ECUACIONES EN DIFERENCIA YSISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS

Jhonatan Chantre Andrade: 20111100845

10 de junio de 2015

Presentado A: Prof. Gustavo Londono

Universidad Surcolombiana

Neiva - Huila

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Indice

1. INTRODUCCION 3

2. ECUACIONES EN DIFERENCIA 42.1. Sucesiones Aritmeticas y Geometricas . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Ecuaciones en Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Ecuaciones en Diferencias lineales de primer orden con coefi-

cientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Metodos de solucion por Diferencias y Sumas . . . . . . . . . 92.5. Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6. Diferencias de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7. Sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8. Diferencias de segundo orden y orden N. . . . . . . . . . . . . 122.9. Ecuaciones en diferencia lineales de orden superior . . . . . . . 132.10. Soluciones generales de Ecuaciones en Diferencias lineales ho-

mogeneas de segundo orden con coeficientes constantes . . . . 142.11. Soluciones particulares de ecuaciones en diferencias lineales de

segundo orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . 152.12. Ecuaciones en diferencias lineales de tercer orden o superior . 16

3. ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y ECUACIONES DI-FERENCIALES 173.1. Analogas entre el calculo de diferencias y el calculo diferencial 17

4. SISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS 184.1. Transitividad topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. La definicion de caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3. La transformacion caotica por excelencia. . . . . . . . . . . . . 214.4. Modelos deterministas que parecen aleatorios . . . . . . . . . . 224.5. Teorema de Sharkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. BIBLIOGRAFIA 24

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1. INTRODUCCION

El objetivo principal de este trabajo ha sido discutir algunos conceptos im-portantes para el analisis del comportamiento de los sistemas dinamicos ytambien de Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias que sonherramientas versatiles de analisis, ademas Son una excelente representacionde un gran numero de situaciones dinamicas y su teora asociada es suficien-temente rica para suministrar elementos para su comprension.

Multiples problemas de significativa importancia en diversos campos del sa-ber humano, requieren para su estudio de la elaboracion de un modelo ma-tematico que los represente. Estos modelos estan constituidos principalmentepor Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Diferencias. Esto se evidenciapor el hecho que dentro de las matematicas aplicadas, las Ecuaciones Dife-renciales juegan un papel muy importante en las disciplinas cientficas. Ensus inicios aparece en problemas mecanicos y geometricos, posteriormente sucampo de aplicacion se va extendiendo a todas las ramas de la fsica y enlos ultimos anos es comun encontrarlas aplicadas a disciplinas tan diversascomo la biologa, la economa, la ingeniera, la sociologa y la fisiologa, entreotras.

De mas reciente aparicion son las Ecuaciones en Diferencias, las cuales hanadquirido una importancia relevante con el creciente estudio y simulacionde sistemas discretos en las diferentes disciplinas que modelan y estudiansistemas discretos como la ingeniera y la economa, dado que este tipo demodelamiento es mas ajustado a la realidad.

Por otra parte es una area importante en otras carreras como Ingenierasy Economa, lo cual nos permite ver que tiene un extenso campo teoricocomo practico, elemental en el perfeccionamiento de dichas carreras, con locual podemos observar que es de gran interes el estudio de las Ecuaciones enDiferencias, ya que seria de gran apoyo a estas el poder encontrar artculosbasicamente enfocados a las Ecuaciones en Diferencias.

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2. ECUACIONES EN DIFERENCIA

2.1. Sucesiones Aritmeticas y Geometricas

Definicion 1.1: Una funcion U(n) que esta definida en el dominio de todoslos enteros no negativos se llama sucesion y se denota por {U(n)}, n=0,1,2,...se ordenan en la forma U(0),U(1),U(2),...

Cada uno de los valores que forman la sucesion se llama termino de la suce-sion. Dado que la variable n no es sino un numero que representa el orden delos terminos, se puede decir que una sucesion es un acomodo lineal de unainfinidad de numeros ordenados por cierta regla.

Las sucesiones mas comunes son las aritmeticas y las geometricas.

Definicion 1.2: Una sucesion aritmetica esta compuesta de terminos quese obtienen sumando sucesivamente una constante al primer termino. Laconstante se llama diferencia comun.

Definicion 1.3: Una sucesion geometrica consta de terminos que se obtienenmultiplicando el primer termino sucesivamente por una constante que sellama razon comun.

Por consecuencia, para evitar casos excepcionales, se permite que una dife-rencia comun sea cero, pero se supone que toda razon comun es diferente decero.

2.2. Ecuaciones en Diferencias

Definicion 1.4: Sean A1(n), A2(n) y B(n) funciones conocidas quenunca se hacen cero en cierto dominio de la variable n. entonces

A1(n)U(n+ 1) + A2(n)U(n) = B(n),

se llama ecuacion en diferencias de primer orden lineal de U(n) .

