ecuac2

Contents ofS. Novo, R. Obaya y J. Rojo

Ecuaciones y sistemas diferencialesEditorial McGraw-Hill, Madrid, 1995 539 pp.

1

Ecuaciones y sistemas diferenciales

Sylvia NOVO Rafael OBAYA Jess ROJO u

Doctores en Matemticas a Departamento de Matemtica Aplicada a E.T.S. de Ingenieros Industriales de Valladolid


Ecuaciones y sistemas diferenciales

MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MEXICO NUEVA YORK PANAMA SAN JUAN SANTAFE DE BOGOTA SANTIAGO SAO PAULOAUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILAN MONTREAL NUEVA DELHI PARIS SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TOKIO TORONTO

McGraw-Hill

AMS Subject Classi cations: 34 y 35

Clasi cacin Decimal: 517.9 o


Departamento de Matemtica Aplicada a E.T.S. de Ingenieros Industriales Paseo del Cauce, s n 47011 VALLADOLID , Espa~a n

~ McGRAW-HILL INTERAMERICANA DE ESPANA, S.A.Edi cio Valrealty, 1a planta Basauri, 17 28023 ARAVACA Madrid

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ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES

c DERECHOS RESERVADOS 1995 McGRAW-HILL INTERAMERICANA ~ DE ESPANA, S.A. I S B N 84 481 XXXX X Depsito Legal: M-XXXXX 1995 oa Composicin: TEX -L TEX , realizada por los propios autores o Editora: Isabel Capella Gra smo: Flix Pi~uela. Gra smo electrnico ????????????????? e n o Impreso en: Fernndez Ciudad, S.L. ??????????????????????????? a

~ IMPRESO EN ESPANA - PRINTED IN SPAIN

ContenidoContenido Prlogo. o Notas para el lector. 1 Introduccin. o v ix xi 1

1.1 Ecuaciones diferenciales y soluciones. : : : : : : : : : : : : : 1.1.20 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1.2 Resultados sencillos para ecuaciones sencillas. : : : : : : : : 1.2.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1.3 Signi cado geomtrico de y = f t; y . : : : : : : : : : : : : e 1.3.4 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1.4 Crecimiento exponencial y crecimiento logstico. : : : : : : : 1.4.7 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1.5 Un ejemplo de linealizacin de una ecuacin de segundo orden. o o 1.5.5 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0

1 12 12 16 16 20 21 27 28 35

2 La ecuacin escalar lineal de primer orden. o

2.1 La ecuacin escalar lineal de primer orden. : : : : : : : o 2.1.8 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.2 Cambios de variable. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.2.15 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.3 Ecuaciones que se reducen a la lineal de primer orden. 2.3.10 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.1 Ecuaciones exactas. : 3.1.19 Ejercicios. : : 3.2 Factores integrantes.

37: : : : : : : : : : : : : : : : : :

37 41 42 49 51 55 60 68 69

3 Cuadraturas para la resolucin de las ecuaciones escalares o de primer orden. 59: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

v

vi

Contenido

3.2.10 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.3 Algunos factores integrantes. : : : : : : : : : : : : 3.3.8 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.4 Factor integrante para las ecuaciones homogneas. e 3.4.5 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.5 Modelos con ecuaciones de primer orden. : : : : : : 3.5.4 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

73 74 77 80 82 83 87 94 99 101 107 108 116 118 129 131 148 152 166 167 175 178 182 183 186 186 191 192 196 197 210 212 214

4 Existencia. Unicidad de soluciones. Dependencia respecto de las condiciones iniciales y los parmetros. a 934.1 Normas vectoriales y normas matriciales. : : : : : : : : : : 4.1.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.2 El espacio de las funciones continuas. : : : : : : : : : : : : : 4.2.10 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.3 Un teorema local de existencia de soluciones. : : : : : : : : 4.3.10 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.4 Un teorema local de existencia y unicidad de soluciones. : : 4.4.20 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.5 Teoremas globales de existencia y unicidad. : : : : : : : : : 4.5.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.6 Dependencia continua respecto de parmetros y condiciones a iniciales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.6.17 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.7 Derivabilidad respecto de condiciones iniciales y parmetros. a 4.7.10 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

5 Ecuaciones de primer orden no resueltas respecto de la derivada. 1775.1 Planteamiento del problema; algunos ejemplos. : : : : : : : 5.1.6 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.2 Un teorema de existencia y unicidad local. : : : : : : : : : : 5.2.6 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.3 El p-discriminante. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.3.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.4 La envolvente de una familia de curvas y el c-discriminante. 5.4.13 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.5 Mtodos de resolucin de algunos tipos simples de ecuaciones e o no resueltas respecto de la derivada. : : : : : : : : : : : : : 5.5.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.6 Las ecuaciones de Lagrange y de Clairaut. : : : : : : : : : : 5.6.5 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Contenido

vii

6 Ecuaciones y sistemas lineales.

6.1 Un teorema de existencia y unicidad. : : : : : : : : 6.1.9 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.2 Soluciones de un sistema lineal homogneo. : : : : e 6.2.22 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.3 Soluciones de un sistema no homogneo. : : : : : : e 6.3.8 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.4 Soluciones de la ecuacin lineal homognea. : : : : o e 6.4.28 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.5 La ecuacin lineal no homognea. : : : : : : : : : : o e 6.5.9 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.6 La funcin de Green para el problema de Cauchy. : o 6.6.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

217: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

217 221 222 234 235 239 240 253 256 260 260 270

7 Mtodos de resolucin de ecuaciones y sistemas lineales. 273 e o

7.1 La exponencial de una matriz. : : : : : : : : : : : : : : : : : 273 7.1.6 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 276 7.2 Sistemas lineales con coe cientes constantes. : : : : : : : : 277 7.2.25 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 294 7.3 Soluciones asociadas a los valores propios. : : : : : : : : : : 297 7.3.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 304 7.4 Sistemas lineales no homogneos de coe cientes constantes. 305 e 7.4.13 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 312 7.5 Ecuaciones lineales con coe cientes constantes. : : : : : : : 315 7.5.9 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 319 7.6 Ecuaciones lineales no homogneas de coe cientes constantes. 320 e 7.6.7 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 323 7.7 El mtodo operacional. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 326 e 7.7.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 338 7.8 El mtodo de aniquilacin. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 340 e o 7.8.9 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 343 7.9 La ecuacin de Euler. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 344 o 7.9.5 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 347 8.1 La teora de Floquet. : 8.1.20 Ejercicios. : : : 8.2 Algunos ejemplos. : : 8.2.6 Ejercicios. : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

8 Sistemas y ecuaciones lineales de coe cientes peridicos. 349 o

349 361 366 371

viii

Contenido

9 La ecuacin adjunta. Teora de Sturm. o

9.1 La ecuacin adjunta. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : o 9.1.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9.2 Ecuaciones reales autoadjuntas de segundo orden. : : : : : : 9.2.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9.3 La teora de Sturm para la ecuacin lineal real autoadjunta o pt y + q t y = 0. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9.3.18 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9.4 Ejemplo: la ecuacin de Bessel. : : : : : : : : : : : : : : : : o 9.4.2 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0 0

375

376 387 388 393

395 405 408 411

10 Problemas lineales regulares de contorno.

10.1 Ejemplo: La cuerda vibrante. : : : : : : : : : : : : 10.1.2 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.2 Problemas lineales regulares de contorno. : : : : : 10.2.22Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.3 La funcin de Green para el problema de contorno. o 10.3.14Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.4 El problema adjunto; problemas autoadjuntos. : : : 10.4.23Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.5 Problemas de autovalores. : : : : : : : : : : : : : : 10.5.22Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.6 Desarrollo en serie de autofunciones. : : : : : : : : 10.6.9 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.7 Problemas de autovalores de Sturm-Liouville. : : : 10.7.8 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.8 Separacin de variables. : : : : : : : : : : : : : : : o 10.8.15Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

413: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

414 417 418 428 429 443 447 460 463 483 484 491 493 501 503 519

Libros cuya lectura se recomienda. Lista de Figuras Lista de Tablas ndice I

525 529 531 533

Prlogo. oEl texto del libro forma parte de un curso de Ecuaciones diferenciales que se ha venido impartiendo en la E.T.S. de Ingenieros Industriales de Valladolid. Sin embargo, no abordamos problemas singulares de contorno, funciones especiales, teora de estabilidad, clculo de variaciones, sistemas autnomos a o y mtodos numricos, que incluiremos en un volumen posterior. Algunos e e captulos se han extendido algo ms de lo que se hace habitualmente en a nuestras clases, procurando que el libro pueda ser util al mayor nmero u posible de lectores. En este sentido, a pesar de estar dirigido a alumnos de Escuelas Tcnicas, el libro puede ser util a los alumnos de las Facultades e de Ciencias. El libro est pensado para facilitar la comprensin, por parte del aluma o no, de las tcnicas bsicas de ecuaciones diferenciales. Por ello se incluyen e a numerosos ejemplos y se detallan cuidadosamente la mayora de las demos traciones. Omitimos algunas de las que presentan mayor di cultad, o que se basan en resultados que no forman parte de un curso bsico de Algea bra lineal y de Clculo, que son las materias que se suponen conocidas de a antemano. Los autores agradecen cuantas sugerencias les sean enviadas con objeto de mejorar el texto. Toda correspondencia con los autores puede dirigirse bien a McGraw-Hill, bien directamente a la E.T.S. de Ingenieros Industriales de Valladolid. No queremos terminar sin agradecer los desvelos de la editorial McGrawHill en la promocin y cuidado de este libro y, en particular, la preocupacin o o de Isabel Capella, Editora de la Divisin Universitaria. A todos cuantos de o alguna manera han participado en la confeccin del libro, gracias. o Valladolid, abril de 1995

Los Autores

ix

x

Prlogo o

Notas para el lector.El libro se estructura en captulos del 1 al 10; cada captulo, en secciones que llevan asignados dos nmeros, el primero de los cuales es el del captulo u al que pertenecen; una seccin se divide en apartados; de los tres nmeros o u que asignamos a cada apartado, los dos primeros son los de la seccin en o la que se encuadra. El ultimo apartado de cada seccin se reserva a los ejercicios. El ejercicio o 3.1.19.4 es el cuarto ejercicio del apartado 3.1.19, o, si se pre ere, de la seccin 3.1. o Las citas del tipo vase 9.3.14 o v. 9.3.14 se re eren a resultados ane teriores que se utilizan en el texto. Se usan preferentemente cuando los resultados a que se re eren son algo lejanos. El nmero de citas disminuye u a medida que avanza el texto ya que, poco a poco, el lector ir conservando a en la memoria los resultados ms importantes. a Los resultados que aparecen enmarcados por dos lneas llevan delante el t N, COROLARIO o LEMA; todos ellos tulo de TEOREMA, PROPOSICIO son teoremas. La razn por la que les asignamos diferentes ttulos es dar o una idea de su importancia y de su utilidad. En general hemos reservado el nombre de teorema para los que consideramos ms importantes. Un coroa lario es un teorema que es consecuencia inmediata de otro que le precede. Un lema es un teorema cuya importancia reside, ms que en s mismo, en a su utilizacin para probar un resultado que sigue a continuacin. o o La mayor parte de los resultados no aparecen enmarcados. Esto se debe en muchos casos a que nos ha parecido util mezclar el enunciado con algunos comentarios, por lo que no se prestan tan claramente a separar enunciado, demostracin y comentarios. o Aparecen diferentes smbolos para enumerar los catlogos de propiedades; a lo ms frecuente ser encontrar a, b, c, etc. Los listados con i, ii, a a iii, etc. son siempre de propiedades equivalentes entre s. xi

xii

Notas para el lector

Algunos ejercicios slo poseen inters cuando se realizan inmediatamente o e a continuacin de la teora que los precede, porque sirven para mejorar la o comprensin de ciertos temas. Si se dejan para ms tarde pueden haber o a perdido buena parte de su inters; en ocasiones forman parte incluso de la e exposicin terica posterior. o o Las notaciones que aparecen en los ejercicios y que no se explican, son las que se han de nido en la teora. Adems del texto y los ejercicios, este libro posee varias secciones que el a lector debe acostumbrarse a utilizar, ya que le resultarn utiles. Hay dos a ndices y una lista comentada de libros cuya lectura se recomienda.

