Ecuaciones Del Movecuacionesimiento

8/18/2019 Ecuaciones Del Movecuacionesimiento

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MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS

MEDIO CONTINUO

La Hipótesis del Medio continuo establece que cualquier elemento de análisis

no tiene discontinuidades en sus propiedades, esto incluye principalmente a lamasa y por lo tanto a las dimensiones del volumen.

En realidad, sabemos que la materia es discontinua a nivel atómico. Aunque nolo percibimos macroscópicamente, gran porcentaje ocupado por la materia esvado, pero las grandes fueras subatómicas le con!eren propiedades sólidas enla interacción con otra porción de materia.

La "ipótesis del medio continuo nos permite poder usar las matemáticascontinuas para modelas fenómenos f#sicos. En el caso particular de la mecánicanos indica que los cuerpos son continuos y se pueden modelar como unconglomerado de peque$as porciones de masa una unida a la otra y se pueden"acer tan peque$as como convenga, incluso llevarlas al nivel de part#culas. %eesta manera todas las propiedades que se le impliquen a una porción serátransportada de forma continua a las que la circundan "asta cubrir todo elcuerpo.

Cuerpo rígido

&na ve establecida la convención de que los cuerpos son continuos, nosencontramos con dos comportamientos que nos ayudan a clasi!carlos'()uerpos deformables* y ()uerpo r#gidos*.

En realidad, todos los materiales de los cuales están formados los cuerpos sondeformables, sin embargo, e+isten algunos que por sus caracter#sticasmicroestructurales aparentan ser r#gidos, es decir, las deformaciones quepresentan son imperceptibles. A los cuerpos que se comportan de esta manerase les idealia como (r#gidos* y por lo general son duros y densos.

En mecánica el concepto de cuerpo r#gido se usa para idealiar a un cuerpocomo indeformable y poder estudiar as# el efecto que tienen sobre l lasfueras. Hay una forma de de!nir un cuerpo r#gido con todo rigor matemático yes como sigue'

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Ilustración 1. Cuerpo Rígio


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(Un cuerpo se consiera rígio! cuano " puntos cuales#uiera #ue pertene$can al %is%o!al aplicar un siste%a e &uer$as ar'itrario o ali%pri%irle cual#uier tipo e %o(i%iento! larelación geo%)trica entre ic*os puntos

sie%pre ser+ la %is%a,

ECUACIONES DEL

MOVIMIENTO

La descripción más elementa del movimiento del Medio )ontinuo puedellevarse a cabo mediante funciones matemáticas que describan la posición decada part#cula a lo largo del tiempo1 se requiere que las funciones y derivadassean continuas.

2e de!ne como con!guración del medio continuo en el instante t , que se

denota por Ω , el lugar geomtrico de las posiciones que ocupan en el

espacio los puntos materiales 3part#culas4 del medio continuo en dic"oinstante.

De-niciones /unto espacial punto -0o en el espacio. /unto %aterial una partícula. /uee ocupar istintos puntos

espaciales en su %o(i%iento a lo largo el tie%po Con-guración lugar geo%)trico e las posiciones #ue ocupan en el

espacio las partículas el %eio continuo para un cierto instante t.

A cierto instante t =t 0 del intervalo de tiempo de inters se le denomina

instante e re&erencia y a la con!guración en dic"o instante Ω0 se ledenomina con!guración inicial! %aterial o e re&erencia.

BALANCE DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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2upóngase un sistema discreto formado por n part#culas tal que la part#cula i

tiene una masa m, una aceleración ai y esta sometida a una fuera f i .

La segunda Ley de 6e7ton establece que la fuera que act8a sobre unapart#cula es igual a la masa de la misma por la aceleración. &tiliando la

de!nición de aceleración como derivada material de la velocidad y teniendo encuenta el principio de conservación de la masa 3 la variación de la masa esigual a cero) se tiene'

f i=mi a i=midv i

dt =

d

dt (mi vi )

%e!niendo la cantidad de movimiento de la partícula como el producto desu masa por su velocidad 3 mi v i 4, la ecuación anterior e+presa que la fuera

que act8a sobre una part#cula es igual a la variación de la cantidad demovimiento de la misma.