Definicion 1.5: Una solucion de una Ecuacion en Diferencias es una funcionque satisface la ecuacion, o es una funcion que satisface una ecuacion dadapara cualquier valor de la variable perteneciente a un dominio en el que estadefinida la funcion.

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Se hace notar que dada una ecuacion en diferencias, una solucion definida enesta forma no necesariamente es onica. El hecho que una solucion contengauna constante arbitraria significa que hay una cantidad infinita de

soluciones. Aunque este hecho parece extrano, en un problema practico hayalgunas condiciones adicionales que deben satisfacerse junto con las Ecuacio-nes en Diferencias y as resulta que mediante dichas condiciones, se seleccionauna sola solucion de entre una infinitada de ellas.

Definicion 1.6: Una ecuacion que define el valor de una funcion en el valorinicial de la variable se llama condicion inicial de la Ecuacion en Diferenciasde primer orden. El valor de una funcion definido por medio de una condicioninicial se llama valor inicial.

Definicion 1.7: Si una solucion de la Ecuacion en Diferencias dada (con-diciones de unicidad) contiene constantes arbitrarias y satisface condicionesiniciales ajustando apropiadamente dichas constantes, se llama solucion ge-neral de la Ecuacion en Diferencias. Si se asignan valores particulares a lasconstantes arbitrarias de una solucion general, la solucion obtenida se llamasolucion particular.

Por lo cual en las Ecuaciones en Diferencias debemos tener en cuenta proble-mas de existencia y unicidad de las soluciones bajo las condiciones inicialesdadas, en un problema practico de progresiones geometricas, basta con ob-tener una solucion que satisfaga una condicion inicial dada.Por el contrario cuando aun metodo que empiece con el valor inicial e intro-duzca valores conocidos en la ecuacion en forma repetida para encontrar lasolucion sucesivamente, se le llama metodo de iteracion o iterativo. Este tipode metodos se utiliza a menudo para resolver ecuaciones numericas.

Si se cumplen las condiciones siguientes.

i) El valor inicial U(0) es dado.

ii) Dados valores arbitrarios de la variable x,U(x) yU (x + 1) es determinadode Manera unica mediante la ecuacion en diferencias.

Definicion 1.8: Principio de induccion matematica.

i) El valor U(0) de U(x) en x=0 es unico.

ii) Si el valor U(k) para x=k esta determinado de manera unica, entonces elvalor de U(K+1) para x=K+1 tambien esta de terminado de manera unica.

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De esta manera para las ecuaciones en diferencias que satisfagan la condicion(ii), la existencia y unicidad de las soluciones bajo las condiciones inicialesdadas quedan probadas, mediante principio de induccion matematica.

2.3. Ecuaciones en Diferencias lineales de primer or-den con coeficientes constantes.

Ecuaciones tales que esten definidas en cierto dominio de una variable y querelacion en una funcion incognita de la variable n con la funcion de la variablen + 1, que difiere en 1 de la primera, por ejemplo U(n) y U(n + 1) , se llamanEcuaciones en Diferencias de primer orden.

En general una ecuacion que relacione una funcion incognita U(n) con U(n+ 1),U(n + 2),....U(n + N ) se llama Ecuacion en Diferencia o Ecuacion enDiferencias finita de orden N. A menos que se diga especficamente otra cosa,se supondra que n y U(n) varan en el conjunto de los numeros enteros y elde los reales, respectivamente.

Ejemplo: Si tenemos la ecuacion en diferencias defina como sigue: U(n) - U(n - 1) = aU (n - 1).

Yremplazando n - 1 por n en la ecuacon entonces tenemos, U(n + 1) - U(n)= aU (n), n = 0,1,2,...entonces tenemos una ecuacion en diferencias con a defina como una cons-tante.

Definicion 1.9: Si en particular en la ecuacion en diferencias lineal de primerorden A1(n)U(n+ 1) +A2(n)U(n) = B(n) , la funcion B(n) es identicamentecero, y A1(n) = 1, A2(n) = afunciones conocidas que nunca se hacen cero en cierto dominio de la variablen. Entonces

U(n+ 1) aU(n) = 0

se llama ecuacion en diferencias homogenea con coeficientes constantes.

Teorema 1.1: Sucesion geometrica.Sea a una constante distinta de cero, la ecuacion en diferenciasU(n+ 1) aU(n) = 0, n = 0, 1, 2, ...(1)tiene como solucion la familia

U(n)Can (2) .

para cualquier valor de parametro C .