Captulo 4

Existencia. Unicidad de soluciones. Dependencia respecto de las condiciones iniciales y los parmetros. aHemos visto en los captulos anteriores mtodos de integracin por cuadraturas e o para los modelos ms sencillos. Tambin hemos visto ecuaciones que no tienen a e por soluciones a funciones elementales lo que no quiere decir que estas ecuaciones carezcan de solucin. o La existencia de soluciones es justamente lo que vamos a comprobar en este captulo. En las dos primeras secciones nos dedicamos a introducir conceptos que sern utilizados ms adelante. A continuacin, jamos condiciones muy generales a a o en las que una ecuacin diferencial tiene solucin y en las que un problema de o o Cauchy tiene solucin unica. Todo esto es lo que ocupar nuestras secciones 4.3 o a y 4.4. En la seccin 4.5, estudiamos las caractersticas de los intervalos en que estn o a de nidas estas soluciones. Posteriormente, en las secciones 4.6 y 4.7, discutimos cmo afectan a las soluciones peque~os cambios en la formulacin de la ecuacin. o n o o Los mtodos que vamos a estudiar no son constructivos, es decir, no permie ten obtener en las aplicaciones la frmula de la solucin. Sin embargo, jamos o o unas bases slidas que soportan la teora de los captulos siguientes. Es ms, las o a teoras cualitativas o las numricas intentan deducir propiedades de una solucin e o desconocida, pero que se sabe que existe. Este tema tiene mayor di cultad que los precedentes, y el lector lo comprobar desde su primera tentativa de lectura. Hemos procurado detallar cuantas a demostraciones hemos incluido, y eliminar alguna de las demostraciones ms tca e nicas, siempre con el nimo de mantener el libro en un intervalo de di cultad no a demasiado alto. Para estudiar este mismo tema, y, en particular, las demostraciones que no hacemos, podemos recomendar al lector los textos de GUZMAN captulos 3 y 4 y MARTNEZ SANZ captulos I, II, III y IV . I

93

94

4. Existencia de soluciones

Tambin conviene aconsejar el libro de e GARBAYO captulo 3 , dirigido especialmente a las Escuelas Tcnicas. Finalmente, hay que recordar los e textos de CODDINGTON LEVINSON captulos 1 y 2, HARTMANN captulos 2, 3 y 5 , y HALE captulo 1, que abordan nuestro tema y, adems, estudian otros aspectos conceptuales de la a teora de ecuaciones diferenciales ordinarias.

4.1 Normas vectoriales y normas matriciales.

4.1.1 Vamos a considerar ecuaciones vectoriales sistemas cuyas solu-

ciones toman valores en IRn o Cn . Tambin vamos a trabajar con funcioe nes que pertenecen a espacios vectoriales de dimensin in nita. En ambos o casos, necesitamos suplir lo que signi ca el mdulo de un nmero real o o u complejo por otra idea similar que sirva para medir el tama~o de los vecton res y nos permita considerar distancias. El instrumento que se emplea con este objeto es generalmente la norma. un espacio vectorial E sobre IK IR o C es una aplicacin de E en IR que o enva cada vector, x, a un nmero real, generalmente denotado por kxk, u de manera que se veri quen las propiedades siguientes 8x 2 E kxk 0 ; kxk = 0 si y slo si x = 0 ; o 4.1 8x 2 E 8 2 IK kxk = jj kxk ; 8x; y 2 E kx + yk kxk + kyk desigualdad triangular:

4.1.2 Norma en un espacio vectorial. Recordemos que una norma en

4.1.3 De la desigualdad triangular se deduce inmediatamente la relacin o kx , yk j kxk , kyk j : En efecto, aplicando la desigualdad triangular a los vectores x , y e y se tiene que kxk = kx , y + yk kx , yk + kyk, de donde kxk , kyk kx , yk. Anlogamente, aplicando lo mismo a y , x y a x se obtiene que a kyk, kxk kx , yk. Finalmente, la desigualdad del enunciado se sigue delas dos desigualdades probadas.

4.1. Normas vectoriales y normas matriciales

95

a usar, IRn y Cn , existe una in nidad de normas diferentes. Veamos cua les son las ms usuales. En primer lugar est la norma que proviene del a a producto escalar usual xjy = x1 y1 + x2 y2 + xn yn ; esta norma se denota por k k2 y vale

4.1.4 En lo que se re ere a los espacios de dimensin nita que vamos o

kxk = jx j + jx j + + jxnj = ;2 1 2 2 2 2 1 2

recibe el nombre de norma eucldea. Tambin son muy utilizadas las dos e normas siguientes:

kxk = jx j + jx j + + jxnj ; kxk1 = maxjx j; jx j; : : :; jxnj : De manera ms general, si p 1 es un nmero real superior a 1, se a u de ne la norma `p' como kxkp = jx jp + jx jp + + jxnjp =p : Las normas k k y k k son casos particulares de esta norma. La norma1 1 2 1 2 1 2 1 1 2X2 1

-1

1

X1

-1

Figura 4.1: La esfera unidad de IR , kxkp = 1, para varios valores de p de dentro hacia fuera p = 1; 3=2; 2; 4 y 1, respectivamente.2

kxk1 se obtiene para cada vector x como el limp!1 kxkp de ah el smbolo

con que se denota. La gura 4.1 representa la esfera unidad de IR2 , o sea, el conjunto fx j kxkp = 1g, para varios valores de p.

96


4.1.5 TEOREMA equivalencia de las normasEn IRn o Cn o, ms generalmente, en cualquier espacio de a dimensin nita dos normas cualesquiera, k k y k k0 son equio valentes. O sea, existen constantes positivas, y , tales que

kxk kxk0 y kxk0 kxk para todo vector x del espacio. Las constantes independientes del vector x.

y

son

Vamos a probar, en primer lugar, que una norma cualquiera, k k, y la norma k k2 son equivalentes. Denotemos por e1 ; e2; : : :; en la base cano n , y sea x = x1 ; x2; : : :; xn un vector cualquiera de IKn . Utinica de IK lizando la desigualdad de Schwarz para P vectores jx1j; jx2j; : : :; jxn j y los ke1k; ke2k; : : :; kenk, y llamando = keik2 1=2, obtenemos

kxk =

n X i=1

xi ei

n X i=1

jxij keik

X ni=1

jxij

2

!=

1 2

= kxk2 ;

con esto se obtiene la primera desigualdad. Para la segunda, consideremos la esfera unidad, S = fx j kxk2 = 1g, que es un conjunto compacto de IKn para la norma k k2, y la funcin x ! kxk o de IKn en IR; como

j kxk , kyk j kx , yk kx , yk ; resulta que dicha funcin es continua para la norma k k , y alcanza su o mximo y mnimo sobre el conjunto compacto S ; dado que 0 62 S , el mnimo a ser algn nmero r 0; por lo tanto, a u u 8x 2 S kxk r : Finalmente, si x es un vector arbitrario de IKn , entonces x=kxk es un vector de S , y se tiene x x kxk = kxk kxk = kxk kxk rkxk ;2 2 2 2 2 2 2 2

luego,

1 kxk r kxk ;2


97

y se obtiene la segunda desigualdad con = 1=r. As queda probada la equivalencia de cualquier norma con la norma k k2 . Si ahora k k0 es otra norma y veri ca kxk0 0kxk2 y kxk2 0kxk0 ; resultar que a y que

kxk kxk 2 2

0 kxk0

lo que termina la demostracin para IKn . Si se desea probar el resultado o para un espacio arbitrario, E , de dimensin n, lo ms sencillo es tomar una o a base a1 ; : : :; an de E y considerar el isomor smo f x1; : : :; xn = x1 a1 + + xnan de IKn en E . Si k kE y k k0E son dos normas de E y de nimos, para x 2 IKn , kxk = kf xkE y kxk0 = kf xk0E , obtenemos dos normas en IKn de las que ya sabemos que son equivalentes. Pues bien, ahora es inmediato que, para ambas normas de E , sirven las mismas desigualdades que existen entre las correspondientes normas de IKn .

kxk0 0kxk

0

kxk ;

4.1.6 Por ejemplo, para las normas consideradas en 4.1.4, pueden servir las constantes kxk1 n1=2kxk2 y kxk2 kxk1 ; kxk1 kxk2 y kxk2 n1=2kxk1 ; kxk1 kxk1 y kxk1 nkxk1 ; que, adems, son las constantes ms peque~as que hacen ciertas las desia a n gualdades v. el ejercicio 2.utilizados con cualquier otra norma. As, por ejemplo, para x; xk 2 IKn , se de ne generalmente como

4.1.7 El resultado anterior hace que los conceptos de lmite, continuidad, n o en Cn para la norma k k , puedan ser etc., que han sido de nidos en IR2

xk ! x2

Pues bien, ahora es inmediato ver que esto equivale a que kxk , xk ! 0 para no importa qu norma. En particular, kxk , xk1 ! 0 signi ca que e xk converge a x componente a componente o sea, xk;i ! xi ; i = 1; : : :; n.

kxk , xk ! 0 :

98


4.1.8 Normas vectoriales y normas matriciales. Denotemos por kxk la norma del vector x 2 IRn o Cn para alguna de las normas que consideramos en 4.1.4. Si, para una matriz cuadrada n n, A, ponemosx6=0 obtenemos una norma en el espacio de las matrices cuadradas. Pero, adems de las propiedades generales de las normas, sta veri ca las dos sia e guientes:

A kAk = sup kkxxk ; k

kABk kAkkBk ; kAxk kAkkxk ; para matrices A; B cuadradas n n y vectores x 2 IRn o Cn cualesquiera. Se sigue de la de nicin que kIn k = 1. o Es bastante sencillo comprobar que la de nicin dada para kAk resulta o

equivalente a las siguientes: kAk = sup kAxk ; kAk = sup kAxk kxk1 kxk=1 en realidad, gracias a la compacidad de la esfera unidad de IRn y de Cn y a la continuidad de la funcin x ! kAxk, las expresiones sup kAxk se o pueden sustituir por max kAxk, y tambin a la siguiente de nicin: e o kAk = inf f j 8x kAxk kxkg: cuadradas son equivalentes; al n y al cabo, el espacio de las matrices cuadradas n n no es sino IKn . Pero la desigualdad kAxk kAkkxk es cierta cuando kAxk y kxk se toman con la norma vectorial que ha servido para de nir kAk. Para la norma vectorial kxk1 = maxi=1;:::;n jxi j, la correspondiente norma matricial, que se denota por kAk1 , viene dada por2

4.1.9 Naturalmente, para distintas normas kxk de vectores resultan distintas normas kAk de matrices. Todas las normas de un espacio de matrices

j i;j j: P Anlogamente, para la norma vectorial kxk = n jxi j, la correspondiena i te norma matricial, kAk , viene dada por n X kAk = j max j i;j j: ;:::;n=1

kAk1 = i max ;:::;n

n X

j =1

1

=1

1

1

=1

i=1


99

Estas dos a rmaciones no son difciles de probar, y se proponen como ejer cicio para el lector. Ms di cil resulta precisar P al es la norma matricial kAk2 que proviene a cu de la norma eucldea kxk2 = n=1 jxi j21=2. Si, para una matriz cuadrada, i S , denotamos por S el llamado radio espectral de S , que es el mdulo o del autovalor de S con mayor valor absoluto, entonces se tiene que

kAk = AA = ;2 1 2

o sea, kAk2 es el radio espectral del producto de A por A ntese que este o 2 producto es una matriz autoadjunta y positiva, por lo que sus autovalores son reales y mayores o iguales que 0. Por esta razn, la norma kAk2 se o denomina norma espectral. Cuando la matriz A es autoadjunta simtrica e o hermtica, entonces se tiene simplemente

kAk = A :2

Tambin dejamos como ejercicio la prueba de estas a rmaciones. e

como vector de IRn o Cn y tener en cuenta que la convergencia para la norma `vectorial' k k1 equivale a la convergencia de cada componente de la matriz.2 2

4.1.10 Ya se ha dicho que todas las normas del espacio de las matrices n n son equivalentes. Por lo tanto, la expresin o Ak ! A se puede de nir sin ambiguedad diciendo que signi ca que kAk , Ak ! 0 para no importa qu norma. Ello equivale tambin a decir que Ak ! A e e componente a componente; en efecto, basta considerar cada matriz n n

4.1.11 Ejercicios.1 Prubese que, si k k es una norma en IRn o Cn y P es una matriz inversible, ereal o compleja, entonces la frmula o de ne tambin una norma. e

kxk0 = kP xk

2 Comprubese en relacin con el n e o apartado 4.1.6 que, para cada una de las desigualdades, existe un vector x 2 IK para el que se realiza la igualdad.

