Ejercicio 3 - Unidad v - Chipana Quiñones Gherard

8/15/2019 Ejercicio 3 - Unidad v - Chipana Quiñones Gherard

http://slidepdf.com/reader/full/ejercicio-3-unidad-v-chipana-quinones-gherard 1/26

UNIVERSIDADCatólica SEDES

SAPIENTIAE

ESPACIOS conproducto interior

Alumno : Chipana Quiñones GherardAnthony

Docente : César Villa Morocho

Curso : Álgebra Lineal

Carrera : Ingeniería de Siste as



LI A ! PER"#$%&

UNIDAD V: ESPACIOS CON PRODUCTO

INTERIORE'ercicio (: )ases orto*onales+ Proceso de ,ram-Sc.midt+Descomposición /R

a ¿⟨ (0,1 ), (2,0 )⟩= 0 (Sies ortogonal )

b ¿⟨(− 1

√ 2,

1

√ 2 ),( 1

√ 2,

1

√ 2)⟩=

− 12

+12

= 0 (Sies ortogonal )

c ¿⟨(− 1

√ 2,− 1

√ 2 ),( 1

√ 2,

1

√ 2)⟩=

− 12

− 12

=− 1 ( No esortogonal )

d ¿⟨(0,0 ),(0,1 )⟩= 0 (Si es ortogonal )

a ¿⟨ (0,1 ), (2,0 )⟩= 0 y‖(0,1 )‖= 1,‖(2,0 )‖= 2 …( NO ES ORTONORMAL )

b ¿⟨(

− 1

√ 2 , 1

√ 2 ),( 1

√ 2 , 1

√ 2 )⟩=

− 12 +

12 = 0 y

‖(− 1

√ 2 , 1

√ 2 )‖= 1,

‖( 1

√ 2 , 1

√ 2 )‖= 1

…( ES ORTONORMAL )

c ¿⟨(− 1

√ 2,− 1

√ 2 ),( 1

√ 2,

1

√ 2)⟩=

− 12

− 12

=− 1 y‖(− 1

√ 2,− 1

√ 2 )‖= 1,‖( 1

√ 2,

1

√ 2)‖= 1

…( NO ES ORTONORMAL )



d ¿⟨(0,0 ),(0,1 )⟩= 0 y‖(0,0 )‖= 0,‖(0,1 )‖= 1


a ¿⟨( 1

√ 2 , 0, 1

√ 2 ),( 1

√ 3 , 1

√ 3 ,− 1

√ 3 )⟩= 0,⟨( 1

√ 2 , 0, 1

√ 2 ),(− 1

√ 2 , 0, 1

√ 2 )⟩= 0

y

⟨(− 1

√ 2 , 0, 1

√ 2 ),( 1

√ 3 , 1

√ 3 ,− 1

√ 3 )⟩=

− √ 63 ( No es ortogonal )

b ¿⟨(23

,− 23

,13 ),(2

3,

13

− 23)⟩= 0,⟨(2

3,− 2

3,

13 ),(1

3, 23

, 23 )⟩= 0

y⟨(23

,13

− 23

) ,(13

,23

, 23)⟩= 0 (Si esortogonal )

c ¿⟨(1,0,0 ),(0, 1

√ 2, 1

√ 2 )⟩= 0, ⟨ (1,0,0 ), (0,0,1 )⟩= 0

y⟨(0, 1

√ 2 , 1

√ 2 ),(0,0,1 )⟩= 1

√ 2( No es ortogonal )

d ¿

⟨( 1

√ 6,

1

√ 6,− 2

√ 6 ),( 1

√ 2,− 1

√ 2, 0 )