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Demostracion:Se sustituye n por n + 1 en la ecuacion (2) y se tiene:

U(n+ 1) = Can+1

las ecuaciones (2) y (3) implican que

U(n+ 1) U(n) = Can+1 Can

= (a 1)Can remplazando de (2)= (a+ 1)U(n)

Por lo tanto la ecuacion (2) es una solucion de la ecuacion (1). Si se hacen=0 en la ecuacion (2),U(0)=C.Eligiendo C adecuadamente, se satisface la condicion inicial. Obviamente laecuacion (2) cumple la condicion de unicidad. Por consiguiente la ecuacion(2) es una solucion general de la de la ecuacion (1).

Teorema 1.2: Sucesion aritmetica.Sea U(n+1)-U(n)=b, n=0,1,2,... (4) tiene como solucion la familia:

U(n)=C+bn, (5)

Demostracion:

A partir de:

U(1) = U(0)+b,

U(2) = U(1) +b =U(0)+2b,...

se sustituye n por n + 1 en la ecuacion (5) y se tiene:

U(n+1)=c+b(n+1).

las ecuaciones (5) y (6) implican que

U(n+1)-U(n)=C+b(n+1)-(C+bn)=b.

Por lo tanto la ecuacion (5) es una solucion de la ecuacion (4). Si se hacen=0 en la ecuacion (5), U(0)=C.Eligiendo C adecuadamente, se satisface la condicion inicial. Obviamente laecuacion (4) cumple la condicion de unicidad. Por consiguiente la ecuacion(5) es una solucion general de la de la ecuacion (4).

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Definicion 1.10: Si en particular en la ecuacion en diferencias lineal deprimer orden A1(n)U(n+ 1) + A2(n)U(n) = B(n) , se tiene que lasfunciones A1(n), A2(n) son constantes, se le llama de coeficiente constante.Puesto que se supone que A1(n) no se hace cero, se pueden dividir ambosmiembros de la ecuacion porA1(n) . Si se hace:

A2(n)A1(n)

= A(n) y B(n)A1(n)

= R(n)

entonces:

U(n+1)+A(n)U(n)=R(n) (7)

se considera la forma general de la ecuacion en diferencias de primer ordenlineales.

Teorema 1.3:Sea la ecuacion (7) para los A(n) 6= 0Demostracion:

Si tenemos n = 0,1,2,3 entonces en (7)U(1) = AU(0) +B,

U(2) = AU(1) +B = A2U(0) + (1 + A)B,

U(3) = AU(2) +B = A2U(0) +A(1 +A)B +B = A3U(0) + (1 +A+A2)B.

Lo cual sugiere una solucion general de la forma:

U(n) = A2U(0) + (1 + A+ A2 + ...+ An1)A.

El coeficiente de b es una sucesion geomotrica, y por lo tanto,

U(n) = AnU(0) + 1An

1A B Si A 6= 1

U(n) = U(0) + nB Si A=1

Si A=1, esta concuerda con la ecuacion (5), si U(0) se escribe como C.U(x) = C + xB.

A 6= 1 se escribe en la forma:

U(n) = Ax{U(0) B

1A}

+ B1A

Si hacemos U(0) B1A = C, entonces:

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U(n) = CAn + B1A A 6= 1

Encontrando as la solucion general de la ecuacion (7) con una constantearbitraria C.

Definicion 1.11: Si C = 0 entonces U(n) se reduce a la funcion constanteB

1A Este se llama valor de equilibrio de U(n) y se denota por U*(n) ;

U(n) = B1A

Por consiguiente la solucion general se escribe entonces de la forma:

U(n) = CAn + U (n).

Ejemplo: U(n+1)-3U(n)=2n-5.

En este caso, se sugiere que U (n) = k1n+ k2, como el segundo miembrode la ecuacion. Entonces:

U(n+ 1) 3UU(n) = {K1(n+ 1) +K2} 3 {K1n+K2} =2K1n+ (K1 2K2)

comparando el coeficiente de n y el termino constante de esta expresion conlos correspondientes de 2n-5 , se tiene:

2K1 = 2 , K1 + 2K2 = 5

De donde se obtiene K1 = 1Y K2 = 2. Por lo tanto U(n) = n+ 2 essolucion particular. Una solucion general es:

U(n)C3n n+ 2

2.4. Metodos de solucion por Diferencias y Sumas

2.5. Diferencias

Definicion 1.12 Dada una funcion U y una constante h talque n+hpertenezca al dominio de dicha funcion, denominaremos primera diferenciade U a aquella funcion cuyo valor en n viene dado por:

4U(n) = U(n+ h) U(n).

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designando as a esta funcion por 4U , y su valor particular en n losimbolizaremos por 4U(n).El smbolo 4 es llamado operador diferencia y colocado antes de la funcionindica que esta se ha trasformado en la funcion diferencia. El numero hrecibe el nombre de intervalo de diferencia.

