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Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadsticas

Ecuaciones diferenciales - Examen Final

Fila A

Semestre 2015-1025 de Mayo de 2015

Nombre y Codigo:

C. Dominguez R. Prato E. Bolanos

El examen tiene una duracion de 105 min (1h. 45 min.).

Justifique cada una de sus respuestas.

Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales solo conpermiso del profesor)

El uso y/o posesion de celular y/o calculadoras durante el examen es causal de anulacion.

Parte 1 (100 points) En cada caso justifique su respuesta

1. (40 pts)Asuma (la constante de gravedad) g = 10m/s2.

Masa

F(t)

Un resorte que cumple la ley de Hooke se estira1

9 mluego de aplicarle una fuerza de 6 N. Un

sistema masa-resorte se construye con este resorte y con una masa de 3 Kg y es sumergido

en un medio que proporciona una resistencia numericamente igual a 18 veces la velocidad

instantanea. En todo momento a este sistema se le ejerce una fuerza externa (en N) dadapor

F(t) =

54, 0 t <

3,

27 e3 t+ + 54, t 3

.

Utilizando unicamente argumentos de transformada de Laplaceencuentre la posi-cion del cuerpox(t), si la masa en el instante t = 0 se encuentra en la posicion de equilibriocon una velocidad de +3 m/s.

2. (30 pts) Determine la solucion general de la EDO

y + 2y + 9y + 18y = 5 cos (2 x) + 13 e2 x 18 x

3. (30 pts) Determine la funcionf(t) que satisface la ecuacion

f(t) + 16

t

0

f(y)dy= 2 cos(4t) + 16U (t 2) f(0) = 0

Tabla de Transformada de Laplace

Leat

= 1

s a, s > a L{cos at}=

s

s2 +a2, s >0

L{tn}= n!

sn+1, s >0 L{sin at}=

a

s2 +a2, s >0

L

f(t)

= sF(s) f(0+) L

eatf(t)

= F(s a)

L{f(t a)U(t a)}= easF(s), a >0 L{f g}= L{f(t)}L{g(t)}

dondeL{f(t)}= F(s)

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ExamenFinal24.1

1.14Ecuacionesdife

renciales

NRC:33

61-3

362-3

363-3

364

Fila A Barranquilla, 1 de marzo de 2015




Nombre y Codigo: , Profesor:

El examen tiene una duracion de 105 min.


Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales solo

con permiso del profesor)

El uso y/o posesion de celular y/o calculadoras durante el examen es causal de

anulacion.

Cuestionario

Punto 1: Valoracion 20 ptos

Asuma (la constante de gravedad) g= 10m/s2

A un resorte con constante elastica de 12 N/m se le coloca

una masa de 2 Kgy se sumerge en un medio que imparte una

fuerza viscosa de 2 Ncuando la velocidad de la masa es 15

. Si

en el instante inicial t= 0 la masa parte del reposo desde la

posicion de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte actua

una fuerza externa F(t) (en N) dada por

F(t) =

72 t, 0 t

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ExamenFinal24.1

1.14Ecuacionesdife

renciales

NRC:33

61-3

362-3

363-3

364


Resuelva la siguiente ecuacion diferencial usando el metodo de coeficientes

indeterminados

y(iv) 5y + 8y 4y = 8 x+ 4 + 25 cos (x)


Determine f(t) de manera que satisfaga la ecuacion

f(t) + 3

t

0

f(y)sin(t y) dy= 3

t

0

sin(2 y)sin(t y) dy


L

eat

= 1


s

s2 +a2, s >0

L{tn}= n!


a

s2 +a2, s >0

L{f(t)}= sF(s) f(0+) L

eatf(t)

=F(s a)

L{f(t a)U(t a)}= easF(s), a >0 L{f g}= F(s)G(s)

donde L{f(t)}= F(s)

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Examenfinal17.07.2014Ecuacionesdiferenciales

NR

C:Vacacional

Fila A Barranquilla, 16 de julio de 2014





El examen tiene una duracion maxima de90 min.


Es prohibido el prestamo de cualquier material (casos excepcionales solo con permiso del profesor)

El uso y/o posesion del celular y/o calculadora durante el examen es causalde anulacion.