2i tenemos un sistema discreto formado por n part#culas y le aplicamos la2egunda Ley de 6e7ton tendremos'

R ( t )=∑i

f i=∑i

mi a i=∑i

midv i

dt =

d

dt ∑

i

mi v i=d Ρ(t )

dt

2e "a utiliado el principio de conservación de la masa 3dmi

dt ¿=0 . La

ecuación anterior e+presa que'

(la resultante R de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema discreto de partículas es igual a la variación por unidad

de tiempo de la cantidad de movimiento P del mismo”

Este principio se conoce como “Principio del balance de la cantidad demovimiento”.

2i el sistema se encuentra en equilibrio R ! y'

R (t )=0 t ⇒dP(t )dt

=0⇒∑i

mivi= P=cte

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: se "abla entonces de la conservación de la cantidad de movimiento.

FORMA GLOBAL DEL PRINCIPIO DE BALANCE DE

LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Los conceptos de la mecánica clásica, puede a"ora e+tenderse a la Mecánicade Medios )ontinuos, de!niendo la cantidad de movimiento de un volumen

material V t de medio continuo de masa M como'

Ρ (t )=∫ M

v dM =∫V

t

ρVdv

%onde la resultante de todas las fueras que act8an en el medio continuo es'

R ( t )=∫V

❑ ρbdV +∫

∂V

❑t dS

6;


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En este caso podemos e+presar > en trminos de la base de vectoresmostrados en la !gura por la ecuación'

: llamamos a los componentes >A coordenadas materiales, o algunas vecescoordenadas referenciales, de la part#cula >. Las letras may8sculas que sonusadas como sub#ndices en coordenadas materiales, o en cualquier cantidade+presada en trminos de coordenadas materiales, cumple con todas las reglasde la notación indicial. Es "abitual designar las coordenadas materiales 3quees, la posición del vector >4 de cada part#cula con el nombre o etiqueta de lapart#cula, de modo que en todas las con!guraciones subsecuentes cadapart#cula puede ser identi!cada por la posición > que ocupaba en lacon!guración de referencia. &sualmente, asumimos una aplicación inversa'

%e manera que tras la sustitución de la ecuación obtenemos'

@ue de!ne el movimiento de un cuerpo en el espacio f#sico relativo a la

con!guración de referencia prescrita por la función de mapeo .

6ote que la ecuación anterior mapea la part#cula > de la con!guración dereferencia dentro del punto + en la con!guración actual en un tiempo t como se

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indica en la !gura. )on respecto a los ejes )artesianos ;++5+9 la posiciónactual del vector es'

%onde las componentes i son llamadas coordenadas espaciales de lapart#cula. Aunque no es necesario superponer los ejes coordenados materialesy espaciales como se "io en la !gura, es conveniente "acerlo ya que no "ayrestricciones graves de esta práctica en las derivaciones que siguen.Enfatiamos, sin embargo, que las coordenadas materiales se utilian encombinación con la 8nica referencia, y las coordenadas espaciales sirven paratodas las con!guraciones. )omo se "a se$alado, las coordenadas materialesson independientes del tiempo.

-odemos e+presar la ecuación, ya sea como un componente )artesiano o unanotación de coordenada libre por las ecuaciones equivalentes

Es una práctica com8n en mecánica de medios continuos escribir estasecuaciones en formas alternativas

)on el entendimiento de que el s#mbolo i 3o 4 del lado derec"o de la ecuaciónrepresenta la función cuyos argumentos son > y t, mientras que el s#mbolo dela iquierda representa el valor de la función, que es, un punto en el espacio.

6ote que el rango > siempre se asigna a valores correspondientes a lacon!guración de referencia, mientras t varia simultáneamente sobre algunos

intervalos de tiempo designados, el vector función da la posición espacial +ocupada en cualquier instante de tiempo para cada part#cula del cuerpo. En un

momento espec#!co, decimos que la función de!ne lacon!guración'

En particular, el tiempo tB C, de!ne la con!guración inicial que es a menudoadoptada como la referencia de con!guración, y este resultado en lacoordenada inicial espacial es idntico en valor con las coordenadasmateriales, as# que en este caso'

En el tiempo tBC.

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2i prestamos atención en una part#cula espec#!ca (>* tendr#amos que laposición material del vector >p toma la forma'

: describe la ruta o trayectoria de la part#cula como una función del tiempo. Lavelocidad vp de la part#cula a lo largo de la ruta está de!nida como la tasa decambio del tiempo o posición o'

%onde la notación en la 8ltima forma indica que la variable > es una constante

incluida en la derivada parcial de .

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