Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Ciencias

Laboratorio de Física Contemporanea I

“Efecto Faraday”

Prof: Octavio Álvarez FragosoAutor: Hernando Magallanes González

Resumen

Se dirigió un laser polarizado de =543.5nm sobre los vidrios F-2 V=0.058[1 ] y SF-5 V=0.047[1 ] de

diferentes dimensiones (uno a la vez), los cuales estaban sometidos a un campo magnético variable. Se midió la rotación del plano de polarización incidente respecto al emergente en función de la corriente enviada al electroimán; se contaba con la relación entre la corriente y el campo magnético inducido. Con los datos experimentales se calcularon las constante de Verdet para ambos tipos de vidrio obteniendose V F−2 =0.051 ± 4.87% y V SF−5=0.054 ± 1.380%.

Introducción

• Marco histórico

La naturaleza ondulatoria de la luz fue propuesta inicialmente por Christian Huygens en 1678 y demostrada experimentalmente entre 1800 y 1803 por Thomas Young y redescubierta por Aguntin Fresnel en 1814. Sin embargo el primer indicio de la conexión de las ondas luminosas con el electromagnetismo fue establecido por Michael Faraday en 1845. La conexión es indirecta, ya que se requiere de un medio material para que el efecto ocurra.

La teoría electromagnética de Maxwell formulada en 1865 predijo la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz. Esta teoría obligó a los físicos de aquella época a buscar la forma de probar experimentalmente la predicción maxweliana.

Dicha predicción fué confirmada cuando Hertz realizó sus experimentos entre 1885 y 1889, en los que produce y detecta ondas electromagnéticas, además de medir su velocidad y demostrar sus propiedades de reflexión, refracción e interferencia, propiedades identicas a las mostradas por la luz, señalando como primera conexión precisamente al efecto Faraday.

• Descripción del efecto

El efecto Faraday se observa cuando un campo magnético es aplicado a un material por el cual se transmite un haz de luz polarizada en un plano. Cuando el material se somete a un campo magnético aplicado y es atravesado por un haz de luz polarizada, la luz permanece linealmente polarizada, pero su plano de polarización va girando en el trayecto dentro del material. Este efecto de giro es el efecto Faraday. Si el campo magnético deja de ser aplicado al material, el plano de polarización mantiene su posición original.

El efecto se ilustra en la figura 1, en ésta, el plano plano de polarización se halla representado por la superficie sobre la que oscila la componente del campo eléctrico E de la onda luminosa. Además se observa que el plano de polarización se haya orientado verticalmente antes de que el haz de luz atraviese la muestra. Durante el trayecto a través de la muestra, el plano de polarización va girando y emerge del medio transmisor con un ángulo de giro con respecto a su dirección original.Este ángulo de giro etá dado por

=V∫0

l

B⋅d x=VBl.......1

donde B es el flujo magnético del campo aplicado, x un vector cuya dirección es la misma que el haz de luz que atraviesa la muestra y cuya magnitud l es igual a la longitud del camino óptico en la muestra. Finalmente V es una constante asociada a cada sustancia en particular. Esta constante recibe el nombre de constante de Verdet y depende de la longitud de onda de la luz y de la temperatura del material.

figura 1Solo se muestra el plano de polarización del vector E.

Las constantes de Verdet pueden ser positivas o negativas. Por conveción, una constante positiva corresponde a la situación ilustrada en la figura 1, es decir, en esta figura se obseva que el plano de polarización gira en el sentido de las manecillas del reloj para un observador situado frente a la muestra y con la dirección del campo magnético tal y como se halla indicada. En contraste, una constante de Verdet negativa involucra un giro contrario al mencionado.

En la figura 1 se muestra la situación en el que la luz viaja a través de la muestra en el mismo sentido que el campo aplicado B . Si se invierte la dirección del campo magnético, el plano de polarización girará en un sentido contrario al mostrado. Ahora bien, si en lugar de invertir la dirección del campo magnético, el haz de luz se refleja en un espejo colocado enfrente de la muestra, el haz retro-reflejado, seguirá girando en sentido de las manecillas del reloj. En otras palabras, si la luz atraviesa de ida y vuelta a la muestra, su plano de polarización al emerger de la muestra habrá girado el doble. En resumen, el efecto de giro para haces retro-reflejados es acumulativo.