3 Sea A = i;j una matriz n n y = maxj ;:::;n Pn j i;j j; vamos a ver que i es justamente kAk . Para ello, prubese en primerPn que, para todo vector e lugar x, kAxk kxk . A continuacin, si k es tal que i j i;kj = , considrese o e el vector ek de la base cannica y comprubese que para este vector kek k = 1 y o e que kAek k = = kek k . Dedzcase de lo anterior que kAk = . u=1 =1 1 1 1 =1 1 1 1 1 =1 =1

100


4 Sea A = i;j una matriz n n y = maxi ;:::;n Pn j i;j j; vamos a ver j que es justamente kAk1 . Para ello, prubese en primer lugar que, para todo e P vector x, kAxk1 kxk1 . A continuacin, si k es tal que n j k;j j = , o j considrese el vector y = y ; :::; yn cuyas componentes valen yj = j k;jj= k;j si e 6 e k;j = 0 e yj = 1 si k;j = 0. Comprubese que para este vector ky k1 = 1 y que kAyk1 = kyk1. Dedzcase de lo anterior que kAk1 = . u=1 1

una matriz n n. Vamos a ver que el radio espectral A A es el cuadrado kAk de la norma espectral de A. Para ello, recordemos que A A es una matriz autoadjunta positiva y que sus autovalores son nmeros reales positivos; u supongmoslos ordenados de mayor a menor a

5 Sea A =

i;j

2 2

1 2 n 0 ;Se tiene que A A = 1 . Denotemos por a1 ; : : :; an vectores propios de A A correspondientes a dichos autovalores y formando una base ortonormal de Cn. Considerando las coordenadas de un vector x en esta base, prubese que kAxk2 e 2 1 kxk2. Prubese adems que, para el vector a1 , kAa1k2 = 1 = 1 ka1k2. e a 2 2 2 Dedzcase de lo anterior el valor de kAk2. u

6 Comprubese, recordando la relacin entre los autovalores de A y los de A , e o que, si A es una matriz autoadjunta, entonces kAk = A.2 2

7 Prubese que, si A es una matriz cuadrada, A su radio espectral y kAk euna norma de las de nidas en 4.1.8, se tiene la desigualdad A kAk :

8 Sea A =

i;j

una matriz n n y pongamos2

0 n 1= X kAkE = @ j i;j j A :1 2

i;j =1

Comprubese que el valor de kAkE coincide con el de trA A1=2 . Prubese que e e k kE as de nida es una norma en el espacio de las matrices cuadradas la norma de Schur y que, adems, veri ca las desigualdades a

kAB kE kAkE kB kE ;

4.2. El espacio de las funciones continuas

101

Prubese que, sin embargo, no puede ser ninguna de las normas de nidas con e arreglo a 4.1.8 cunto vale kIn kE ?. a

kAxk2 kAkE kxk2 :

4.2 El espacio de las funciones continuas.4.2.1 Nos vamos a interesar brevemente por el espacio C a; b ; Cn de las funciones de nidas en el intervalo nito a; b de la recta real, con llegada en el espacio Cn de los vectores n-dimensionales, y continuas en el intervalo de de nicin. Se trata de un conocido ejemplo de espacio vectorial o de dimensin in nita. Naturalmente, el lector que se sienta molesto con el o espacio de llegada, puede comenzar por considerar IRn , que le resultar ms a a 2 3 cmodo por ejemplo, IR y IR son `visibles'. o En Cn vamos a representar por kxk cualquiera de las normas de x acabamos de ver que todas son equivalentes. Vamos a dotar a C a; b ; Cn de una estructura de espacio vectorial normado. Hay muchas formas de hacer esto de dar normas sobre el espacio. Por ejemplo, se puede poner f jg = y

Zba a

f tjgt dt2 2

kf k =2

Z b

kf tk dt

!=

1 2

;

que son un producto escalar y su norma asociada. En el caso de las funciones escalares, o sea de las funciones de

C a; b ; C ;este producto vectorial y norma son f jg = y

Zba

f tg t dt2

kf k =2

Z ba

jf tj dt

!=

1 2

los utilizaremos ms adelante en este caso. a

102


Pero la norma que por ahora va a interesarnos ms es a

kf k1 = sup kf tk ;t2 a;b

4.2

donde medimos kf tk con cualquiera pero siempre la misma de las normas equivalentes de Cn . Digamos primeramente que, como toda funcin o continua en un compacto alcanza su mximo, el extremo superior existe y a se alcanza en un punto del intervalo a; b . Basndose en las propiedades a de la norma de Cn , es inmediato ver que 8f 2 C a; b ; Cn kf k1 0 ; kf k1 = 0 si y slo si f = 0 ; o n 8 2 C kf k1 = jj kf k1 ; 8f 2 C a; b ; C 8f ; g 2 C a; b ; Cn kf + gk1 kf k1 + kgk1 ; o sea, que hemos de nido efectivamente una norma. Con ella,

C a; b ; Cn es un espacio normado, luego un espacio mtrico para la distancia e

d1 f ; g = kf , gk1 :Lo que mide esta distancia es la mxima desviacin de las imgenes de a o a ambas funciones a lo largo del intervalo. En este espacio, que es de dimensin in nita, las normas no son equio valentes. El problema 1 da un ejemplo de esta a rmacin. o

4.2.2 En cuanto a lo que signi ca la convergencia en el espacio normado C a; b ; Cn, se tiene que fn converge hacia f es decir, kfn , f k ! 0 si y slo si fn t converge a f t puntualmente y adems la convergencia es o a

uniforme en a; b . Vamos a recordar dos resultados que utilizaremos sobre la convergencia en este espacio, que no es ms que, como hemos visto, la convergencia a uniforme. El primero es que toda funcin lmite uniforme de funciones o continuas es una funcin continua. o El segundo es la completitud del espacio normado y mtrico C a; b ; Cn , e o sea, toda sucesin de funciones continuas que sea uniformemente de o Cauchy, es decir, de Cauchy para la norma de C a; b ; Cn , converge hacia una funcin continua en a; b . o


103

sico que ser importante para nosotros. Su demostracin requiere dos dea o niciones que vamos a dar a continuacin. Sea fi i2I una familia un o subconjunto de C a; b ; Cn . La familia fi i2I est uniformemente acotada cuando existe una consa tante M tal que 8i 2 I 8t 2 a; b kfitk M ; que es lo mismo que poner 8i 2 I kfi k1 M : Signi ca que las funciones estn acotadas y sirve para todas la misma cota. a La familia fi i2I es equicontinua cuando para todo 0 existe tal que 8i 2 I 8t; t0 2 a; b jt , t0 j kfit , fi t0 k

4.2.3 Nos dirigimos hacia el teorema de Arzel-Ascoli, un resultado cla a

:

Ntese que esto signi ca que las fi son uniformemente continuas y que lo o son con el mismo `mdulo' de continuidad. o Por ejemplo, si la familia veri ca una propiedad como

kfit , fit0k M jt , t0j ;entonces es equicontinua, pues basta elegir = =M . Para funciones escalares continuas fi i2I , cuando la familia de las derivadas, fi0i2I , est uniformemente acotada, es decir, cuando existe una a constante M tal que 8i 2 I 8t 2 a; b jfi0 tj M ; entonces la familia fi i2I es equicontinua, ya que

jfit , fi t0j = jfi0j jt , t0j M jt , t0jy para cualquier basta tomar = =M , como acabamos de decir. Con la mayor frecuencia emplearemos estas propiedades para familias que sean sucesiones de funciones. Es lo que hacemos en los ejemplos y el teorema siguientes.

104


4.2.4 Ejemplo. La sucesin de C 0; 1 ; IR o de C 0; 1 ; C dada por ofn t = tnest uniformemente acotada por 1, pero no es equicontinua. En efecto, a tomamos = 1=2. Para arbitrario entre 0 y 1 la sucesin 1 , n tiende o a 0, luego 1 , 1 , n tiende a 1. Por lo tanto, la sucesin o jfn 1 , fn 1 , j = j1 , 1 , nj tiende hacia uno, y de un n en adelante es mayor que 1=2 nuestro . Por lo tanto, para arbitrariamente peque~o, existen n; t; t0 tales que n jfn t , fn t0j no puede ser menor que nuestro . Es decir, la sucesin no es equicontinua. o

4.2.5 Ejemplo. La sucesin de C 0; 1 ; IR o de C 0; 1 ; C dada por oes equicontinua, ya que las derivadas de las funciones son y son uniformemente acotadas. Sin embargo no est uniformemente acoa tada con cota vlida para todos los elementos de la sucesin en t = 0, a o como es prcticamente evidente. a

t fnt = n cos n

t fn t = , sen n ;

4.2.6 La aparicin `simultnea' de las dos propiedades anteriores va a o atener consecuencias importantes. Es lo que re eja el teorema siguiente, fundamental en los procesos de aproximacin de este captulo. o

4.2.7 TEOREMA Arzel-Ascoli aSea fn n2IN una sucesin de funciones de C a; b ; Cn . unio formemente acotada y equicontinua. Existe una subsucesin o n . fnj j 2IN que converge a un lmite f 2 C a; b ; C Inicialmente vamos a demostrar que existe una subsucesin que converge o puntualmente sobre los racionales de a; b . Para ello consideramos los racionales de a; b escritos en forma de sucesin ql l2IN se puede poner de esta o

4.2. El espacio de las funciones continuas1

105

manera cualquier conjunto numerable, y los racionales es uno de ellos. La sucesin fn q1n est acotada y existe n1j tal que fn q1 j es o a j j convergente. Como la subsucesin fn q2j est acotada, existe n2j , o a j j 1 extrada de nj j , de tal manera que fn q2 j sea convergente y tam j bin lo sea fn q1 j , por tratarse de una subsucesin de una sucesin e o o j convergente. Repitiendo este mismo argumento, encontramos para cada l nlj , de manera que fnjl ql j sea convergente y lo sea tambin para e j q1 ; q2; : : :; ql; es decir podemos hacer que converjan las sucesiones1 2 2

fn q ; fn q ; : : : ; fn q ; : : : fn q ; fn q ; : : : ; fn q ; : : :1 1

1

1 2

1

1

j

1

. . . ... ... . . . . . . fn l qk ; fn l qk ; : : : ; fnjl qk ; : : : . . . ... ... . . . . . .j 1 2