⟩

= 0 (Si esortogonal )



a ¿

⟨( 1

√ 2, 0,

1

√ 2 ),

( 1

√ 3,

1

√ 3,− 1

√ 3 )⟩= 0,

⟨( 1

√ 2, 0,

1

√ 2 ),

(− 1

√ 2, 0,

1

√ 2 )⟩= 0

y⟨(− 1

√ 2, 0,

1

√ 2 ),( 1

√ 3,

1

√ 3,− 1

√ 3 )⟩= − √ 63

y‖( 1

√ 2, 0,

1

√ 2 )‖= 1,‖( 1

√ 3,

1

√ 3,− 1

√ 3 )‖= 1 ,‖(− 1

√ 2, 0,

1

√ 2 )‖= 1


b ¿⟨(23

,− 23

,13 ),(2

3,

13

− 23)⟩= 0,⟨(2

3,− 2

3,

13 ),(1

3, 23

, 23 )⟩= 0

y⟨(23

,13

− 23

) ,(13

,23

, 23)⟩= 0

y‖(

23

,− 23

, 13 )‖= 1,

‖(23

, 13

− 23 )‖= 1 ,‖(

13

, 23

, 23)‖= 1


c ¿⟨(1,0,0 ),(0, 1

√ 2 , 1

√ 2 )⟩= 0, ⟨ (1,0,0 ), (0,0,1 )⟩= 0

y⟨(0,

1

√ 2,

1

√ 2 ),(0,0,1 )⟩= 1

√ 2

y‖(1,0,0 )‖= 1,‖(0, 1

√ 2,

1

√ 2)‖= 1 ,‖(0,0,1 )‖= 1




d ¿⟨( 1

√ 6 , 1

√ 6 ,− 2

√ 6),( 1

√ 2 ,− 1

√ 2 , 0)⟩= 0

y‖( 1

√ 6,

1

√ 6,− 2

√ 6 )‖= 1,‖( 1

√ 2,− 1

√ 2, 0)‖= 1


a ¿⟨(

23

,− 23

, 13 ),(2

3, 1

3,− 2

3 )⟩= 0,

⟨(23

,− 23

, 13 ),(1

3, 2

3, 2

3 )⟩= 0

y⟨(23

,13

,− 23 ),(1

3,

23

,23 )⟩= 0

y‖(23

,− 23

, 13 )‖= 1,‖(2

3,

13

,− 23)‖= 1,‖(1

3,

23

,23 )‖= 1


b ¿⟨(1,0,0 ),(0, 1

√ 2 , 1

√ 2 )⟩= 0, ⟨(1,0,0 ), (0,0,1 ) ⟩= 0

y⟨(0,0,1 ),(0, 1

√ 2 , 1

√ 2 )⟩= 1

√ 2

y‖(1,0,0 )‖= 1,‖(0, 1

√ 2,

1

√ 2)‖= 1,‖(0,0,1 )‖= 1




a ¿[1 00 0],[ 0 2

313

− 23 ],[ 0

23

− 23

13],[0

13

23

23]= 0

y‖[1 0

0 0]‖= 1,

‖[0

23

13

− 23 ]‖= 1,

‖[ 0

23

− 23

13]‖= 1,

‖[0

13

23

23]‖= 1


b ¿[1 00 0],[0 1

0 0],[0 01 1],[0 0

1 − 1]= 0

y‖[1 00 0]‖= 1,‖[0 1

0 0 ]‖= 1,‖[0 01 1]‖= 2,‖[0 0

1 − 1]‖= 2


a ¿⟨ (− 1,2 ).(6,3 ) ⟩= 6− 6= 0 …( ES ORTOGONAL )

‖(− 1,2 )‖= √ 5 ,‖(6,3 )‖= 3 √ 5



(− 1,2 )√ 5

=(− 1

√ 5,

2

√ 5 ) y (6,3 )3 √ 5

=( 2

√ 5,

1

√ 5)…(SON ORTONORMALES )

b ¿⟨ (1,0, − 1 ). (2,0,0 ) ⟩= 2, ⟨ (1,0, − 1 ).(0,5,0 )⟩= 0

y⟨(2,0,0 ). (0,5,0 ) ⟩= 0 …( NO ESORTOGONAL )

