8/19/2019 Ecuaciones de Reacci n Difusi n

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Ecuaciones de Reacción Difusión

Diego Armando Morales Mosquera

May 2015

1. Introducción

2. Definiciones

2.1. Difusión

Difusión es un fenómeno por medio del cual un grupo de partı́culas se muevencomo grupo de acuerdo a la trayectoria irregular de cada una de las partı́culas.Aśı los movimientos particulares irregulares dan como resultado un movimientoregular como grupo, a este fenómeno se le conoce como proceso de difusión.

2.2. Reacción

Las partı́culas pueden cambiar su estado, debido por ejemplo a interaccio-nes o de manera espontánea. Aquı́ estamos hablando de reacciones qúımicas oprocesos biológicos, más adelante presentaremos algunos ejemplos.[2] En 1952

Alan Turing fue el primero en observar y atribuir a las reacciones qúımicas laformación de patrones en la naturaleza y estudió sistemas de reacción-difusiónde modelos bilógicos.  Él sugirió un modelo en el cual un embrión idealizadocontiene dos sustancias quı́micas caracterı́sticas A y B llamadas morfógenos, lascuales reaccionan entre śı en cada célula y se difunden entre células vecinas concoeficientes de difusión y , respectivamente, formando, patrones espacio tempo-rales.Estos patrones se formarán siempre que el sistema de reacción-difusión cum-pla con ciertas condiciones. A este proceso se le conoce como el mecanismode Turing, inestabilidad de Turing o inestabilidad inducida por difusión. Elmodelo propuesto por Turing está dado por la siguiente ecuación diferencialparcial.Donde es el vector concentración de los morfógenos en el tiempo en laposición y tiene como componentes . representa la reacción que ocurre entre ellos

y es una matriz diagonal con coeficientes positivos y que indican la difusi ón decada sustancia.Para tener un problema matemático bien definido es necesario imponer unacondición inicial y de frontera,Donde representa la frontera del dominio y es elvector normal a la frontera de la condición impuesta en la frontera es conocidacomo condición de cero flujo. Esto significa que tenemos una reacci ón donde no

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puede entrar ni salir quı́micos de , es decir, la reacción se lleva a cabo en unsistema aislado.

La reacción está representada por las cinéticas y Donde es la cinemática delmorfógeno , describe la cinética de . Aśı el sistema de ecuaciones diferencialesparciales tiene la siguiente expresión Turing demostró que una reacción quı́micamodelada con un sistema de reacción – difusión puede evolucionar a un estadoespacialmente heterogéneo en respuesta a una pequeña perturbación del puntofijo estable en el sistema sin difusión.Siendo más preciso Turing se basó principalmente en la presencia de difusióndurante la cinética de la reacción.  Él dećıa: si en la reacción * tenemos ausenciade difusión, es decir y , y el puntofijo del sistema es estable; despúes, conside-rando los coeficientes de difusión diferente de cero y bajo ciertas condicionesobtendremos un estado espacialmente heterogéneo generado por la acción dedifusión.Esta idea de inmediato contrasta con la idea intuitiva del proceso de difusión,ya que normalmente se piensa que es un proceso estabilizador que lleva concen-traciones heterogéneas a estados homogéneos. En este caso la difusión induce lainestabilidad de aqúı que se le llame inestabilidad de Turing.[1]En 1936 Fisher introdujo por primera vez una ecuaci ón de evolución no linealpara investigar la propagación de la onda de un gen ventajoso en una pobla-ción. Su ecuación también describe el crecimiento logı́stico - proceso de difusióny tiene la forma Donde es la contante de difusi ón, es la constante es la tasa decrecimiento lineal y es la capacidad de carga del medio ambiente.El término , representa la tasa de crecimiento no lineal que es proporcional apara pequeña, pero decrece cuando aumenta y desaparece cuando . Esto corres-ponde con el crecimiento de una población cuando hay un ĺımite en el tamaño dela poblacíon que el hábitat puede soportar; si , entonces por lo que la población

disminuye siempre que es mayor que el valor ĺımite de .Esta interpretación sugiere que el hábitat puede soportar una cierta poblaciónmáxima, aśı que En años recientes, la ecuación de Fisher, se ha utilizado comobase para una amplia variedad de modelos para la propagaci ón espacial de ungen en una población y para la propagación de onda en qúımica.

3. Metodoloǵıa

ut − αuxx =  βu

1 − u

θ

  (1)

Por la fórmula de Taylor se obtiene:

unt   =  un+1 − un

∆t  −

 ∆t

2  untt − O

∆t2

  (2)

utt  =

αuxx + βu

1 − u

θ

t

(3a)

2

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utt  =  α(uxx)t + βut 1 −

 u

θ − βu

ut

θ   (3b)

untt  =  α(unt )xx + βu

nt

1 −  1

θun

− βun

1θ

unt

  (3c)

untt  =  α

un+1 − un

∆t

xx

+ β 

un+1 − un

∆t

1 −

 1

θun

−β 

θun

un+1 − un

∆t

  (3d)