2 1

2

2 2

2

2

2

de las que cada una es una especie de subsucesin de la anterior, en el o sentido de que evaluamos en cada punto una subsucesin de las funciones o que ya convergan en los puntos anteriores. Tomando ahora la sucesin o fnk k = fn k k

k

que se encuentra en la diagonal de la tabla anterior, vemos que cada fnk ql k es convergente para todo l 2 IN, ya que, para l jo, se trata desde un trmino en adelante de una subsucesin de una sucesin convergente en ql . e o o Por tomar la diagonal de la tabla de sucesiones, el procedimiento se llama proceso diagonal de Cantor. En l hemos utilizado la acotacin uniforme e o de la sucesin de funciones, aunque slo para cada uno de los puntos ql . o o Comprobaremos ahora que la sucesin fnk k as de nida converge en o todo punto de a; b hacia una funcin f 2 C a; b ; Cn y que la convero gencia es uniforme o sea en la norma de C a; b ; Cn . De hecho, lo que probaremos ser que la sucesin es de Cauchy para la norma del espacio a o uniformemente de Cauchy, y aplicaremos entonces lo que hemos llamado la completitud de C a; b ; Cn , o sea, lo que vimos en 4.2.2. La prueba de esta parte ser consecuencia de la equicontinuidad de fn n . a

106


Fijado 0, existe 0 tal que, si t; t0 2 a; b y jt , t0 j , entonces 0 k =3. Fijado con tales caractersticas buscamos racionales kfnt,fn t de a; b q1 ; q2; : : :; ql no son los primeros de nuestra sucesin, pero les o numeraremos por comodidad de esa manera tales que maxfq1 , a; b , ql ; qj +1 , qj ; j = 1; 2; : : :; l , 1g ; es decir, dividimos el intervalo a; b mediante puntos racionales en subintervalos de longitud . Las sucesiones fnk qj k son convergentes en Cn , como ya sabemos, luego veri can una condicin de Cauchy. Existe k0, o dependiente de pero independiente de qj basta tomar el mayor de los k0, tal que, si k; k0 k0, entonces

kfn qj , fn 0 qj k 3 j = 1; 2; : : :; l : Finalmente, si t 2 a; b , existe j 2 f1; 2; : : :; lg con jt , qj j . Por lo tanto, para k; k0 k , kfn t , fn 0 tk kfn t , fn qj k + kfn qj , fn0 qj k + +kfn 0 qj , fn 0 tk 3 + 3 + 3 = ;k k

0

k

k

k

k

k

k

k

k

y esto con k0 independiente de t, lo que prueba que la sucesin es uniforo memente de Cauchy, y termina el teorema.

4.2.8 Ejemplo. Consideremos las funciones t n n n 1, t fn t = n , 1 = ,1 n ;en cualquier intervalo de la forma 0; b , funciones que son continuas en dicho intervalo. La sucesin est uniformemente acotada por 1 de un n o a en adelante. Tambin lo esta la sucesin de las derivadas de la misma e o manera. Por lo tanto v. 4.2.3, la sucesin es tambin equicontinua y el o e teorema de Arzel-Ascoli asegura que existen subsucesiones que convergen a uniformemente a una funcin continua. o Eso es justamente lo que ocurre. Para n par, la subsucesin converge o uniformemente a e,t y para n impar, hacia ,e,t , como ya es conocido.

4.2.9 Ejemplo. La sucesin ofn t = tn


107

a de C 0; 1 ; IR o de C 0; 1 ; C del ejemplo 4.2.4 est uniformemente acotada y no es equicontinua. Admite como lmite puntual la funcin o

f t =que no es continua.

0; t 2 0; 1 ; 1; t = 1 ;

4.2.10 Ejercicios.1 Veamos que, en C a; b ; Cn, las normas k k y k k1 no son equivalentes. Se considera la sucesin de funciones continuas escalares de 0; 1 o sea de C 0; 1 ; C o2

de nida por

1 , nt ; x 2 0; 1=n 0; x 2 1=n; 1 hgase un dibujo. Prubese que kfnk2 ! 0 o sea que fn tiende a 0 para la a e norma k k2 , pero que kfn k1 6! 0, o sea que fn no tiende a 0 para la norma k k1 .

fn t =

2 Consideremos la sucesin de C 0; 1 ; C o sea, de funciones continuas de o0; 1

8

1 fn t = n t , 2 ; : 1;

0;

1 si x 2 0 ; 2 ; 1 1 1

Prubese que fn n2IN es una sucesin de Cauchy para la norma k k2, pero que e o no hay ninguna funcin f 2 C 0; 1 ; C tal que kf , fn k2 ! 0 esto prueba que o el espacio C 0; 1 ; C , con la norma k k2 , no es completo.

si x 2 2 ; 2 + n ; 1 si x 2 1 + n ; 1 : 2

3 En el teorema de Arzel-Ascoli, la compacidad del intervalo en el que las a funciones de la sucesin son continuas es fundamental. Si el intervalo no es nito o o no es cerrado, la 2conclusin puede no ser cierta. Por ejemplo, sea f : IR ! IR la o funcin f t = e,t y consideremos las funciones fn : IR ! IR, n 2 IN, dadas por o fn t = f t , n :Prubese que la sucesin es equicontinua y est uniformemente acotada, pero que e o a ninguna subsucesin converge uniformemente en todo IR. o

4 Sea fn n2IN, fn : a; b ! IR, una sucesin de funciones continuas y crecientes o que convergen a una funcin continua f . Prubese que f es tambin creciente y o e e que la convergencia es uniforme.

108

4. Existencia de soluciones+1

5 Teorema de Dini. Sean fn : a; b ! IR funciones continuas con fn t fn t para todo t 2 a; b . Supongamos que fn n2IN converge puntualmente a unafuncin continua f . Prubese que la convergencia es uniforme en a; b . o e

4.3 Un teorema local de existencia de soluciones.4.3.1 Aunque en el captulo precedente hemos presentado varias ecua

ciones diferenciales como modelos matemticos de fenmenos fsicos luego a o con solucin, en la prctica, no es evidente que toda ecuacin diferencial o a o tenga soluciones.

4.3.2 Ejemplo. La ecuacin oy 0 2 + y 2 + 1 = 0 no posee ninguna solucin real, ya que la igualdad anterior es imposible o para todo par y; y 0 de nmeros reales. u

4.3.3 Ejemplo. La ecuacin o y0 = f y =

1; ,1 ;

para y racional ; para y irracional ;

carece de soluciones. La explicacin est en que la funcin f y no posee o a o la propiedad `de los valores intermedios' y no puede ser una derivada. Se dice que una funcin posee la propiedad de los valores intermedios cuando o pasa de un valor a otro tomando todos los intermedios. Esta propiedad la veri can todas las derivadas y no la veri ca, obviamente, nuestra funcin. o in nidad de soluciones. Se necesita ajustar alguna condicin para obtener o una unica solucin. Hemos visto que hay varias formas de hacerlo, y noso o tros nos vamos a ocupar ahora de las ecuaciones convertidas en problemas de Cauchy mediante una condicin inicial. o Un teorema de existencia garantiza que determinado problema admite solucin. Uno de existencia y unicidad garantiza que dicha solucin existe o o y, adems, que slo hay una. Nos vamos a interesar en este captulo por a o ambos tipos de teoremas. En general, los teoremas que veamos no sern constructivos, es decir, a no permitirn calcular frmulas de las soluciones. Pese a ello, la impora o tancia de estos resultados es grande. Gracias a ellos sabemos que estamos

4.3.4 Por otra parte sabemos que, en general, las ecuaciones poseen una

4.3. Un teorema local de existencia de soluciones

109

utilizando una formulacin matemtica razonable, previendo as una funo a cin que indica el comportamiento futuro del problema, aunque todava no o sepamos calcular dicha solucin. o

4.3.5 Nuestra intencin es demostrar que el problema de Cauchy o 0 y = f t; y ; yt = y ;0 0

admite soluciones siempre que la ecuacin diferencial correspondiente est o e de nida mediante una funcin continua en un abierto, D, de IRn+1 . Como o ya dijimos, entenderemos las soluciones de nidas siempre en intervalos. Cuando la solucin y : I ! IRn est de nida en un intervalo que es cerrado o e por alguno de sus extremos, tomaremos como derivada en dicho extremo la correspondiente derivada lateral. Como una curva solucin une puntos de o la misma componente conexa, los mtodos que vamos a utilizar se pueden e aplicar a cada componente conexa de D por separado. Por esta razn, se o supone en algunos textos que el abierto D de de nicin es un conjunto o conexo. Nada de lo dicho anteriormente contradice lo visto en los ejemplos 4.3.2 y 4.3.3. En el primero, la ecuacin no se puede poner en la forma normal o con y 0 despejada; el segundo presenta una ecuacin cuya funcin f no es o o siquiera continua. Previo al primer teorema, conviene dar una formulacin `integral' del o problema de Cauchy. problema de Cauchy para el sistema o la ecuacin de primer orden es o v. 1.1.11 0 y = f t; y ; 4.3 yt0 = y0 : Aqu f t; y es una funcin continua de IRn+1 en IRn , de nida exclusiva o mente en una parte de IRn+1 que nos encargaremos de precisar en cada caso, t0 es un punto de IR e y0 es un vector arbitrario de IRn . Pues bien, consideremos el problema de Cauchy precedente. Buscar una solucin yt de clase C 1 en un intervalo I que contenga a t0 , equivale o a buscar una funcin continua en I y que veri que o

4.3.6 Forma integral del problema de Cauchy. Recordemos que el

yt = y +0

Ztt0

f s; ys ds ;

4.4

110


para todo t 2 I . Salvo casos espec cos, buscaremos siempre estas solu ciones yt de clase C 1, aunque posee considerable inters la bsqueda de e u soluciones con menos propiedades de regularidad. Veamos la equivalencia anunciada. Derivando 4.4 se obtiene el sistema de primer orden; la condicin inicial es evidente pues yt0 = y0; adems o a yt es de clase C 1 pues su derivada es f t; yt, que es una funcin contio nua. Recprocamente, si yt es solucin del problema de Cauchy, entonces o es la primitiva de f t; yt que vale y0 en t0 , luego cumple 4.4. Como comprobaremos de inmediato, esta formulacin integral del proo blema de Cauchy resulta a veces ms cmoda de manejar. La substitucin a o o del problema diferencial por un problema integral ser un mtodo de traa e bajo que emplearemos varias veces en este libro. Lo esencial es la variacin o continua de la integracin respecto de los datos del problema, cosa que no o sucede con la derivacin. o

4.3.7 El siguiente es un ejemplo de teorema local de existencia, ya que TEOREMA Cauchy-Peano

garantiza la solucin de un problema de Cauchy en un `peque~o' entorno o n alrededor de los datos iniciales. Supongamos que f t; y es una funcin continua en un entorno, o D de t0; y0. Entonces, existe un intervalo t0 , r; t0 + r alrededor de t0 y una funcin yt, de nida en l y con gr ca o e a contenida en D, de tal manera que yt0 = y0, que yt es derivable en t0 , r; t0 + r y que y0t = f t; yt en dicho intervalo. Si el `rectngulo' a R = ft; y j jt , t0j a ; ky , y0k bg est contenido en D y a M = t;y2R kf t; yk ; max entonces se puede tomar

b r = min a; M :


