ecudif2

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

TEORIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Antonio Garca

IZTAPALAPA, DISTRITO FEDERAL

Version February 24, 2007

Contenido

Contenido i

Lista de figuras v

Capitulo 1. Primeros ejemplos y definiciones 1

1.1. Introduccion 1

1.2. Definicion de una ecuacion diferencial 3

1.3. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales 11

1.4. Interpretacion geometrica de las ecuaciones diferenciales de primer orden 12

1.5. Estudio geometrico de las ecuaciones diferenciales de orden dos 15

1.6. Problemas 21

1.7. (*) Calculo en diferencias 28

Capitulo 2. Espacios metricos y normados 31

2.1. Espacios metricos 31

2.2. Teorema de punto fijo de Banach 34

2.3. Subconjuntos compactos y puntos de acumulacion 36

2.4. El conjunto de las funciones continuas C (D,Rn) 38

2.5. Espacios normados y de Banach 41

2.6. El espacio normado de las matrices 41

i

2.7. Problemas 42

2.8. *Aplicaciones del teorema de punto fijo de Banach 45

Capitulo 3. Los teoremas fundamentales de la teora de ecuaciones diferenciales 51

3.1. Teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales 51

3.2. Teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales 55

3.3. Continuacion de soluciones 59

3.4. Dependencia continua de las soluciones con respecto a condiciones iniciales y

parametros 63

3.5. Problemas 66

3.6. *Ecuaciones en diferencias 71

Capitulo 4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 73

4.1. Introduccion 73

4.2. La forma de Jordan de una matriz 82

4.3. La exponencial de una matriz 89

4.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes 95

4.5. Mas sobre la forma de Jordan y la matriz exponencial 100

4.6. Retratos fase en el plano 102

4.7. Retratos fase en el espacio 107

4.8. La foliacion de Hopf 110

4.9. Ecuacion de la primera variacion 115

4.10. Algebra lineal 119

4.11. Problemas 120

ii

4.12. *Ecuaciones lineales en diferencias 123

Bibliografa 127

Indice 129

iii

Lista de figuras

1 Grafica de las soluciones del ejemplo 1.7. 6





6 En el lado izquierdo se encuentran las isoclinas y el campo de pendientes de x = tx ,

en el lado derecho se muestran algunas soluciones y las isoclinas. 14

7 Campo de velocidades y lineas de flujo del ejemplo 1.20. 16

8 Campo vectorial f(x, y) = (y, x) y soluciones de la correspondiente ecuacion diferencial

en el ejemplo 1.21. 18

9 Grafica del potencial V (x) de la ecuacion de Duffing. 20

10 Soluciones de la ecuacion de Duffing y curvas de nivel de H(x, y). 21

1 Bola con centro en x0 y radio contenida en U . 32

2 La sucesion de conjuntos Ak para un rectangulo. 38

1 Construccion de la funcion (t). 52

v

1 Conjunto de ndices de la matriz C. 91

2 Graficas de las soluciones de la subseccion 4.6.1. 104



5 Graficas de las soluciones de la seccion 4.7. 109

6 Construccion de un toro. 111

7 Construccion de la esfera S3. 112

8 Subconjuntos de la esfera S3. 113

9 Flujo de la ecuacion (8). 114

vi

CAPITULO 1

Primeros ejemplos y definiciones

1.1. Introduccion

Leibnitz conoca varias soluciones del problema inverso a las tangentes que consista en de-

terminar las curvas cuyas tangentes cumplan alguna condicion dada, en su solucion se utilizaban

sobre todo metodos geometricos. El prefirio utilizar las tecnicas del recientemente desarrollado

calculo y, finalmente el once de Noviembre de 1675 escribioy dy = 12y

2, resolviendo as la

primera ecuacion diferencial.

En 1691, el problema inverso a las tangentes condujo a Leibnitz a descubrir simultaneamente

el metodo de separacion de variables para resolver ecuaciones diferenciales de la forma y dydx =

X(x)Y (y) y el teorema de cambio de variables en las integrales. A Leibnitz se deben tambien la

regla para derivar productos, y los smbolospara la integral y dydx para la derivada.

Simultaneamente en Inglaterrra, Newton desarrollaba tambien el calculo, y resolva ecua-

ciones diferenciales y las utilizaba ampliamente en la fsica. El desarrollo la idea de estudiar el

movimiento de las partculas que tienen una descripcion cinematica o dinamica mediante una

ecuacion diferencial y la uso en la formulacion de las tres leyes de la mecanica. Con estas

herramientas Newton estudio la mecanica celeste, en donde pudo explicar el movimiento de los

planetas descrito por Kepler a partir de principios muy simples. Su siguiente objetivo fue explicar

el movimiento de la luna con estos mismos principios; despues de grandes esfuerzos y dolores de

cabeza Newton reconocio su fracaso en la solucion de este problema. Ahora se conoce a este

1

2movimiento como el problema de tres cuerpos y sigue siendo fuente de inspiracion en el estudio

de las ecuaciones diferenciales.

En 1696 John Bernoulli desafio a los mejores matematicos de su tiempo a encontrar la curva

sobre la cual se deslice una partcula que este solo sujeta a la accion de la gravedad y que pase

por dos puntos dados en el menor tiempo posible. Una de las soluciones fue dada por su propio

hermano James Bernoulli, quien planteo y resolvio la ecuacion diferencial

dyb2y a3 = dx

a3.

En este trabajo se incluyo la observacion de que las integrales de ambos lados deben ser iguales

salvo una constante y aparece registrada por primera vez la palabra integral.

En esos anos no haba ninguna separacion entre el calculo y las ecuaciones diferenciales,

esta ocurrio en algun momento del siglo XIX mas de doscientos anos despues y fue sobre todo

por cuestiones didacticas, aunque desde un punto de vista mas estructural formen una unidad

indivisible y que tiene entre otras fuentes a la fsica y a la geometra.

Durante los anos siguientes los matematicos y filosofos mas importantes continuaron estu-

diando muchos tipos de ecuaciones diferenciales y los problemas que conducan a estas. Laplace,

Euler y Lagrange, entre otros, hicieron numerosas aportaciones en esta direccion. Sin embargo, a

veces hacan afirmaciones imprecisas y sin justificar, por ejemplo que las ecuaciones diferenciales

tenan soluciones unicas, o que al variar un poco las condiciones iniciales las soluciones tambien

variaran poco.

En el siglo XIX se hicieron evidentes las dificultades, incluso contradicciones que surgan

en el seno del calculo y de las ecuaciones diferenciales trabajando de esta manera. Las ideas

matematicas sufrieron crticas muy profundas que condujeron a un mayor rigor en el razonamiento

3y al surgimiento, entre otras ramas de las matematicas, del analisis matematico. La teora de

ecuaciones diferenciales que presentamos en este libro forma parte de este cuerpo.

1.2. Definicion de una ecuacion diferencial

En cursos elementales de ecuaciones diferenciales se dice que una ecuacion diferencial es una

ecuacion en que interviene una funcion incognita y sus derivadas. A continuacion precisaremos

este concepto.

Definicion 1.1. Sea f : D Rn+1 7 Rn una funcion continua con dominio D, un conjunto

abierto no vaco, entonces una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) tiene la forma

(1.2.1) x = f(t,x),

donde x = (x1, . . . , xn) Rn y (t,x) = (t, x1, . . . , xn) D Rn+1. Tambien llamaremos EDO

a una ecuacion que se puede transformar en una que tenga esta forma. El numero n se llama

el orden de la ecuacion. La funcion f(t,x) se llama el campo vectorial asociado a la EDO. Una

solucion de esta ecuacion diferencial es una curva : I R 7 Rn, donde I es un intervalo

abierto y en donde para cada t I se cumple (t) = f(t,(t)).

La ecuacion diferencial (1.2.1) describe el movimiento de un fluido formado por un gran

numero de partculas en donde la velocidad instantanea de la partcula que en el tiempo t esta

en la posicion x es f(t,x). Las soluciones son las trayectorias de las diferentes partculas. Es por

esto que a veces el campo vectorial tambien es llamado campo de velocidades y las soluciones

lineas de flujo. Un punto sutil en la definicion 1.1 es que en el lado derecho de la ecuacion (1.2.1)

el smbolo x representa a un punto en Rn; y el campo vectorial f(t,x) es una funcion con dominio

en Rn+1 e imagen en Rn. Mientras que en el lado izquierdo el smbolo x representa a un punto

4de una curva, la cual es derivada con respecto a la variable independiente t y luego es evaluada.

Puesto que las soluciones son curvas en el espacio Rn, tambien son llamadas curvas solucion.

Originalmente el objetivo en el estudio de las ecuaciones diferenciales fue dar explcitamente

todas las soluciones de ecuaciones de la forma (1.2.1); o bien de forma implcita dentro de una

ecuacion algebraica eliminando todas las derivadas e integrales. Muy pronto se comprendio que

este objetivo era muy difcil, ahora se sabe que es imposible. Por ejemplo, en el problema de tres

cuerpos, ver 1.14, las soluciones existen pero no es posible expresarlas explcita o implcitamente.

A continuacion daremos algunos ejemplos que ilustran la definicion 1.1.

Ejemplo 1.2. La ecuacion dxdydydx = 1 no es una ecuacion diferencial ordinaria sino una

identidad valida para todas las funciones diferenciales e invertibles. Esta ecuacion es simplemente

el teorema de la funcion inversa. Claramente no tiene la forma (1.2.1).

Ejemplo 1.3. Sea > 0. La ecuacion x(t) = x(t) + x(t ) no tiene la forma (1.2.1) pues

la derivada de x en el tiempo t depende no solo de lo que ocurre en t sino tambien de lo que

paso en el tiempo t . Este tipo de ecuaciones se llaman ecuaciones con retardo. Similar es la

ecuacion

x(t) = x(t) + t0

x(s) ds, t > 0.

Ahora la derivada de la funcion x(t) en el punto t depende de los valores de x en todo el intervalo

[0, t], este tipo de ecuaciones se llaman ecuaciones de evolucion.

Ejemplo 1.4. La ecuacion xx = cos(x) tampoco tiene la forma (1.2.1) pues la derivada

de la funcion x(t) no esta aislada. Al despejarla obtenemos la ecuacion x = cos(x)/x, que

no es continua en x = 0. Este tipo de ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales con puntos

5singulares. Sin embargo, la ecuacion xx = sen (x) si es una EDO pues se expresa como x = f(x),

donde la funcion f(x) = sen (x)/x si x 6= 0 y f(x) = 0 es continua en todo el intervalo (,).

Ejemplo 1.5. La ecuacion (x)2 + 1 = 0 no tiene la forma (1.2.1). Al despejar la derivada

obtenemos x = 1, que es una ecuacion diferencial definida sobre los numeros complejos.

Ejemplo 1.6. Sea f(t) = 1 si t > 0 y f(t) = 1 si t 0. Entonces la ecuacion x = f(t)

tampoco tiene la forma (1.2.1) pues f(t) no es continua en t = 0; integrando se obtiene una

ecuacion integral, ver los problemas 1.23 y 3.35 y la proposicion 3.1.

Algunas propiedades de las ecuaciones de los ejemplos anteriores son similares a las que

tiene la ecuacion (1.2.1), pero tambien presentan diferencias importantes y es necesario tener

precaucion cuando se hacen analogas entre las EDOs y ellas. En este libro estudiaremos prin-

cipalmente aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir en la forma (1.2.1). En las

secciones marcadas con (*) se trabajan las ecuaciones en diferencias, que son el analogo discreto

de las EDOs y con las cuales comparten muchas propiedades. A continuacion veremos algunas

ecuaciones diferenciales ordinarias con orden n = 1. El dominio D sera el subconjunto de R2 en

donde la funcion f : D 7 R que define a la ecuacion diferencial es continua.