En nuestro caso h=1 entonces la ecuacion seria:

4U(n) = U(n+ 1) U(n)

1) La primera diferencia correspondiente a la funcion U(n)=n es:

4U(n) = U(n+ 1) (n) osea 4n = 1.2) La diferencia correspondiente a un valor constante C esta definida por:

4U(C) = C C = 0 entonces 4C = 0

3) La diferencia correspondiente a una funcion an esta dada por:

4U(an) = an+1 an = (a 1)an,

por lo que se tiene que:

4an = (a 1)an

Ejemplo 1:Si U(n) = 2n+ 34U(n) = 2(n+ 1) + 3 (2n+ 3) = 2,Ya que U(n+1)=2(n+1)+3.

Ademas U(0) = 3, U(1) = 5, U(2) = 7, U(3) = 9, K

Entonces 4U(0) = 5 3 = 2,4U(1) = 7 5 = 2,4U(2) = 9 7 = 2, KLa grafica de 2n+3 es una recta. La diferencia 2 se llama pendiente de larecta, que es precisamente el coeficiente de n.

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2.6. Diferencias de polinomios

Definicion 1.13:El calculo en diferencias de un polinomio se reduce a calcular la diferenciade nk. Sin embargo, la diferencia no resulta expresada con una formula muysencilla.

Ejemplo 2:4n3 = (n+ 13) n3 = 3n2 + 3n+ 14n4 = (n+ 14) n4 = 4n3 + 6n2 + 4(n) + 1Una funcion que es fundamental para calcular la diferencia y suma depolinomio es la funcion factorial n(k ) , definida como:n0 = 1

n1 = n

n2 = n(n 1)n3 = n(n 1)(n 2).

.

.nk = n!

(nk)!

2.7. Sumas

Definicion 1.14:Sean U(n) y u(n) dos funciones talque:

4U(n) = u(n) entonces u(n) se llama diferencia de U(n). Recprocamente,U(n) se llama una suma indefinida de u(n).

As la solucion general de 4U(n) = u(n) se denota por 41u(n).Entonces si:

4U(n) = u(n) tenemos que:

41u(n) = U(n) + C

Donde C es una constante arbitraria.Ejemplo:4n44

= n3 esto implica que:

41n3 = n44

+ CLas operaciones para calcular la diferencia y obtener una suma de ciertasfuncion, se representa escribiendo los smbolos 4 y 41 , respectivamente,

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antes de dicha funcion. En este sentido 4 y 41 se llaman operadores.Si se suma la diferencia 4u(n) se obtiene 41(4U(n)). Esta expresion seescribe en la forma 414U(n)y4 y 41 se llama producto de losoperadores 4 y 41. El producto 441 se define de manera semejante. Elproducto de dos operadores significa que se realizan dos operacionessucesivas.

Aunque tanto 441 como 414 son el producto de 4 y 41 no sonoperadores iguales, es decir, no representan la misma operacion. Si sesustituye la ecuacion (3) en el primer miembro de la segunda ecuacion paraeliminar u(n) , entonces resulta

414 U(n)=U(n)+C

Puesto que, por definicion, 41u(n) es una solucion de 4u(n) = u(n)entonces:

441u(n)=u(n).

Como u(n) es arbitraria se puede remplazar con U (n) . Entonces de lasecuaciones (4) y (5),

414 U(n) - 441u(n)=C.

Por consiguiente, en general

414 U(n) 6= 441u(n).

2.8. Diferencias de segundo orden y orden N.

Definicion 2.1: A partir de la funcion U (n) , se define la funcion 4U(n) ,y si a su vez se puede definir su diferencia 4 [4U(n)] . Esta se llamadiferencia de segundo orden de U (n) y se escribe 42U(n)42 representa elcuadrado 44 del operador 4. De manera semejante se puede definir4NU(n) por medio de 4 [4N1U(n)] para cualquier numero natural N.por ejemplo, si U(n)= n2,

4n2 = 4{n2 + n1} = 2n+ 142n2 = 42n+ 1 = 243n2 = 42 = 044n2 = 45n2 = k = 0De la definicion anterior es obvio que 4n es un operador lineal. Esto es:

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4n {aU(n) + bV (n)} = a4NU(n) + b4NV (n)

Ahora bien, dado que 4U(n) = U(n+ 1) U(n)

42 = 4U(n+ 1)4U(n)={U(n+ 3) 2U(n+ 2) + U(n+ 1)} {U(n+ 2) 2U(n+ 1) + U(n)}

={U(n+ 3) 3U(n+ 2) + 3U(n+ 1) U(n)}

y as sucesivamente.

Una tabla donde se enlistan los valores de U(n), 4U(n),42U(n), K, sellama tabla de diferencias. Se acostumbra colocar el valor 4U(a) entre losrenglones U(a) y U(a+1).