Una ventaja práctica de este hecho, es que pueden construirse rotores opto-magnéticos resonantes mediante la colocación de espejos mediante los cuales el haz lumínico puede pasar varias veces a través del material y de esta manera los giros se van acumulando y se pueden lograr giros de uno o dos ordenes de magnitud mayores a los que se logran con un solo paso del haz.

• Modelo clásico del efecto

El estudio teórico del efecto Faraday involucra a la teoría cuántica de la dispersión incluyando los efectos del campo magnético sobre los niveles atómicos y moleculares. Sin embargo para los materiales no magnéticos la expresión dada por la ecuación 1 puede ser deducida en términos clásicos. Proporcionaremos a continuación una síntesis del fenómeno dada por Bequerel en 1897.

La descripción se inicia recurriendo a un principio elemental de la mecánica que dice que cualquier movimiento armónico sobre una línea recta, puede ser descrito como la resultante de dos movimientos circulares opuestos con la misma amplitud y periodo. Esto implica que un haz de luz linealmente polarizado, representado por el vector de campo eléctrico E desplazándose en un plano, puede descomponerse en dos vibraciones circulares D y L (dextrógira u ordinaria y levógira o extraordinaria) girando en direcciones opuestas y a la misma frecuencia que E , como lo muestra la figura 2.

La rotación óptica del plano de polarización de un haz de luz que atraviesa el medio, es explicada por el hecho de que alguna de las dos componentes del vector E , ya sea la

D o la L , atraviesa el material mas lentamente que la otra componente y en consecuencia una de ellas se desfasa. Esto se ilustra en la figura 2 donde se observa que inicialmente, al incidir la luz sobre el material, ambas componentes entran en fase D−L=0 , pero al salir del material hay

desfasamiento D−L≠0 . Como resultado se tiene que el vector de campo eléctrico E se encuentra en un plano rotado por un ángulo con respecto a su orientación original.

El hecho de que cada una de las componentes L y D atraviese la muestra a distinta velocidad puede ser descrito por dos índices de refrcción distintos, n l y nd , respectivamente. Esta situación se conoce como birrefrigencia circular.

En forma cuantitativa podemos describir la rotación del plano de polarización en términos de la birrefrigencia circular que presenta la muestra, de la siguiente manera, Sí la muestra tiene una

figura 2Rotación del haz linealmente polarizado representado por el vector eléctrico E. Su componente ordinaria D y extraordinaria L giran en direcciones opuestas.

longitud l , las extensiones de los caminos ópticos para cada una de las componentes D y

L de la luz son l nd y l nl respectivamente. Estas cantidades pueden representarse en una escala de longitudes de onda como l /nd y l /nl . Ahora bien,

por cada longitud de onda que recorren las componentes, éstas giran 2 . En consecuencia la componente L , después de atravesar la muestra, habrá girado un ángulo l=2l /n l mientras que la componente D habrá girado d=2l /nd . La figura

2 presenta esquemáticamente la suma de las componentes D y L para la luz transmitida a través de la muestra. Es simple deducir geométricamente de la figura referida que =1 /2l−d . Esto es, el plano de

polarización sufre una rotación con respecto a su dirección original igual a

=122 l

n l−nd .......2

Esta relación indica que para una longitud de onda constante, el ángulo de giro es directamente proporcional al espesor l de la muestra. Sin embargo, hay que tener cuidado pues no podemos decir que es inversamente proporcional a la longitud de onda , ya que los índices de refracción n l y nd son también función de . La dependencia del índice de refracción con la longitud de onda es un fenómeno

conocido como dispersión; para tomar en cuenta este efecto usaremos la relación =c / . Entonces procedemos a calcular las relaciones de dispersión n ll y nd d , para el caso que nos ocupa, de acuerdo a algún modelo apropiado.

