c:datos 1 .dat'); rewrite(arch); for zur:= 1 to numues do BEGIN readln( archaux, x) ; writeln(arch,x);
END;
{TRASLAPADOS}
71
close(arch); writeln(contr3 ,' traslapado'); FFTVl (prea1,pimag); for zur:= 1 to numues do begin sumreal[zur] :=sumreal[zur] + preal[zur]; sumimag[zur] :=sumimag[zur] + pimag[mr] ;
end; assign(arch,'c:datos 1 .dato); rewrite(arch); for zur:= 1 to numues do begin readln(arch 1 ,x); writeln(arch,x); end;
close(arch); writeln(contr3 ,' no traslapados'); FFTV 1 (prea1,pimag); for zur:= 1 to numues do begin sumreal[zur]:=sumreal[zur] + preal[zur]; sumimag[zur] :=sumreal[zur] + pimag[mr];
end:
{INGRESO A LA SUMA}
{NO TRASLAPADOS}
{INGRESO A LA SUMA}
end:
{ Los siguientes enunciados sacaran el arreglo final como resultado }
for zun:= 1 to numues do begin promed[ zun] : = 1 O*ln(( sqr(sumreal [ mn])+sqr(sumimag[mn]))/97);
end; assign(arch3 ,IC: salida1 .dat'); rewrite(arch3); for zup:= 1 to numues do begin esc: =promed[ zup] ; writeln(arch3,esc); end; close(arch 1); close( archaux); close(arch3); end; end.
n
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