Ejemplos de espacios vectoriales. Contraejemplos

Objetivos. Conocer los ejemplos mas importantes de espacios vectoriales.

Requisitos. Definicion del espacio vectorial, operaciones lineales en Fn y sus propiedades,operaciones lineales en V 2(O) y sus propiedades, operaciones lineales en Mm,n(F) y suspropiedades.

Espacios vectoriales “aritmeticos”

1. Rn es un EV real.

2. Cn es un EV complejo.

3. En general, Fn es un EV/F (espacio vectorial sobre el campo F).

4. F1 = F es un EV/F.

5. (Cn,R,+, ·R) es un EV/R si definimos la multiplicacion ·R solamente por numerosreales:

∀λ ∈ R ∀a =

a1. . .an

∈ Cn λ

a1. . .an

:=

λa1. . .λan

.6. R se puede considerar como un EV sobre el campo Q.

7. Espacio vectorial nulo. Sea V un conjunto unipuntual: V = {P} y sea F un campo.Definamos las operaciones lineales de la siguiente manera:

P + P := P,

∀λ ∈ F λP := P.

Es facil ver que se cumples todos los axiomas de espacio vectorial. En particular, elelemento P hace papel del vector cero en este espacio.

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8. En este ejemplo denotemos por V al conjunto de los pares ordenados de numeros realespositivos:

V = (0,+∞)× (0,+∞) = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}.Definamos la operacion “suma”:[

x1x2

]⊕[y1y2

]:=

[x1y1x2y2

]y la operacion “producto por numeros reales”:

λ�[x1x2

]:=

[xλ1xλ2

].

Entonces V es un espacio vectorial real. Note que en este espacio el vector cero (el elementoneutro aditivo) es distinto de 02, y para todo a ∈ V el vector inverso aditivo a es distintodel vector opuesto comun −a:

0V 6=[

00

], a 6=

[−a1−a2

].

Espacios vectoriales “geometricos”

9. V 2(O) (espacio de los segmentos dirigidos en el plano con el punto inicial O) es un EVreal. Analogamente, V 1(O) y V 3(O) (en la recta y en el espacio) son espacios vectorialesreales.

10. V 2 (espacio de los vectores libres en el plano) es un EV real. Analogamente, V 1

(vectores libres en la recta) y V 3 (vectores libres en el espacio) son espacios vectorialesreales.

Polinomios

11. Denotemos por P(F) al conjunto de todos los polinomios de una variable con coefi-cientes pertenecientes al campo F. P(F) es un EV/F.

Repaso: grado de los polinomios. El grado de polinomios cumple las siguientes pro-piedades:

deg(fg) = deg(f) + deg(g), deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)), deg(λf) ≤ deg(f).

Para el polinomio cero 0 se pone deg(0) = −∞.

12. Pn(F) consiste en los polinomios cuyos grados son ≤ n. Es un EV/F.

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Matrices

13.Mm,n(F). Matrices del tamano m× n cuyas entradas pertenecen al campo F.

Espacios de funciones

Conjunto de todas las funciones con dominio y contradominio dados. Sean X, Yconjuntos. El conjunto de todas las funciones f : X → Y se denota por Y X .

14. Sea E un espacio vectorial sobre un campo F y sea X un conjunto. Consideremos elconjunto V = EX con las siguientes operaciones lineales. Si f, g ∈ EX , es decir f : X → Ey g : X → E, entonces la funcion f + g : X → E se define mediante la regla:

∀x ∈ X (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Si λ ∈ F y f ∈ EX , es decir f : X → E, entonces la funcion λf : X → E se definemediante la regla:

∀x ∈ X (λf)(x) = λf(x).

El conjunto V = EX dotado con estas operaciones lineales es un espacio vectorial sobreel campo F.

15. Ejercicio. Pruebe algunos de los axiomas de espacio vectorial para el espacio EX delejemplo anterior.

16. C([a, b],R). Espacio de las funciones continuas [a, b]→ R con las operaciones linealespuntuales:

(f + g)(x) := f(x) + g(x), (λf)(x) := λf(x).

Es un espacio vectorial real.

17. Ck([a, b],R). Espacio de funciones k veces continuamente diferenciables [a, b] → R.Es un EV/R.

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Contraejemplos: cuando los resultados de las operacionesno siempre estan en el conjunto inicial

En otras palabras, cuando las operaciones llevan afuera) del conjunto inicial. Mostrar quecada uno de los siguientes conjuntos (con las operaciones comunes) no es espacio vectorialreal:

18. Polinomios de grado n con coeficientes reales.

19. Polinomios con coeficientes no negativos.

20. Conjunto de las funciones f ∈ C[a, b] tales que |f(t)| ≤ 1 para todos t ∈ [0, 1].

Contraejemplos: cuando las operacionesno cumplen con algunos de los axiomas

Mostrar que los siguientes conjuntos no son espacios vectoriales reales. En cada uno de losejemplos aclarar, cuales axiomas de espacio vectorial no se cumplen, y dar contraejemplosconcretos. Por + y · denotamos las operaciones lineales comunes, y los signos ⊕ y �usamos para operaciones no comunes.

21. V = (R2,R,⊕, ·), donde[x1x2

]⊕[y1y2

]:=

[x1 − y1x2 − y2

].

22. V = (R2,R,⊕, ·), donde[x1x2

]⊕[y1y2

]:=

[x1 + y1 + 1x2 + y2 + 1

].

23. V = (R2,R,+,�), donde 0� a := 02 y para todo λ 6= 0

λ�[x1x2

]:=

[1λx1

1λx2

].

24. V = (R2,R,+,�), donde

λ�[x1x2

]:=

[λx10

].

25. V = (R2,R,+,�), donde

λ�[x1x2

]:=

[2λx12λx2

].

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