αunxx + βun

1 −

 un

θ

 =

  un+1 − un

∆t

−∆t

2

αun+1 − un

∆txx

+ β un+1 − un

∆t

1 − 1

θ un

− β 

θ unun+1 − un

∆t

 (3e)

αunxx + βun

1 −

 1

θun

 =  un+1 − un

∆t  − α

∆t

2

un+1 − un

∆t

xx

−β ∆t

2

un+1 − un

∆t

1 −

 1

θun

+ β 

θ

∆t

2  un

un+1 − un

∆t

  (3f)

αunxx + βun

1 −

 1

θun

 =  un+1 − un

∆t  − α

∆t

2

un+1xx   − u

nxx

∆t

xx

−β 

∆t

2un+1 − un

∆t

1 −

 1

θ u

n+

 β 

θ

∆t

2   u

nun+1 − un∆t

  (3g)

un+1 − un − β ∆tun

1 − 1

θun

− β ∆t

2

un+1 − un

1 −

 1

θun

+β 

θ

∆t

2  un

un+1 − un

 =  α∆tunxx + α

∆t

2

un+1xx   − u

nxx

  (3h)

un+1 − un − β ∆t

2

2un + un+1 − un

1 −

 1

θun

+ 1

θun

un+1 − un

= α∆t

2 2unxx + u

n+1xx   − u

nxx   (3i)

un+1 − un − β ∆t

2

un+1 + un

1 −

 1

θun

+ 1

θun

un+1 − un

= α∆t

2

un+1xx   + u

nxx

  (3j)

3

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un+1 − un − β ∆t

2 un+1 −

 1

θun+1un + un −

 1

θunun −

 1

θunun +

 1

θunun+1

= α∆t

2

un+1xx   + u

nxx

 (3k)

un+1 − un − β ∆t

2

un+1 + un −

 2

θunun

 =  α

∆t

2

un+1xx   + u

nxx

  (3l)

un+1 − β ∆t

2  un+1 − α

∆t

2  un+1xx   = u

n + β ∆t

2  un −

 β 

θ∆tunun + α

∆t

2  unxx   (3m)

1 − β ∆t

2

un+1 − α

∆t

2  un+1xx   =

1 + β 

∆t

2  −

 β 

θ∆tun

un + α

∆t

2  unxx   (3n)

Multiplicando por w e integrando

1 − β 

∆t

2   b

awun+1dx − α

∆t

2   ba

wun+1xx   dx =   ba

wundx

−β 

θ∆t

   ba

w(un)2

dx + α∆t

2

   ba

wunxxdx   (4)

Calculando las integrales de las funciones de segunda derivada

   ba

wun+1xx   dx =  wun+1x   |

ba −

   ba

wxun+1x   dx   (5a)

   ba

wunxxdx =  wun+1x   |

ba −

   ba

wxunxdx   (5b)

1 − β ∆

t

2

   xN 

x0

wun+1dx + α ∆t

2

   xN 

x0

wxun+1x   dx =

1 + β ∆

t

2

   xN 

x0

wundx

−β 

θ∆t

   xN x0

w(un)2

dx + α∆t

2

   xN x0

wxunxdx   (6)

Sean

uN  (x, t) =k

φK  (t) ψN,K  (x) (7a)

ψN,K  (x) =  N −1/2ψ

N −1x − K 

, K  ∈  Z    (7b)

w =  ψ∗N,L (x) =  N −1/2ψ∗ N −1x − L , L ∈  Z    (7c)

1 − β ∆t

2

   xm+1xm

K 

φn+1K    (t) ψN,K  (x) · ψ∗

N,L (x) dx   (8a)

+α∆t

2

   xm+1xm

K 

∂ 

∂x

φn+1K    (t) ψN,K  (x)

  ∂ ∂x

ψ∗N,L (x) dx   (8b)

4

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= 1 + β ∆t

2    xm+1

xm K 

φnK  (t) ψN,K  (x) · ψ∗

N,L (x) dx   (8c)

−β 

θ∆t

   xm+1xm

K 

φnK ψN,K  (x)

2ψ∗N,L (x) dx   (8d)

−α∆t

2

   xm+1xm

K 

∂ 

∂x [φnK ψN,K  (x)]

  ∂ 

∂x

ψ∗N,L (x)

dx   (8e)

1 − β 

∆t

2

K 

φn+1K    (t) (9a)

   xm+1xm

N −1/2ψ

N −1x − K 

N −1/2ψ∗

N −1x − L

dx   (9b)

+α ∆t2K 

φn+1K    (t) (9c)

   xm+1xm

d

dx

N −1/2ψ

N −1x − K 

  ddx

N −1/2ψ∗

N −1x − L

dx   (9d)

=

1 − β 

∆t

2

K 

φnK  (t)

   xm+1xm

N −1/2ψ

N −1x − K 

N −1/2ψ∗

N −1x − L

dx

(9e)

−

β 

θ ∆t   xm+1xm

K 

φ

n

K 

N 

−1/2

ψ

N 

−1

x − K 

K φ

n

K 

N 

−1/2

ψ

N 

−1

x − K 

N 

−1/2

ψ

∗ N 

−1

x

(9f)