Aplicandoel proceso deGran Schmidt obtenemoslos vectores

(1,0, − 1 ), (1,0,1 ) y (− 2,5,0 ) sonvectores ortogonales

‖(1,0, − 1 )‖= √ 2 ,‖(1,0,1 )‖= √ 2 ,‖(− 2,5,0 )‖= √ 29

(1,0, − 1 )√ 2

=( 1

√ 2,0, − 1

√ 2 ), (1,0,1 )√ 2

=( 1

√ 2,0,

1

√ 2 ),(− 2,5,0 )

√ 29=( −2

√ 29,

5

√ 29, 0)…son vectoresortonormales

c ¿⟨(15

,15

,15 ).(− 1

2,

12

,0)⟩= 0,⟨(15

,15

, 15 ).(1

3,

13

,− 23 )⟩= 0

y⟨(− 12

, 12

, 0).(13

,13

,− 23 )⟩= 0 …( ES ORTOGONAL )

‖(15

, 15

, 15 )‖= √ 3

5,

‖(− 1

2, 1

2, 0)‖= √ 2

2,

‖(13

, 13

,− 23 )‖= √ 6

3

(1,0, − 1 )√ 35

=( 5

√ 3, 0, − 5

√ 3 ), (1,0,1 )√ 22

=( 2

√ 2, 0,

2

√ 2 ),

(− 2,5,0 )√ 63

=(− 6

√ 6, 15

√ 6,0)… sonvectores ortonormales



⟨! , v ⟩= 3 ! 1 v1 +2 ! 2 v2

"=( 1

√ 5,− 1

√ 5 ) y=( 2

√ 30,

3

√ 30 )⟨ " , y ⟩= 3 ( 1

√ 5 )( 2

√ 30 )+2(− 1

√ 5 )( 3

√ 30 )= 0

#orel prod!cto interiore!clidiano :

⟨ " , y ⟩=( 1

√ 5 )( 2

√ 30 )+(− 1

√ 5 )( 3

√ 30 )= − √ 630

v1=(− 35

, 45

,0), v2=(45

,35

, 0) y v3 =( 0,0,1 )

⟨v1 , v2⟩=− 12

25+ 12

25= 0

⟨v1 , v3⟩= 0



⟨v2 , v3⟩= 0

y‖(− 35

, 45

, 0)‖= 1,‖(45

,35

, 0)‖= 1,‖(0,0,1 )‖= 1


a ¿(1, − 1,2 )=⟨(1, − 1,2 ),(− 35

, 45

, 0)⟩v1 +⟨(1, − 1,2 ),(45

, 35

, 0)⟩v2+⟨(1, − 1,2 ), (0,0,1 ) ⟩v3

¿⟨(1, − 1,2 ),(− 35

,45

, 0)⟩v1+⟨(1, − 1,2 ),( 45 ,35

,0)⟩v2 +⟨ (1, − 1,2 ),(0,0,1 ) ⟩v3

¿− 75

v1 + 15

v2 +2 v3

b ¿(3, − 7,4 )=⟨(3, − 7,4 ),(− 35

,45

, 0)⟩v1+⟨(3, − 7,4 ),(45

,35

, 0)⟩v2 +⟨(3, − 7,4 ),(0,0,1 ) ⟩v3

¿⟨(3, − 7,4 ),(− 35

, 45

, 0)⟩v1 +⟨(3, − 7,4 ),(45

,35

, 0)⟩v2 +⟨ (3, − 7,4 ), (0,0,1 ) ⟩v3

¿− 375

v1−95

v2 +4 v3

c ¿(17

,− 37

,57 )=⟨(1

7,− 3

7,

57),(− 3

5, 45

, 0)⟩v1 +⟨(17

,− 37

,57),( 45 ,

35

,0)⟩v2 +⟨(17

,− 37

,57 ),(0,0,1 )⟩v3

¿

⟨(17

,− 37

,57

),

(− 35

, 45

,0

)⟩v1 +

⟨(17

,− 37

, 57

),

(45

,35

, 0

)⟩v2 +

⟨(17

,− 37

,57

), (0,0,1 )