111

Recurdese vase la seccin 1.3 que la ecuacin diferencial e e o o

y0 = f t; y ;de la que pretendemos buscar una solucin, de ne un campo de direcciones o con las que deben pasar por cada punto las curvas solucin. Esta idea o geomtrica es la que va a permitirnos obtener la solucin. e o Nuestra demostracin utiliza las `poligonales de Euler', de nidas una o para cada longitud hn = r=n del paso como sigue. Sea n 2 IN y hn = r=n y dividamos el intervalo t0 , r; t0 + r en 2n subintervalos de igual longitud con extremos en los puntos

ti;n = t0 + i hn ;Para cada n se tiene as

i = ,n; ,n + 1; : : :; ,1; 0; 1; : : :; n , 1; n :

t0 , r = t,n;n t,n+1;n t,1;n t0;n = t0 t1;n tn,1;n tn;n = t0 + r : De nimos ahora para cada n una poligonal con vrtices en estas abscisas, e pre jando primero su valor en t0 y extendiendo sucesivamente su de nicin o a los intervalos situados a la derecha e izquierda de t0 , utilizando como

pendientes los valores de f en los extremos de la poligonal ya construida. El proceso es el siguiente: en primer lugar ponemos

pnt ;n = pnt = y :0 0 0

Luego, en el intervalo t,1;n ; t0;n = t0 se tiene

pn t = pn t ;n + t , t ;n f t ;n; pnt ;n ;0 0 0 0

y en t0;n = t0 ; t1;n ,

pnt = pnt ;n + t , t ;n f t ;n; pnt ;n0 0 0 0

como vemos, los dos primeros lados de la poligonal componen una recta. De manera general, supuesta de nida la poligonal en t,i;n y ti;n para i = 0; : : :; n , 1 , ponemos en t,i,1;n ; t,i;n

pnt = pnt,i;n + t , t,i;n f t,i;n; pnt,i;n ;y en ti;n ; ti+1;n

pnt = pn ti;n + t , ti;n f ti;n; pnti;n :

112y


P 2 P (t ,y ) 0 0 t -2 t -1 P -1 P -2 t 0 1 t t 1 t 2

Figura 4.2: Los cuatro lados centrales de una poligonal de Euler. Sus de niciones son las siguientes: pt = pt1 + t , t1f t1 ; pt1 en el intervalo P2 ; pt = pt0 + t , t0f t0 ; y0 en el intervalo P1 ; pt0 = y0 en el punto t0 ; pt = pt0+t , t0 f t0 ; y0 en el intervalo P,1 ; pt = pt,1 + t , t,1 f t,1 ; pt,1 en el intervalo P,2 .Aqu vendr bien hacer un dibujo de los dos o cuatro primeros lados de la a poligonal, que es lo que hemos hecho en la gura 4.2. Si se ve la gura, parece razonable pensar que estas poligonales aproximan alguna de las soluciones del problema de Cauchy cuando n ! 1. As es, pero no siempre converge la sucesin de poligonales, sino unicamente una subsucesin. La o o prueba se basa en el teorema de Arzel-Ascoli y exige pues dos propiedades a de la sucesin de poligonales, acotacin uniforme y equicontinuidad. o o Veamos en primer lugar que la poligonal est bien de nida, o sea, que a todos los puntos que se de nen estn en D. Nosotros nos basaremos en el a rectngulo R, que es una gura de geometra conocida situada dentro de a D. Como t0 ; pnt0 = y0 2 R, podemos de nir

r = supf 2 0; r j 8t 2 t0 , ; t0 + t; pnt 2 Rg : ~Consideremos para cada n la funcin escalonada y de nida para jt , t0 j r o ~

f t ; y ; t = t = t ;n qn t = f t,i;n; pnt,i;n ; t 2 t,i, ;n ; t,i;n : f ti;n; pnti;n ; t 2 ti;n; ti ;n ;0 0 0 0 1 +1

8

con escalones de la misma longitud que los intervalos que marcan la poligonal. Los valores de qn son valores de f tomados en el rectngulo R, luego a kqntk M para jt , t0j r. Se trata justamente de la derivada a trozos ~


113

de la poligonal pn . Como pn es continua y con derivada continua a trozos, se tiene Zt Zt pn t = y0 + p0ns ds = y0 + qns ds : 4.5 Por lo tanto, si jt , t0 j r, ~00

t0

t0

kpnt , y k jt,t jr kqntk jt , t j M r M r b : max ~~ 0

Si suponemos que r r, entonces la cantidad anterior sera b y r r a, ~ ~ lo que contradice la propia de nicin de r podramos an considerar un o ~ u mayor trozo de poligonal contenido en el rectngulo. Por lo tanto, r = r a ~ y toda la poligonal est contenida en el rectngulo. a a Por otra parte, la desigualdad

kpn t , y k b ;0

para jt,t0 j r, garantiza que las poligonales estn uniformemente acotadas a por ky0k + b. Adems, si t; t0 2 t0 , r; t0 + r , entonces a

kpn t , pn t0k = k

Z t0t

qns dsk M jt , t0 j :

Como vimos en 4.2.3, esto sirve para asegurar la equicontinuidad de las poligonales. Por el teorema de Arzel-Ascoli, existe una subsucesin pnj de poligonaa o les que converge uniformemente o sea en la norma de C t0 , r; t0 + r ; Cn hacia una funcin yt continua en t0 , r; t0 + r . Naturalmente queda por o ver que yt es en dicho intervalo solucin del problema de Cauchy. Eso lo o haremos en dos partes. En la primera, veremos que qnj t converge hacia f t; yt uniformemente en t0 , r; t0 + r . Fijemos 0. En primer lugar, por la continuidad uniforme de f en el rectngulo R si f es continua en el rectngulo, es unia a formemente continua en l existe 1 tal que, si jt , t0 j + ky , y0k 1 , e entonces kf t; y , f t0; y0k =2. En segundo lugar, por la continuidad uniforme de yt en t0 , r; t0 + r si yt es continua en dicho intervalo es uniformemente continua en l, existe 2 por una parte 1 =2 y adems e a 0 2 t0 , r; t0 + r y jt , t0 j 2 , entonces kyt , yt0k 1 =2. tal que, si t; t Finalmente, por la convergencia uniforme de pnj t hacia yt, resulta que existe j0 tal que, si j j0, entonces r=nj 2 y kpnj t , ytk 1 para

114


t 2 t0 , r; t0 + r . En consecuencia, si j j0 y t 2 t0 , r; t0 + r , tenemos suponiendo que t 2 ti;n ; ti+1;n ,

lo que demuestra, como queramos ver, que qnj t converge hacia f t; yt uniformemente en t0 , r; t0 + r . En la segunda, veremos que yt veri ca la ecuacin integral equivalente o al problema de Cauchy. Recordemos que en 4.5 probamos la igualdad

kqn t , f t; ytk = kf ti;n ; pn ti;n , f t; ytk kf ti;n ; pn ti;n , f ti;n ; yti;n k + +kf ti;n ; yti;n , f t; ytk 2 + 2 = ;j j j j j j j j j j j

pn t = y +j

Ztt0

0

qn s ds :j

Pues bien, tomando ahora lmites en ambos miembros cuando j ! 1, se obtiene despus de lo que acabamos de ver que e

yt = y +0

Ztt0

f s; ys ds ;

que es lo que nos quedaba por probar.

4.3.8 Ejemplo. El problema de Cauchy 0

y = y 2 + t2 ; y0 = 1 ;

no se puede resolver mediante cuadraturas la ecuacin es de Riccati y cono viene ver a este respecto el problema 13 de la seccin 2.3. Sin embargo o admite una unica solucin y las `poligonales de Euler' convergen uniforme o mente hacia dicha solucin, como deja ver la gura 4.3. o

4.3.9 Ejemplo. La ecuacin oy 0 = 3y 2=3es muy fcil de resolver por cuadraturas. Como es de variables separadas, a sus soluciones se obtienen como Z Z 1 ,2=3 dy = c + dt ; 3y

4.3. Un teorema local de existencia de solucionesy

115

(0,2)

(0,1)

-0.5

0.5

t

Figura 4.3: Poligonales de Euler para la ecuacin y0 = y + t y o2 2

empezando en 0; 1 y en 0; 2. Convergen todas en cada caso hacia la unica solucin del problema de Cauchy. o

es decir a las que hay que a~adir n

y t = t + c3 ; y t 0 :

En consecuencia, son soluciones todas las curvas t , c1 3 ; t c1 y t = 0 ; c1 t c2 : t , c23 ; t c2 que podemos ver en la gura 4.4. Por lo tanto, cualquier problema de Cauchy posee in nidad de soluciones. O sea, por cualquier punto t0 ; y0 pasan in nidad de soluciones. En la mayor parte de los casos el problema de la multiplicidad se arregla quedndonos en un entorno del punto. Sin a embargo, por los puntos de la forma t0 ; 0, pasan al menos dos soluciones en cualquier entorno del punto, la y t 0 y la y t = t , t0 3. Las poligonales de Euler para y t0 = 0 coinciden siempre con la solucin y t 0; por lo o

8

116


y 2

t c 1 c 2

-2

Figura 4.4: Una de las soluciones de la ecuacin y0 = 3y = ; todas son similares. o2 3

tanto, las `poligonales de Euler' no siempre permiten obtener todas las soluciones del problema.

4.3.10 Ejercicios.1 Comprubese que el teorema de Cauchy-Peano v. 4.3.7 garantiza que existe euna solucin del problema o

y0 = e,t2 + y3 ; y0 = 1 ; de nida en el intervalo ,1=9; 1=9 y valiendo 0 yt 2 en dicho intervalo.

2 Se considera el problema de Cauchy

y0 = y ; y0 = 1 ;

siendo un nmero muy negativo es decir, con 0 y jj muy grande. u a Calclese la solucin del problema. Comprubese que u o et

lim !+1 yt = 0 : 0 en 0; +1. Com-

b Calclese la poligonal de Euler, ph t con paso h u prubese que e lim ph t = yt : h!0

4.3. Un teorema local de existencia de solucionesc Sea tj = j h. Demustrese que ej

117

lim ph tj = 0 !1

si y slo si h ,2= o sea, son necesarios valores del paso muy peque~os para o n que la poligonal de Euler y la solucin estn prximos. o e o

3 Sea D IRn un conjunto abierto y f : D ! IRn una aplicacin continua. o Fijemos t ; y 2 D; sea R = ft; y j jt , t j a ; ky , y k bg+1 0 0 0 0

un `rectngulo' contenido en D, y sea r con 0 r a. Supongamos que a yn : t0 , r ; t0 + r ! IRn son aplicaciones continuas, con gr ca contenida en R a y que tienen derivada continua a trozos en el intervalo. Decimos que yn n2IN es una sucesin de soluciones aproximadas del problema de Cauchy o

y0 = f t; y ; yt = y cuando, para cada 0 existe n tal que, si n n , entonces 0 k yn t , y k y k yn t , f t; ynt k0 0 0 0 0 0

en todos los puntos de derivabilidad. a Prubese que las poligonales de Euler forman una sucesin de soluciones e o aproximadas del problema de Cauchy. b Prubese que, de toda sucesin de soluciones aproximadas del problema e o de Cauchy, se puede extraer una subsucesin que converge uniformemente en o t0 , r ; t0 + r a una solucin del problema. o

4 a Constryase una funcin f : IR ! IR, continua y valiendo u o2

8 :

f t; y =

2t; y t2 =2 ; ; y = 0; 4 t cos t ,2 t ; y ,t2 =2

en los lugares indicados. b Comprubese que t2 y ,t2 son soluciones del problema de Cauchy e

y0 = f t; y ; y0 = 0 :

118


c Sea n 2 un nmero natural jo. Se considera el punto u

2

y la poligonal de Euler, p t, construida, con paso 0, para la ecuacin o y0 = f t; y, a partir de dicho punto, es decir 2 4 p n = ,1n n2 ; y con dicho paso. Demustrese que, para dependiente de n su cientemente e peque~o, n 2 1 8t 2 n ; 1 jp t , ,1n t2 j n2 :

n 4 n ; ,1 n2

d Supongamos ahora su cientemente peque~o para que se cumpla la desin gualdad de arriba. A partir del punto 0; 0, se construye entonces la poligonal de Euler de paso variable sobre las abscisas 1 ; 2 ; 2 + ; 2 +2 ; 2 + 3 ; ::: : n n n n n Denotemos por pnt dicha poligonal. Prubese que la sucesin pntn2IN no es e o convergente. Prubese que las poligonales pares p2 nt convergen uniformemente e en 0; 1 hacia t2 , y que las poligonales impares p2 n+1 t convergen uniformemente en 0; 1 hacia ,t2,

4.4 Un teorema local de existencia y unicidad de soluciones.

4.4.1 La continuidad de f t; y no sirve para garantizar la unicidad de las soluciones. Para ello va a resultar su ciente que f t; y sea `lipschitziana' respecto de y, propiedad que introducimos a continuacin. o 4.4.2 Funcin lipschitziana. Sea D un subconjunto de IRn y f t; y o una aplicacin f : D ! IRn . Decimos que f es lipschitziana o sea, verio cando la propiedad de Lipschitz respecto de la variable y en D cuando existe una constante L 0 tal que, si t; y ; t; y 2 D con el mismo+1

valor de la primera variable, entonces kf t; y1 , f t; y2k L ky1 , y2k : L recibe el nombre de constante de Lipschitz. De nuevo las normas son cualquiera de las normas de IRn+1 y IRn , pero siempre las mismas. Conviene observar que, aunque la propiedad anterior no depende de las normas utilizadas, s depende la constante de Lipschitz de dichas normas.