Figura 1: Diferencias de x2

2.9. Ecuaciones en diferencia lineales de ordensuperior

Ecuaciones en diferencias lineales

Definicion 3.1:La ecuacion A0 (n)U(n+N )+A1(n)U(n+N-1)+..., AN1 (n)U(n+1)+AN(n)U(n)=R(n)se llama ecuacion lineal en diferencias de una funcion incognita U(n).

Definicion 3.2: Si tanto A0(n) como AN(n) son funciones que nunca sehacen cero, se dice que la ecuacion es de N-esimo orden o una ecuacion deorden N. R(n) se llama termino no homogeneo, y si es la constante es 0, laecuacion se llama homogenea. Si todas las funcionesA0(n),A1(n),...,AN1(n),AN(n)=R(n) son constantes, entonces se dice quela ecuacion es de coeficientes constantes.

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2.10. Soluciones generales de Ecuaciones enDiferencias lineales homogeneas de segundoorden con coeficientes constantes

Definicion 3.3: La siguiente se llama Ecuacion en diferencias linealhomogenea de segundo orden con coeficientes constantes.

U(n+2)+aU(n+1)+bU(n)=0, b 6= 0 (4)

supongase la ecuacion (4) posee una solucion de la forma:

U(n)=en, e 6= 0 (5)

Sustituyendo (5) en (4), se tiene

en+2 + aen+1 + ben = 0

Dividiendo ambos lados de la ecuacion por en, se tiene la ecuacion en, setiene la ecuacion,

e2 + ae+ b = 0(6)

Que e debe satisfacer.De forma inversa, si e satisface (6), la ecuacion (5) es ciertamente unasolucion de (4).

Definicion 3.4: La ecuacion (6) se llama ecuacion caracterstica de laecuacion (4) y las races de (5) se llaman races caractersticas.La ecuacion (6) es cuadratica y, en general, tiene e1 y e2 Como es bienconocido, estas races estan dadas por la siguiente formula:

e1 =12(a+a2 4b)

e2 =12(aa2 4b)

Empleando estas races e1 y e2, se puede resolver el problema. Sean C1 y C2constantes arbitrarias. Hagase:

U(n)= C1en1 + C2e

n2 si e1 6= e2 (7)

U(n)=(C1 + C2n)e1 si e1 = e2 (8)

Entonces U(n) es una solucion general de la ecuacion (4).

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2.11. Soluciones particulares de ecuaciones endiferencias lineales de segundo orden concoeficientes constantes

Definicion 3.5: Una solucion general de la ecuacion no homogenea:

U(n+2)+aU(n+1)+b(n)=R(n), b 6= 0, (9)

es, como se establece en (ii) la suma de una solucion general de lacorrespondiente ecuacion homogenea (una solucion homogenea) y unasolucion particular de la ecuacion (9). La ecuacion caracterstica y las racescaractersticas de (4) son tambien llamadas as con respecto a la ecuacion(9).Para encontrar una solucion particular de (9), el metodo de los coeficientesindeterminados tambien es muy apropiado y util. Por lo que se refiere a laforma supuesta de una solucion particular, tambien es valida una reglasemejante a la que se cumple para las ecuaciones de primer orden. Sean e1 ye2 las raAces caractersticas de la ecuacion (9) y PN(n) y QN(n) polinomioen n de grado N. en este caso, SI R(n) = PN(n) se puede encontrar unasolucion particular U*(n) de (9) haciendo:

U(n) = nQN(n) si 6= e1 y 6= e2U(n) = nnQN(n) si = e1 6= e2 o = e2 6= e1

U(n) = nn2QN(n) si = e1 = e2

Si las constantes son numeros complejos, la clasificacion anterior incluyeel caso en que R(n) es el producto de un polinomio en n por una suma defunciones trigonometricas. Si:

R(n) = (senn+ cosn)rnPN(n)

Se puede hacer:

U(n) = (k1senn+ k2cosn)rnQN(n)

y as sucesivamente, segun la clasificacion dada anteriormente. Pero inclusosi R(n) es de la forma anterior, a veces es conveniente considerarla como laparte real de una funcion de valor complejo y usar el teorema de De Moivre.

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2.12. Ecuaciones en diferencias lineales de tercerorden o superior

Definicion 3.6: Los metodos de solucion ya mencionados tambien sepueden aplicar a ecuaciones en diferencias lineales de orden tres o mayor.Puesto que la ecuacion caracterAstica de este caso es una ecuacionalgebraica de grado N, el numero de races es N. Segun sea e una razsimple p una de multiplicidad k, defnase una funcion mediante Cen o

(C1 + C2n+ C3n2 + ...+ Ckn

k1)en (10)

Cada una de las cuales corresponde a un termino de la ecuacion (7) y (8),respectivamente. Si se hace la suma de dichas funciones, se tiene unafuncion que contiene N constantes arbitrarias. Aunque se omite lademostracion, se puede probar que esa funcion es una solucion general de laecuacion homogenea, como la del caso de segundo orden.