Ejemplo 1.7. Sea f(t, x) =|x| para toda x R. Como esta funcion es continua en todo

el plano, entonces la ecuacion x = f(x, t) tiene la forma (1.2.1). Las siguientes funciones son

todas las soluciones

(t) =

14 (t )2 , si t ;

0, si t ;

14 (t )2 , if t,

6t

x(t)

a

b

Fab

Figura 1. Grafica de las soluciones del ejemplo 1.7.

donde . Es posible que = o bien =. Observamos que existe un conjunto infinito

de soluciones que satisfacen (0) = 0.

Ejemplo 1.8. Sea x = x t. Para cada c R existe la solucion dada por c(t) = 1+ t+cet,

t R. Estas son las unicas soluciones, la figura 2 muestra su grafica. Las soluciones se separan

entre si al aumentar el tiempo, por lo que un pequeno cambio en las condiciones iniciales produce

un error que va aumentando con el transcurso del tiempo.

Ejemplo 1.9. Sea x = 2xt. Las soluciones son (t) = cet2donde t R. Ver la figura 3.

Ejemplo 1.10. Sea x = x/t. Las unicas soluciones son las ramas de las hiperbolas (t) =

c/t para t I, donde I = (, 0) o bien I = (0,). Ver la figura 4.

7-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

6

t

x(t)


t

x(t)


8-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

t

x(t)


Ejemplo 1.11. Las unicas soluciones de la ecuacion diferencial x = x2 son las ramas de las

hiperbolas (t) = 1ct para todo t I, con I = (, c) o bien I = (c,). Ver la Figura 5.

Observemos que las soluciones de los ejemplos 1.10 y 1.11 no estan definidas sobre todos los

numeros reales; en el ultimo ejemplo el intervalo de definicion de las soluciones no es constante.

A continuacion daremos ejemplos de EDOs con orden mayor que uno.

Ejemplo 1.12. Una ecuacion diferencial lineal de segundo orden tiene la forma

(1.2.2) x + f(t)x + g(t)x = h(t),

donde las funciones f(t), g(t) y h(t) son continuas en algun intervalo abierto I. Introduciendo la

variable y = x la ecuacion diferencial anterior se transforma en

(1.2.3) x = y, y = h(t) f(t)y g(t)x,

9-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

t

x(t)


que son las componentes de una EDO de orden dos.

En este ejemplo observamos dos cosas. La primera consiste en que frecuentemente las ecua-

ciones diferenciales se escriben en terminos de sus componentes

(1.2.4) xk = fk(t, x1, . . . , xn), para k = 1, . . . , n.

Las ecuaciones diferenciales presentadas en esta forma tambien son llamadas sistemas de ecua-

ciones diferenciales. Tambien se observa que al introducir las variables x1 = y, x2 = y,. . . ,

xk = y(k1), las ecuaciones diferenciales de la forma

y(k) = f(t, y, y, . . . , y(k1))

10

se transforman en sistemas de la forma

x1 = x2, x2 = x3, . . . , x

n = f(t, x1, . . . , xn).

Ejemplo 1.13. La segunda ley de Newton. Suponiendo que la posicion y la velocidad de una

partcula de masa m en el espacio (o bien en una recta o un plano) estan dadas por x(t) y x(t),

donde t es el tiempo; y que ademas la partcula esta sujeta a una fuerza externa que depende del

tiempo, la posicion y la velocidad y que es denotada por F(t,x,x), entonces la segunda ley de

Newton queda descrita por la ecuacion diferencial

(1.2.5) mx = F(t,x,x).

Introduciendo una nueva variable v = x, la ecuacion (1.2.5) se escribe

x = v, v =1mF(t,x,x).

Definiendo otra nueva variable p = mx, la ecuacion (1.2.5) se transforma en

x =1mp, p = F(t,x,

1mp).

Notemos que ambos sistemas de ecuaciones diferenciales tienen la forma (1.2.1). El orden de

ambas es el doble de la dimension del vector x.

Ejemplo 1.14. El problema de tres cuerpos. El movimiento de tres cuerpos con masas m1,

m2 y m3 sujetos a mutua interaccion gravitacional esta gobernado por las leyes de Newton segun

la ecuacion diferencial vectorial ordinaria

(1.2.6) mixi =j 6=i

Gmimj(xj xi)|xj xi|3

, para i = 1, 2, 3,

11

donde xi es la posicion de la iesima partcula, con masa mi y, G es la constante de gravitacion

universal. Para escribir este sistema de ecuaciones diferenciales en la forma (1.2.1) se introducen

las nuevas variables vi = xi, donde i = 1, 2, 3. Entonces el sistema se convierte en

xi = vi, vi =

j 6=i

Gmj(xj xi)|xj xi|3

, para i = 1, 2, 3.(1.2.7)

Si las partculas se mueven en el plano, entonces con cada una de ellas se introducen otras cuatro

ecuaciones, dos por cada variable xi y dos por cada variable vi, y el sistema de ecuaciones

diferenciales (1.2.7) tiene orden doce.

El dominio de este sistema es R12 , donde

= {(x1,x2,x3,v1,v2,v3) : x1 = x2 o x1 = x3 o x2 = x3}.

Similarmente, si las partculas se mueven en la recta o el espacio el sistema de ecuaciones diferen-

ciales (1.2.7) tiene orden seis o dieciocho respectivamente. En general el movimiento de n cuerpos

con masas m1,. . . ,mn sujetos a interaccion gravitacional mutua es un sistema de ecuaciones di-

ferenciales que cumple (1.2.6) o (1.2.7) pero con el ndice i corriendo ahora desde 1 hasta n. En

este caso notemos que el orden es 2n si las partculas se mueven en la recta, 4n si se mueven en

un plano y 6n si lo hacen en el espacio. El dominio del campo vectorial es ahora el subconjunto

abierto R6n , donde = {(x1, . . .xn,v1, . . .vn) : existen i 6= j tales que xi = xj}.

1.3. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

En general una ecuacion diferencial ordinaria tiene un numero infinito de soluciones. Para

tomar una solucion particular se puede elegir el valor que tiene en un tiempo dado.

12

Definicion 1.15. Resolver la ecuacion x = f(t,x) con condiciones iniciales (t0,x0) D

es encontrar una solucion (t) de la ecuacion diferencial tal que (t0) = x0. Este problema es

denotado por

(1.3.1) x = f(t,x), x(t0) = x0.

Ejemplo 1.16. Consideremos el problema x = f(t, x), x(0) = x0, donde f(t, x) esta definida

en el ejemplo 1.7. Si x0 > 0, entonces cada funcion (t), donde = 2x0 es solucion,

observemos que todas estas soluciones coinciden en un intervalo abierto alrededor de t = 0. La

situacion es peor si x0 = 0, en este caso las soluciones son las funciones (t), donde 0 ;

en todos los intervalos que contienen al cero existen soluciones diferentes. En el teorema 3.7

daremos condiciones necesarias para garantizar la existencia y la unicidad de las soluciones de

las ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 1.17. Continuando con el ejemplo 1.8, la unica solucion del problema de condiciones

iniciales x = x t, x(t0) = x0 es c(t) = 1 + t+ cet, donde c = et0(x0 1 t0).

Ejemplo 1.18. La solucion general de la ecuacion x + x = 0 es x(t) = c1 cos t + c2 sen t,

donde c1 y c2 son constantes. Todas las soluciones tienen perodo 2pi y x(0) = x(2pi). De donde

el problema x + x = 0, x(0) = 0 y x(2pi) = 1 no tiene soluciones. Por otro lado existen muchas

soluciones tales que x(0) = 0 = x(2pi). Este tipo de problemas se llaman ecuaciones diferenciales

ordinarias con valores en la frontera.

1.4. Interpretacion geometrica de las ecuaciones diferenciales de primer orden

En esta seccion estudiaremos ecuaciones diferenciales de primer orden usando tecnicas geome-

tricas. Dada la funcion f : D R2 7 R, resolver la ecuacion diferencial x = f(t, x) es encontrar

13

las curvas del plano cuyas graficas tienen pendiente igual a f(t, (t)) en cada punto (t, (t)) del

conjunto D. Se puede pensar que D R2 esta cubierto con pequenos segmentos lineales de

pendiente igual al valor de f(t, x) y colocados en cada punto (t, x), y entonces las curvas solucion

son funciones cuyas graficas son tangentes a cada uno de estos segmentos lineales. La grafica

obtenida al trazar estos pequenos segmentos se llama campo de pendientes.

Las curvas de nivel de la funcion f(t, x) se llaman isoclinas, y estan dadas por la ecuacion

f(t, x) = k, donde k es una constante. Estas determinan el lugar geometrico en el que las

soluciones tienen la misma inclinacion; las soluciones de la ecuacion diferencial cruzan estas

curvas con la misma pendiente k.

Ejemplo 1.19. A continuacion dibujaremos en el plano t x a las soluciones de la ecuacion

(1.4.1) x = tx.

Una primera observacion es que la funcion f(t, x) = t/x no esta definida si x = 0 (el eje t);

es positiva en el conjunto {(t, x) R2 : tx > 0} (el segundo y cuarto cuadrante); es cero si

t = 0, x 6= 0 (el eje X); y es negativa en el conjunto {(t, x) R2 : tx < 0} (el primer y tercer

cuadrante). Estos conjuntos determinan las regiones en donde las pendientes de las soluciones

de la ecuacion diferencial no estan definidas, o bien son positivas, negativas o cero.

Por otro lado, f(t, x) = f(t,x) = f(t,x) = f(t, x); estas igualdades implican que

si x(t) es una solucion definida en el intervalo (a, b), entonces las funciones x(t), x(t) y x(t)

tambien son soluciones, la primera definida en el intervalo (a, b), y las otras dos en el intervalo

(b,a). Por lo que los ejes t = 0 y x = 0 son ejes de simetra en el campo de pendientes y para

las soluciones.

14

tt

x x

k=-Cot(2p/11)k=-Cot(4p/11)k=-Cot(6p/11)

k=-Cot(8p/11)

k=-Cot(14p/11) k=-Cot(16p/11) k=-Cot(18p/11) k=-Cot(20p/11)

k=0

Figura 6. En el lado izquierdo se encuentran las isoclinas y el campo de pen-

dientes de x = tx , en el lado derecho se muestran algunas soluciones y las

isoclinas.

Las isoclinas son t/x = k o bien x = 1k t; que son rectas que pasan por el origen con

pendiente 1k , de aqu se sigue que en este ejemplo las isoclinas son ortogonales a las soluciones.

Por otro lado, el signo de x determina las regiones de concavidad de las soluciones. Por

ejemplo, las regiones en donde x > 0 las soluciones son concavas hacia arriba.

Escribiendo (1.4.1) como xx = t y derivando obtenemos (x)2+xx = 1, o bien (t/x)2+

xx = 1. Despejando x obtenemos

x = x2 + t2

x3.

Entonces la segunda derivada no esta definida si x = 0, es positiva si x < 0 y es negativa si x > 0.

Procedamos a hacer la grafica de las soluciones. En la region x > 0 las soluciones son con-

cavas hacia abajo. Empiezan en el eje x = 0 en algun punto t0 < 0, en este punto la pendiente

15

es infinita. Mientras t < 0 son crecientes, y deben tocar el eje t = 0 en algun punto x0; en este

punto las soluciones satisfacen x = 0 y x < 0 por lo que es un maximo, ademas las soluciones

deben ser simetricas con respecto a los ejes. En la figura 6 se encuentran el campo de pendientes

y algunas soluciones.

Existen otras formas de obtener la grafica de las soluciones; por ejemplo proceder directa-

mente con el campo de pendientes. O bien observando que la ecuacion (1.4.1) es una ecuacion de

variables separables y que tiene soluciones a los crculos t2+x2 = c2, los cuales se pueden graficar

directamente. No siempre es posible proceder por estos metodos, varias de las ecuaciones del

problema 1.33 no se pueden integrar directamente, o bien conducen a integrales muy complicadas

y puede ser muy difcil dibujar el campo de pendientes.

