4.5 Ecuaciones no homogéneas con coeficientes variables:

Ecuación de cauchy-euler.

Definición:

En una ecuación de lineal de la forma:

' donde los coeficientes son constantes se le conoce como una ecuación de cauchy-euler la característica de este tipo de ecuación es que el grado k=n, n-1.....1,0 de los coeficientes coincide con el

orden k de diferenciación .

la solución de ecuaciones de orden superior se deduce de una manera análoga asimismo la ecuación no

homogénea se resuelve mediante una variación de parámetros, una vez que se determina la función complementaria . se prueba una solución de la forma donde m es un valor que se debe determinar. Análogo a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuación lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye , cada término de una ecuación CE se convierte en un polímero en m multiplicado por ya que:

si sustituimos es una solución de la ED siempre que m sea una solución de la ecuación auxiliar por lo que hay 3 casos distintos por considerar en función de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas reales e iguales o complejas. En el último caso las raíces aparecen como un par conjugado.

Raíces reales y diferentes:

sean m1 y m2 de con entonces y forman un conjunto fundamental de soluciones.

Ejemplo 1

Resuelva como primer paso diferenciaremos dos veces

y lo sustituiremos en la ED:

luego por algebra si entonces

esto implica que y por consiguiente la solución será

Raíces reales y repetidas:

si las raíces son repetidas es decir m1=m2 entonces se obtiene una sola solución a saber, . Cuando las raíces de la ecuación cuadrática son iguales, el discriminante de los coeficientes necesariamente es cero de la

formula cuadrática se deduce que las raíces deben ser ahora se puede escribir una segunda solución pero antes debemos escribir la ecuación de cauchy en la forma estándar:

y se hacen las identificaciones

entonces la solución general es :

Raíces reales complejas:

Si la ecuación característica de (1) tiene las raíces complejas conjugadas, entonces m1 = + i y m2 = - i, donde, > 0 entonces una solución es

y=(c1 xm1+c2 xm2) =c1 xα+iβ+c2 xα−iβ

=xα (c1 cos ( β ln x )+c2 sen ( β ln x ) )

Luego la solución general es: y=xα (c1 cos ( β ln x )+c2 sen ( β ln x ) ).

Ejemplo:

Sea y=xm la solución general,

Reemplazando en la ecuación diferencial

Dividiendo por xm

Luego la solución general es:

y x c1 cos ln x c2 sen ln x.

y x0 c1 cos2 ln x c2 sen2 ln x.

y c1 cos2ln x c2sen2ln x

4.6 sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Método de los operadores.

Todos los sistemas lineales que se tratan en este tema son de coeficientes constantes. Debido a esto, es posible utilizar el método de los operadores diferenciales para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. El método se basa en la eliminación que se utiliza para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas. En el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, el método de eliminación reduce el sistema a una sola ecuación diferencial de orden n con coeficientes constantes en términos de una de las variables.

Para aplicar el método es necesario expresar el sistema en términos del operador diferencial D. Veamos algunos ejemplos de cómo expresar un sistema lineal en términos de “D”.

Ejemplo: Escriba los sistemas dados en términos del operador diferencial D.

a) 5x'−2 y = 3 → 5D[x] − 2 y = 3

2x + 4 y' = 7 → 2x + 4D[ y] = 7

b) x'−x + 2 y = 0 → (D −1)[x] + 2 y = 0

3x + y' = 0 → 3x + D[ y] = 0

c) x''−4 y' = 0 → D2 [x] − 4D[ y] = 0

x''+x'+ y'' = 0 → (D2 + D)[x] + D2 [ y] = 0

d ) x''+x'+ y'+ y = 0 → (D2 + D)[x] + (D +1)[ y] = 0

x'''+ y''+ y = 0 → D3[x] + (D2 +1)[ y] = 0

e) x'+ y + z = 0 → D[x] + y + z = 0

− x + y'+z = 0 → − x + D[ y] + z = 0

x + y + z'= 0 → x + y + D[z] = 0

Los sistemas expresados en términos del operador diferencial están escritos en la forma general.

4.7 Solución de ecuaciones diferenciales mediante series :

Mediante series de potencias:

Método para resolver una ecuación diferencial mediante el uso de series de potencias. Se explica cómo operar el símbolo sumatoria para operaciones básicas como son la derivación y enfasamiento de tal forma que se puedan encontrar los coeficientes indeterminados de la solución en forma de serie de potencias para el caso particular de una ecuación de primer orden, la cual luego se procede a verificar mediante separación de variables.

Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo orden

se escribe en forma estándar

Dividiendo entre el coeficiente principal a2(x). Se tiene la definición siguiente.

Puntos ordinarios y singulares

Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5) si tanto P(x) como Q(x) en la forma estándar (6) son analíticas en x0. Se dice que un punto que no es punto ordinario es un punto singular de la ecuación.

Ejemplo: Soluciones en series de potencias

Resuelva y´´+xy = 0

Puesto que no hay puntos singulares fi nitos el teorema 6.1.1 garantiza dos soluciones en serie de potencias centradas en 0, convergentes para |x|=∞.

ya se sumaron las dos últimas series en el miembro derecho de la igualdad en (7) corriendo el índice de la suma. Del resultado dado en (4),

En este punto se invoca la propiedad de identidad. Puesto que (8) es idénticamente cero, es necesario que el coeficiente de cada potencia de x se iguale a cero, es decir, 2c2 = 0 (es el coeficiente de x0) y

Ahora 2c2 = 0 obviamente dice que c2 =0. Pero la expresión en (9), llamada relación de recurrencia, determina la ck de tal manera que se puede elegir que cierto subconjunto del conjunto de coeficientes sea diferente de cero. Puesto que (k + 1)(k + 2) 0 para los valores de k, se puede resolver (9) para ck + 2 en términos de ck -1:

Esta relación genera coeficientes consecutivos de la solución supuesta, una vez que k toma los enteros sucesivos indicados en (10):

Obtenemos

Después de agrupar los términos que contienen c0 y los que contienen c1, se obtieney = c0 y1(x) + c1y2(x), donde

Puntos singulares regulares e irregularesSe dice que un punto singular x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (l) si las funciones p(x) = (x – x0) P(x) y q(x) = (x _ x0)2 Q(x) son analíticas en x0. Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación.

Teorema de FrobeniusSi x = x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (1), entonces existe al menos una solución de la forma:

donde el número r es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún intervalo 0 < x – x0 < R.

Ejemplo:

Damián Montero 1-723-470

Referencia: Ecuaciones diferenciales Dennis zill 9ed.