Si una raz compleja es de multiplicidad k, su conjugada compleja tambienes raz de multiplicidad k. Por lo tanto, en este caso, basta remplazar loscoeficientes C1e

n de ni1 en la ecuacion (10) con la expresion de laformula:

U(n)=Crncos(n) + C rnsen(n)

Pero en muchos casos, a diferencia del caso de segundo orden, resulta muylaborioso resolver las ecuaciones caractersticas. Para encontrar unasolucion particular, si el termino no homogeneo de la ecuacion es nPm(n)y si coincide con una raz e de multiplicidad k, se puede hacer.

U(n) = nnkQm(n)

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3. ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

3.1. Analogas entre el calculo de diferencias y elcalculo diferencial

Al definir la derivada de una funcion como limite de cociente de diferenciasse deducen interesantes analogas entre el calculo de diferencias finitas y elcalculo diferencial.

Definicion 4.1 Dada una funcion y, se denomina derivada de dicha funciona una nueva funcion Dy, cuyo valor en x es:

DY (x) = lmx0y(x+h)y(x)

h= lmx0

4y(x)h

D es el operador de diferenciacion que aplicado a una funcion da lugar a la[4y(x)]

hes la pendiente de la recta que une los puntos de la representacion

grafica de y correspondientes a unas abcisas x y x+h ; el valor de Dy(x) esla pendiente de la tangente geometrica en x . Por ejemplo, dado que

4x2 = 2xh+ h2

Entonces tenemos:

Dx2 = lmh0[2xh+h2

h

]= lmh0 (2x+ h) = 2x

las sucesivas diferenciaciones de una funcion se indican con potenciassucesivas del operador D ; as, la segunda derivada de y se representa porD2 y y proviene de D(Dy) , la tercera derivada se indica por D2 y , etc.

Consideremos ahora la operacion inversa a la diferenciacion. Si una funcionY es tal que DY=y , se dice que Y es la funcion primitiva de y . As el

operador inverso de diferenciacion es D1 y escribimos Y=D1 y o Y=y

la denominacion para Y de integral indefinida de la funcion y.Observese que hay un numero infinito de integrales indefinida de unafuncion y , puesto que DY=y y tambien D(Y+C)=y , siendo C constantecualquiera.

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4. SISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS

Sea X = (X,d) un espacio metrico y sea f : X X una funcion continua.Dado que el contradominio y el dominio de f son el mismo espacio,podemos definir nuevas funciones a partir de la composicion de f consigomisma f 0 sera la funcion identidad, id : X X, f 1 = f , f 2 = f of of 3 = f ,..., fn = fofo...of . Llamaremos a estas funciones las iteradas de f.Las siguientes dos propiedades son inmediatas: Si n,m N (N representaal conjunto de los numeros enteros positivos), entoncesfnofm = fn + fmy(fn)m = fnm

Dado un punto x X la siguiente sucesion sera la orbita de x bajo f.

{x, f(x), f 2(x), f 3(x), ...} = 0 (x, f)

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La dinamica de f aparece cuando consideramos cada orbita, o(x,f), como lasdistintas posiciones que va recorriendo un objeto al paso del tiempo. En t =0 estaba en x; en t = 1 en f (x); en t = 2 en f 2(x), y as sucesivamente.Cada x en X da lugar a una orbita, es decir, a una secuencia demovimientos. Bajo este punto de vista la funcion f genera un sistemadinamico discreto. Decir que nos interesa estudiar las propiedadesdinamicas de f es solo otra manera de expresar que nos interesa conocercomo son todas las orbitas que ella y los puntos de I producen. En estasnotas nuestro interes principal es el estudio de las propiedades dinamicas delas funciones continuas. En todas las proposiciones y en todos los ejerciciosasumiremos, como parte de las hipotesis, que la funcion con la quetrabajamos es continua en su dominio. Si bien hemos iniciado nuestroestudio en un nivel muy general al considerar funciones definidas en unespacio metrico, la mayora de nuestros ejemplos y observaciones se refirena funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado de la recta real,digamos f : [a, b] [a, b]CR De aqu en adelante denotaremos con la letra Iel intervalo [0, 1]. Las funciones cuya dinomica mas nos interesa estudiar sonde la forma f : I I. Veremos que aun en este terreno (en este conjunto defunciones) se presentan propiedades dinamicas muy interesantes.

Definicion 5.1: Sea f : X X Decimos que x es un punto periodico de f;o tiene una orbita periodica bajo f; si existe n N tal que fn(x)=x Almenor de estos numeros le llamamos el perodo de x: Si f (x) = x; decimosque x es un punto fijo (ademas de ser un punto periodico de perodo 1). Alconjunto de todos los puntos periodicos de f lo denotaremos as: Per (f).