Dibujar las soluciones por medio del analisis del campo de pendientes es tedioso, actualmente

existen varios paquetes computacionales muy eficientes que trazan directamente las soluciones

y al campo de pendientes. Las graficas de este libro fueron generadas usando el programa

MATHEMATICA, otras posibilidades son MAPLE y MATLAB.

1.5. Estudio geometrico de las ecuaciones diferenciales de orden dos

En esta seccion estudiaremos sistemas con dos ecuaciones diferenciales de primer orden, y

supondremos que dichas ecuaciones no dependen del tiempo por lo que sus componentes tienen

la forma

(1.5.1) x = f(x, y), y = g(x, y).

Donde las funciones f(x, y) y g(x, y) estan definidas en un subconjunto abierto D R2. Recorde-

mos que esta ecuacion diferencial representa el movimiento de un fluido que se mueve en un plano.

16

x

y

Figura 7. Campo de velocidades y lineas de flujo del ejemplo 1.20.

La velocidad de la partcula que se encuentra en el punto (x, y) es (f(x, y), g(x, y)) y notemos

que esta velocidad es independiente del tiempo. El dibujo de las lneas de flujo con la orientacion

determinada por la direccion del tiempo se llama retrato fase.

Ejemplo 1.20. El primer ejemplo que trabajaremos es

x = x, y = 2y.

17

Observemos que las dos ecuaciones son independientes, las curvas solucion son (t) = (c1et, c2e2t),

o bien x(t) = c1et, y(t) = c2e2t, donde c1 y c2 son constantes. Entonces

limt 7x(t) = limt 7 y(t) = , limt 7x(t) = limt 7 = 0.

Ademas la pendiente del campo vectorial es m(t) = y(t)x(t) =

2c2c1et, entonces limt 7m(t) =

y limt 7m(t) = 0. Por lo que casi todas las soluciones salen del origen paralelas al eje X y

se escapan al infinito con una direccion paralela al eje Y , las unicas excepciones ocurren cuando

c1 = 0 o c2 = 0. Ver la figura 7.

Ejemplo 1.21. A continuacion estudiaremos el retrato fase de la ecuacion diferencial

(1.5.2) x = y, y = x.

El campo vectorial es (x, y) = (y, x). Como (0) = 0, entonces la funcion constante (t) = 0

es una solucion. Si (x, y) 6= 0 entonces (x, y) (x, y) = (x, y) (y, x) = xy + yx = 0 ; y el

determinante det((x, y), (y, x)) = x2 + y2 > 0. De donde se sigue que el campo vectorial es

perpendicular a la posicion y el sistema de vectores {(x, y),(x, y)} es positivamente orientado.

En la figura 8 esta el campo vectorial y algunas soluciones. Las curvas solucion que no pasan por

el origen son perpendiculares a la posicion. Como el punto (x, y) tiene la misma direccion que

la recta y = kx entonces las soluciones tambien son perpendiculares a estas rectas. Las unicas

curvas que cumplen esta condicion son los crculos con centro en el origen.

Otra manera de obtener este resultado es escribiendo nuestro problema en coordenadas po-

lares, sean

(1.5.3) x = r cos , y = r sen .

18

-10

-5

x

y

Figura 8. Campo vectorial f(x, y) = (y, x) y soluciones de la correspondiente

ecuacion diferencial en el ejemplo 1.21.

Entonces x = r cos r sen , y = rsen + r cos . Sustituyendo ahora las ecuaciones

(1.5.2) y (1.5.3) obtenemos el sistema r sen = r cos r sen , r cos = rsen + r cos .

Despejando r y se tiene r = 0, = 1. Como el radio y la velocidad radial son constantes

entonces las soluciones se mueven en crculos con centro en el origen y ademas lo hacen con una

velocidad angular igual a uno. Observemos que las figuras 6 y 8 son muy parecidas. Puede el

lector explicar la razon?

19

Ejemplo 1.22. En este ejemplo construiremos el retrato fase de la ecuacion diferencial

(1.5.4) x = y, y = x x3,

conocida como la ecuacion de Duffing. Esta ecuacion es un ejemplo de ecuacion hamiltoniana,

que son ecuaciones que se escriben de la forma

x =H

y, y = H

x,

donde H : R2 7 R es una funcion suave, la funcion H se llama el hamiltoniano. En este ejemplo

es la funcion

H(x, y) =y2

2+ V (x), V (x) = x

2

2+x4

4.

la segunda funcion se llama el potencial.

Estas ecuaciones, y su generalizacion a mas dimensiones, modelan sistemas en donde aparece

una cantidad que se conserva (la energa); el hamiltoniano es precisamente esta cantidad. En el

caso de la ecuacion de Duffing el hamiltoniano es la suma de la energa cinetica (el termino y2/2)

y la energa potencial (la funcion V (x)). Ademas si (x(t), y(t)) es una solucion de la ecuacion de

Duffing, entonces

d

dtH (x(t), y(t)) =

H

xx +

H

yy =

(x+ x3) y + y (x x3) = 0,Lo que significa que el hamiltoniano es constante a lo largo de las soluciones, lo que implica que

las soluciones estan contenidas en las curvas de nivel de H(x, y).

A continuacion construiremos la grafica de las curvas de nivel de H. Como un primer paso

estudiemos la grafica de V (x). En la figura 9 se observa que V (x) tiene un unico maximo

local en 0, V (0) = 0; tiene dos mnimos locales en 1 y el 1, V (1) = 1/4; V (x) < 0 si y

20

-2 -1 1 2

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

x

V(x)

Figura 9. Grafica del potencial V (x) de la ecuacion de Duffing.

solo si x (2, 0) (0,2); V (x) = 0 si y solo si x = 2, 0, 2; V (x) > 0 si y solo si

x (,2) (2,).

La curvas de nivel H(x, y) = y2/2 + V (x) = c se escriben en la forma

(1.5.5) y = 2 (c V (x)).

Si c < 1/4, ninguna x cumple la ecuacion (1.5.5). Si c = 1/4, entonces x = 1 cumple

la ecuacion (1.5.5), estos puntos corresponden a los mnimos de V (x), en este caso y = 0. Si

1/4 < c < 0 entonces existe dos intervalos en x, uno contenido en el intervalo (2, 0) y el otro

en el intervalo (0,2) en donde se pueden obtener valor reales de y en la ecuacion (1.5.5). En

este caso se obtienen dos ovalos simetricos con respecto al eje Y. Si c = 0, entonces para todo x

en el intervalo (2,2) se pueden obtener valores reales de y. En este caso la grafica de (1.5.5)

es una figura en forma de ocho.

21

x

y

Figura 10. Soluciones de la ecuacion de Duffing y curvas de nivel de H(x, y).

Finalmente si c > 0 existe un intervalo en la variable x que contiene a (2,2) tal que

la ecuacion (1.5.5) esta bien definida, y tiene una grafica con forma lobular. En la figura 10 se

encuentra la grafica de las curvas de nivel del hamiltoniano y el diagrama de fase.

1.6. Problemas

En estos problemas es muy importante justificar todos los pasos, en algunos se trata de

reconstruir los metodos y funciones que han sido ensenados en los cursos elementales de ecuaciones

diferenciales. Sea cuidadoso en todos los pasos, especialmente cuando se haga un cambio de

variable en una integral o se use el teorema de la funcion inversa.

22

1.23. Sea f(t) una funcion continua, encuentre las soluciones de la ecuacion diferencial ordi-

naria x = f(t) usando una integral. Dar las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales.

1 x = tet, x(1) = 1.

2 x = cos(t).

3 x = et2, x(0) = 1.

4 x = f(t), x(0) = 0, donde f(t) = 1 si t 0 y f(t) = 1 si t > 0. Aunque la funcion f(t)

no es continua, esta ecuacion puede trabajarse de manera similar a las anteriores.

Observacion 1.24. Encontrar las soluciones de este tipo de ecuaciones diferenciales se reduce

a calcular integrales. En general, al proceso de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales

tambien es llamado integracion de una ecuacion diferencial.

1.25. Sean p(t) y q(t) funciones continuas. La ecuacion diferencial x+ p(t)x = q(t) se llama

ecuacion diferencial lineal de primer orden, demuestre que puede ser escrita en la forma (1.2.1)

y tambien como

(1.6.1)d

dt

(x(t) eP (t)

)= q(t)eP (t), donde P (t) =

tt0

p(s) ds.

La funcion eP (t) se llama factor integrante. Transforme esta ecuacion en

x(t) = eP (t0)P (t)x(t0) + tt0

eP (s)P (t)q(s) ds.

Use esta observacion para resolver

1 x x = t, x(1) = 1.

2 x + x/t = 3t2 1/t, donde t > 0.

3 x x = et.

23

1.26. Una ecuacion diferencial de la forma x = f(x)g(t) se llama separable pues la solucion

x(t) que pasa por el punto (t0, x0) satisface

tt0

g(s) ds = x(t)x0

du

f(u)du

si ambas integrales existen. Observe que las variables estan separadas en esta relacion y use este

resultado para encontrar las soluciones de

1 x = xt.

2 x = x/t, x(0) = 1.

3 x = t/x, x(0) = 1.

4 x = et2

sen (1/x) , x(0) = 1.

1.27. En este problema se definiran las funciones trigonometricas seno y coseno. Suponiendo

que la ecuacion diferencial x + x = 0, x(t0) = , x(t0) = siempre tiene una unica solucion,

demuestre las siguientes propiedades:

1 Si x(t), y(t) son soluciones de x + x = 0, c1, c2, h R son constantes, entonces las

funciones x(t+ h), x(t), c1x(t) + c2y(t), x(t) tambien son soluciones.

2 La funcion (t) =x2(t) + (x(t))2 es constante.

3 Si x(t0) = 0 y x(t0) = 0 para algun t0 R entonces x(t) = 0.

4 Si x(t0) = y(t0) y x(t0) = y(t0) entonces x(t) = y(t).

5 Defina a la funcion sen (x) como la solucion x+x = 0, x(0) = 0, x(0) = 1; y a la funcion

cos(x) como la solucion de x + x = 0, x(0) = 1, x(0) = 0.

6 Demuestre

d sen (t)dt

= cos t,d cos(t)dt

= sen (t).

24

7 Pruebe las muy conocidas identidades cos(t+s) = cos(t) cos(s)sen (t)sen (s), sen (t+s) =

cos(t)sen (s) + sen (t) cos(s), cos(t) = cos(t), sen 2(t) + cos2(t) = 1.

8 Existe > 0 tal que cos(t) > 0, ddt cos(t) < 0 para todo t (0, ), cos() = 0 y

cos() = 1.

9 Defina pi = 2 y demuestre que sen () = 1.

10 Demuestre que sen (t) y cos(t) son periodicas de periodo 2pi, y que sen (x) es creciente en

los intervalos [0, pi/2] y [3pi/2, 2pi] y decreciente en [pi/2, 3pi/2].

11 Grafique a las funciones sen (t) y cos(t).

1.28. La siguiente es una ecuacion separable

dy

dx=

1 y21 x2 ,

1 Integrando esta ecuacion demuestre que las soluciones estan definidas implcitamente por

arcsenx+ arcseny = c.

2 Demuestre que esta ecuacion tambien tiene como soluciones

x1 y2 + y

1 x2 = C.

3 En este inciso se dara la relacion entre las dos soluciones obtenidas. Sea f(c) = C esta

relacion y sean x = sen (u), y = cos(v) entonces u + v = c, y ademas sen (u) cos(v) +

sen (v) cos(u) = f(c) = f(u+ v). Tome ahora el valor v = 0 y obtenga la relacion entre c

y C dada por la funcion f(c).

