Listado No. 1 Modelos Estocásticos y Simulacion Materia : Formulación de Cadenas de Markov Problema 1 Se considera una señal con amplitud entre A2− y A2 , el cual puede tomar solo valores múltiplos de A. En cualquier instante n, la señal puede, ya sea quedarse en el mismo valor, aumentar A o disminuir A. Al asumir que los cambios tienen igual probabilidad, determine la cadena de Markov que describe el proceso y la matriz de transición de estados.

Figura : Señal de pasos discretos Problema 2 Un Canal Binario Simétrico, es un proceso de transmisión de datos binarios, es decir, {1, 0}. La probabilidad que un dato llegue erróneo es igual a p, y la probabilidad que el dato llegue correctamente es 1 − p.

a. Determine la cadena de Markov del proceso. b. Determine la matriz de transición de estados. c. Además, la probabilidad de que el dato enviado sea "1". d. Determine la matriz de transición de estados, después de haber transmitido 4 datos.

Problema 3 En dos urnas están colocadas 3 esferas negras y 3 esferas blancas de modo que cada urna contenga 3 esfera. Designemos con X(t) la cantidad de esferas negras en la primera urna en el instante t= 0,1,2,.... En cada instante de tiempo de número entero se escoge al azar una esfera de cada urna se cambian de lugar.

a. Mostrar que X(t) es una cadena de Markov y hallar la matriz de transición. b. Hallar los estados estacionarios.

Problema 4 Una maquina funciona con dos dispositivos colocados en serie. Si una de las componentes se estropea tarda un día en repararla, pero si son las dos componentes, se arregla primero una y luego la otra, es decir, tarda dos días en arreglarse el dispositivo. La probabilidad que una componente siga funcionando el día siguiente es 0,8.

a. Hallar la matriz de transición definiendo sus estados b. ¿Cuál es el costo esperado, si el costo por día que la maquina no funciona es de $ 40?

Problema 5 Una maquina funciona con dos dispositivos colocados en serie: A y B. El dispositivo A, esta formado por dos microprocesadores colocados en paralelo y el dispositivo B por uno solo (Ver dibujo). La probabilidad de que cualquiera de los microprocesadores sigan funcionando al día siguiente es del 0,8. Si no funciona el dispositivo A, cuesta para reparar alguno o todos los microprocesadores $ 2.000, y si no funciona el dispositivo B cuesta para repararlo $ 800. La maquina solo falla al final del día y solo se repara un dispositivo por día.

a. Describir el proceso de funcionamiento de la maquina como un proceso de Markov, indicando los cuatro estados y hallar la matriz de transición.

b. Hallar el costo total esperado.

c. ¿Cuál es el promedio de días en llegar de nuevo a funcionar la maquina, cuando estaba inicialmente funcionando?

Dispositivo ADispositivo B

Problema 6 Una máquina funciona con dos dispositivos colocados en serie: A y B. El dispositivo A, esta formado por dos microprocesadores colocados en paralelo y el dispositivo B por uno solo. ( Ver dibujo del problema 4.17). La probabilidad de que cualquiera de los microprocesadores sigan funcionando al día siguiente es del 0,6. La máquina solo falla al final del día y solo se repara un dispositivo por día. Y cuesta para reparar cada dispositivo $ 800. Si se estropean los dos se hace un descuento del 50%

a. Describir el proceso de funcionamiento de la maquina como un proceso de Markov, indicando los cuatro estados y hallar la matriz de transición.

b. Hallar el costo total esperado.

Problema 7 El proceso de trascripción de un documento en una computadora por una secretaria se realiza en forma satisfactoria si la computadora esta en operación, de lo contrario se usa otra computadora, (si no esta descompuesta). Una computadora tiene una probabilidad p de descomponerse en un periodo dado si esta en uso y supóngase que la computadora se descompone sólo al final del período. Cuando esto ocurre, la otra computadora opera, si está disponible al comenzar el siguiente período. Solo se cuenta con una persona que da servicio a las computadoras descompuestas y toma dos períodos arreglarlas. Sea X, un vector de dos componentes M y N, donde M representa el número de computadoras que operan hasta el final del período y N vale uno si la persona requiere solo un periodo más para completar la reparación, si lo esta haciendo, y vale cero en cualquier otro caso.

a. Hallar la matriz de transición b. Si la trascripción está el estado X=(2,0). ¿Cuál es el mayor valor de p para que el valor

esperado de periodo en llegar por primera vez al estado X=(1,1) sea cinco? Problema 8 Los administradores de la empresa Maca consideran que la probabilidad de que un cliente compre su producto marca A o los principales productos de la competencia: marca B ó C, se basa en la compra más reciente del cliente. Cada vez que un cliente compra un nuevo paquete puede comprar de la misma marca o cambiarse a otra. Se han obtenido los siguiente datos estimados: Los clientes de A, el 90% vuelven a compra A y el resto compran B ó C en partes iguales, los clientes de B el 5% compra A la siguiente vez y el resto compra B ó C en partes iguales y los clientes de C el 80% compra A la siguiente vez y el resto compra B ó C en partes iguales.

a. Construir la matriz de transición b. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que compró la ultima vez A compre A en una

tercera compra? c. ¿Cuál es la participación del mercado a largo plazo para cada uno de estos tres productos? d. En promedio ¿Cuanto tiempo tarda un cliente que hoy consume B en volver a consumir

B? Problema 9 El ladrón de Bagdad está en una prisión que tiene tres puertas. Una puerta conduce a la libertad mientras que las otras dos conducen a túneles que regresan a la celda. El viaje a través de un túnel dura dos días y a través del otro un día. Suponga que cada mañana a las 7 a.m. el ladrón decide cuál puerta abre para escapar. Él tiene pésima memoria y no puede recordar cuál fue la puerta que abrió la última vez. Encuentre la matriz de transición y el tiempo esperado que el ladrón permanece en la celda.

Problema 10 Una fábrica de dispositivos electrónicos pide conductores de 2 metros de longitud ha un proveedor, quien afirma que el alambre de sus conductores tiene la resistencia especificada que desean los ingenieros de dicha compañía, para su uso en los modelos experimentales. Cada remesa es clasificada por los técnicos que la usan, como “satisfactoria” (no se reporta nada al proveedor), como “inferior a las normas” (se notifica por escrito al proveedor que la remesa no cumple con las especificaciones), o como “inaceptable” (el envío se devuelve, y de acuerdo con la garantía, el proveedor lo repone con otro que ha sido verificado en un 100%). Los ingenieros han observado que si un envío determinado se clasificó como satisfactorio, el siguiente será también satisfactorio 4/5 de las veces, inferior a la normas 3/20 de las veces, e inaceptable 1/20 de las veces. Si un embarque se clasifica como inferior a las normas, el siguiente es satisfactorio 19/20 de las veces, inferior a las normas 1/20 de las veces, y nunca es inaceptable. ¿Qué proporción de los embarque son satisfactorios, inferiores a las normas e inaceptables, respectivamente, a largo plazo?