Sea f : I I Dada x en I; la orbita de x bajo f es un conjunto. Si lopensamos un poco mas, la o(x,f) es tambien una sucesion: el primerelemento es x, el segundo es f (x); el tercer elemento es f 2(x) ; yas sucesivamente. Por ejemplo si x es un punto fijo de f, entonces o(x,f ) =f {x} o, sin faltar a la verdad, podramos decir que o(x; f) = f {x, x, x, ...} ,una sucesion constante: Observese que si x es un punto fijo de f , entoncesel punto (x; f (x)) pertenece tanto a la grafica de f como a la grafica de lafuncion identidad, id : I I, id : (x) = x x para todo x I.Consideraremos a los puntos fijos como puntos periodicos de perodo 1.

4.1. Transitividad topologica

El concepto de transitividad topologica, que definiremos a continuacion,trata de reflejar la siguiente caracterstica (presente en algunos sistemasdinamicos): Dadas dos zonas cualesquiera del espacio donde esta definida la

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funcion, existe un punto en la primera zona cuya orbita visita, en algunmomento, la segunda. As, una funcion transitiva, asegurara la existenciade puntos cuya orbita viaja de una parte arbitraria del espacio a otra parteigualmente arbitraria del mismo.

Definicion 5.2: Sea f : X X Decimos que f es topologicamentetransitiva (o transitiva) en X si para cualquier pareja de subconjuntosabiertos de X; A y B; distintos del vaco, existen a A y n 1 tales quefn(a) bProposicion 5.2: La funcion tienda, T; es transitiva en I:

Demostracion Es suficiente demostrar que para cualesquiera dosintervalos abiertos, (a,b); a < b; (c,d); c < d en I; existen x (a, b) y n 0tales que tn(x) (c, d)sabemos que existe n N tal que tn(a,b)=I De aquA se sigue, de manerainmediata, la existencia del punto x y de la iteracion n que necesitamos.

4.2. La definicion de caos

Hemos alcanzado nuestra meta. Estamos ya en condiciones de presentar ladefinicion de caos propuesta por R. Devaney.Definicion 5.3: Sea f : X X Decimos que f es caotica en X si secumplen las siguientes tres condiciones:

i) El conjunto de puntos periodicos de f forma un conjunto denso en X.

ii) f es transitiva en X.

iii) f es sensible a las condiciones iniciales en X.

Definicion 5.4: f es topologicamente transitiva si para cualesquiera dosabiertos U y V del intervalo, existe n N, de manera que fn(u) V 6= Un ejemplo de transformacion que es topologicamente transitiva es laTransformacion del Panadero, en el intervalo. Este sistema dinamicoesta definido por la transformacion: P : [0,1] [0, 1] dada por P(x) = 2xmod 1. Es decir,P(x) =2x si x < 1

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P(x) =2x - 1 si x 12

Observe que la funcion P(x) no es contnua en x = 12

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4.3. La transformacion caotica por excelencia.

En esta seccion definiremos un sistema dinamico de capital importancia yen el encontramos una gran diversidad de comportamientos dinamicos. Sea {0, 1}N .La palabra inglesa shift, en espanol se traduce como corrimiento o decalage.Si bien no es adecuado utilizar terminos en otra lengua cuando existe algunapalabra en espanol, esta transformacion es conocida bajo ese nombre, apesar de los intentos de muchas personas para nominarlo de otra manera.

: definida mediante:

(x1, x2, x3,...) (x2, x3, x4, ...)Esto es, simplemente olvidarnos de la primer coordenada de (x1, x2,...) dedonde viene el nombre de corrimiento.

Observe que es una transformacion no invertible, de hecho, la imageninversa de cualquier punto consta de dos puntos diferentes. Es facildeterminar sus puntos fijos. A saber, estos son:

(0, 0, 0, 0, 0, . . .) y (1, 1, 1, 1, 1, . . .)

Dado un numero k N denotemos por Perk() al conjunto de todos lospuntos periodicos de periodo k de . El conjunto: per() =

kN perk()

Es el conjunto de todas las orbitas periodicas.EjemploCalcule cuantas orbitas de perodo k hay, para cada k NNo solo existen orbitas periodicos de todos los perodos, sino que ademas, elconjunto de todas las orbitas periodicas es denso en

, como se lee en el

enunciado de la siguiente proposicion:

Proposicion 5.3El conjunto per() es denso en

.

Demostracion. Demostraremos que, dado un punto arbitrario x y > 0cualquiera, existe p per() tal que d(p, x) < arbitrarios. Observe queexiste k N de manera que 3k < Observa que el punto.

p = (x1, x2, ..., xk, x1, x2, ..., xk, ...)

