Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solución), para el Problema del Valorinicial:

a) + tan = cos , 0 = − 1Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemosutilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 30).

Pasos:I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

( ) ( )dy

P x y f xdx

+ (tan ) = cos Multiplicamos el lado derecho de laecuación y agrupamos, para obtener laforma estándar. Note que ( ) , es unaconstante.

II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,= ( )= ( )= (cos )=

El valor de P(x) en , es: =tan .

III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistemahomogéneo asociado:== ( ) ( )= ( )= cos

El sistema homogéneo asociado es: + (tan ) = 0. Sustituimos en= ( ) , donde: = tanencontrado en el primer paso, ydesarrollamos. Para esclarecer de donde sale

la fórmula x dx

c

Py Ce

, siga el siguienteenlace: Solución del sistema homogéneoasociado.

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Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valoresiniciales de = 0; = − 1 , de modo que:

Sustituyendo en:= cosTenemos:− 1 = cos0⇒ = − 1Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:= − cos

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Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:= cos y la solución particular = − cos

La función = cos , tiene como dominio más largo el intervalo: : ∈ ℛ− < < .

Sin embargo, la solución particular = − cos , tiene el mismo dominio:: ∈ ℛ|−∞ < < ∞ , también. Es decir, la función, solución del Problema de valoresiniciales, no tiene el mismo dominio que el de la función, solución general. El valor de = − 1 ,

para la solución particular del PVI + (tan ) = 0, 0 = − 1.Ver gráfica al final del ejercicio.

El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de unasolución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función

solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida

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por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro delintervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema nohomogéneo:

= 1(cos ) (cos ) (cos )= cos (cos ) (cos )= cos cos= cos sin

El sistema no homogéneo es: +(tan ) = cos . Para resolverla utilizamos

la fórmula:

1( )

P

P

x dx

p x dxe f x dx

ey

,

donde: = (obtenido en elpunto ii.) y = cos . obtenido en elpunto i. Para ver de dónde salen estas siga elenlace siguiente:solución del sistema no homogeneo.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla conlas condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar elvalor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”,que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.= ; = −Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:= cos + cos sinEntonces, sustituyendo los valores iniciales0 = − 1Tenemos:− 1 = cos0 + cos 0 sin0⇒ − 1 = (1) + (1)(0)⇒ − 1 = + 0⇒ = − 1

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Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:= − cos + cos sinAlejandro Vivas Riverol

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Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:= +y la solución particular del PVI:= − +

El dominio de la solución = − + está en el intervalo: ( ): − ∞ < < ∞ .O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI ( + (tan ) = cos ,0 = − 1), es el intervalo abierto: (− ∞,∞), ver la gráfica anterior para notar la diferencia entre

intervalo de solución del PVI e intervalo de la solución general. También, ver gráfica al final delejercicio. Notar que el valor de = − 1 , para el problema del PVI, acá mostrado. Ver al final el

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desglose de los dominios de cada una de las gráficas que incluye la función solución del PVI(sistema no homogéneo).

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: + (tan ) = cos ,0 = − 1, es, = − +Con intervalo de solución:: ∈ | − ∞ < < ∞

En la siguiente gráfica se ve más claramente la diferencia entre el dominio de la función solucióngeneral y el dominio de la solución particular del problema de Valores Iniciales:

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Como podemos notar, la función solución ( = − + ) del Problema de valores

iniciales: ( + (tan ) = cos , 0 = − 1), está definida para todo el intervalo (− ∞,∞),aunque la función, solución general, de la Ecuación Diferencial: + (tan ) = cos , no está

definida para los valores múltiplos enteros de , o en radianes (como aparece en las gráficas), son

los múltiplos de: 1.57079633 radianes.

Por tanto:

Para la solución general, el intervalo de solución es: − ,Para la solución del PVI, el intervalo de solución es: −∞,∞___________________________________________________________________________

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