1

2

4.4. Un teorema local de existencia y unicidad de soluciones2

119

4.4.3 Ejemplo. f t; y = y es lipschitziana respecto de y en cualquier banda jy j b. En efecto, jf t; y , f t; y j = jy , y j = jy + y j jy , y j 2 b jy , y j :1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

Ntese, para lo que despus veremos, que @f=@y = 2y est acotada por 2b o e a en dicha banda. El recinto en que se considere la funcin es muy importante. Por ejemo plo, la funcin anterior no es lipschitziana en todo IR2 . Esto se debe a que, o en IR2 , es posible hacer la expresin o jf t; y1 , f t; y2j = jy + y j

tan grande como se quiera. Ntese tambin que @f=@y = 2y no est acotada o e a 2 en IR .

jy , y j1 2

1

2

4.4.4 Ejemplo. La funcin f t; y = 3y = , que hemos manejado en el o2 3

ejemplo 4.3.9, no es lipschitziana respecto de y en ningn entorno de t0 ; 0, u con t0 arbitrario. En efecto, para y 0, el cociente jf t; y , f t; 0j = 3y2=3 = 3y,1=3 jy , 0j y no se puede acotar en ningn entorno de t0 ; 0. u

4.4.5 La relacin entre la derivada parcial y la propiedad de Lipschitz, o PROPOSICION

que hemos visto en uno de los ejemplos, no es casual. Esto es lo que a rma la proposicin siguiente, que tiene la utilidad de referir una propiedad nueva o a otra ya conocida. Sea D un abierto de IRn+1 convexo respecto de y, es decir, tal que, si t; y1; t; y2 2 D y 2 0; 1 , entonces t ; y1 + 1 , y2 2 D o sea el segmento t; y1; t; y2 est contenido en D. Supona gamos que f : D ! IRn admite todas las derivadas parciales y que son continuas y acotadas en D. Entonces f es una funcin o lipschitziana respecto de y en D.

@fi : D ! IR ; @yj

i; j = 1; 2; : : :; n ;

120


Sea M una cota para las derivadas parciales @fi =@yj en D. Para t jo, consideremos las funciones componentes

y ! fit; y ; de nidas en el convexo D ftg IRn . Para t; y ; t; y 2 D, tenemos n X @f ~ fi t; y , fit; y = @yi t; y y ;j , y ;j 1 2 1 2

j =1

j

1

2

~ para algn punto y del segmento y1; y2 . Vamos a utilizar en IRn la norma u k k1, que recordemos es

kxk1 = maxjx j; jx j; : : :; jxnj para el vector x = x ; x ; : : :; xn . Empleando esta norma, jfit; y , fit; y j n M ky , y k1 ;1 2 1 2 1 2 1 2

luego

kf t; y , f t; y k1 n M ky , y k1 ; lo que prueba que f es lipschitziana respecto de y en D.1 2 1 2

depende no slo de la frmula de la funcin, sino del dominio en que est o o o e de nida. Se trata de una propiedad global en la que tenemos que comparar todo par de puntos con la misma primera componente. La proposicin 4.4.5 o convierte esta propiedad en consecuencia de otra propiedad global, la de acotacin de las derivadas parciales en todo el abierto. Lo que tambin o e posee sentido y es util es pedir que la propiedad de Lipschitz se veri que de forma local, o sea, en un entorno de cada punto. Esta es una condicin o menos exigente que pasamos a estudiar a continuacin. o

4.4.6 Ya hemos dicho antes que el que una funcin sea lipschitziana o

4.4.7 Funcin localmente lipschitziana. Sea D un subconjunto de o n y f t; y una aplicacin f : D ! IRn . Decimos que f es localmente IR o lipschitziana respecto de la variable y en D cuando para todo punto t; y 2 D existe un entorno U de t; y tal que f es lipschitziana en U .+1

4.4.8 Ejemplo. f t; y = y es ahora localmente lipschitziana respecto2 2

de y en todo IR , puesto que cada punto del plano admite un entorno contenido en una banda jy j b, donde la funcin es lipchitziana. o

4.4. Un teorema local de existencia y unicidad de soluciones2 3

121

4.4.9 Ejemplo. La funcin f t; y = 3y = , que hemos manejado en los oejemplos 4.3.9 y 4.4.4, no es localmente lipschitziana respecto de y en ningn u entorno de t0 ; 0, con t0 arbitrario, porque no es lipschitziana en ningn u entorno de ninguno de dichos puntos, como ya vimos.

4.4.10 La relacin entre las derivadas parciales y la propiedad local de oLipschitz es ahora la siguiente:

PROPOSICION

Sea D un abierto de IRn+1 . Supongamos que f : D ! IRn admite todas las derivadas parciales

@fi @yj : D ! IR ;

i; j = 1; 2; : : :; n ;

y que son continuas en D. Entonces f es una funcin localmente o lipschitziana respecto de y en D. Sea t0; y0 2 D. Tomemos un disco, U , con centro en dicho punto y tal que

U U D

aqu U es la adherencia de U , o sea, el disco cerrado. Las derivadas parciales, @fi =@yj , que son continuas en D, son acotadas en U , luego en U . Por lo tanto la funcin es lipschitziana en U . o

4.4.11 El resultado que sigue recibe el nombre de desigualdad de Gron-

wall y vamos a presentarlo en dos versiones de di cultad decreciente. De hecho no se aplicar en su versin ms potente hasta el nal del captulo, a o a por lo que ahora puede servir a alguno ms de distraccin que de ayuda. a o Por el momento es unicamente necesaria una versin sencilla de la desi o gualdad, que es la que cita el segundo apartado del corolario que sigue al lema. La desigualdad de Gronwall permite substituir una inecuacin integral o a la que se llega a menudo al emplear la forma integral del problema de Cauchy por una acotacin de la solucin. o o

122


4.4.12 LEMA desigualdad de GronwallSean u; k; g : a; b ! IR tres funciones reales de nidas y continuas en un intervalo a; b de IR, con kt 0 en a; b . Supondremos que, para todo t 2 a; b , se cumple

ut gt +Entonces, para todo t 2 a; b ,

Zta

ks us ds :

ut g t +

Zta

g s ks exp

Z ts

kr dr ds :

La desigualdad del enunciado se escribe

us ,Multiplicada por

Zsa

kr ur dr g s ;a

Zs ks exp , kr dr

que es igual o mayor que 0 resulta

Zs Zs us , krurdr ks exp , krdr g s ks exp , krdr : Zsa a a

Es decir, llamando con lo que y tenemos

ms =

Zsa

kr ur dr;

m0s = ks us ma = 0 ;

d ms exp , Z s kr dr g s ks exp , Z s kr dr : ds a a Integrando ahora entre a y t con lo que la desigualdad se conserva, mt exp ,

Zta

kr dr

Zta

g s ks exp ,

Zsa

kr dr ds ;

4.4. Un teorema local de existencia y unicidad de soluciones

123

es decir,

mt

Zta

g s ks exp

Z ts

kr dr ds :

Finalmente, volviendo a la desigualdad del enunciado,

ut gt + mt g t +

Zta

g s ks exp

Z ts

kr dr ds ;

o sea, lo que pretendamos demostrar.

4.4.13 Un argumento similar al anterior o, simplemente, un cambio de

signo en la variable t, permite comprobar que, en un intervalo b; a a la izquierda de a, si Za ut g t + ks us ds ; t entonces, Z s Za ut gt + g s ks exp kr dr ds para t 2 b; a , lo que permite obtener una acotacin de la funcin ut en o o los instantes anteriores de tiempo.t t

4.4.14 COROLARIOa Sean ut y kt dos funciones reales de nidas y continuas en un intervalo a; b de IR. Supondremos, adems que kt 0 en a dicho intervalo, y que, para todo t 2 a; b , se cumple

ut c +

Zta

ks us ds ks ds :

para una constante real c. Entonces,

ut c exp

Z ta

b Sea ut una funcin real, continua y positiva en un intervalo o a; b de IR. Supondremos, adems, que, para todo t 2 a; b , se a cumple Zt ut L us ds

para una constante L 0. Entonces, ut 0 :

a

124


a Basta utilizar la desigualdad nal del lema precedente para g t c, sin olvidar que, donde aparece

ks exp

Z ts

kr dr ;

lo que se tiene es la derivada de la funcin de s o

, exp

Z ts

kr dr :

b De nuevo consiste en utilizar el apartado precedente para la funcin o kt L y para c = 0. Con l se prueba sin di cultad que ut 0 en e a; b . Como, por otra parte, ut es positiva en el intervalo, se obtiene la conclusin. o

4.4.15 Ntese que las mismas desigualdades del corolario pueden proout c +y lo que se obtiene es que

barse en un intervalo b; a a la izquierda de a. Para el primer apartado, hay que cambiar la desigualdad de la hiptesis por o

Zat

ks us ds ; ks ds :

ut c exp ut Lpor

Z at

Para el segundo hay que cambiar la hiptesis o

Zta

us ds us ds ;

ut L

Zat

y se obtiene la misma conclusin. o

4.4.16 El que sigue es un teorema como el de Cauchy-Peano, pero, adems, a rma la unicidad de la solucin del problema de Cauchy en un `pea o que~o' entorno alrededor de los datos iniciales. n TEOREMA Picard-LindelofSupongamos que f t; y es una funcin continua y lipschitziana o respecto de y en un entorno, D, de t0 ; y0. Entonces, existe


125

un intervalo t0 , r; t0 + r alrededor de t0 y una funcin, yt, o de nida en l y con gr ca contenida en D, de tal manera que e a yt0 = y0, que yt es derivable en t0 , r; t0 + r y que

y0t = f t; yten dicho intervalo. Si el `rectngulo' a

R = ft; y j jt , t0j a ; ky , y0k bg est contenido en D y a M = t;y2R kf t; yk ; maxentonces se puede tomar

b r = min a; M :