⟩

v3

¿− 37

v1−17

v2+57

v3



v1= (1, − 1,2, − 1 ), v2= (− 2,2,3,2 ), v3= (1,2,0, − 1 ) y v4 = (1,0,0,1 )

⟨v1 , v2⟩=− 2 − 2 +6 − 2= 0

⟨v1 , v3⟩= 1− 2 +1= 0

⟨v1 , v4⟩= 1 − 1= 0

⟨v2 , v3⟩=− 2+4 − 2= 0

⟨v2 , v4⟩=− 2 +2= 0

⟨v3 , v4 ⟩= 1 − 1= 0

‖v1‖=‖(1, − 1,2, − 1 )‖= √ 7

‖v2‖=‖(− 2,2,3,2 )‖= √ 21

‖v3‖=‖(1,2,0, − 1 )‖= √ 6

‖v4‖=‖(1,0,0,1 )‖= √ 2

a ¿(1,1,1,1 )= ⟨(1,1,1,1 ), (1, − 1,2, − 1 ) ⟩√ 7 2

v1

+⟨ (1,1,1,1 ), (− 2,2,3,2 ) ⟩√ 21

2 v2+

⟨(1,1,1,1 ),(1,2,0, − 1 ) ⟩√ 6 2

v3

+⟨(1,1,1,1 ),(1,

√ 2 2

¿ 1

7v1 +

5

21v2 + 1

3v3+v4



b ¿(√ 2 ,− 3 √ 2 , 5 √ 2 ,− √ 2 )= ⟨ (√ 2 ,− 3 √ 2 , 5 √ 2 ,− √ 2 ), (1, − 1,2, − 1 ) ⟩√ 7 2 v

1

+⟨(√ 2 ,− 3 √ 2 , 5 √ 2 ,− √ 2 ), (− 2,2,3,2 )

√ 212

¿ 15 √ 27

v1 +5 √ 221

v2−4 √ 2

3v3

c ¿(− 13

,23

,− 13

, 43 )=⟨

(− 13

,23

,− 13

, 43 ), (1, − 1,2, − 1 )⟩√ 7 2 v

1

+⟨(− 1

3, 23

,− 13

, 43 ), (− 2,2,3,2 )⟩

√ 212 v2+

⟨(− 13

,23

,− 13

¿− 12

v1+ 1163

v2− 118

v3+12

v4

a ¿$ s= ( ⟨$ , ! 1⟩,⟨$ , ! 2⟩ )=(− 2 √ 2 ,5 √ 2 )

⟨$ , ! 1⟩=⟨(3,7 ),( 1

√ 2,− 1

√ 2)⟩=− 2 √ 2

⟨$ , ! 2⟩=⟨(3,7 ),( 1√ 2 ,− 1√ 2 )

⟩= 5 √ 2

b ¿$ s= ( ⟨$ , ! 1⟩,⟨$ , ! 2⟩,⟨$ , ! 3 ⟩)=( 0, − 2,1 )

⟨$ , ! 1⟩=⟨(− 1,0,2 ),( 23

,− 23

, 13

)⟩= 0



⟨$ , ! 2⟩=⟨(− 1,0,2 ),( 23

,13

,− 23

)⟩=− 2

⟨$ , ! 3⟩=⟨(− 1,0,2 ),( 13

,23

,23

)⟩= 1

a ¿! = ( ⟨! , $ 1⟩,⟨! , $ 2⟩ )=(⟨(1,1 ),(35

,− 45 )⟩,⟨(1,1 ),(4

5, 35 )⟩)=(− 1

5,

75 )

v= (⟨v ,$ 1 ⟩,⟨v , $ 2⟩)=(⟨(− 1,4 ),(35

,− 45 )⟩,⟨(− 1,4 ),(4

5,

35 )⟩)=(− 19

5, 85 )

b ¿‖!‖= √ 1 2 +1 2= √ 2

15¿¿

¿2 +(75 )

