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La partcula en la cajaLa particula en la caja consiste en un
electron oalgo as que est encerrado en una caja de paredes
indestructibles y dursimas. La energa potencial dentro de la caja
es cero, y en la pared sube a infinito punto rojo:
La funcin y debe caer a cero donde el potencial es .
Dentro de la caja V=0 y la funcion de Schrdinger vale:
La solucin general es: pero ...x0Ldonde
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Las condiciones de borde del potencial Vhacen que y tiene que
ser cero a x = 0 y a x = L. Esto hace que solo valgan lassoluciones
con n entero, como kL = np.
La funcion de onda es:
La normalizamos:
y la y normalizada es:
hay ciertas restriccionesx0L
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La Energa esta cuantizadaLos valores de k vlidos en estado
estacionario son:
Si se calcula la Energa da:
La energa depende del valor de n y no puede ser cero.
El caso especial de n = 1 recibe el nombrede estado basal.
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De la partcula cuntica a la partcula clsica que se mueve de un
lado al otroSe debe usar la ecuacion deSchrdinger completa, la que
depende del tiempo (yaque queremos que la partculase mueva de un
lado a otro).
La resolucin da una superposicin de ondas, que se vuelvelas
grande donde hay mayorprobabilidad de encontrar la partcula a un
determinado t.
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Caja con paredes fragiles.El pozo de potencial finito
es:Da:Considerando que la funcion debe ser cero en el infinito, las
soluciones son:La ecuacion de Schrdinger fuera del pozo, en las
regiones I y III es:haciendo:
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Adentro del pozo, donde el potencial V=0, la funcion
vale:donde
La solucin aca es: Las condiciones de borde requieren que
asi la funcion es suavedonde las regiones seencuentran.
Fijarse que la funcionno es cero fuera dela caja !!!Pozo de
potencial finito (caja fragil)
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Profundidad de penetracinEs la distancia fuera delpozo de
potencial a la cual la probabilidad de encontrar la partcula y2se
hace muy pequea.
Esto viola lo conocidopor la mecnica clsica !No hay forma de
encerrar completamente ninguna cosa.
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La mecnica clsica dice que no pasa. La cuntica dice que puede
pasar con probabilidad no nula !!
La funcin de onda en la regin II vale:
La probabilidad de que la partculapase del otro lado de la
barrera es:Efecto tunelSupongamos una partcula que no tiene energa
suficiente para penetrar una barrera de potencial como la de la
figura, E < V0.donde
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Tuneleo e incertidumbreSe puede considerar que el tuneleo es una
manifestacin mas del principio de incertidumbre. DE. Dt > La
partcula puede violar la conservacin de energa en una cantidad DE
por un tiempito del orden de Dt ~ / DE.