Adems, si zt es otra solucin del problema de Cauchy, ena o tonces coincide con yt en el intervalo en el que yt y zt estn ambas de nidas. e Utilizaremos en IRn una norma vectorial cualquiera. Consideremos el intervalo t0 , r; t0 + r , con r como ha sido de nido ms arriba. Elegimos en a el intervalo t0 , r; t0 + r cualquier funcin, g0 t, continua y con gr co o a contenido en R. Lo ms normal es tomar a

g t = y ;0 0

pero se puede elegir otra opcin. A continuacin, de nimos por induccin o o o

gk t = y ++1 0

Ztt0

f s; gks ds

sin muchos inconvenientes, puesto que se trata de integrales sobre intervalos compactos de funciones continuas. El unico problema es la comprobacin o de que las gr cas de las funciones gn t estn contenidas en R, a su vez a a contenido en D, que es donde est de nida f . Esto es relativamente sencillo, a ya que lo cumple g0 por de nicin y, si lo cumple gk , entonces o

kgk t , y k M jt , t j M r b ;+1 0 0

126


luego tambin lo cumple gk+1 . e Las funciones gk t se denominan `iteradas de Picard' generadas a partir de g0t. Veremos luego el papel efectivo que juegan a la hora de aproximar la solucin. Veamos por ahora que convergen uniformemente o sea en o C t0 , r; t0 + r ; Cn hacia una funcin continua en t0 , r; t0 + r . o Denotemos C = max kg1 t , g0 tk y denotemos por L la constante de Lipschitz de f . Ocurre quet2 t0,r;t0 +r

En efecto, eso es lo que ocurre para k = 0, por de nicin de C . Si se supone o cierto para k , 1, entonces, para k,

, kgk t , gk tk C L jt k! t j :k+1 0

k

kgk t , gk tk +1

Zt0

R R esto si t0 t ; si t t0 el unico cambio es tt por tt . Como 0 0

L kgk s , gk,1sk ds Z t s , t0k,1 k k CL ds = C Lk t , !t0 ; k t k , 1!

Z ttt0

f s; gk s , f s; gk,1 s ds

0

y

k , k k k C L jt k! t0 j C Lkr !

el criterio M de Weierstrass permite a rmar que la serie

k=0

1 X Lk rk C = C eLr ;

k!

g t +0

1 X

k=0

gk+1 t , gk t ;

cuya suma parcial es gk t, converge absoluta y uniformemente hacia una funcin continua, yt, en t0 , r; t0 + r . o Ahora bien, de que gk ,! y uniformemente en t0 , r; t0 + r y de que

kf s; gk s , f s; ysk L kgks , ysk ;


127

se deduce que tambin e

f s; gk s ,! f s; ysuniformemente en t0 , r; t0 + r , luego que

Ztt0

f s; gks ds ,!Ztt0+1 0

Ztt0

f s; ys ds :

Como obtenemos as que

gk t = y +0

f s; gk s ds ;

Zt yt = y + f s; ys ds ; t luego yt es solucin en t , r; t + r de la ecuacin diferencial y de la o o0

condicin inicial forma integral del problema de Cauchy. o En lo que respecta a la unicidad, si yt y zt son soluciones en un intervalo conteniendo a t0 , entonces, como

0

0

yt = y +0

Ztt0

f s; ys ds; zt = y +0

Ztt0

f s; zs ds ;

se tiene, cuando t0 t , que

Zt kf s; ys , f s; zsk ds L kys , zsk ds t t R R cuando t t el cambio es tt por tt . Aplicando entonces la desigualdad de Gronwall en su versin 4.4.14 a ut = kyt , ztk, o la correspondiente o para t t , resulta que yt , zt = 0, lo que prueba la unicidad.kyt , ztk 00 0 0 0

Zt

0

4.4.17 Obsrvese que las condiciones del teorema precedente incluyen las e

hiptesis del teorema de Cauchy-Peano. En dichas condiciones, disponemos o pues de dos vas para obtener la solucin del problema de Cauchy en o realidad, estos caminos poseen ms inters terico que prctico. a e o a La primera va es la de las poligonales de Euler. En principio, slo o una subsucesin converge hacia la solucin, pero se puede comprobar que, o o cuando la solucin del problema de Cauchy es unica, la sucesin completa o o de poligonales de Euler es convergente y su lmite es dicha solucin. Estas o poligonales son, sobre todo, un mtodo numrico y gr co. Su frmula de e e a o construccin se puede convertir fcilmente en un mtodo numrico conoo a e e cido como mtodo `de Euler', pero su convergencia es lenta. e

128


El otro camino es el de las iteradas de Picard, de nidas a partir de g0 t como Zt gk+1t = y0 + f s; gks ds : Estas iteradas convergen uniformemente en un intervalo hacia la solucin. o Las iteradas de Picard tienen el problema de requerir integraciones de di cultad creciente. Cuando en ellas aparecen los trminos sucesivos de una sue cesin de funciones con lmite conocido, permiten obtener la frmula exacta o o de la solucin, pues dicho lmite es solucin del problema de Cauchy. o ot0

4.4.18 Ejemplo. Para el problema de Cauchyy0 = y ; gk+1 t = 1 +y resultan ser

y 0 = 1 ;

las iteradas de Picard se obtienen a partir de g0t 1 como

Zt0

gk s ds ;

g0t 1 ; g1t = 1 + g2 t = 1 +

Zt0

Zt0

ds = 1 + t ;2

etc. y, en general,

1 + sds = 1 + t + t2 ;

Lo que se obtiene as es el desarrollo alrededor de 0 de la funcin y t = et , o que es la solucin del problema, como se comprueba sin di cultad. o

2 k gk t = 1 + t + t2 + + t ! : k

4.4.19 Ejemplo. Para el problema de Cauchy " " 0 = 0 ,1 y ; y y0 = 1 ;1 0 0 o sea,0 y1 = ,y2 ; 0 y2 = y1 ;

y10 = 1 ; y20 = 0 ;


129

las iteradas de Picard se obtienen a partir de g0 t 1; 0T como

" Z t" 1 + 0 ,1 g s ds ; gk t = 0 1 0 k+1 0

y resultan ser

etc. y as, va resultando el desarrollo en serie alrededor de 0 de la funcin o cos yt = sen t ; t que es la solucin del problema, como se comprueba sin di cultad. o

g t 1 ; 0 " " Rt " ds g t = 1 + R t0ds = 1 ; 0 t " " Rt " 1 ,s ds = 1 , t ; g t = 0 + R t 1 ds t " " Rt " t ,s ds 1 1, g t = 0 + R t s = ; 1 , ds t, t0 1 0 02

"

2

0

2

0

2

3

0

2

2

3

0

2

6

"

4.4.20 Ejercicios.1 Considrese una aplicacin f : IRn ! IRn, de nida y continua en un abierto, e o nD, de IR . a Prubese que, si f 2 C 1 D y e+1 t; +1

sup

y 2D

@f @ y t; y = +1

para una norma matricial, entonces f no es lipschitziana respecto de y en D. b Sea t0 ; y0 2 D. Prubese que, si f 2 C 1 D , ft0; y0 g y et;

y ! t0;y0

lim sup

@ f t; y = +1 @y

para una norma matricial, entonces f no es localmente lipschitziana respecto de y en t0 ; y0.

130para el problema de Cauchy


2 Pubese que el propio teorema de Picard-Lindelof v. 4.4.16 garantiza ya, e

y0 = t2 + e,y2 ; y0 = 0

una unica solucin de nida en todo IR y que luego llamaremos maximal. Se ver o a despus un teorema v. 4.5.26 que tiene este hecho como consecuencia trivial. e

3 Calclese, por el mtodo de las iteradas de Picard, la solucin del problema u e o de Cauchy 0 y y =t; y1 = 1 ; en un entorno de 1 . 4 Calclense las iteradas de Picard para el problema de Cauchy u

8 :

1 y0 = p

1 1 y; 2 1 ,1 " 1 y0 = ,1 ;

"

y su solucin. o

5 a Se considera una funcin f t; y de IR en IR, de nida y continua en una o banda a; b IR. Para cada t 2 a; b se considera la funcin separada o2

ft : IR ! IR y ! f t; y :Se supone que existe un t0 2 a; b tal que - para t t0, ft es decreciente, - para t t0, ft es creciente. Prubese entonces que, si yt; z t son soluciones en un intervalo comn del proe u blema de Cauchy y0 = f t; y ; t; y 2 a; b IR ; yt0 = y0 ; t0 es el de antes entonces yt = z t en dicho intervalo.

4.5. Teoremas globales de existencia y unicidadb Consideremos la funcin f : 0; 1 IR ! IR, de nida como o

131

8 :

f t; y =

2t ,2t 2t + 1 , ,2t

si y 0 ; si y t2 ; si 0 y t2 e y = 0 + 1 , t2 ;

y el problema de Cauchy

y0 = f t; y ; t; y 2 0; 1 IR ; y0 = 0 :

Utilcese el apartado precedente para probar que el problema de Cauchy admite una unica solucin. o c Calclense para el problema del apartado precedente las iteradas de Picard u a partir de g0t 0. Prubese que las iteradas impares valen todas t2 y que las e iteradas pares valen todas ,t2 y que ninguna de las dos funciones es solucin de o la ecuacin. o d Comprubese que la anterior funcin f t; y no es lipschitziana en ningn e o u entorno de 0; 0.

4.5 Teoremas globales de existencia y unicidad.

4.5.1 La aplicacin directa de los teoremas 4.3.7 y 4.4.16 garantiza la o

existencia de solucin para la ecuacin en un peque~o entorno alrededor o o n de los datos iniciales. Sin embargo, en muchos casos, nos encontramos con que estas soluciones existen e interesan en intervalos mayores.

4.5.2 Ejemplo. El problema

y0 = y2 ; y 1 = ,1 ;

cuya ecuacin fue presentada en 1.1.18 y en 1.2.9, cumple las hiptesis del o o teorema de Picard-Lindelof en todo dominio acotado para la variable y . Consideremos un rectngulo contenido en uno de ellos a

R = ft; y j jt , 1j a ; jy + 1j bgcon centro en 1; ,1, y el mximo a

M = t;y2R jf t; y j = t;y2R y2 = b + 12 : max max

132


Con este rectngulo, el teorema de Picard-Lindelof asegura una nica a u solucin del problema en el intervalo de centro 1 y de radio o

r = min a; b + 12 : El mximo para la funcin b=b + 12 es 1=4 y se alcanza para b = 1. Si a o a 1=4, entonces r 1=4, y si a 1=4, entonces r 1=4. Por lo tanto, la cantidad r = 1=4 es la mejor que admite el teorema y 3=4; 5=4 el mejor intervalo alrededor de t0 = 1. Sin embargo, integrando la ecuacin como ohicimos en 1.2.9 y ajustando la constante, vemos que la funcin o yt = , 1

b

es solucin, pasa por 1; ,1 y est de nida en 0; 1. o a Por otra parte, esta solucin no puede extenderse a la izquierda de 0, a o pesar de que la funcin f t; y = y 2 no presenta en t = 0 ninguna anomala. o Ntese que, en el concepto de solucin, interviene tanto la frmula que o o o de ne una funcin como el intervalo en el que esa frmula se aplica. As, o o por ejemplo, la frmula o yt = , 1 de ne soluciones distintas segn se la considere en 3=4; 5=4 o en 0; 1. u La segunda solucin ampla la informacin contenida en la primera. Ello o o sugiere la de nicin siguiente. o

t

t

4.5.3 Prolongacin de soluciones. Solucin maximal. Sean y : o o I ! IRn e y : I ! IRn dos funciones. Decimos que y es una prolongacin de y , o que y prolonga a y cuando I I e y t = y t en I . o Cuando y e y son soluciones de una ecuacin y0 = f t; y, se dice que la o solucin y prolonga a la solucin y . o o1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1

Decimos que una solucin es maximal cuando no existe ninguna otra o solucin que la prolongue. Del intervalo en que est de nida una de estas o a soluciones maximales diremos que es un intervalo maximal.

