8/18/2019 Ejemplos de Transferencias de Calor 19032016

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.EJEMPLOS DE CASOS DE TRANSFERENCIAS DE CALOR EN CONDICIONES FRONTERA,

CON Y SIN GENERACIÓN DE CALOR

1. Considere una pared plana grande de espesor L  = 0.2m, conductividad térmica k  = 1.2W/m ·o C  y área superfi-cial A  = 15m2. Los dos lados de la pared se mantienen a las temperaturas constantes  T 1  = 120

oC  y T 2  = 50oC ,

respectivamente, como se muestra en la figura. Determine a) la variación de la temperatura dentro de la paredy el valor de la temperatura en  x   = 0.1m, y b) la razón de la conducción de calor a través de la pared encondiciones estacionarias.

Debido a las condiciones del caso, se pueden considerar los siguientes puntos:

a ) La conducción de calor es estacionaria.

b) La conducción de calor es unidimensional, dado que la pared es grande en relación con su espesor y lascondiciones térmicas en ambos lados son uniformes.

c ) La conductividad térmica es constante.

d ) No hay generación de calor.

La dirección del flujo de calor y las ya mencionadas condiciones nos permiten simplificar la ecuación diferencialpara la transferencia de calor y plasmar las condiciones frontera:

a )  d2T 

dx2  = 0

b)   T (0) = T 1  = 120oC 

T (L) =  T 2  = 50oC 

Integrando la ecuación diferencial una vez con respecto a x, se obtienedT 

dx  = C 1

Integrando una vez más se obtieneT (x) =  C 1x + C 2

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Resolviendo el sistema de ecuaciones para las condiciones frontera establecidas obtenemos:T (0) = C 1 × 0 + C 2  → C 2  =  T 1

T (L) =  C 1L + C 2  → T 2 =  C 1L + T 1  → C 1  = T 2 − T 1

LUna vez resuelto el sistema y simplificando, la ecuación correspondiente a la solución general, es:

T (x) = T 2 − T 1

L  x + T 1

Haciendo uso de ésta se obtiene la temperatura correspondiente a 0.1m:T (0.1m) =

 (50 − 120)oC 

0.2m  (0.1m) + 120oC  = 85oC 

La razón de transferencia de calor se obtiene ya que se tiene los datos de las temperaturas:

Q =  kAT 1 − T 2

L  (1.2W/m ·o C )(15m2) = 6300W 

2. Considere la placa base de una plancha doméstica de  1200W  que tiene un espesor de  L  = 0.5cm, área de la basede  A  = 300cm2 y conductividad térmica de  k  = 15W/m ·o C . La superficie interior de la placa base se sujeta aun flujo de calor uniforme generado por los calentadores por resistencia que están en el interior y la superficieexterior pierde calor hacia los alrededores que están a T ∞ = 20

oC , por convección, como se muestra en la figura.Tomando el coeficiente de transferencia de calor por convección como  h  = 80W/m2 ·oC  y descartando la pérdidade calor por radiación, obtenga una expresión para la variación de la temperatura en la placa base y evalúe las

temperaturas en las superficies interior y exterior.

Se toman las siguientes consideraciones en base a lo planteado en el caso:

a ) La transferencia de calor es estacionaria, ya que no existe cambio con el tiempo.

b) La transferencia de calor es unidimensional, puesto que el área superficial de la placa base es grande enrelación con su espesor y las condiciones térmicas en ambos lados son uniformes.

c ) La conductividad térmica es constante.

d ) No se tiene generación de calor en el medio.

e ) La transferencia de calor por radiación es despreciable.

 f  ) La parte superior de la plancha está bien aislada, de modo que todo el calor generado en las resistencias dealambre se transfiere a la placa base a través de su superficie interior.

Debido a las condiciones mencionadas se calcula el flujo uniforme de calor:

q 0  =  Q0Abase

= 1200W 

0.03m2 = 40000W/m2

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Las condiciones frontera nos permiten expresar la ecuación diferencias de forma simplificada:d2T 

dx2  = 0

Expresando las condiciones frontera las tenemos expresadas de la siguiente manera:

−kdT (0)

dx  = q 0  = 40000W/m

2

−

k

dt(L)

dx   = h[T (L)−

T ∞

]

Integrando de nuevo en dos ocaciones podemos resolver el sistema de la siguiente manera:

−kdT (0)

dx  = q 0  → −kC 1  =  q 0  → C 1  = −

q 0k

−kdT (L)

dx  = h[T (L) =  T ∞] → −kC 1  =  h[(C 1L =  C 2) − T ∞]