4 Obtenga la identidad sen (u) cos(v) + sen (v) cos(u) = sen (u+ v).

25

Definicion 1.29. Las funciones que son constantes a lo largo de todas las trayectorias se

llaman integrales de la ecuacion diferencial, la existencia de integrales en una ecuacion diferencial

reduce la complejidad del problema.

1.30. En este problema se necesita el teorema de Green. Una ecuacion diferencial de la forma

(1.6.2) M(t, x) +N(t, x)x = 0

se llama exacta si existe una funcion F (x, y) con segundas derivadas parciales continuas que

satisface

F

t=M(t, x),

F

x= N(t, x).

1 Demuestre que una condicion necesaria para que tal funcion exista es

(1.6.3)N

t=

M

x,

y en este caso las soluciones satisfacen F (t, x) = c. Esto es, la funcion F (t, x) es una

integral de la ecuacion.

2 De condiciones sobre el dominio de F (t, x) para que (1.6.3) sea una condicion suficiente

para que la ecuacion (1.6.2) sea exacta.

3 Demuestre que las ecuaciones separables son exactas.

4 Demuestre que la siguiente ecuacion es exacta

(2x3 + 2) + 3tx2 x = 0.

1.31. Demuestre que la sustitucion y = x1n transforma la ecuacion de Bernoulli

x + p(t)x = q(t)xn

26

en una ecuacion diferencial lineal, (ver problema 1.25). De la solucion general de esta ecuacion.

1.32. La ecuacion x = p(t) + q(t)x + r(t)x2 se llama ecuacion de Riccati. Sea x1(t) una

solucion de la ecuacion de Riccati.

1 Demuestre que la solucion general tiene la forma x(t) = x1(t) + y(t), donde y(t) es la

solucion general de la siguiente ecuacion de Bernoulli y [q(t) + 2r(t)x1(t)] y = r(t)y2.

2 Utilizando el problema 1.31 dar la solucion general de la ecuacion de Riccati cuando se

conoce una solucion particular x1(t).

3 Si x1(t) y x2(t) son dos soluciones de la ecuacion de Riccati, entonces la solucion general

x(t) satisface

x(t) x1(t) = c (x(t) x2(t)) exp( t

r(s) (x1(s) x2(s)) ds).

Hint: Defina la funcion u = (x x1)/(x x2) y obtenga una ecuacion diferencial para u.

Observe que no se puede despejar la funcion x(t) en terminos de las dos funciones x1(t)

y x2(t).

4 Si y1, y2, y3, y4 son cuatro soluciones de la ecuacion de Riccati entonces la razon armonica

(y1 y3) / (y1 y4)(y2 y3) / (y2 y4)

en constante.

5 Si la funcion r(t) nunca es cero entonces la sucesion de transformaciones x = v(t)/r(t),

v = u/u convierte la ecuacion de Riccati en una ecuacion lineal de segundo orden.

1.33. Utilizar la tecnica de la seccion 1.4 para dibujar las soluciones de las ecuaciones:

1 x = t2 + x2.

27

2 x = 2 + t2 x2.

3 x = t+xtx .

4 x = x(x 1)(x+ 1).

5 x = senx.

1.34. Sea H : U R2 7 R una funcion suave. Entonces el sistema gradiente asociado es la

ecuacion diferencial

x =H

x, y =

H

y;

y el sistema hamiltoniano asociado es la ecuacion diferencial

x =H

y, y = H

x.

1 Demostrar que si (x(t), y(t)) es una solucion de un sistema gradiente entoncesH(x(t), y(t))

es creciente para todo t R, o bien (x(t), y(t)) = a es un punto fijo. Demostrar que un

sistema gradiente no tiene soluciones periodicas.

2 Demostrar que el hamiltoniano es una integral del sistema.

3 Demostrar que las orbitas del sistema gradiente y las del sistema hamiltoniano asociado

a la misma funcion H(x, y) son ortogonales.

4 En estos problemas las tecnicas del calculo diferencial de varias variables pueden ser

utiles. Dibujar las soluciones de los sistemas hamiltonianos y gradientes asociados a las

funciones

H(x, y) = y2/2 + cos(x). (Ecuacion del pendulo).

H(x, y) = x2 + y2. (Oscilador armonico).

H(x, y) = y2x+ 1/3x3 + (x2 + y2) + x+ y.

28

H(x, y) = y2x 1/3x3 (x2 + y2) + x+ y.

1.7. (*) Calculo en diferencias

En las secciones marcadas con (*) se proponen series de problemas para desarrollar los

analogos discretos del calculo diferencial e integral y de las EDOs llamados el calculo en dife-

rencias y las ecuaciones en diferencias. Mientras que los primeros se construyen sobre funciones

definidas en intervalos, los segundos se construyen sobre sucesiones, sin embargo muchas de sus

propiedades son similares. El conjunto de todas las sucesiones en Rn es denotado por Suc(Rn).

Los problemas de esta seccion pueden hacerse por medio de la induccion matematica pero suge-

rimos intentar las tecnicas del calculo primero.

Recordemos que la derivada y la integral de una funcion son

f (a) = limh70

f(a+ h) f(a)h

,

ba

f(x) dx = lim|P |70

f(xi)xi.

Donde P es la particion regular a = x0 < x1 < < xn = b. Tomando h = 1 en la definicion de

la derivada, o bien b = a+ n y xi = 1 en la de la integral obtenemos

f (a) ' f(a+ 1) f(a), a+na

f(x) dx 'n

k=1

f(a+ k).

Utilizando estas aproximaciones, se definen sus analogos discretos equivalentes:

Definicion 1.35. Sea {xn} una sucesion definida en Rn, entonces la diferencia 1 y la suma

son las sucesiones

xn = xn+1 xn,n

k=n0

xk = xn0 + xn0+1 + . . . xn.

1Tambien llamada la variacion.

29

Otros dos operadores muy importantes y definidos en Suc(Rn) son el shift 2 y el operador iden-

tidad definidos como

E(xn) = xn+1, I(xn) = xn.

A veces es conveniente pensar que el shift es casi el operador identidad.

Ejemplo 1.36. Para la sucesion xn = n tenemos

(xn) = (n+ 1) n = 1,n

k=0

k =n(n+ 1)

2,

E(xn) = n+ 1, I(xn) = n.

1.37. Para las sucesiones xn = 2n, n3, n! calcular (xn),n

k=1 xk, E(xk).

1.38. Demostrar las siguientes proposiciones

1 El conjunto Suc(Rn) es un espacio vectorial.

2 Los operadores ,, E y I son lineales.

3 Ek(xn) = xn+k.

4 = E I.

5 kxn =k

i=0(1)i ( ki )xn+ki.

6 Ek(xn) =k

i=0 (ki )

kixn.

7 (xnyn) = E(xn)(yn) + yn(xn), (Regla del producto).

8 (xnyn

)= yn(xn)xn(yn)ynE(yn) , (Regla del cociente).

2Este operador se traduce a veces como corrimiento, nosotros usaremos la palabra en ingles por ser mas corta

y ampliamente usada.

30

1.39. Demostrar las identidades analogas al teorema fundamental del calculo:

n11k=n0

(xk) = xn1 xn0 , (n11k=n0

xk

)= xn1

Definicion 1.40. Un operador de antidiferencia 1 : Suc(R) 7 Suc(R) es un operador

que satisface 1 = I.

1.41. Demostrar

1 Los operadores de antidiferencia 1 son lineales.

2 El operador definido por 1(xn) =n1

k=1 xk es una antidiferencia.

3 Si 1 y 11 son dos antidiferencias entonces existe c R tal que para toda sucesion

{xn} se culmple 1xn = 11 xn + c.

4 Si 1 es una antidiferenciacion entonces

n11k=n0

xk = 1(an1)1(an0).

1.42. Encontrar todas las sucesiones que satisfagan

1 xn = 0.

2 xn = xn y ademas x0 = 1.

1.43. Los polinomios factoriales estan definidos por x(0) = 1, x(n) = (x+ 1 n)x(n1).

1 Demostrar que x(n) = x(x 1) . . . (x n+ 1).

2 Si k N entonces k(n) = n!(nk)! , n(n) = n!.

3 x(n) = nx(n1).

4 nx(k) = k(k 1) . . . (k n+ 1)x(kn).

5 nx(n) = n!.

CAPITULO 2

Espacios metricos y normados

2.1. Espacios metricos

Una de las mayores dificultades en el estudio de la teora de ecuaciones diferenciales es la

necesidad de usar ideas provenientes del analisis matematico como son los espacios metricos y los

espacios normados. Con el fin de unificar la notacion revisaremos algunos de estos conceptos en

este captulo, esperando que sean estudiados a profundidad en un curso de analisis matematico.

Las demostraciones omitidas en este captulo se localizan en la referencia [6]. Las secciones 2.2,

2.4, 2.6 y el teorema 2.21 han sido desarrollados con gran detalle.

Definicion 2.1. Una metrica en el conjunto X es una funcion d : X X 7 R tal que si x,

y, z X entonces se cumplen las siguientes cuatro propiedades:

1 d(x, y) 0.

2 d(x, y) = 0 si y solo si x = y.

3 d(x, y) = d(y, x).

4 d(x, z) d(x, y) + d(y, z).

La ultima propiedad se llama la desigualdad del triangulo. El par {X, d} se llama espacio metrico.

La distancia entre x y y es d(x, y).

Definicion 2.2. Sean x X y > 0 entonces la bola abierta de radio y centro en x es el

conjunto B(x) = {y X : d(x, y) < }. Ver figura 1.

31

32

e

U

bolaabiertaconcentroenx0

U

x0

Figura 1. Bola con centro en x0 y radio contenida en U .

Definicion 2.3. Un subconjunto O X es un conjunto abierto si para todo x O existe

> 0 tal que si d(x, y) < entonces y O.

Una reformulacion de esta definicion es que O es abierto si x O entonces existe una bola

B(x) contenida completamente en O.

Definicion 2.4. La sucesion {xn} de puntos del espacio metrico X es una sucesion de

Cauchy si para todo > 0 existe N N tal que si n, m N entonces d(xn, xm) < .

Definicion 2.5. La sucesion {xn} de puntos del espacio metrico X converge a x X si

para todo > 0 existe N N tal que si n N entonces d(xn, x) < . Esto se denota por

limn 7xn = x o bien xn 7 x.

33

Alternativamente, la sucesion {xn} converge a x si para toda bola abierta B(x) existe N N

tal que si n N entonces xn B(x).

Definicion 2.6. El espacio metrico es completo si todas las sucesiones de Cauchy son con-

vergentes.

Definicion 2.7. Un subconjunto F X es un conjunto cerrado si para toda sucesion

{xn} F tal que xn 7 x se tiene que x F .

Un conjunto es cerrado si y solo si su complemento es abierto. Ademas los subconjuntos

cerrados de espacios metricos completos son a la vez completos.

Definicion 2.8. La cerradura del conjunto A X es el conjunto

A ={F : A F, F es cerrado} .

La cerradura del conjunto A es el conjunto cerrado mas pequeno que contiene a A, ademas

A es cerrado si y solo si A = A.

Definicion 2.9. Un conjunto F X es acotado si esta contenido completamente en una

bola abierta Br(x).

Definicion 2.10. Sean X y Y dos espacios metricos con metricas d1 y d2 respectivamente.

La funcion : X 7 Y es continua si para todo x X y para toda > 0 existe > 0 tal que si

d1(x, y) < entonces d2((x),(y)) < .

Existen varias equivalencias de la definicion anterior, nosotros podemos usar las siguientes:

La funcion : X 7 Y es continua si y solo si para todo x X y para toda > 0 existe > 0

34

tal que (B(x)) B((x)). O bien, si y solo si para cada punto x X y para toda sucesion

{xn} que converge a x se tiene que la sucesion {(xn)} converge a (x).