De acuerdo con el teorema de Larmor, la frecuencia de precesión en un sistema de referencia inercial (el del laboratorio) está dada por L=e B/4m donde e y m con la carga y la masa del electrón respectivamente. Si el movimiento es descrito desde un marco de referencia distinto, esto es, situado en el electrón y que gire con una frecuencia L , entonces las componentes L y D de la luz polarizada, se hallarán girando con las frecuencias L y L respectivamente. Por lo tanto, las

relaciones de dispersión pueden escribirse como funciones de estas dos últimas variables:

n l=nl=nL , nd=nd =n − L

La diferencia entre las relaciones de dispersión, nl−nd , es entonces función de

n l−nd=n L−n−L

Ahora bien, para la situación en la cual ≈L un desarrollo en serie nos permite

escribir

n l−nd≈n d nd

L −n−d nd

L

...=2Ld nd

Expresando esta relación en términos de la longitud de onda e introduciendo el valor de la frecuencia de Larmor, se obtiene de manera explicita la diferencia entre relaciones de dispersión

n l−nd≈2 e B4m

2

cd nd

Por lo que de acuerdo a la ecuación 2, el plano de polarización sufre una rotación con respecto a su dirección original aproximadamente igual a

=12 2 l

2 e B4m

2

cd nd .......3

Finalmente, recordando que =V B l , el valor de la constante de Verdet resulta ser

V = e2m c

d nd

.......4

Este modelo nos indica que la constante V es proporcional a la longitud de onda y la

dispersión del medio. Debemos señalar que el modelo aquí presentado, es aproximado y válido sólo cuando la rotación de Larmor es dominante en el material. Para sustancias diamagnéticas y paramagnéticas la relación dada por la ecuación 3 es válida si se introduce al lado derecho de la ecuación un factor , llamado anomalía magneto-óptica. Este factor represnta una medida de la desviación de la rotación de Larmor. Para otros materiales como las sustancias ferromagnéticas, la ecuación 3 también sigue siendo válida, pero el giro es proporcional a la componente del campo magnético aplicado. Sin embargo la dependencia de la constante V con la temperatura no es explícita en estos modelos y se tiene que recurrir a modelos a modelos mecánico-cuánticos mas sofisticados.

Desarrollo

El montaje del experimento se puede observar en la figura 3. Se usaron seis vidrios de dos tipos diferentes, tres F-2 (5.05 cm, 4.04 cm y 3.05 cm) y tres SF-5 (5.04 cm, 4.04 cm y 3.05 cm) colocados dentro de un electroimán, uno a la vez, por los que atravesó un haz laser de =543.5 nm previamente polariazado con un

vidrio polarizador lineal. Con ayuda de un fotosensor y un segundo vidrio polarizador lineal (ortogonal al primero cuando no había campo inducido que por ello anulaba al haz) se midió el ángulo de rotación del plano de incidencia, que era la rotación necesaria del segundo vidrio polarizador para anular el haz, en función de la corriente inducida al electroimán; por medio del manual de operación del electroimán, se conocia

figura 3Montaje del experimento, se observa la disposición del laser, el electroimán, los vidrios polarizadores y el fotosensor; los vidrios analizados eran colocados entre los “discos del lectroimán”.

la relación entre la corriente eléctrica aplicada y el campo magnético generado

Resultados

Los datos completos del experimento se encuentran el apéndice del presente trabajo. En esta sección sólo se presentan los cálculos finales de las constantes de Verdet para cada material, esí como sus respectivas incertidumbres.

tabla 1

Hubieron un par de datos que no se tomaron en cuenta en la tabla 1 (uno para cada vidrio), ello se devió a que discrepaban demasiado del resto de los datos. La diferencia puede estar asociada a la inestabilidad del generador de corriente y a la dependencia de la constante a la temperatura. Los errores asociados son las desviaciones estandar de las pendientes de las gráficas del apéndice con excepción de los teóricos; el error que está junto al teórico es la diferencia porcentual entre el teórico y el

F-2 SF-5V ± % V ± %

0.059 8.350 0.057 1.540

0.043 1.390 0.051 1.220

Promedios0.051 4.870 0.054 1.380

Teóricos0.047 8.404 0.058 7.069

promedio, debe entenderse como un error del segundo respecto al primero.