Cuestionario

Punto 1: (10 puntos)

Aplicando el metodo de coeficientes indeterminados, obtenga la solucion general de la EDO

y(4) 2y(3) +y 2y = 12 x+ 4 + 30 cos (x)

Punto 2: (15 puntos)

Resuelva (Utilizando argumentos de la transformada de laplace ) el PVI

y y 2y = g (t), y(0) = 0; y(0) = 0

donde

g(t) =

60 60 sin (t) , 0 t a L{cos at}= s

s2 +a2, s >0

L{tn}= n!


a

s2 +a2, s >0

L{f(t)}= sF(s) f(0+) L

eatf(t)

= F(s a)

L{f(t a)U(t a)}= easF(s), a >0

donde

L{f(t)}= F(s)

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NR

C:8901-8909

Fila A Barranquilla, 4 de junio de 2014





El examen tiene una duracion de105 min.


Es prohibido el prestamo de cualquier material (casos excepcionales solo conpermiso del profesor)

El uso y/o posesion del celular y/o calculadora durante el examenes causal de anulacion.

Cuestionario

Punto 1: (35%) Asuma (la constante de gravedad)g= 10m/s2.

Un resorte que cumple la ley de Hooke se estira1

5mluego de colgarle una masa

de1

2 Kg. Un cuerpo de 50 Nse cuelga al resorte y a este sistema masa-resorte sele ejerce una fuerza externa (en N) dada por

F(t) = 30( t) U (t )+ 20

t

0

x () ( t) d

utilizando unicamente argumentos de transformada de Laplaceen-cuentre la posicion del cuerpo x(t), si el peso en el instante t = 0 se encuentraen la posicion de equilibrio con una velocidad de +3 m/s.

Punto 2: (35%)

Determine la funcionf(t) que satisface la ecuacion:

cos (t) U

t

3

2

t

0

f(y) (t y) dy=f(t) 2t

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NR

C:8901-8909

Punto 3: (30%)

Calcule la transformada de laplace

L

e2tf(t)

donde f(t) es la funcion periodica cuya grafica esta dada por:

1

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


L

eat

= 1


s

s2 +a2, s >0

L{tn}= n!


a

s2 +a2, s >0

L{f(t)}= sF(s) f(0+) L

eatf(t)

= F(s a)


donde

L{f(t)}= F(s)

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Examenfinal2

0.11.13Ecuacionesd

iferenciales

NRC:3361-3362-3363-3364-3365

Fila A Barranquilla, 20 de noviembre de 2013







Es prohibido el prestamo de cualquier material (casos excepcionales solo con permiso del profesor)

Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simbolico.

El uso y/o posesion del celular durante el examen es causal de anulacion.

Cuestionario

Punto 1: (35%) En este problema asuma (la constante de gravedad) g= 10m/s2.

Un resorte que cumple la ley de Hooke se estira 0,9 m luego de colgarle una masa de 0,27 Kg. Un cuerpo de 10

3 N

se cuelga al resorte y a este sistema masa-resorte se le ejerce una fuerza externa (en N) dada por

F(t) =

6 si 0 t 3

3 3t si t > 3

utilizando unicamente argumentos de transformada de Laplace encuentre la posicion del cuerpox(t), siel peso en el instante t = 0 se encuentra a 1 m por encima de la posicion de equilibrio con una velocidad de +1m/s.

Punto 2: (35%)

Determine la funcionf(t) que satisface la ecuacion:

f(t) 2 t0

f(y)s in 2 (t y) dy= t cos tU

t

2

Punto 3: (30%)

Determine:

1. L

tet cos(3 t)

2. L1

5 s+ 10

s (s2 + 4 s+ 5)


L

eat

= 1s a

, s > a L{cos at}= ss2 +a2

, s > 0

L{tn}= n!

sn+1, s > 0 L{sin at}=

a

s2 +a2, s > 0

L{f(t)}= sF(s) f(0+) L

eatf(t)

= F(s a)

L{f(t a)U(t a)}= easF(s), a > 0 L{f g}= L{f(t)}L{g(t)}

dondeL{f(t)}= F(s)

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Fila A Barranquilla, 29 de mayo de 2013


Departamento de matematicas y estadistica

Examen Final - Ecuaciones Diferenciales




Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales solocon permiso del profesor)

Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simbolico.