2.2. Teorema de punto fijo de Banach

Definicion 2.11. SeaX un espacio completo, y sea F X un subconjunto cerrado, entonces

la funcion : F 7 F es una contraccion si existe < 1 tal que si x y y estan en F , entonces

(2.2.1) d((x),(y)) < d(x, y).

Las contracciones son funciones continuas.

teorema 2.12. [ Del punto fijo de Banach] Sea X un espacio metrico completo. Sea F X

un subcojunto cerrado. Si : F 7 F es una contraccion entonces existe un unico punto fijo x,

esto es, que cumple (x) = x.

Demostracion: La prueba que daremos consta de dos pasos. El primero es mostrar la

existencia del punto fijo, aqu se construye una sucesion de Cauchy. Como el espacio F es

completo, entonces existe el lmite de esta sucesion y este sera el punto fijo. En el segundo paso

obtendremos la unicidad de este punto fijo. En ambos pasos usaremos fuertemente que la funcion

(x) es una contraccion.

Sea x0 F y definamos la sucesion {xn} de forma recursiva por xn+1 = (xn); esto es

x1 = (x0), x2 = (x1), x3 = (x2), etcetera.

Afirmacion 1. La sucesion {xn} es una sucesion de Cauchy.

35

Demostracion: Usando varias veces la propiedad (2.2.1) observamos que

d(xn+1, xn) = d((xn),(xn1)) d(xn, xn1) = d((xn1),(xn2))(2.2.2)

2d(xn1, xn2) nd(x1, x0).

Utilizando la ecuacion previa reiteradamente y la desigualdad del triangulo obtemos que para

m n se cumple

d(xm, xn) d(xm, xm1) + d(xm1, xm2) + . . . d(xn+1, xn)(2.2.3)

(m1 + m2 + + n) d(x1, x0)= n

(mn1 + m2 + + + 1) d(x1, x0)

= n1 mn1 d(x1, x0)

n

1 d(x1, x0) 7 0.

De donde se sigue la afirmacion.

Como F es un espacio metrico completo, entonces esta sucesion es convergente y su lmite x

esta en F .

Afirmacion 2. El punto x satisface (x) = x.

Demostracion: Como la contraccion (x) es continua entonces

(x) = (limn 7xn

)= lim

n7(xn) = limn7xn+1 = x.

Probemos ahora la unicidad. Si x y y son dos puntos fijos entonces d (x, y) = d ((x),(y))

d (x, y). Por tanto, 0 ( 1)d(x, y). Como < 1 entonces d(x, y) = 0 y por tanto x = y.

36

Observacion 2.13. La demostracion de este teorema puede ser usada para obtener una

aproximacion del punto fijo mediante aproximaciones sucesivas. De hecho, al hacer tender m a

infinito en la ecuacion (2.2.3) se obtiene la desigualdad

d(x, xn) n

1 d(x1, x0)

que da una estimacion del error al reemplazar x por xm. En los problemas se dan algunas

aplicaciones del teorema de punto de Banach en varias areas de las matematicas.

2.3. Subconjuntos compactos y puntos de acumulacion

En esta seccion se daran varios de los mas importantes conceptos del analisis y la topologa.

Definicion 2.14. Sea F X, entonces x X es un punto de acumulacion de F si para

todo > 0 existe y F tal que 0 < d(x, y) .

Un punto x X es un punto de acumulacion de F si toda bola B(x) tiene un numero

infinito de puntos de F .

Definicion 2.15. Sea F X, entonces una cubierta abierta de F es una familia {O} de

conjuntos abiertos de X tales que F O. Una subcubierta es un suconjunto de {O} quetambien es cubierta.

Definicion 2.16. Sea F X, entonces F es un conjunto compacto si toda cubierta abierta

tiene subcubierta finita.

En otros cursos se estudian estos conceptos y se demuestra el siguiente teorema:

teorema 2.17. Sea F X y sean las siguientes proposiciones

37

1 El conjunto F es compacto.

2 Todo conjunto infinito de F tiene un punto de acumulacion.

3 Toda sucesion de F tiene una subsucesion convergente.

4 El conjunto F es cerrado y acotado.

entonces son equivalentes 1, 2, 3, y ademas implican 4. Si X = Rn entonces tambien esta ultima

es equivalente a las otras.

Definicion 2.18. La distancia entre el punto y y el conjunto B es d(y, B) = infxB d(x,y).

Proposicion 2.19. d(y, B) 0 y ademas d(y, B) = 0 si y solo si y es un punto de acumu-

lacion de B.

Definicion 2.20. La frontera del conjunto B es el conjunto B = B Rn B.

La frontera de un conjunto es la capa que separa a este conjunto de su complemento. El

conjunto B es abierto si para cada x B se tiene que d(x, B) > 0.

teorema 2.21. Sea U Rn un conjunto abierto y no vacio, entonces existe una familia de

conjuntos compactos {Ak} tales que

A1 A2 A3 . . . , y ademas k=1 Ak = U.

Demostracion: Sea x0 U . Definamos para cada k N el conjunto

Ak ={x U : |x x0| k, d(x, U) 1

k

},

ver la figura 2. Entonces Ak es acotado, pues la primera desigualdad implica que Ak B(x0, k).

38

A A A1 2 3

U

Figura 2. La sucesion de conjuntos Ak para un rectangulo.

Si {xi} Ak entonces |xi x0| k y d(xi, U) 1k . Si ademas xi 7 x entonces

|x x0| k y d(x, U) 1k , lo que implica que x Ak. Por lo tanto cada conjunto Ak es

cerrado. Usando el teorema 2.17 tenemos que cada Ak es compacto, y ademas Ak Ak+1.

Para terminar probemos la siguiente igualdadkNAk = U . Esta igualdad se prueba con

dos contenciones. ClaramentekNAk U . Por otro lado si x U entonces existe un numero

natural k1 tal que |x x0| k1. Como U es un conjunto abierto, entonces existe otro numero

natural k2 tal que d(x, U) 1k2 . Sea k = max{k1, k2}, entonces x Ak. De donde se sigue la

otra contencion.

2.4. El conjunto de las funciones continuas C (D,Rn)

En esta seccion se estudiara al conjunto

C (D,Rn) = {f : D 7 Rn : f es continua},

39

donde el conjunto D Rn es compacto. En el problema 2.35 se estudian varias propiedades

de este conjunto, entre ellas que es un espacio metrico completo con la metrica d(f, g) =

maxxD |f(x) g(x)|. Esta metrica se le conoce como la metrica uniforme.

Necesitamos primero discutir la diferencia entre la convergencia puntual y la convergencia

uniforme. A continuacion damos las dos definiciones.

Definicion 2.22. La sucesion de funciones continuas {fn : D 7 Rn} converge puntualmente

a la funcion f : D 7 Rn si para todo x D se sigue que limn7 fn(x) = f(x). La sucesion

{fn : D 7 Rn} converge uniformemente a la funcion f : D 7 Rn si y solo si para toda > 0

existe N N tal que para toda n N y para todo x D se tiene que |fn(x) f(x)| . Esto

lo denotaremos por fn 7 f .

Es necesario notar que en la convergencia puntual se calcula el lmite en cada punto, mientras

que en la convergencia uniforme el lmite se calcula globalmente, por lo esta es mas regular. Por

ejemplo, si fn 7 f y todas las fn son continuas entonces f es continua y ademas

(2.4.1) ba

f(x) dx = limn 7

ba

fn(x) dx.

Ejemplo 2.23. Sea fn(x) = (n + 1)(n + 2)xn(1 x). Entonces para todo n N tenemos

fn(0) = fn(1) = 0. Ademas, si 0 < x < 1 entonces

limn7 fn(x) = limn 7(n

2 + 3n+ 2)xn(1 x) = (1 x)( limn7n

2xn + 3 limn 7nx

n + 2 limn 7x

n)

=(1 x)( limn7

n2

(1 + p)n+ 3 lim

n7n

(1 + p)n+ 2 lim

n7n0

(1 + p)n) = 0,

40

donde p = (1 x)/x > 0. En este lmite usamos que limn7 n(1+p)n = 0 si p > 0 y R, cuya

demostracion esta en [6]. Entonces

10

limn 7 fn(x) = 0.

Por otro lado

limn 7

10

fn(x) dx = limn7

10

(n+ 1)(n+ 2)xn(1 x) dx = 1.

Esto no contradice (2.4.1), pues la convergencia de la sucesion fn(x) no es uniforme.

La convergencia uniforme es la convergencia de sucesiones en el espacio C (D,Rn). Tambien

en el problema 2.35 se estudian las propiedades de la convergencia uniforme.

Definicion 2.24. Sea F una familia de funciones continuas definidas en un conjunto D Rn

y con valores en Rk, entonces

1 La familia F es uniformemente acotada si existe M > 0 tal que para todo x D y para

toda funcion f en F se tiene |f(x)| < M .

2 La familia F es equicontinua si para todo > 0 existe > 0 tal que para todos los puntos

x, y D y para toda f F se sigue que |x y| < implica |f(x) f(y)| < .

Nuestros principales ejemplos de familias de funciones equicontinuas y uniformemente aco-

tadas se encuentran en el captulo 3.

teorema 2.25. [Arzela-Ascoli] Sea D Rn cerrado y acotado. Sea {fn} una sucesion de

funciones uniformemente acotada y equicontinua contenida en C (D,Rn), entonces existe una

subsucesion {mk} y una funcion f C (D,Rn) tal que la sucesion {fmk} converge a f uniforme-

mente.

41

La siguiente version de este teorema caracteriza los compactos del conjunto C (D,Rn).

teorema 2.26. Sea D Rn compacto, F C (D,Rn) entonces el conjunto F es compacto

si y solo si F es cerrado, equicontinuo y uniformemente acotado.

En el problema 2.35 se pide demostrar este teorema.

2.5. Espacios normados y de Banach

Definicion 2.27. Sea X un espacio vectorial sobre R (o sobre C), entonces la funcion

: X 7 R es una norma sobre X si cumple las siguientes cuatro propiedades:

1 Para todo x X: x 0.

2 x = 0 si y solo si x = 0.

3 Para todo x, y X: x+ y x+ y.

4 Para todo x X y para todo R: x = || x.

Un espacio vectorial con una norma se llama un espacio normado.

Ejemplo 2.28. El espacio Rn es normado con la norma x =ni=1 x2i .Proposicion 2.29. Sea X un espacio normado entonces d(x, y) = x y es una metrica

en X.

Definicion 2.30. El espacio normado X tal que la metrica asociada es completa se llama

espacio de Banach.

2.6. El espacio normado de las matrices

Sea Mn el conjunto de las matrices cuadradas definidas en R de orden n.

42

Proposicion 2.31. El espacio Mn con la norma

A = supx=1

Ax

es un espacio normado.

Este espacio normado es estudiado en los problemas 2.34, 2.40, 2.41, 2.42 y 2.43.

2.7. Problemas

2.32. La metrica del rio en R2 es:

(2.7.1) d((x1, y1), (x2, y2)) =

|x1 x2|+ |y1|+ |y2| si x1 6= x2,

|y1 y2| si x1 = x2.

1 Dibujar la bola de radio 1 y centro en (0, 0), (2, 0), (0, 2).

2 Demostrar que R2 con esta metrica es un espacio metrico completo.

3 Determinar si es un espacio normado.

4 Determinar cuales de las siguientes sucesiones son convergentes en este espacio: {(1/n, 0)},

{(0, 1/n)}, {(1/n, 1)}, {(1, 1/n)}.

2.33. 1 Demostrar que el conjunto Rn es un espacio metrico completo con cualquiera

de las siguientes metricas:

d1(x,y) = max{|x1 y1| , . . . , |xn yn|},

d2(x,y) =(x1 y1)2 + + (xn yn)2,

d3(x,y) = |x1 y1|+ + |xn yn| .