−α∆t

2

K 

φnK  (t)

   xm+1xm

d

dx

N −1/2ψ

N −1x − K 

  ddx

N −1/2ψ∗

N −1x − L

dx

(9g)

N −1

1 − β ∆t

2

K 

φn+1K    (t)

   xm+1xm

ψ

N −1x − K 

ψ∗

N −1x − L

dx   (10a)

+α

∆t

2  N −1

K 

φn+1

K    (t)   xm+1xm

d

dxψ N −1x

−K    d

dxψ∗ N −1x

−L dx

  (10b)

=

1 − β 

∆t

2

N −1

K 

φnK  (t)

   xm+1xm

ψ

N −1x − K 

ψ∗

N −1x − L

dx   (10c)

5

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−β 

θ∆tN −3/2  

  xm+1

xm

k

φnK ψ N −1x − K 

k

φnK ψ N −1x − K ψ

∗

N −1x − L dx

(10d)

−α∆t

2  N −1

K 

φnk

   xm+1xm

d

dxψ

N −1x − K    d

dxψ∗

N −1x − L

dx   (10e)

1 − β 

∆t

2

N −1

K 

φn+1K    (t) − φ

n+1K    (t)

   xm+1xm

ψ

N −1x − K 

ψ∗

N −1x − L

dx

(11a)

+α∆t

2

  N −1K φn+1K    (t) + φnK  (t)  

  xm+1

xm

d

dx

ψ N −1x − K   d

dx

ψ∗ N −1x − L dx(11b)

+β 

θ∆tN −3/2

   xm+1xm

K 

φnK ψ

N −1x − K 

K 

φnK ψ

N −1x − K 

ψ∗

N −1x − L

dx = 0

(11c)

Por simplicidad  φk (t) =  φkSea  y  =  N −1x − K ;   dy =  N −1dx;   dx =  N dy;   N −1x =  y  + K Entonces

N −11 − β ∆t2

K φn+1K    − φnK   

  xm+1

xm

ψ (y) ψ∗ (y + K  − L) N dy   (12a)

+α∆t

2

K 

φn+1K    + φ

nK 

   xm+1xm

d

dyψ (y)

  d

dyψ∗ (y + K  − L) N N −2dy   (12b)

+β 

θ∆tN −1/2

   xm+1xm

K 

φnK ψ (y)

K 

φnK ψ (y)

ψ∗ (y + K  − L) dy = 0

(12c)1 − β 

∆t

2

K 

φn+1K    − φ

nK 

   xm+1xm

ψ (y) ψ∗ (y + K  − L) dy   (13a)

+α ∆t2

  N −1K 

φn+1K    − φ

nK 

   xm+1xm

ddy

ψ (y)   ddy

ψ∗ (y + K  − L) dy   (13b)

+β 

θ∆tN −1/2

   xm+1xm

K 

j

φnK ψ (y) φnj ψ (y) ψ

∗ (y + K  + L) dy = 0;   p ara j  =  K 

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(13c)

Entonces1 − β 

∆t

2

K 

φn+1K    − φ

nK 

   xm+1xm

ψ (y) ψ∗ (y + K  − L) dy   (14a)

+α∆t

2  N −1

K 

φn+1K    − φ

nK 

   xm+1xm

d

dyψ (y)

  d

dyψ∗ (y + K  − L) dy   (14b)

+β 

θ∆tN −1/2

   xm+1xm

K 

j

φnK φnj

   xm+1xm

(ψ (y))2

ψ∗ (y + K  + L) dy = 0 (14c)

K 

1 − β ∆t

2

φn+1K    − φnK 

   xm+1xm

ψ (y) ψ∗ (y + K  − L) dy   (15a)

+α∆t

2  N −1

φn+1K    + φ

nK 

   xm+1xm

d

dyψ (y)

  d

dyψ∗ (y + K  − L) dy   (15b)

+β 

θ∆tN −1/2

j

φnK φnj

   xm+1xm

(ψ (y))2

ψ∗ (y + K  − L) dy

 = 0 (15c)

Q(L − K ) =

   xm+1xm

ψ (y) ψ∗ (y + K  − L) dy   (16)

M (L − K ) =

   xm+1xm

d

dyψ (y)

  d

dyψ∗ (y + K  − L) dy   (17)

P (L − K ) =   xm+1xm ψ (y)

2

ψ∗

(y + K  − L) dy   (18)

Entonces1 − β 

∆t

2

K 

φn+1K    − φ

nK 

Q(L − K ) + α

∆t

2  N −1

K 

φn+1K    + φ

nK 

M (L − K )

(19a)

+β 

θ∆tN −1

K 

j

φnK φnj P  (L − K ) = 0 (19b)

o también

k

1 − β ∆t2

φn+1K    − φ

nK 

Q + α

∆t

2  N −1

φn+1K    + φ

nK 

M  +

 β 

θ∆tN −1/2

j

φnK φnj P 

 = 0(20)

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Referencias

[1] James D Murray.   Mathematical biology: I. An introduction , volume 17.Springer Science & Business Media, 2007.

[2] Eric  Ávila Vales. Ecuaciones de reacción-difusión.

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