El uso del celular durante el examen es causal de anulacion.

Tabla de Transformadas de Laplace

L{eat}= 1


s

s2 +a2, s >0

L{tn

}= n!

sn+1 , s >0 L{sin at}= a

s2 +a2 , s >0

L{f(t)}= sF(s) f(0+) L{tnf(t)}= (1)ndn

dsnF(s)

L{eatf(t)}= F(s a) L{f(t a)U(t a)}= easF(s)

donde

L{f(t)}= F(s) y U(t a) := 0, 0 t < a

1, t a

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NR

C:8901-8909

Punto 3: (30%)

Calcule la transformada de laplace

L

e3tf(t)

donde f(t) es la funcion periodica cuya grafica esta dada por:

1

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


L

eat

= 1


s

s2 +a2, s >0

L{tn}= n!


a

s2 +a2, s >0

L{f(t)}= sF(s) f(0+) L

eatf(t)

= F(s a)


donde

L{f(t)}= F(s)

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Cuestionario

1. 2 puntos Resuelva el siguiente PVI

y + 9y= f(t)y(0) =y(0) = 0

donde

f(t) =

cos(3t) + 2 0 t

2 < t 2

1 t >2

2. 1 punto Evalue

L1

s+ 2

s(s2 + 4s+ 5)

3. 1 punto Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

y(t)

t

0

cos(t )y() d= t sin t,

y(0) = 0.

4. 1 punto Calcule la transformada de laplace L{f(t)} , donde f(t) es la

funcion periodica cuya grafica esta dada por:

1

2 4 6 8 10

f(t) =t(2 t)

0 t 2

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Barranquilla, 16 Octubre de 2009


Division de ciencias basicas

Departamento de matematicas y estadisticas

Ecuaciones diferenciales

Profesor: Ricardo Prato T.

Transformadas de Laplace para funciones basicas

L[1] =1

s, s >0 L[cos at] =

s

s2 +a2, s >0

L[tn] = n!

sn+1, s >0 L[sin at] =

a

s2 +a2, s >0

L[cosh at] = s

s2 a2, s >0 L[sinh at] =

a

s2 a2, s >0

L[eat] = 1

s a, s > a

Ademas tenga en cuenta:

L[f+ g] = L[f] + L[g], s > s0 (1)

L[f] = L[f], s > s1 (2)

L[f(t)] =sL[f(t)] f(0+) (3)

Si L[f(t)] = (s) entonces L[tnf(t)] = (1)n dn

dsn(s) (4)

Si L[f(t)] = (s), a R entonces L[eatf(t)] = (s a) (5)

Si L[f(t)] = (s), a R+ entonces L[f(t a)U(t a)] =eas(s) (6)

donde

U(t a) :=

0, 0 t < a

1, t a

Ejercicios

1. Calcule (con ayuda de la tabla de arriba) las transformadas de Laplace de las siguientesfunciones

(a)

f(t) = 3e2t sin t cos t

(b)

f(t) = t3e2t

1

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(c)

f(t) =

sin t, t 2

2. Calcule (con ayuda de la tabla de arriba) las transformadas inversas de las siguientes funciones

(a)

(s) = 2s

2s2 + 1

(b)

(s) = 3e2s

3s2 + 1

(c)

(s) = 1

(s2 + 4)3

3. Calcule con ayuda de la transformadas de Laplace la solucion de las siguientes EDOs

(a)y y + 4y 4y = 3et + 4e2t; y(0) = 0; y(0) = 5; y(0) = 3

(b)y 2y +y = tet sin t; y(0) = 0; y(0) = 0

2

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Barranquilla, 21 de Noviembre de 2012




Examen final de ecuaciones diferenciales


1. (a) Calcule la siguiente Transformada inversa de Laplace:

L1

s 2

(s2 4s+ 9)2

(b) Calcule la transformada de laplace L{f(t)} , donde f(t) es la funcion periodicacuya grafica esta dada por:

1

2 3

f(t) =t cos2t

0 t

2. Resuelva la siguiente ecuacion integrodiferencial:

dy

dt+ 2y+

t

0

y() d= g (t),

y(0) = 0.

donde g(t) es la funcion cuya grafica esta dada por:

1

1 2 3 4

y

t

1

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3. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

y(t)

t

0

(t )y() d= t,

y(0) = 0.