Donde x = (x1, . . . , xn) y y = (y1, . . . , yn).

43

2 Dar las normas | |i a las que estan asociadas estas distancias.

3 Demostrar que Rn es un espacio de Banach con cualquiera de estas normas.

Cuando la norma no tenga subndice nos referiremos a la norma | |2.

2.34. 1 Demostrar que el conjunto Mn de las matrices cuadradas de orden n es un

espacio metrico con cualquiera de las metricas

d1(A,B) = sup|x|=1

|(AB)x)||x| ,

d2(A,B) =

1i,jn(aij bij)2,

d3(A,B) = sup1i,jn

|aij bij | .

2 Demostrar que Mn con cualquiera de las metricas anteriores es completo.

3 Dar las normas i a las que estan asociadas estas distancias.

4 Demostrar que Mn con cualquiera de las normas i es de Banach.

5 Demostrar que AB1 A1 B1.

2.35. Sea D Rn un conjunto compacto, demostrar

1 Las siguientes son metricas definidas en el conjunto C (D,Rn).

d1(f, g) = maxxD

|f(x) g(x)| ,(2.7.2)

d2(f, g) = maxxD

|f(x) g(x)| e(xa),

en este ultimo caso se supone n = 1, R, D = [a, b]. La distancia d1 se llama la

metrica uniforme.

44

2 Dar las normas | |i a las que estan asociadas estas distancias. Cuando la norma no tenga

subndice nos referiremos a la norma | |1.

3 Demuestre que si {fk : D 7 Rn} es una sucesion de funciones continuas que converge

uniformemente a la funcion f : D 7 Rn, entonces f es continua.

4 Dar un ejemplo de una sucesion de funciones continuas que converjan puntualmente a

una funcion que no sea continua.

5 Demuestre que la sucesion de funciones continuas {fk : D 7 Rn} converge uniformemente

a la funcion {f : D 7 Rn} si y solo si convergen en la metrica (2.7.2).

6 Demuestre que C (D,Rn) es un espacio metrico completo. Esto es, que toda sucesion de

funciones {fk : D 7 Rn} que sea de Cauchy con respecto a la metrica (2.7.2) converge a

una funcion continua.

7 Demuestre que C (D,Rn) es un espacio de Banach.

8 Suponiendo el teorema 2.25, demuestre el teorema 2.26.

2.36. Demuestre queX = {f C([a,),R) : etf(t) es acotado en [a,}} con la distancia

d(f, g) = supat

{|f(t) g(t)| et},

donde R constante es un espacio metrico. Determinar si es completo o no.

2.37. Demostrar la proposicion 2.31.

2.38. Siga la demostracion del teorema 2.21, determine en donde falla esta demostracion si

1 U = [0, 1), x0 = 1/2. (A pesar de que U es una union numerable de compactos).

2 U = Q, x0 = 0.

45

2.39. Demostrar que el teorema de punto fijo de Banach es falso si

1 El espacio X no es completo.

2 El subconjunto F no es cerrado.

3 La constante = 1.

2.8. *Aplicaciones del teorema de punto fijo de Banach

El objetivo de los siguientes problemas es usar el teorema de punto fijo de Banach para

mostrar algunas formas iterativas de resolver sistemas de ecuaciones lineales, los cuales pueden

ser escritos como

(2.8.1) Ax = b,

donde A Mn, x, b Rn.

2.40 (Metodo clasico). Demostrar los siguientes incisos

1 Resolver la ecuacion (2.8.1) es equivalente a resolver

(2.8.2) x = (IA)x+ b

2 Considere la funcion T : Rn 7 Rn definida por T(x) = (IA)x+ b. Entonces resolver

la ecuacion (2.8.1) es equivalente a encontrar un punto fijo de T.

3 Por medio del teorema de punto fijo de Banach, dar una condicion suficiente para la

existencia de un unico punto fijo.

4 Calcular mediante la iteracion de la funcion T la solucion del sistema

(2.8.3)

15 63 20

xy

= 3626

.

46

5 Dividir todo el sistema entre 30 y tratar de nuevo de calcular las soluciones del sistema

mediante la nueva funcion asociada T.

6 Explicar la diferencia.

2.41 (Metodo clasico mejorado). Sean las matrices

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

, A0 =

a11 0 . . . 0

0 a22 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . ann

,

A+ =

0 a12 . . . a1n

0 0 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . an1,n

0 0 . . . 0

, A =

0 0 . . . 0 0

a21 0 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .

an1 1 an1 2 . . . 0 0

an1 an2 . . . an,n1 0

.

y sean los vectores x = (x1, . . . , xn), b = (b1, . . . , bn), x = T(x) = (x1, . . . , xn) = (IA)x+b,

entonces las componentes del vector x son

x1 = (1 a11)x1 a12x2 a13x3 a1nxn + b1,

x2 = a21x1 + (1 a22)x2 a23x3 a2nxn + b2,

x3 = a31x1 a32x2 + (1 a33)x3 a3nxn + b3,(2.8.4)

. . .

xn = annx1 an2x2 an3x3 + (1 ann)xn + bn.

47

Si se cumple la condicion del inciso d) del problema anterior, entonces x esta mas cercana de

la solucion que x. Es de esperarse que el vector (x1, x2, . . . , xn), en donde hemos cambiado la

primera componente de x con la primera componente de x, estara un poco mas cerca que x.

Esto sugiere la siguiente forma de variar el metodo clasico: primero calculemos x1 por medio

de la ecuacion (2.8.4). En el calculo de x2 utilizaremos el nuevo valor de x1 en lugar de x1 en

la segunda ecuacion de (2.8.4). Depues, x1 y x2 pueden ser utilizados en vez de x1 y x2 para

calcular x3 y as sucesivamente. Este es el metodo clasico mejorado.

1 Escribir el metodo clasico mejorado en una forma similar a la ecuacion (2.8.4).

2 Probar que el algoritmo propuesto esta dado por la funcion

x = G(x) = (I+A)1 (IA0 A+)x+ (I+A)b.

3 Demostrar que las soluciones de (2.8.1) son puntos fijos de la funcion G(x).

4 Repetir las mismas preguntas realizadas en el problema 2.40 para este metodo.

.

2.42 (Metodo de Jacobi). Suponiendo que a11 6= 0, a22 6= 0, . . . , ann 6= 0 el sistema (2.8.1)

es equivalente al sistema de ecuaciones

x1 =1a11

( a12x2 a13x3 a1nxn + c1) ,

x2 =1a22

(a21x1 23 x3 a2nxn + c2) ,

. . .

xn =1ann

(an1x1 an2x2 an3x3 . . . + cn) .

48

Lo que sugiere el siguiente metodo iterativo para resolver el sistema (2.8.1):

x1 =1a11

( a12x2 a13x3 a1nxn + c1) ,

x2 =1a22

(a21x1 23 x3 a2nxn + c2) ,

. . .

xn =1ann

(an1x1 an2x2 an3x3 . . . + cn) .

Este metodo se llama el metodo de Jacobi.

1 Demostrar que el metodo de Jacobi es descrito por la ecuacion

x = A01 (A +A+)x+A10 b.

2 Repetir las preguntas del problema 2.40 para este metodo.

2.43 (Metodo de Gauss-Seidel). Mejorar el metodo de Jacobi usando la discusion dada en el

metodo clasico mejorado. En este caso la funcion es

x = (A +A0)1A+x+ (A +A0)1 b

Despues repetir las mismas preguntas realizadas en el problema 2.40 para este metodo.

2.44. Sea f : [a, b] [c, d] R2 7 R una funcion suave, y tal quefy < 1, usando el

teorema de punto fijo de Banach, demostrar que existe una unica funcion : [a, b] 7 [c, d]

tal que f(x, (x)) = (x). Demostrar que la funcion es suave. Usando el teorema de la

funcion implcita encontrar una ecuacion diferencial satisfecha por esta ecuacion. La aplicacion

del teorema de punto fijo de Banach en este problema se conoce como elmetodo de transformacion

de graficas.

49

2.45. Sea > 0, definamos la siguiente sucesion mediante recursion:

(2.8.5) x1 >, xn+1 =

12

(xn +

xn

).

1 Demuestre que limn 7 xn =.

2 Si n = xn , demuestre que n+1 =

2n2xn

0, f (x) > 0 y

0 f (x) M para todo x [a, b]. Complete los detalles del siguiente desarrollo del metodo de

Newton para encontrar las soluciones de la ecuacion f(x) = 0.

1 Demuestre que existe un unico punto en el intervalo (a, b) tal que f() = 0.

2 Elija x1 (a, b) y defina la sucesion xn+1 = xn f(xn)f (xn) . Interprete geometricamente en

terminos de la tangente de la grafica de la funcion f(x).

3 Demuestre que limn 7 xn = .

4 Si A =M/(2) demuestre que

(2.8.6) |xn+1 | 1A(A(x1 ))2

n

50

5 Sea f : [1, 1] 7 R definido por f(x) = x1/3, intente aplicar el metodo de Newton.

Explique sus resultados.

6 Aunque la prueba mas sencilla del inciso 3 es por medio del teorema de punto fijo de

Banach, la ecuacion (2.8.6) demuestra que la convergencia en el metodo de Newton es

mucho mas rapida. Para la funcion f(x) = x3 + x definida en el intervalo [1, 1] haga

una tabla en donde se compare la distancia entre el punto fijo 0 y el termino nesimo de

la sucesion y las predichas por el teorema de Banach y la ecuacion (2.8.6).

CAPITULO 3

Los teoremas fundamentales de la teora de ecuaciones

diferenciales

3.1. Teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales

Mediante el el teorema fundamental del calculo daremos una forma mas comoda de trabajar

para el problema de condiciones iniciales

(3.1.1) x = f(t,x), x(t0) = x0.

Proposicion 3.1. Sea f : D Rn+1 7 Rn una funcion continua, (t0,x0) D entonces la

funcion (t) es solucion de (3.1.1) si y solo si (t) es solucion de la ecuacion integral

(3.1.2) x(t) = x0 + tt0

f(s,x(s)) ds.

Demostracion: ) Si (t) es solucion de (3.1.1) entonces

(3.1.3) (t) = f(t, (t)), (t0) = x0.

Integrando y usando el teorema fundamental del calculo se obtiene

(t) x0 = (t) (t0) = tt0

(s) ds = tt0

f(s, (s)) ds.

Por lo tanto (t) = x0 + tt0f(s, (s)) ds.

51

52

toto-e to+e to+2e

f0

fe

t

x

Figura 1. Construccion de la funcion (t).

) Si (t) = x0 + tt0f(s, (s)) ds entonces (t0) = x0 +

t0t0f(s, (s)) ds = x0. Ademas, del

teorema fundamental del calculo se sigue que

(t) =d

dt

(x0 +

tt0

f(s, (s)) ds)= f(t, (t)).

teorema 3.2. [de existencia de Peano] Sea f : D Rn+1 7 Rn continua, sea

R = {(t,x) : t0 t t0 + a, |x x0| b} D.

Sean M una cota superior para |f(t,x)| en R, = min{a, b/M}, entonces la EDO con condicio-

nes iniciales: x = f(t,x), x(t0) = x0 tiene al menos una solucion definida en [t0, t0 + ].

53

Demostracion: Sea > 0 y sea 0 : [t0 , t0] 7 Rn una funcion de clase C 1 que satisface

0(t0) = x0, |0(t) x0| b, |0(t)| M . Y sea 0 < , a partir de 0(t) construiremos una

nueva funcion de clase C 1, (t) en el intervalo [t0 , t0 + ], ver la figura 1.

Si t0 t t0 tomemos (t) = 0(t). Sea 1 = min{, } entonces definamos

(3.1.4) (t) = x0 + tt0

f(s, (t )

)ds, si t0 t t0 + 1.