La ecuación general queda de la siguiente manera:

T (x) =  T ∞ + q 0(L− x

k  +

 1

h)

Resolviendo para las condiciones frontera tenemos los siguientes resultados:

T (0) = T ∞ + q 0(

L− x

k   +

 1

h) = 20o

C  + (40000W/m2

)(

  0.005m

15W/m ·o C   +

  1

80W/m2 ·o C ) = 533o

C 

T (L) =  T ∞ + q 0(L− x

k  +

 1

h) = 20oC  +

  40000W/m2

80W/m2 ·o C  = 520oC 

3. Considere una pared plana grande de espesor  L   = 0.06m  y conductividad térmica   k   = 1.2W/m ·o C   en elespacio. La pared está cubierta con losetas de porcelana blanca que tienen una emisividad de  ε  = 0.85  y unaabsortividad solar de  α  = 0.26, como se muestra en la figura. La superficie interior de la pared se mantiene aT 1  = 300oK  en todo momento, en tanto que la exterior está expuesta a la radiación solar que incide a razón deq solar  = 800W/m

2. La superficie exterior también está perdiendo calor por radiación hacia el espacio profundoque está a  0K . Determine la temperatura de la superficie exterior de la pared y la razón de la transferencia decalor a través de la pared cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación.

Se pueden asumir los siguientes puntos debido a las condiciones del fenómeno:

a ) La transferencia de calor es estacionaria dado que no hay cambio con el tiempo.

b) La transferencia de calor es unidimensional, ya que la pared es grande en relación con su espesor y lascondiciones térmicas en ambos lados son uniformes.

c ) La conductividad térmica es constante.

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d ) No hay generación de calor.

Las condiciones expresadas nos permiten representar la ecuación diferencial correspondiente y las condicionesfrontera de la siguiente manera:d2T 

dx2  = 0

T (0) = T 1 = 300oK 

−

k

dT (L)

dx   = εσ[T (L)

4

= T 

4

espacio]−

αq solar

T (x) = αq solar − εσT 

4

L

k  x + T 1

Mediante iteraciones o métodos numéricos se puede obtener:T L = 292.7

oK 

Aplicando la fórmula de flujo de calor se obtiene:

q  =  kT 1 − T 2

L  = (1.2W/m ·o K )

(300 − 292.7)oK 

0.06m  = 146W/m2

PROBLEMAS PARA RESOLVER

1. En los medidores de flujo de calor se usa un dispositivo muy sensible, conocido como termopila,que sirve para medir la diferencia de temperatura de uno a otro lado de una película delgada con-ductora del calor, hecha de kaptón  (k = 0.345W/m ·o K ). Si la termopila puede detectar diferenciasde temperatura de  0.1oC  o más y el espesor de la película es de 2 mm, ¿cuál es el flujo mínimo decalor que puede detectar este medidor?

2. Considere un tubo de vapor de agua de longitud  L  = 30ft, radio interior   r1  = 2in, radio exteriorr2  = 2.4in  y conductividad térmica  k  = 7.2Btuh · ft ·o F . El vapor está fluyendo por el tubo a unatemperatura promedio de  300oF  y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convecciónsobre la superficie exterior se da como  h  = 12.5Btuh ·ft2 ·oF . Si la temperatura promedio sobre lasuperficie exterior del tubo es  T 2  = 175oF : a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de

frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través del tubo, b) obtengauna relación para la variación de la temperatura en éste, resolviendo la ecuación diferencial, y c)evalúe la razón de la pérdida de calor del vapor a través del mismo.

3. Se está usando una resistencia de alambre homogénea y larga de radio   r0   = 5mm   para calentarel aire en un cuarto por el paso de la corriente eléctrica. El calor se genera en el alambre demanera uniforme a razón de  5 × 107W/m3 como resultado del calentamiento por resistencia. Si latemperatura en la superficie exterior del alambre permanece a  180oC , determine la temperaturaen   r  = 3.5mm, después de que se han alcanzado las condiciones estacionarias de operación. Tomela conductividad térmica del alambre como  k = 6W/m ·o C .

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4. Considere una pared plana grande de espesor L  = 0.05m. La superficie de la pared en  x  = 0 está ais-lada, en tanto que la superficie en x  =  L  se mantiene a una temperatura de 30oC . La conductividadtérmica de la pared es  k  = 30W/m ·oC  y el calor se genera en ella a razón de  egen  =  e0e−0.5xLW/m3

en donde   e0   = 8 × 106W/m3. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estadoestacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducciónde calor a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella,resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine la temperatura de la superficie aislada de lamisma.

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