1. Cada punto tienen la misma valoracion: 3/5.00

2. Tiempo maximo para el desarrollo del examen final: 90 Minutos

3. La justificacion de las respuestas es uno de los factores m as importante parala calificacion del presente examen.

4. Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionalessolo con permiso del profesor) y el empleo de calculadoras que involucrenlenguaje simbolico.

Transformadas de Laplace

L[eat] = 1

s a, s > a L[cos at] =

s

s2 +a2, s >0

L[tn] = n!


a

s2 +a2, s >0

L[f(t)] = s(s) f(0+) L[tnf(t)] = (1)n dn

dsn(s)

L[eatf(t)] = (s a) L[f(t a)U(t a)] = eas(s)

donde

L[f(t)] =(s) y U(t a) =H(t a) :=

0, 0 t < a

1, t a

2

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15/17

Barranquilla, 12 de Noviembre de 2009



Departamento d e matematicas y estadisticas



L[eat] = 1

s a , s > a L[cos at] = s

s2 +a2 , s >0

L[tn] = n!


a

s2 +a2, s >0


L[f(t)] = sL[f(t)] f(0+) (1)


dsn(s) (2)

SiL

[f(t)] = (s), a R

entoncesL

[eat

f(t)] = (s a) (3)

Si L[f(t)] = (s), a R+ entonces L[f(t a)U(t a)] = eas(s) (4)

donde

U(t a) =H(t a) :=

0, 0 t < a

1, t a

1. Una masa que pesa 18 libras se cuelga a un resorte y le produce una elongacion de 9 pies. Posteriormentela masa se reemplaza por otra de 1 slug y se coloca en la posicion de equilibrio, en este momentouna fuerza externa f(t) = cos t se aplica al sistema. Encuentre la ecuacion de movimiento si elmedio circulante ofrece una fuerza de amortiguamiento numericamente igual a 3 veces la velocidadinstantanea.Observacion: El P.V.I. resultante deb e ser resuelto va Laplace.

2. Calcule, segun el caso, la Transformada de Laplace o la Transformada inversa en los siguientes ejercicios.

(a) L

t(sin2t e3t)2 +g(t)

, con g (t) =

1, t 2

0, 2< t 4

1, 4< t 6

0, t >6

(b)

L1 (1 +e2s)2

s+ 3

8s

s2 + 9e

2s

3. Obtenga la solucion del siguiente P.V.I.

y + 4y + 3y= g(t), y(0) =y (0) = 0

donde g (t) es la funcion definida en el punto 2(a).

1

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Barranquilla, 20 de mayo de 2010





Cuestionario


(a) L

(t4 e3t)2 +g(t)

, con g (t) =

1, t 1

t, 1< t

sin2t, t >

(b)

L1(e2s +e2s)2

s+ 7

5s

s2 + 4e

4s


y + 6y + 8y =h(t), y(0) =y (0) = 0

donde h(t) =

e3t, t 1

0, 1< t.


L[eat] = 1

s a, s > a L[cos at] =

s

s2 +a2, s >0

L[tn] = n!


a

s2 +a2, s >0


L[f(t)] = sL[f(t)] f(0+) (1)

Si L[f(t)] = (s), a Rentonces L[eatf(t)] = (s a) (2)


donde

U(t a) =H(t a) :=

0, 0 t < a

1, t a

1

7/23/2019 EF_old

17/17

Barranquilla, 12 de Mayo de 2010



Departamento d e matematicas y estadisticas



L[eat

] = 1

s a , s > a L[cos at] = s

s2 +a2 , s >0

L[tn] = n!


a

s2 +a2, s >0


L[f(t)] = sL[f(t)] f(0+) (1)


dsn(s) (2)

Si L[f(t)] = (s), a Rentonces L[eatf(t)] = (s a) (3)


donde

U(t a) =H(t a) :=

0, 0 t < a

1, t a


(a)

L1

(1 +e2s)2s+ 3

8s

s2 + 9e

5s


y + 7y 10y=

1, t 11, 1< t 3

0, t >3

, y(0) =y (0) = 0

3. Calcule la Transformada Laplace para la funcion periodica cuya grafica esta dada por:

0 1 2 3 4 5 6

1

y

t

1

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