Esta funcion esta bien definida pues si t0 s t t0+1 entonces t0 t0 s t

t0+1 t0. Luego entonces (s) = 0(s), y ademas (s, (s)) = (s, 0(s)) R,

y la funcion f puede ser evaluada en este punto.

Por otro lado

(t) x0 t

t0

f(s, (s )) ds M |t t0| M1 M b.

Ahora se puede definir (t) si t esta en el intervalo [t0 + 1, t0 + 2], donde 2 = min{, 2}

usando nuevamente la ecuacion 3.1.4. Siguiendo de esta manera se define (t) sobre el intervalo

[t0 , t0 + ]. Esto es

(t) =

0(t) si t [t0 , t0];

x0 + tt0f(s, (t )

)ds, si t [t0, t0 + ].

Hay que observar que la definicion de (t) depende de la eleccion de 0(t).

Afirmacion 3. Si t, u [t0 , t0 + ] entonces (t) (u) M |t u|.

Demostracion: Caso 1: Si t0 t, u t0, entonces:

(t) (u) = 0(t) 0(u) = (r) |t u| M |t u| .

54

En la segunda igualdad hemos usado el teorema del valor medio, el numero r esta en [t, u].

Caso 2: Si t0 t t0 u t0 + . Entonces

(t) (u) =0(t) (x0 + u

t0

f(s, (t )) ds)

0(t) x0+ ut0

f(s, (s )) ds

M |t t0|+M |u t| =M(t0 t) +M(u t0) =M |u t0| .

El tercer paso se obtiene del teorema del valor medio y la acotacion de f por M .

Caso 3: Si t0 t, u t0 + . En este caso tenemos

(t) (u) = u

t

f(s, (s )) ds M |u t|

y con este caso se termina la demostracion de la afirmacion.

Esta afirmacion demuestra que la familia de funciones {(t)} es equicontinua. La siguiente

afirmacion prueba que esta familia es uniformemente acotada.

Afirmacion 4. Si t [t0 , t0 + ] entonces (t) x0 b.

Demostracion: Si t0 t t0 entonces (t) x0 = 0(t) x0 b.

Si t0 t t0 + entonces

(t) x0 = t

t0

f(s, (s )) ds |t t0| M Mb/M = b.

Sea {n} 7 0, por el teorema de Arzela-Ascoli, la sucesion {n(t)} tiene una subsucesion

uniformemente convergente. Sin perdida de generalidad, supongamos que la misma sucesion

55

{n(t)} converge uniformemente a (t). Entonces si t0 t t0 + se sigue

(t) = limn 7n(t) = limn7

(x0 +

tt0

f(s, n(s)) ds)

= x0 + limn7

tt0

f(s, n(s)) ds = x0 + tt0

limn 7 f(s, n(s)) ds

= x0 + tt0

f(s, (s)) ds

De donde se sigue que la funcion (t) es solucion de (3.1.1). En este desarrollo se uso la conver-

gencia uniforme de la sucesion {n(t)} y la ecuacion (2.4.1).

Observacion 3.3. Analogamente se puede obtener una solucion de (3.1.1) sobre el intervalo

[t0, t0], las dos soluciones as obtenidas pueden ser acopladas para obtener una solucion sobre

el intervalo [t0 , t0 + ].

Observacion 3.4. Es de esperar que dependiendo de la eleccion de la funcion inicial 0(t)

y de n se obtendran diferentes soluciones, sin embargo pueden existir soluciones que no sean

detectadas por este metodo, ver problema 3.25.

3.2. Teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales

El teorema de Peano es insuficiente en varios aspectos. En primer lugar no da un metodo

para calcular soluciones, solamente indica su existencia. En segundo lugar, es deseable que la

ecuacion (3.1.1) tenga una unica solucion como sucede en las ecuaciones diferenciales ordinarias

que surgen en la fsica y otras ramas del conocimiento, en donde se observan soluciones unicas.

Esto nos lleva a buscar un teorema que garantice la unicidad de las soluciones de esta ecuacion

y que ademas nos indique como construir estas soluciones.

56

Definicion 3.5. La funcion f : D Rn+1 7 Rn es localmente Lipschitz si es continua y

para todo subconjunto K D compacto existe k R tal que si (x, t) y (y, t) K entonces

(3.2.1) f(x, t) f(y, t) k x y .

Observacion 3.6. Al escribir la desigualdad (3.2.1) en la forma

f(x, t) f(y, t)x y k

se observa que la constante k es una cota superior de la razon de cambio de la funcion f(x, t) en

la variable x.

teorema 3.7 (Existencia y unicidad de soluciones, Picard-Lindeloff). Para la funcion f :

D Rn+1 7 Rn localmente Lipschitz, y para el conjunto

R = {(t,x) : t0 t t0 + a, |x x0| b} D,

sean M una cota de f(t,x) en R; y k la constante de Lipschitz de f(t,x) en R; y =

min{a, b/M, 1/k}. Entonces el problema de condiciones iniciales (3.1.1) tiene solucion unica en

el intervalo [t0, t0 + ].

Demostracion: Sea F = {(t) C ([t0, t0 + ],Rn) : (t0) = x0, (t) x0 b}. El

problema 2.35 demuestra que C ([t0, t0 +],Rn) es un espacio de Banach con la norma uniforme

(3.2.2) = supt0tt0+

(t) .

Afirmacion 5. El conjunto F es cerrado en C ([t0, t0 + ],Rn).

57

Demostracion: Sea {n(t)} F una sucesion que converge uniformemente a la funcion

(t). Por demostrar que (t) F .

1) De las desigualdades x0 (t) = n(t) (t) d(n, ) 7 0 se sigue que x0 = (t0).

2) Considere la siguiente cadena de desigualdades

(t) x0 (t) n(t) + n(t) x0

(t) n(t)+ n(t) x0

d(, n) + b.

Pero {n(t)} converge uniformemente a (t), entonces (t) x0 b.

Los incisos 1 y 2 implican que F es cerrado.

Definamos ahora el operador : F 7 C ([t0, t0+],Rn) tal que la imagen de la funcion (t)

es la funcion (t) definida por

(3.2.3) (t) = x0 + tt0

f(s, (s)) ds.

Afirmacion 6. Si (t) F entonces (t) esta en F .

Esta afirmacion se sigue de (t0) = x0 + t0t0f(s, (s)) ds = x0. Y ademas (t) x0 tt0 f(s, (s)) ds M |t t0| M b.

Afirmacion 7. El operador es una contraccion.

58

Si (t) y (t) F entonces

d((t),(t)) = (t) (t)

= maxt0tt0+

(x0 + tt0

f(s, (s)) ds)(x0 +

tt0

f(s, (s)) ds)

= maxt0tt0+

tt0

f(s, (s)) ds tt0

f(s, (s)) ds

maxt0tt0+

tt0

f(s, (s)) f(s, (s)) ds

maxt0tt0+

tt0

k (s) (s) ds k maxt0tt0+

(s) (s)

=k d((t), (t)).

Usando k < 1 se concluye la demostracion de la afirmacion.

Como es una contraccion definida en un subconjunto cerrado de un espacio metrico com-

pleto, el teorema de punto fijo de Banach (2.12) implica que existe una unica F tal que

= , esto es:

(t) = (t) = x0 + tt0

f(s, (s)) ds.

Por lo tanto la funcion (t) es la unica solucion del problema de condiciones iniciales (3.1.1).

Observacion 3.8. La demostracion de este teorema puede ser usada para hallar las solu-

ciones de una ecuacion diferencial. Este es el metodo de aproximaciones sucesivas. La solucion

as encontrada generalmente esta definida en un intervalo mas grande que el garantizado por el

teorema anterior.

Observacion 3.9. Se puede demostrar el teorema de Peano (3.2) buscando puntos fijos del

operador definido en (3.2.3), pero se requieren teoremas propios del analisis funcional como son

el teorema de punto fijo de Schauder, ver la referencia [2].

59

Ejemplo 3.10. Hallaremos la solucion de la ecuacion x = x, x(0) = 1 por el metodo de

aproximaciones sucesivas. Definamos el operador (t) = 1+ t0(s) ds, y la sucesion de funciones

0(t) = 1, n = n1. Entonces

1(t) =1 + t0

1 ds = 1 + t,

2(t) =1 + t0

(1 + s) ds = 1 + t+t2

2,

3(t) =1 + t0

(1 + s+s2

2) ds = 1 + t+

t2

2!+t3

3!,

7 et.

Que es la solucion esperada.

3.3. Continuacion de soluciones

Dos soluciones de una ecuacion diferencial pueden ser diferentes simplemente porque no

tienen el mismo intervalo de definicion. Para evitar esta ambiguedad conviene trabajar con los

intervalos mas grandes en que estan definidas las soluciones.

Definicion 3.11. Sea x = f(t,x) una ecuacion diferencial, y sean : I 7 Rn y : J 7 Rn

dos soluciones. Entonces es una extension de si I J y para todo t I se cumple (t) = (t).

La solucion (t) es una solucion maxima si ella misma no tiene otras extensiones. En este caso

el intervalo I se llama un intervalo maximal.

Proposicion 3.12. Toda solucion de la ecuacion diferencial x = f(t,x) tiene una extension

maxima.

Esta proposicion es una consecuencia del axioma del supremo y su demostracion se deja como

ejercicio; notemos que esta extension no tiene que ser unica. Continuemos hacia el principal

60

objetivo de esta seccion que es explicar las obstrucciones que impiden que una solucion sea

extendida indefinidamente.

Proposicion 3.13. Sea f(x, t) una funcion continua y acotada definida sobre el conjunto

abierto D Rn, y sea : (a, b) 7 Rn una solucion de la ecuacion diferencial x = f(t,x).

Entonces

1 Los dos lmites limt 7a+ (t) = (a+) y limt 7b (t) = (b) existen.

2 Si (b, (b)) (respectivamente (a, (a+)) esta en D entonces la solucion (t) puede ser

continuada a la derecha de t = b, (respectivamente a la izquierda del punto t = a).

3 Si : (a, b) 7 Rn es una solucion maxima y si {tk} 7 b entonces todos los puntos de

acumulacion de la sucesion {(tk, (tk))} estan en la frontera de D.

Demostracion: 1) Consideremos el extremo b. Sea M una cota de f(t,x) en D. En-

tonces (t) = x0 + tt0f(t, (s)) ds. Si t0 t < u b entonces

(u) (t) =(x0 + u

t0

f(t, (s)) ds)(x0 +

tt0

f(t, (s)) ds)

= u

t

f(t, (s)) ds u

t

f(t, (s)) ds M |u t|

Entonces si {tm} (a, b) y tm 7 b se tiene (tm) (tk) M |tm tk|, por lo que {(tm)}

es una sucesion de Cauchy, de donde limt 7b (t) existe.

2) Si (b, (b)) D, entonces por el teorema de Peano existe una solucion (t) que satisface

(b) = (b). Sea (t) la funcion definida por

(t) =

(t) si t0 t b,

(t) si b t.

61

Es facil ver que esta funcion satisface la ecuacion integral (3.1.2) y que es una extension de (t).

En la discusion anterior es suficiente suponer que el punto (b, (b)) es un punto de acumulacion

de la alguna sucesion (tk, (tk)), por lo que el inciso 3 es el contrarrecproco del anterior.

teorema 3.14. Sea f : D Rn+1 7 Rn continua, sea : (a, b) 7 Rn una solucion maxima

de la ecuacion x = f(t,x). Sea K D un conjunto compacto, entonces existe (a, b) tal que

si < t < b entonces (t, (t)) 6 K.

En otras palabras, dado un compacto en el dominio de definicion de una ecuacion diferencial,

cualquier solucion maxima tiene un tiempo en que escapa del compacto y no regresa.