2

¿‖!‖= √ ¿



d (! , v )= √ (2 )2+(− 3 )2= √ 13

d (! , v )=√( 185

)2

+(− 15

)2

= √ 13

⟨! , v ⟩= (1 ) (−1 )+(1 ) (4 )=− 1 +4 = 3

⟨! , v ⟩=(− 15 )(− 19

5 )+(75 )(85 )= 3

a ¿! = ( ⟨! , $ 1⟩,⟨! , $ 2⟩,⟨! , $ 3 ⟩)

¿(⟨(− 2,1,2 ),(0, − 35 , 4

5 )⟩,⟨(− 2,1,2 ), (1,0,0 ) ⟩,

⟨(− 2,1,2 ),(0, 4

5 , 35 )⟩)= (1, − 2,2 )

v= (⟨v , $ 1 ⟩,⟨v , $ 2⟩,⟨v , $ 3 ⟩)= ¿

(⟨(3,0, − 2 ),(0, − 35

, 45 )⟩,⟨(3,0, − 2 ), (1,0,0 ) ⟩ ,⟨(3,0, − 2 ),(0,

45

, 35 )⟩)=(− 8

5, 3, − 6

5 )$ = ( ⟨$ , $ 1⟩,⟨$ , $ 2⟩,⟨$ , $ 3⟩)= ¿

(⟨(5, − 4,1 ),(0, − 35

, 45 )⟩, ⟨(5, − 4,1 ) ,(1,0,0 ) ⟩,⟨(5, − 4,1 ) ,(0,

45

,35 )⟩)=(16

5, 5, − 13

5 )

b ¿‖v‖= √ 3 2+0 2+2 2= √ 13



− 85¿¿

¿2 +(3 )2 +(− 65 )

2

¿‖v‖= √ ¿

d (! , $ )= √ (− 7 )2 +(5 )2 +(1)2= 5 √ 3

d (! , $ )= √(− 115

)2

+(−7 )2 +(235

)2

= 5 √ 3

⟨$ , v ⟩= (5 ) (3 )+(0 ) (− 4 )+(− 2 ) (1 )= 15 − 2 = 13

⟨$ , v ⟩=(− 85 )(16

5 )+(3 ) (5 )+(− 65

)(− 135

)= 13

a ¿‖!‖= √ (− 1 )2+(2 )2+(1 )2+(3 )2= √ 15

‖v− $ ‖= √ (−2 )2 +(1 )2+(− 2 )2 +(4 )2 = 5

‖v+$‖= √ (− 2 )2+(− 7 )2+(4 )2 +(6 )2= √ 105

⟨v , $ ⟩= 0 +12 +3 +5 = 20

a ¿‖!‖= √ (− 1 )2+(2 )2+(1 )2+(3 )2= √ 15

‖v− $ ‖= √ (−2 )2 +(1 )2+(− 2 )2 +(4 )2 = 5



‖v+$‖= √ (− 2 )2+(− 7 )2+(4 )2 +(6 )2= √ 105

⟨v , $ ⟩= 0 +12 +3 +5 = 20

a¿v ¿1= (1, − 2,3, − 4 ), v2= (2,1, − 4, − 3 ), v3 = (− 3,4,1, − 2 ), v4=( 4,3,2,1 )

⟨v1 , v2⟩= 2− 2 − 12 +12 = 0

⟨v1 , v3⟩=− 3− 8 +3 +8= 0

⟨v1 , v4⟩= 4 − 6 +6 − 4 = 0

⟨v2 , v3⟩=− 6 +4 − 4 +6= 0

⟨v2 , v4⟩= 8 +3− 8− 3 = 0

⟨v3 , v4 ⟩=− 12 +12 +2− 2 = 0

b ¿(− 1,2,3,7 )= a (1, − 2,3, − 4 )+b (2,1, − 4, − 3 )+c (− 3,4,1, − 2 )+d (4,3,2,1 )

