7/17/2019 Edosasaassa

http://slidepdf.com/reader/full/edosasaassa 1/2

1

-ECUACIONES DIFERENCIALES-

DEBER 1

LATEX

Ing.Cumanda del Rocıo Vasconez

ALUMNO: Cinthya Jimenez

FUNCION SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL:

Una funcion que cuando se remplaza en la ecuacion diferencial da una igualdad, se llama una solucion de laecuacion diferencial, por lo tanto, resolver una ecuacion diferencial es encontrar una funcion desconocidaque al ser sustituida en la ecuacion diferencial se obtiene una igualdad.

Para verificar que una funcion es la solucion de una ecuacion diferencial dada es menester hallar, depen-diendo del orden de la ED, la primera, la segunda, etc. derivadas de la funci on (si la ED es de primerorden solo es necesario hallar la primera derivada, si es de segundo orden hay que hallar tanto la primeracomo la segunda derivada de la funcion, etc.) luego sustituir en la ecuacion diferencial estas funciones y

constatar que se obtiene una identidad.

EJEMPLO:

dy

dx = 2x− 1

Inmediatamente se cae en cuenta que para encontrar la sol , solamente se requiere integrar la exprecionprevia:

y =  x2 − x + C 

donde C es la constante arbitraria

Grafico:

Una solucion de una ecuacion diferencial se llama SINGULAR si no se puede obtener de la soluci ongeneral al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una soluci on particular.

7/17/2019 Edosasaassa

http://slidepdf.com/reader/full/edosasaassa 2/2

2

EJEMPLO

La familia de rectas  y =  cx + 2c2 es la solucion general de la ecuacion diferencial  y  =  xy + 2 (y)2

. Laparabola x2 + 8y = 0 es una solucion singular.

No es difıcil comprobar que ambas son solucion de la ecuacion diferencial dada

Observe que la parabola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas

y =  cx + 2c2

, cuando sucede esto decimos que la parabola x2

+ 8y  = 0 es la envolvente de la familia derectas y =  cx − 2c2

EJEMPLO

La familia de parabolas  y2 = 2cx− c2 es la solucion general de la ecuacion diferencial  y = 2xy− y (y)

2

y las rectas  y = ±x   son soluciones singulares.

Facilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuacion diferencial. En la grafica se muestran lassoluciones singulares y varias soluciones particulares. Las rectas  y  = ±x  son la envolvente de la familia

de parabolas  y2 = 2cx− c2.