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Ecuaciones en NUna de las obras más antiguas de la Matemática que se conocen fue elaborada en Egipto, hace unos 3.600 años. Fue escrita en un papiro de unos 32 centímetros de ancho por 5,5 metros de largo, por un matemático llamado Ahmesu, cuyo nombresignifica Hijo de Luna. Ese papiro, conocido como el Papiro de Ahmes, contiene 80problemas, todos resueltos. Algunos tenían que ver con asuntos de la vida cotidiana de los egipcios (precios de compra y venta de productos, etc.). Otros problemas no se referían a cosas concretas sino simplemente a juegos o adivinanzas con números. Eran problemas parecidos al siguiente: "Una cantidad, el doble de ella y 3, todos juntos son 27. Díganme: ¿cuál es la cantidad?".

En la escritura de estos problemas y sus soluciones, no se usaban los signos que ahora conocemos. Todo se escribía en palabras del lenguaje cotidiano. El uso de los signos matemáticos ha facilitado la resolución de muchos problemas matemáticos desde que estos signos surgieron en Europa en la época en que España conquistaba a América.Un problema como el que se acaba de plantear, en el cual debe encontrarse una cantidad desconocida a partir de ciertos datos relacionados con esa cantidad, se llama una ecuación.

Puede escribirse la ecuación anterior de una manera más simple:La cantidad + el doble de la cantidad + 3  =  27

La cantidad desconocida que se quiere hallar, se llama incógnita. Así como hoy en día usamos los símbolos +, -, = en nuestras expresiones matemáticas, usamos letras para representar las incógnitas en las ecuaciones.La letra que más se usa para representar las incógnitas es la  . La ecuación anterior se podría escribir entonces, usando la  en lugar de la palabra "cantidad":

Se escribe  para representar el doble de la cantidad. ¿Puedes explicar por qué? Resolver la ecuación significa encontrar el valor de la incógnita, es decir, encontrar el número que, al sustituirse por la  cumple la igualdad. Por ejemplo, en el caso de la ecuación

Resolverla significa encontrar una cantidad tal que, al restarle 3, se obtiene 9. Mentalmente, se puede determinar el valor de la incógnita, pues se sabe que el único número que al restarle 3 nos da 9 es 12. La solución de la ecuación es  . Esto significa que al sustituir  por 12 en la ecuación  se cumple la igualdad:  . Si se sustituye la  por algún número distinto de 12 se obtienen igualdades que NO son verdaderas, es decir, no se cumple la igualdad.Hay ecuaciones un poco más complicadas que  y que surgen en la resolución de problemas de la vida cotidiana.Se estudiará a continuación la manera de resolver estas ecuaciones que, por ser más complicadas, no se resuelven mentalmente con facilidad, como la anterior. Supóngase, por ejemplo, que José envía a un amigo a comprar unos caramelos y le da lo que tiene en el bolsillo: Bs. 210.

Guía de MATEMÁTICAS2º medio

“Ecuaciones”2007

El amigo se va al abasto y regresa con 3 caramelos, un lápiz que le costó Bs. 100, y Bs. 50 que le sobraron. El amigo de José lo reta a que adivine el precio de cada caramelo. Tal vez algunos puedan resolver el problema mentalmente, pero, para aquellos que no, es conveniente plantear la ecuación. Primero puede escribirse con palabras:El precio de 3 caramelos + 100 Bs. + 50 Bs. es igual a 210 Bs.Como la incógnita (la cantidad desconocida que se quiere conocer) es el precio de un caramelo, se puede representar ese precio por la  : Como el precio de 3 caramelos sería  , la ecuación se escribiría:

Se sabe que sumar  es lo mismo que multiplicar  , así como sumar 5+5+5 es igual que multiplicar 3 por 5. Es decir, la ecuación anterior se escribe mejor así:

O, mejor aún: En el siguiente cuadro se observan los valores que se han obtenido para la expresión     con distintos valores de   :

x 3x + 150

5 165

10 180

30 240

50 300

Para reflexionar: ¿Puedes decir algo acerca de la solución de la ecuación al mirar la tabla? ¿Será posible que la solución sea un número mayor que 50? ¿Y menor que 10? ¿Entre cuáles números podrías ubicar a la solución? Por esta vía es muy probable que se encuentre la solución de la ecuación. Este método se llama tanteo.

 Ecuaciones en El tratado de al-Khowarizmi sobre resolución de ecuaciones fue traducido al latín varias veces por matemáticos europeos de la Edad Media, quienes aprendieron la lengua árabe especialmente con el fin de aprender acerca de los avances que los árabes habían logrado en Matemáticas. En particular, esta obra de al-Khowarizmi influyó mucho en la ciencia europea de aquella época. El término "algoritmo'' se deriva del nombre del matemático al-Khowarizmi, considerado uno de los más grandes matemáticos árabes de todos los tiempos. La palabra "algoritmo'' se usa en Matemáticas para nombrar una serie de pasos ordenados que conducen a la solución de algún problema o ejercicio matemático.

