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tarea
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(2)
x1 = −x1 + 2x31 + x2 (1)
x2 = −x1 − x2 (2)
Solucion (2)
Para encontrar los puntos de equilibrio igualamos a cero las ecuaciones (1) y (2).
x1 = x2 = 0 (3)
0 = −x1 + 2x31 + x2 (4)
0 = −x1 − x2 (5)
de (5), tenemos:
x2 = −x1 (6)
sustituyendo (6) en (4) obtenemos una ecuacion en funcion de x1.
0 = 2x1(x21 − 1) (7)
en donde las raices de dicha ecuacion son:
x1 = 0x1 = 1x1 = −1
ası pues, sustituyendo en (6) las raices de la ecuacion (7) obtenemos los valores de x2 respectivos a cada valor dex1, ası cada pareja ordenada corresponde a un punto de equilibrio del sistema, los cuales son (0,0), (1,-1) y (-1,1).
Para determinar que tipos de puntos de equilibrio son, procedemos a linealizar el sistema mediante la matrizJacobiana:
∂x∂x =
∂x1∂x1
∂x1∂x2
∂x2∂x1
∂x2∂x2
por lo tanto nuestro sistema linealizado queda de la siguiente forma:
∂x∂x
=
−1 + 6x21 1
−1 −1
(8)
de (8) evaluamos para cada punto de equilibrio:
∂x∂x
∣∣∣∣∣(0,0)
=
−1 1
−1 −1
(9)
∂x∂x
∣∣∣∣∣(1,−1)
=
5 1
−1 −1
(10)
∂x∂x
∣∣∣∣∣(−1,1)
=
5 1
−1 −1
(11)
1