Demostracion: Supongamos que no existe tal , entonces existe una sucesion creciente

{tn} que converge a b y tal que xn = (tn, (tn)) K. Como xn es una sucesion contenida en un

compacto, entonces tiene una subsucesion covergente. Sin perdida de generalidad, supongamos

que xn 7 (b, +(b)). Siguiendo el mismo argumento de la demostracion de la proposicion 3.13,

se puede extender la funcion (t) a un intervalo de la forma (a, b + ), lo que contradice la

maximalidad de esta funcion.

Ejemplo 3.15. En el ejemplo 1.11 se vio que la funcion (t) = 11t , t (, 1) es solucion de

la ecuacion diferencial x = x2. El dominio del campo vectorial f(x, t) = x2 es R2. Este conjunto

es cubierto por la familia creciente de discos compactos {Bn(0)}, donde n N. La solucion

maxima se sale de cada uno de estos compactos por los dos extremos, por el lado izquierdo si

t 7 y por arriba si t 7 1.

62

Ejemplo 3.16. Sean h(t), g(t) funciones continuas positivas definidas en el intervalo [t0,)

y tal que para toda a > 0 se sigue que limb 7 ba

dxg(x) =. Entonces toda solucion de la EDO

x = h(t)g(x), x(t0) = x0, y x0 > 0 puede ser extendida al intervalo [t0,).

Si esto no fuera el caso entonces existira una solucion (t) con intervalo maximal [t0, T ),

donde T > t0. Como (t) resuelve la EDO, entonces (t) > 0 y por lo tanto es creciente. La

unica posibilidad es que limt 7T (t) =. Por el metodo de separacion de variables

tt0

h(s) ds = tt0

(s)g((s))

ds = (t)x0

dx

g(x)

Tomando el lmite t 7 T se tiene

> Tt0

h(s) ds = limt 7T

(t)x0

dx

g(x)ds =

x0

dx

g(x)ds = !!!

Ejemplo 3.17. En el ejemplo 2.34 se estudio el problema de tres cuerpos, que es el sistema

de ecuaciones diferenciales

xi = vi, vi =

j 6=i

Gmj(xj xi)|xj xi|3

, para i = 1, 2, 3.(3.3.1)

El dominio de definicion de este sistema de ecuaciones diferenciales es R12 , donde

= {(x1,x2,x3,v1,v2,v3) : x1 = x2 o x1 = x2 o x1 = x3}.

Existen dos tipos de soluciones en este sistema, las que estan definidas sobre todo los numeros

reales y las que tienen un tiempo finito de escape, estas deben aproximarse al conjunto .

Si(x1(t),x2(t),x3(t),v1(t),v2(t),v3(t)

)es una solucion entonces se puede demostrar que

para alguna permutacion i, j, k, los lmites limt 7b xi(t) = limt 7b xj(t), limt 7b vi(t) 7 ,

limt 7b vj (t) 7 y finalmente limt7b xk(t) y limt 7b vk(t) existen. Estos lmites se interpretan

63

diciendo que las partculas i y j chocan entre si con velocidad infinita y la tercera partcula

atestigua este choque. Puede darse el caso que las tres partculas choquen simultaneamente.

Poincare conjeturo que en el movimiento de mas cuerpos esta sera la situacion. Uno de sus

primeros resultados es que el lmite inferior de las distancias rk rj para i, j = 1, 2, 3 es cero.

Esto no significa que dos partculas determinadas choquen, puede ocurrir que dos partculas se

aproximen y luego se alejen, mientras otras dos se acercan, luego estas se alejan al mismo tiempo

que otras mas se estan acercando, etcetera. Aunque este caso parece imposible, a fines del siglo

pasado se demostro la existencia de este tipo de orbitas.

3.4. Dependencia continua de las soluciones con respecto a condiciones iniciales y

parametros

En esta seccion estudiaremos el comportamiento de las ecuaciones diferenciales con respecto

a las condiciones iniciales y parametros. Primero demostremos un resultado tecnico muy util.

teorema 3.18. [Lema de Growall] Sea : [a, b] 7 R+ una funcion continua, sean , 0

constantes tales que

(3.4.1) (t) + ta

(s) ds

entonces (t) exp[(t a)].

Observacion 3.19. Este teorema despeja la funcion (t) de la desigualdad.

Demostracion: La idea de la demostracion es repetir el argumento usado en los cursos

elementales de ecuaciones diferenciales para probar que las unicas soluciones de la ecuacion

x = x son funciones de la forma x(t) = Cet, recordemoslo. Si x(t) una solucion de la ecuacion

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x = x, multiplicando esta ecuacion por et obtenemos x(t)et = x(t)et. Agrupando todos los

terminos y usando la regla de Leibniz obtenemos ddt(x(t)et

)= 0. De donde se tiene x(t)et = C,

y finalmente x(t) = Cet.

Pasemos ahora a la demostracion de la desigualdad de Gronwall. Definamos R(t) = + ta (s) ds, observemos que R(a) = y que la ecuacion (3.4.1) se convierte en R(t) = (t)

R(t). Por lo tanto R(t) R(t) 0. Multiplicando por e(at) obtenemos [e(at)R(t)] =

e(at) (R(t) R(t)) 0, integrando desde a hasta t se obtiene

e(at)R(t) =[e(as)R(s)

]ts=a

= ta

[e(as)R(s)

]ds 0,

y finalmente obtenemos (t) R(t) exp[(t a)].

teorema 3.20. Sea f : D Rn+1 7 Rn, donde la funcion f es Lipschitz y el conjunto D

es compacto. Si x(t, t0,x0) y x(t, t1,x1) son las soluciones de la ecuacion diferencial x = f(t,x)

que pasan por los puntos (t0,x0) y (t1,x1) respectivamente, M es una cota superior de f(t,x) y

K es la contante de Lipschitz en D, entonces

(3.4.2) x(t, t0,x0) x(t, t1,x1) [x0 x1+M |t0 t1|

]ek|tt0|

Demostracion: Sin perdida de generalidad supongamos que t0 t1 t. Del teorema 3.1

se sigue

x(t, t0,x0) = x0 + tt0

f(s,x(s, t0,x0)) ds,

x(t, t1,x1) = x1 + tt1

f(s,x(s, t0,x0)) ds.

65

Restando estas ecuaciones y tomando la norma obtenemos:

x(t, t0,x0) x(t, t1,x1)

=x0 + t

t0

f(s,x(s, t0,x0)) ds(x1 +

tt1

f(s,x(s, t1,x1)) ds)

x0 + t

t0

f(s,x(s, t0,x0)) ds

x1 t0t1

f(s,x(s, t1,x1)) ds tt0

f(s,x(s, t1,x1)) ds

=x0 x1 + t

t0

f(s,x(s, t0,x0)) f(s,x(s, t1,x1)) ds

t0t1

f(s,x(s, t1,x1)) ds

x0 x1+ tt0

f(s,x(s, t0,x0)) f(s,x(s, t1,x1)) ds

+ t1t0

f(s,x(s, t1,x1)) ds

x0 x1+K tt0

x(s, t0,x0) x(s, t1,x1) ds+M |t0 t1| .

Usando el lema de Gronwall, 3.18, donde (t) = x(t, t0,x0) x(t, t1,x1), = x0 x1 +

M |t0 t1| y = K obtenemos la ecuacion (3.4.2).

Proposicion 3.21. Sea x = f(t,x) una ecuacion diferencial, f(t,x) localmente Lipschitz

continua, y sea x(t, t0,x0) la solucion definida en el intervalo (a, b) tal que x(t0, t0,x0) = x0.

Entonces, dados > 0 y T > 0 existe > 0 tal que |t0 t1| , x0 x1 implican

x(t, t0,x0) x(t, t0,x0) < para todo t [t0, T ].

Demostracion: Tome = 2(1+M)ekT

en el teorema anterior.

66

Corolario 3.22. [Dependencia continua con respecto a condiciones iniciales] Sea x =

f(t,x) una ecuacion diferencial, f localmente Lipschitz continua. Entonces la solucion x(t, t0,x0)

depende continuamente con respecto a t, t0 y x0.

Ejemplo 3.23. Consideremos la ecuacion x = x, entonces las soluciones son x(t, t0, x0) =

x0ett0 , que claramente son continuas.

Observamos que x(t, 0, 0) = 0. Sean T > 0, > 0, y = /eT ; si |x0| < entonces

|x(t, t0, x0)| < para todo t [0, T ].

A veces se estudian familias de ecuaciones diferenciales que dependen de un parametro, en el

siguiente teorema muestra que la forma en que las soluciones dependen de parametros, se omite

la prueba, que es similar a la dada en la sucesion de proposiciones 3.20, 3.21 y 3.22.

teorema 3.24. [Dependencia continua con respecto a parametros] Sea x = f(t,x, ) una

ecuacion diferencial, donde f(t,x, ) es una funcion localmente Lipschitz continua con respecto

a (t,x) y continua con respecto al parametro . Entonces la solucion x(t, t0,x0, ) depende

continuamente con respecto a t, t0, x0 y .

En la seccion 4.9 se demostrara que las soluciones no son solo continuas con respecto a las

condiciones iniciales, sino que tambien son diferenciales con respecto a estas si la funcion f(t,x, )

es continuamente diferenciable.

3.5. Problemas

3.25. Usar la demostracion del teorema de Peano para encontrar soluciones aproximadas de

los siguientes problemas para al menos dos diferentes 0(t).

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1 y = xy, x(0) = 1.

2 y = x2 + y2, y(0) = 1.

3 x =x, x(0) = 0. En este inciso tratar de obtener una solucion que no sea identicamente

cero.

3.26. Este problema da otra demostracion del teorema de Peano (teorema 3.2), bajo las

hipotesis y notacion de este tome la particion regular:

Pn : t0 < t1 < < tn = , con tk+1 tk = /n.

En el intervalo [t0, t1] defina la funcion n(t) = x0 + (t t0)f(t0,x0). Entonces

(3.5.1) n(t0) = x0, n(t) x0 < b para t [t0, t1].

Supongamos que la funcion n(t) ha sido definida en el intervalo [t0, tk], con k < n, si t esta en

el intervalo [tk, tk+1] entonces n(t) = n(tk) + (t tk)f(tk, n(tk)). De esta manera n(t) esta

definida en todo el intervalo [t0, t0 + ].

1 Demostrar que en el intervalo [t0, t0 + ] se cumple (3.5.1).

2 Demostrar que la familia {n(t)} es equicontinua y uniformemente acotada en el intervalo

[t0, t0 + ].

3 Usando el teorema de Arzela-Ascoli encontrar una subsucesion convergente.

4 Probar que el lmite de esta subsucesion es una solucion del problema de condiciones

iniciales (3.1.1) definida en el intervalo [t0, t0 + ].

Observacion 3.27. La construccion definida en este problema se llama el metodo de las

quebradas de Euler.

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3.28. Utilizando el metodo de quebradas de Euler, encontrar algunas soluciones aproximadas

de las ecuaciones propuestas en el problema 3.25.

Definicion 3.29. Si f(x, t) =(f1(x1, . . . , xn, t), . . . , f1(xn, . . . , xn, t

)es suave, su matriz

jacobiana con respecto a x es

fx(x, t) =

f1x1

. . . f1xn

. . . . . . . . .

fnx1

. . . fnxn

.

3.30. Sea f : D Rn+1 7 Rn una funcion continua tal que fx(x, t) tambien es continua,

demostrar que f(x, t) es localmente Lipschitz. (Usar el teorema de valor medio para funciones

diferenciales).

3.31. Probar las proposicion 3.12 y 3.24.

3.32. Demostrar la siguiente generalizacion de la desigualdad de Gronwall: Si , , :

[a, b] 7 R son tres funciones continuas, (t) 0 y ademas

(t) (t) + ta

(s)(s) ds, a t b,

entonces

(t) (t) + ta

(s)(s)(exp

ts

(u) du)ds, a

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