Concluciones

Podemos ver que el montaje del experimento no es muy complicado sin embargo se desearía contar con un equipo un poco más preciso, en especial con un mejor generador de corriente (el que se tiene es muy inestable) y un mejor sistema para medir ángulos, actualmente depende mucho de la habilidad de quien toma la medida. A pesar de lo anterior podemos ver que los resultados se ajustan a lo predicho por la teoría con menos de un 10% de error, por lo tanto, es prueba suficiente de la naturaleza electromagnética de la luz.

Bibliografía

[1] Jenkins, F. A. & White, H. E. “Fundamentals of Optics”. 3a ed. McGraw Hill, 1975.

[2] Hecht, E. & Zajac, A. “Optics”. Adison Wesley, 1974.

[3] http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Faraday

Apéndice

tabla 2

figura 4

tabla 3

figura 5

F-2 (5.05 cm)G ± θ ±

0 0.5 0.00 0.00

2000 0.5 210.00 30.00

3000 0.5 240.00 42.43

4500 0.5 247.50 44.37

5900 0.5 345.00 49.75

7000 0.5 480.00 73.48

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

100

200

300

400

500

600

f(x) = 0.0588x + 34.3003R² = 0.9165

F-2 (5.05 cm)

Campo magnético en Gauss

Ángu

lo e

n m

inut

os d

e ar

co

F-2 (4.04 cm)G ± θ ±

0 0.5 0.00 0.00

2000 0.5 60.00 0.00

3000 0.5 120.00 42.43

4500 0.5 270.00 90.00

5900 0.5 345.00 65.38

7000 0.5 390.00 30.00

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

f(x) = 0.0609x - 29.9058R² = 0.9692

F-2 (4.04 cm)

Campo magnético en Gauss

Ángu

lo e

n m

inut

os d

e ar

co

tabla 4

figura 6

tabla 5

figura 7

tabla 6

figura 8

F-2 (3.05 cm)G ± θ ±

0 0.5 0.00 0.00

2000 0.5 105.00 49.75

3000 0.5 165.00 49.75

4500 0.5 210.00 30.00

5900 0.5 255.00 49.75

7000 0.5 315.00 49.75

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

50

100

150

200

250

300

350

f(x) = 0.0431x + 14.2582R² = 0.9861

F-2 (3.05 cm)

Campo magnético en Gauss

Ángu

lo e

n m

inut

os d

e ar

co

SF-5 (5.04 cm)G ± θ ±

0 0.5 0.00 0.00

2000 0.5 75.00 25.98

3000 0.5 270.00 30.00

4500 0.5 360.00 60.00

5900 0.5 375.00 49.75

7000 0.5 525.00 136.66

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

100

200

300

400

500

600

f(x) = 0.0740x - 8.9267R² = 0.9398

SF-5 (5.04 cm)

Campo magnético en Gauss

Ángu

lo e

n m

inut

os d

e ar

co

SF-5 (4.04 cm)G ± θ ±

0 0.5 0.00 0.00

2000 0.5 150.00 30.00

3000 0.5 180.00 42.43

4500 0.5 240.00 94.87

5900 0.5 360.00 73.48

7000 0.5 405.00 155.16

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

f(x) = 0.0567x + 10.8948R² = 0.9846

SF-5 (4.04 cm)

Campo magnético en Gauss

Ángu

lo e

n m

inut

os d

e ar

co

tabla 7

figura 9

SF-5 (3.05 cm)G ± θ ±

0 0.5 0.00 0.00

2000 0.5 75.00 25.98

3000 0.5 165.00 65.38

4500 0.5 240.00 42.43

5900 0.5 300.00 42.43

7000 0.5 345.00 129.90

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

50

100

150

200

250

300

350

400

f(x) = 0.0511x - 3.4472R² = 0.9878

SF-5 (3.05 cm)

Campo magnético en Gauss

Ángu

lo e

n m

inut

os d

e ar

co