La resolución de ecuaciones no es siempre posible si se admiten sólo soluciones que sean números naturales; por ejemplo, la ecuación: no tiene solución entre los números naturales, pues cualquier número natural sumado a 4 dará un número mayor que 4, y en este caso la solución de la ecuación, sumada a 4, debe dar igual a 1. Cuando se conocen bien los números negativos, puede encontrarse una solución para esa ecuación. La ecuación original x+4=1 se va transformando en ecuaciones equivalentes, realizando operaciones idénticas en ambos lados de la igualdad, hasta lograr

despejar a la x.  

Una vez que se conocen los números negativos, se tiene la posibilidad de resolver muchísimas ecuaciones que, viviendo sólo con los números naturales, no se podrían resolverDebe tenerse cuidado, por supuesto, con las operaciones que se realizan, respetando las "reglas del juego" que impone el trabajo con números enteros. Por ejemplo, en la ecuación:  

  se comienza por restar 24 a ambos miembros de la igualdad:     y, como 16-24 es igual a -8, se obtiene la siguiente ecuación equivalente a la original:     Ahora se suma 3x en ambos miembros y se obtiene:  

  El último paso será dividir ambos miembros entre 8, y así queda:

    Recordando que la división de un número entre otro de distinto signo da como resultado un número negativo, se tiene:

Es decir, la solución es x = -1, lo cual significa que si se sustituye a la x por -1 en la ecuación original, se obtiene una igualdad verdadera.

Ecuaciones en QLos métodos para resolver ecuaciones han variado a lo largo de la Historia. Particularmente interesante era el método que usaban los egipcios para resolver ecuaciones como la siguiente: Una cantidad, su mitad, sus dos tercios, todos juntos son 26. Díganme: ¿cuál es la cantidad? Usando los símbolos que actualmente se aprenden en la escuela, el problema se escribiría así:

La manera de resolverla, según los egipcios, era la siguiente: Le daban un valor cualquiera a la x, un falso valor, por ejemplo, 18. Realizaban las operaciones que indicaba la ecuación con este valor:

El valor falso (18) y el resultado obtenido (39) se usaban ahora para establecer una regla de tres

y se obtenía  .

Puede comprobarse que el método funciona, independientemente del valor falso que se escoja para comenzar. Este método fue llamado "la Regla de la Falsa Posición". Hay una explicación (pero no sólo una) para el hecho de que la Regla de la Falsa Posición sea una vía para encontrar la solución de una ecuación como la anterior. En el tema de Proporciones se encuentra una clave para una posible explicación. También necesitas estudiar bien este tema completo para poder encontrarla. Intenta dar una explicación cuando finalices el estudio de este tema y el de Proporciones.

Desarrolle las siguientes ecuacionesA) X + 11 = 20 B) X + 12 = 0 C) X + 16 = 13 D) X + 5 = 3 - 12 E) E   6 - X = 13 - 2 F) 14 - 16 = X - 5 G) 1 - 12 = X - 2 H) 5 - 7 = 12 + X I) 21 - 1 = 2 + X J) 12 - X = 15 - 30 K) X . 3 = -18 L) X : (-5) = -20 M) (-2) . X + 1 = 13 N) (-4) . X = - 9 - 3 O) 4 + X : (-2) = -1 P) 2 . X - 5 = 11 Q) X : 3 + 4 = 3 - 5 R) 4 . (X - 8) = 6 - 30 S) 12 . (X : 3) - 2 = (-5) . 6 + (-2) . 4 T) 7 - 2 . X = (-13) . (-3) + 2 U) X - 3 = 7 V) 3X - 8 = 2X + 1 W) [3 . (X - 2)] : 5 = X - 4 X) 2/X + 4/X + 6/X = 6 Y) X/4 + X/3 + 1 = X/2 + 2 Z)    (2X - 4) : 5 - (X - 1) : 6 = (X - 3) : 2 - 1 AA)   (3X + 2) : 7 - (X - 1) : 3 = ( 2X - 5) : 3 BB)   3X - 2 . (X + 2) = 0 CC)     2 : (X + 1) . ( X - 2) : 3 = 1/3 DD)     ( 3X - 5) . (X - 5) = 3X2 + 5 EE)   2X + 3 = 3 FF) (X + 3) : 4 = 4 GG) (3X + 2) : 5 = 4 HH)   2 + (X - 3) + 4 = 5 - ( 2 - 3) II)   X + 3X - 4 = 4 JJ) X : 2 + 3 = 5