4.5.4 Es obvio que estamos interesados en soluciones de nidas en el in-

tervalo ms grande posible. Comprobaremos a continuacin que toda soa o lucin se puede prolongar hasta una solucin maximal, de modo que sern o o a estas las unicas que consideremos. Representamos las soluciones del conjunto de soluciones de una ecuacin y0 = f t; y por I; y, donde yt es la solucin e I el intervalo en o o

4.5. Teoremas globales de existencia y unicidad

133

que est de nida. Sea I0 ; y0 una solucin; queremos comprobar que se a o puede prolongar hasta una solucin maximal. Consideraremos unicamente o el conjunto de las soluciones que prolongan a sta, entre las que se encuene tra obviamente ella misma. En este conjunto de nimos la relacin de orden o `prolongacin', o sea o I1; y1 I2 ; y2 cuando

I1 I2 y 8t 2 I1 y1t = y2t

lo que signi ca exactamente que y2 es una prolongacin de y1 . Se trata o evidentemente de una relacin de orden parcial en el conjunto de las soluo ciones que prolongan a I0; y0. Toda cadena, o sea, todo subconjunto totalmente ordenado, admite cota superior. En efecto, si Ij ; yj j 2J es una de estas cadenas, la funcin o de nida en el intervalo I = j 2J Ij por yt = yj t para t 2 Ij es una solucin que prolonga todas las de la cadena. La funcin est bien de nida, o o a puesto que, si t pertenece a dos intervalos Ii e Ij , entonces uno de estos intervalos est contenido en el otro e yit = yj t. La funcin yt es a o solucin de la ecuacin, puesto que coincide en un entorno de cada punto o o o semientorno, si se trata de un punto extremo de I con una solucin. o Finalmente, yt prolonga a y0 t, pues la prolongan todas las yj t a las que prolonga a su vez yt. Por lo tanto, I; y es una cota superior de la cadena. Segn el lema de Zorn que el lector deber recordar de sus estudios u a de Clculo, existen elementos maximales en el conjunto de soluciones que a prolongan a I0 ; y0. Cada uno de estos maximales es obviamente una prolongacin maximal de la solucin I0; y0. o o En el ejercicio 1 se propone un proceso constructivo para obtener soluciones maximales basado en la aplicacin repetida del teorema de Cauchyo Peano y, por tanto, independiente del lema de Zorn.

4.5.5 Asociados al proceso de prolongacin, aparecen algunos problemas o

evidentes a los que intentaremos responder a continuacin. El primero de o ellos es el de la unicidad de soluciones que ya hemos considerado de forma local. De alguna manera parece posible que un problema de Cauchy que en el punto inicial posee solucin unica se bifurque posteriormente a dos o ms o a soluciones diferentes. De hecho, la segunda parte unicidad del teorema de Picard-Lindelof nos dice ya que tal cosa no es posible cuando las hiptesis o de teorema estn presentes. Claro que hay muchos casos en que no se aplica a este teorema. En esos casos existen diferentes soluciones maximales de un mismo problema. Es lo que vimos en el ejemplo 4.3.9, donde, para una condicin inicial del tipo t0 ; 0 existan in nidad de soluciones maximales o

134


de nidas en ,1; 1; o lo que podemos ver en el ejercicio 4, donde no slo o hay diversas soluciones maximales del mismo problema de Cauchy, sino que, adems, poseen diferentes intervalos maximales. a

4.5.6 Puntos de unicidad. Consideremos la ecuacin o y0 = f t; y de nida mediante una funcin continua f t; y en un abierto D de IRn . o Sea t ; y un punto de D. Decimos que t ; y es un punto regular o de unicidad global de la ecuacin cuando existe una solucin maximal unica con yt = y . o o Decimos que t ; y es un punto de unicidad local de la ecuacin cuando o existe r 0 tal que dos soluciones cualesquiera de la ecuacin con yt = o y , de nidas en el intervalo t , r; t + r , coinciden en dicho intervalo. Decimos que t ; y es un punto singular de la ecuacin cuando no es o+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

de unicidad local. Lo que se tiene obviamente es que la unicidad global implica la unicidad local, pero puede haber puntos con unicidad local sin unicidad global, como vemos en uno de los ejemplos que siguen.

0

0

4.5.7 Ejemplo. Para la ecuacin oy0 = y2 ;que ya ha sido abordada en 4.5.2, todos los puntos son regulares. La causa es que la funcin f t; y = y 2 es localmente lipschitziana en el plano, como o vimos en el ejemplo 4.4.8.

4.5.8 Ejemplo. Por el contrario, para la ecuacin oy0 = 3y2=3 ;presentada en el ejemplo 4.3.9, ningn punto es regular o de unicidad global. u Sin embargo, los puntos t0; y0 con y0 6= 0 son de unicidad local. Los puntos t0 ; 0 son singulares.

4.5.9 PROPOSICIONSi todo punto de D es de unicidad local, entonces todo punto de D es de unicidad global.


135

La idea de la demostracin se resume en una frase: si dos soluciones se o separan, deben separarse en algn punto. u Veamos que, si existe un punto que no es de unicidad global no es regular, entonces hay un punto que no es de unicidad local. En efecto, supongamos que t0 ; y0 no es regular. Sean entonces y1 : I1 ! IRn e y2 : I2 ! IRn dos soluciones pasando por t0; y0 y diferentes en algn u punto t1 . Supongamos que t0 t1 y pongamos t2 = inf ft j t t0 ; y1t 6= y2t g : Entonces y1t = y2 t para t0 t t2 y, por continuidad, y1t2 = y2 t2 . Sin embargo, el punto t2 ; y1t2 = t2 ; y2t2 no es de unicidad local ya que existen puntos tan prximos como se quiera a t2 donde y1 t e y2t o son diferentes.

4.5.10 Por lo tanto, si una ecuacin no tiene puntos singulares sin unio

cidad local entonces todos sus puntos son regulares con unicidad global. La no existencia de puntos singulares puede garantizarse mediante las hipo tesis del teorema de Picard-Lindelof. Es lo que demostramos en el resultado siguiente, en el que mezclamos tambin la condicin su ciente sobre las dee o rivadas parciales.

4.5.11 PROPOSICIONSea D un abierto de IRn+1 y sea f t; y una funcin f : D ! IRn o que supondremos continua. a Si f es una funcin localmente lipschitziana en D, entonces o todo problema de Cauchy 0 y = f t; y ; yt0 = y0 para t0 ; y0 contenido en D admite una unica solucin maxi o mal. b Si f admite derivadas parciales @fi =@yj continuas en D, entonces todo problema de Cauchy 0 y = f t; y ; yt0 = y0 para t0 ; y0 contenido en D admite una unica solucin maxi o mal.

136


En el primer caso, todo punto de D es de unicidad local v. 4.4.16, por lo que se obtiene la conclusin. El segundo caso implica el primero v. 4.4.10. o

4.5.12 Ahora nos vamos a preguntar cosas ms concretas sobre el ina

tervalo maximal, o sea, cmo es de grande dicho intervalo, es decir, hasta o dnde se puede prolongar una solucin. La respuesta a este problema no o o es cuantitativa; esto quiere decir que no existe una frmula que nos d o e los extremos del intervalo maximal. Una de las pocas a rmaciones de carcter general que pueden hacerse se re ere a los sistemas lineales y dice a que el intervalo maximal es el de continuidad de los coe cientes. Pero por ahora vamos a conformarnos con descubrir los sntomas que indican que nos aproximamos a los extremos del intervalo maximal. Comenzaremos por aprender a empalmar dos soluciones, para poder construir as soluciones mayores.

4.5.13 LEMA empalme de solucionesSi y1t e y2 t son soluciones de la ecuacin y0 = f t; y deo nidas en intervalos a; t0 y t0 ; b , y adems y1 t0 = y2t0 , a entonces la funcin yt de nida en a; b como o

yt = y t ;; y t1 2

t 2 a; t0 t 2 t0 ; b

es solucin de y0 = f t; y en a; b . o Se trata de una funcin que es, evidentemente, continua. Adems, sus o a derivadas laterales en t0 coinciden, luego es derivable en todo a; b . Su derivada vale f t; y1t en el primer subintervalo, f t; y2t en el segundo, y f t0 ; y1t0 = f t0 ; y2t0 en t0 , luego es solucin en todo el intervalo. o

4.5.14 NOTA sobre la representacin de intervalos. En general o vamos a representar por fa; bg un intervalo de extremos a; b, sin especi car

si a y b son nitos o in nitos y sin precisar si el intervalo es abierto o cerrado por a y b. En otras palabras, fa; bg ser uno de los intervalos a; b , a; b , a a; b o a; b.


137

4.5.15 Es fcil comprobar que, si y0 = f t; y es una ecuacin, f es a o continua, D es un abierto e y : fa; bg ! IRn una solucin maximal, entonces o el intervalo fa; bg es el intervalo abierto a; b. En efecto, si por ejemplo b fuese un punto del intervalo de la solucin yt, consideraramos una o solucin pasando por b; yb, que se puede obtener aplicando el teorema o de Cauchy-Peano, y la empalmaramos en dicho punto a yt con lo que conseguiramos una solucin prolongando estrictamente a yt, y sta no o esera maximal. Por esta misma razn, las soluciones dadas en un abierto por los teoreo mas locales de Cauchy-Peano y de Picard-Lindelof son siempre prolongables en ambos extremos.

4.5.16 La prolongacin y las soluciones maximales se pueden tratar seo paradamente en los dos extremos del intervalo. En ese sentido tiene fundamento hablar de soluciones maximales a la izquierda y soluciones maximales a la derecha como soluciones que no se pueden prolongar a la izquierda o a la derecha. Cuando se tiene una solucin maximal a la izquierda y otra solucin o o maximal a la derecha pasando ambas por un mismo punto, el empalme de ambas en dicho punto constituye una solucin maximal a ambos lados. o Estudiaremos a continuacin el comportamiento de una solucin cuando o o la variable se aproxima al extremo superior del intervalo maximal. Es evidente que los mismos resultados y demostraciones son ciertos para el extremo inferior. 4.5.17 LEMA WitnerSupongamos que D es un abierto de IRn+1 , que f : D ! IRn es una funcin continua y que y : fa; b ! IRn es solucin o o de la ecuacin y0 = f t; y. Sea b; z un punto de IRn+1 no o necesariamente contenido en D. Supondremos que el punto b; z veri ca las siguientes propiedades: w1 el punto b; z es un punto lmite de la gr ca de yt a , , lo que signi ca uno de los dos enunciados cuando t ! b equivalentes siguientes: - en todo entorno de b; z existen puntos t; yt con t 2 fa; b , - existe una sucesin tn n2IN de elementos de fa; b con o limn!1 tn = b y limn!1 ytn = z ;

138


w2 f admite una prolongacin continua a un rectngulo de la o a forma b , h; b fy j ky , zk hg para algn h 0 siendo ula norma una cualquiera en IRn . Entonces lim, yt = zt!b

o sea, existe el lmite y es z. La segunda de las condiciones precedentes se cumple automtia camente cuando b; z 2 D ya que entonces existe un rectngulo a centrado en b; z y contenido en D y f es continua en D. Sin embargo, esto no sucede necesariamente. Lo que se exige es que f se pueda prolongar continuamente a un peque~o recinto que n contenga tambin la abscisa b. e Vamos a utilizar la norma k k1 en IRn . Consideremos el rectngulo R = a b , h; b fy j ky , zk1 hg al que f se puede prolongar continuamente. Es posible que el re

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