{− 1 = a +2 b− 3 c+4 d2=− 2 a +b+4 c+3 d3= 3 a − 4 b+c +2 d

7 =− 4 a− 3 b− 2 c +d



( 1 2 − 3 4 −1− 2 1 4 3 23 − 4 1 2 3

− 4 −3 − 2 1 7 )a =− 0.8, b=− 1.1, c = 0, d= 0.5

! =− 0.8 v1− 1.1 v2+0.5 v4

a ¿! 1= (1, − 3 ),! 2 =( 2,2 )

⟨! 1 , ! 2⟩= 2 − 6=− 4


(1, − 3 ) y(125

, 45 )sonvectores ortogonales

‖(1, − 3 )‖= √ 10 ,‖(125

,45 )‖= 4 √ 10

5

(1, − 3 )√ 10

=( 1

√ 10,− 3

√ 10 ),(125

,45 )

4 √ 105

=( 3

√ 10,

1

√ 10 ),

…son vectores ortonormales

b ¿! 1= (1,0 ), ! 2=( 3, − 5 )

⟨! 1 , ! 2⟩= 3


(1,0 ) y(0, − 5 )sonvectores ortogonales



‖(1,0 )‖= 1,‖(0, − 5 )‖= 25

(1, − 3 )1

= (1, − 3 ), (0, − 5 )25

=(0, − 15 ),

…son vectores ortonormales

a ¿⟨ (1,1,1 ). (− 1,1,0 ) ⟩= 0, ⟨ (1,1,1 ).(1,2,1 ) ⟩= 4

y⟨(− 1,1,0 ).(1,2,1 ) ⟩= 1 …( NO ES ORTOGONAL )


(1,1,1 ), (− 1,1,0 ) y(16

, 16

,− 13 )sonvectores ortogonales

‖(1,1,1 )‖= √ 3 ,‖(− 1,1,0 )‖= √ 2 ,‖(16

,16

,− 13 )‖= √ 6

6

(1,1,1 )√ 3

=( 1

√ 3,

1

√ 3,

1

√ 3 ), (− 1,1,0 )√ 2

=(− 1

√ 2,

1

√ 2, 0),

(16

, 16

,− 13)

√ 66

=( 1

√ 6 , 1

√ 6 ,−12 )…sonvectores ortonormales

b ¿⟨ (1,0,0 ). (3,7, − 2 ) ⟩= 3, ⟨ (1,0,0 ). (0,4,1 ) ⟩= 0

y⟨(3,7, − 2 ). (0,4,1 ) ⟩= 26 …( NO ESORTOGONAL )




(1,0,0 ),(0,7, − 2 ) y(− 3, 2353

,10753 )son vectoresortogonales

‖(1,0,0 )‖= √ 1 ,‖(0,7, − 2 )‖= √ 53 ,‖(− 3,2353

,10753 )‖= 3.64

(1,0,0 )√ 1

=( 1

√ 1, 0,0 ),

(0,7, − 2 )√ 53

=(0, 7

√ 53,− 2

√ 53 ),

(− 3,2353

,10753 )

3.64= (0.64,0 .12,0 .55 )…son vectoresortonormales

a ¿⟨ (0,2,1,0 ). (1, − 1,0,0 ) ⟩=− 2

⟨ (0,2,1,0 ). (1,2,0, − 1)⟩= 4

⟨ (0,2,1,0 ). (1,0,0,1 )⟩= 0

⟨ (1, − 1,0,0 ).(1,2,0, − 1 )⟩=− 1

⟨ (1, − 1,0,0 ).(1,0,0,1 ) ⟩= 1

⟨ (1, − 2,0, − 1 ). (1,0,0,1 ) ⟩= 0

…( NO ES ORTOGONAL )


