ECUACIONES DE LAPLACE Instituto Tecnológico Superior de Venustiano Carranza

Docente: ing. Jesús Hernández Pérez

Alumno: Uriel Alba Yáñez

19 DE ABRIL DE 2016 ECUACIONES DIFERENCIALES

Villa lázaro cárdenas, Venustiano Carranza, Puebla

ECUACIONES DE LAPLACE

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Índice 1. Definición de la transformada de Laplace ....................................................................... 2

2. Transformada inversa de Laplace ..................................................................................... 5

Forma integral ............................................................................................................................... 6

Tabla de transformadas más usadas ........................................................................................ 6

3. Función de escalón unitario ................................................................................................ 7

4. Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad y teorema de

translación) .................................................................................................................................... 10

Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace ...................................................... 10

Primer Teorema de translación ................................................................................................ 10

Segundo Teorema de translación ............................................................................................ 10

Bibliografía ..................................................................................................................................... 11

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1. Definición de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para

solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es

transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del

álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica

La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas

originales.

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede

usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la

transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se

pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar

operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en

el plano complejo.

Definimos:

f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se

define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por

la integral.

s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente

para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes

constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar

en el campo complejo, considerando a scomo complejo.

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe

transformarse por la integral de Laplace

Definicion. Una función u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de Laplace si

existe un real a > 0 tal que la integral converge para s > a. En este

caso, la transformada de Laplace de la función u es la función u definida en el

intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada s está dado por:

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A veces conviene denotar la transformada de Laplace u de u mediante L {u}.

Recuérdese que la integral

impropia converge si la integral finita existe para

todo B > 0 y si lim existe y es finito. Entonces, por definición,

Ejemplos:

(Función constante). La función constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace

uˆ(s) = 1 s definida en 0 < s < ∞. En efecto,

Para 0 < s < ∞. Se observa que la integral diverge para s ≤ 0. (Función

exponencial). La función u(t) = e at tiene transformada de Laplace

definida en a < s < ∞ . En este caso,

(Función t n, n > 0 entero). La función u(t) = t n (n > 0 entero) tiene transformada

de Laplace definida en 0 < s < ∞. Primero, para n = 1, integrando por

partes obtenemos:

Para 0 < s < ∞. Para n > 1, la integración por partes da:

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Y aplicando esto repetidamente, obtenemos:

Para 0 < s < ∞.

(Funciones seno y coseno). Se tiene:

Para 0 < s < ∞, donde a a= 0. Integrando por partes obtenemos:

Y volviendo a integrar por partes,

Luego:

De aquí se obtiene la expresión para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresión

para L {cos a t}. (Función de Heaviside). La función escalón de Heaviside o salto

unitario es la función H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por:

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La función salto unitario en a es la translación H(t − a) de H (véase figura 1):

Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene:

En general.

Es decir,

2. Transformada inversa de Laplace

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la

función f(t) que cumple con la propiedad

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Donde es la transformada de Laplace. La transformada de Laplace junto con la

transformada inversa de Laplace tiene un número de propiedades que las hacen

útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Forma integral

Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de

Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la

integral lineal:

Donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical en el plano complejo

tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de.

Tabla de transformadas más usadas

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Nota:

La transformada inversa de Laplace de F(s), no necesariamente es única.

Por ejemplo la función:

Y la función g(t) = 1 (obsérvese que f(t) 6= g(t)) tienen la misma transformada, es

decir, £{f(t)} = £{g(t)} = 1 s . Sin embargo £−1{ 1 s } = f(t) y £−1{ 1 s } = g(t) son

diferentes. Pero cuando f(t) y g(t) son continuas para t ≥ 0 y £{f(t)} = £{g(t)} entonces

f(t) = g(t)

3. Función de escalón unitario

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no,

o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema

mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que

suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas

funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función

escalón unitario.

También llamada función salto unidad de Heavside, y con frecuencia se utiliza en

aplicaciones que tratan casos o situaciones que cambian de manera abrupta en

tiempos específicos. Para esto se necesita una notación para una función que

suprima un término dado hasta cierto valor de t e inserte ese término para todo valor

mayor que t. esta función nos proporciona una herramienta poderosa para construir

transformadas inversas.

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su

nombre a Oliver Heaviside. Es una función continua cuyo valor es 0 para cualquier

argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

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Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales,

representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda

prendida indefinidamente.

Es la integral de la función delta de Dirac. Función escalón considerando u(0) =

1/2El valor de u(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como u(0) = 0, otros

u(0) = 1. u(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría

de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

Varias unciones discontinuas frecuentemente se pueden expresar en términos de

esa función por eso es el punto de partida para el tema de las funciones definidas

por tramos.

Para cada constante a la gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura.

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Observes que se ha dejado u(t-a) indefinida en t=a, y la figura incluye un segmento

vertical. El segmento vertical es tan solo una conveniencia del diagrama en este

caso, y de ninguna manera es parte de la gráfica de una función. Con respecto al

por que u(t) queda indefinido, existen dos razones: primero, la definición de u(t) no

afecta a la transformada de Laplace de u(t-a). La transformada de Laplace se define

mediante integrales, que no se ven afectadas por el valor de la función en un punto

dado cualquiera, al integrar. Al dejar sin definir algunos valores nos evitamos

molestias y detalles innecesarios que provoquen distracción de lo que nos ocupa.

Segundo, cada vez que resulte apropiada la definición de u(t) por alguna razón,

tenemos que estar libres para determinar el valor apropiado a la situación.

Ejemplo

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4. Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad y

teorema de translación)

Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación

lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a (alfa) y

b (beta) constantes.

La transformación de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones se verifica.

Primer Teorema de translación

Si a es un número real cualquiera, entonces.

Demostración:

Nota:

Segundo Teorema de translación

Si a > 0 y f(t) es continua para t ≥ 0 y de orden exponencial entonces.

Demostración:

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Hagamos u = t − a ⇒ du = dt, por lo tanto,

NOTA: forma recíproca

Bibliografía http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/cap6.pdf

http://ergonpro.blogspot.mx/2011/05/36-propiedades-de-la-transformada-de.html

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/master_iccp/miccp511/images/Imagenes_co

mplementarios/resumen_laplace.pdf

http://matematicas.univalle.edu.co/~jarango/Books/curso/cap07.pdf