)

y es un punto periodico de perodo k. Por otro lado p B3k(x), ps puescoincide con x en los primeros k terminos. Por lo tanto:

d(p, x) < 3k <

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4.4. Modelos deterministas que parecen aleatorios

El objetivo de esta seccion es probar que z2 en el crculo (o sus versiones enel intervalo) es topologicamente conjugada al shift en dos simbolos (salvopor un conjunto pequeno de puntos). Tambien valdra la pena ver que sidespegamos esos puntos dobles, tenemos un cantor, hecho y derecho, con ladinamica del shift. La transformacion defininida en (16) tiene unacontraparte en el crculo y corresponde a elevar al cuadrado. Elevar alcuadrado un numero complejo de modulo 1, es decir, un punto en el crculounitario, es equivalente a duplicar su argumento. As, la transformaciong : S1 S1 dada por:

2

Corresponde a elevar al cuadrado un punto del crculo. Observe que en elcrculo, esta transformacion si es continua en cualquier punto.

4.5. Teorema de Sharkovsky

Determinar si un sistema dinamico tiene puntos periodicos de determinadosperodos, a partir de la simple observacion de una orbita periodica enparticular, parece un poco descabellado. Tanto as que los matematicos Li yYorke se sorprendieron bastante con el hecho de que la existencia de unaorbita periodica de perodo 3 garantizara la existencia de orbitas periodicasde todos los demas perodos. Este resultado lo publicaron en el ano de 1975.Sin embargo, mas de diez anos antes, en 1964, Oleksandr MikolaiovichSharkovsky (1936-), matematico ruso, haba propuesto un orden, es deciruna lista de todos los numeros naturales de una manera poco ordinaria demanera que la existencia de una orbita periodica de perodo k implica laexistencia de todos los perodos posteriores a k, en la lista. Evidentemente,el 3 es el primer elemento de la lista de Sharkovsky.No es tan extrano, pues la existencia de un punto periodico de perodok 2 2 implica, necesariamente, un punto fijo. Si a es tal punto, entonces,podemos suponer que f(a) > a. . Si consideramos la sucesion a,f(a), f 2(a), ..., fk(a) = a a existe un elemento b =f j(a) de manera queb > f(b); pues de lo contrario, no podramos regresar a a. Aplicando elTeorema del valor intermedio sobre la funcion f(x) - x obtenemos que existeun punto c (a, b) tal que f(c) = c , es decir, un punto fijo.

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Teorema 4.1

Si f es una funcion continua del intervalo [0, 1] en si mismo y existe unpunto periodico p [0, 1], de perodo 3, entonces para cualquier numeronatural m existe un punto de perodo m.Para demostrar este teorema, debemos recordar dos hechos bastantesimples que son validos para funciones continuas f :[0, 1][0, 1].1. Si I y J son dos intervalos cerrados, contenidos en [0, 1] tales que J f(1)entonces, existe un intervalo Q I tal que f(Q) = I.2. Si I es un intervalo cerrado tal que I f(I), entonces, existe p I tal quef(p) = p.

El primer hecho es muy simple de demostrar y se deja como ejercicio. Elsegundo es una version del conocido Teorema del Punto Fijo para funcionescontinuas.

El primer hecho es muy simple de demostrar y se deja como ejercicio. Elsegundo es una version del conocido Teorema del Punto Fijo para funcionescontinuas. Para demostrar el teorema, nos auxiliaremos de un conceptomatematico conocido bajo el nombre de graficas dirigidas o digraficas. Unagrafica es un conjunto finito de puntos y un conjunto de aristas. El conjuntode puntos, o vertices lo llamamos V y las aristas estan formadas por parejasde vertices {x, y}. Lo mas indicado es realizar un dibujo: los vertices sonvarios puntos dispuestos de cualquier manera y trazamos una lnea entre elvertice x y el vertice y si el par {x, y} A.Una grafica dirigida es una grafica donde las aristas tienen una direccion, esdecir A V X V, o mejor dicho, hay una arista de x a y si el par ordenado(x, y) A. La diferencia fundamental es que en una grafica dirigida, laarista (x, y) es diferente a la arista (y, x). En cambio, en una grafica{x, y} = {y, x}Un camino cerrado en la grafica G = (V, A) es una sucesion de verticessiempre que el paso de un vertice al siguiente este permitido por una arista.En una grafica dirigida tenemos que respetar, ademas, el sentido de lasflechas. Este lo podemos denotar como una sucesion de vertices, donde elprimero es igual al ultlimo: a, b, d, c, a;

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5. BIBLIOGRAFIA

Curso Sistemas dinamicos discretos, cap 8.(cursos itcg)

Trabajo (Grupo de Sistemas Dinamicos de la UAB).

Estructura periodica de sistemas dinamicos discretos.

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