(0,2,1,0 ),(1, − 15

,25

,0),(12

,12

,− 1, − 1) y( 415

, 415

,− 815

,45

)son vectoresortogonales



‖(0,2,1,0 )‖= √ 5 ,‖(1, − 15

,25

, 0)‖= √ 305

,‖(12

,12

,− 1, − 1)‖= √ 102

,

‖( 415

, 415

,− 815

, 45 )‖= 4 √ 15

15,

(0,2,1,0 )√ 5

=(0, 2

√ 5,

1

√ 5, 0), (

1, − 15

,25

,0)√ 30

5

=( 5

√ 2,− 1

√ 30,

2

√ 30,0),

(12

,12

,− 1, − 1)√ 10

2

=( 1

√ 10,

1

√ 10,− 2

√ 10,− 2

√ 10 ),

( 415

, 415

,− 815

,45 )

4 √ 1515

=( 1

√ 15,

1

√ 15,− 2

√ 15,

3

√ 15 )…sonvectores ortonormales

! 1= (0,1,2 ) y ! 2= (− 1,0,1 )

v1= ! 1

‖! 1‖= (0,1,2 )

√ 5=( 0,

1

√ 5 , 2

√ 5)

⟨! 2 , v1⟩= 2

√ 5

! 2− ⟨! 2 , v1⟩v1=(− 1,− 25

,15

)

‖(− 1, − 25

,15

)‖=√ 30

5

v 2=( − 5

√ 30

,− 2

√ 30

, 1

√ 30 )



{v1 , v2 }={(0, 1

√ 5 , 2

√ 5),( − 5

√ 30,− 2

√ 30,

1

√ 30 )}

! 1= (1,1,1 ),! 2= (1,1,0 ) y ! 3 =( 1,0,0 )

⟨! 1 , ! 2⟩= 1 +2 (1 )= 3

⟨! 1 , ! 3 ⟩= 1

⟨!2 , ! 3 ⟩= 1


(1,1,1 ),(0,0, − 1 ) y(− 13

,− 43

,− 13 )son vectoresortogonales

‖(1,1,1 )‖= √ 3 ,‖(0,0, − 1 )‖= 1,

‖(− 1

3,− 4

3,− 1

3

)‖= √ 2

(1,1,1 )√ 3

=( 1

√ 3,

1

√ 3,

1

√ 3 ), (0,0, − 1 )1

= (0,0, − 1 ),(− 1

3,− 4

3,− 1

3 )√ 2

=(− 1

√ 2,− 4

3 √ 2,− 1

√ 2 ),…son vectores ortonormales

El vector! 1 y ! 2 son ortonormales

$1=⟨

$ , !1⟩

!1+⟨

$ , !2⟩

!2



¿−(45

, 0, − 35 )+2 (0,1,0 )=( − 4

5, 2,

35

)

y $ 2= $ − $ 1

$ 2=( 95

, 0, 125 )

%omolos vectores! 1 y ! 2 nosonortonormales, entoncesnormali&amos

y obtenemos los sig!ientes vectores

( 1

√ 3,

1

√ 3,

1

√ 3) y

( 1

√ 6,− 1

√ 6,− 2

√ 6)$ 1= ⟨$ , ! 1⟩! 1 +⟨$ , ! 2⟩! 2

¿2 √ 3( 1

√ 3, 1

√ 3,

1

√ 3 )− 7 √ 66 ( 1

√ 6,− 1

√ 6,− 2

√ 6 )= (2,2,2 )+(− 76

, 76

,73 )=( 5

6,

196

, 13

3)

y $ 2= $ − $ 1

$ 2= (1,2,3 )−(56

,196

,133 )=( 1

6,− 7

6,− 4

3)

a ¿ ' =[1 − 12 3 ],



! 1= (1, − 1 ), ! 2=(12

, 92 )

! 1=( 1

√ 2,− 1

√ 2 ), ! 2=( 1

√ 82,

9

√ 82 )

R=[ 1

√ 21

√ 82− 1

√ 29

√ 82]

$ = a 1 v1 +a 2 v2 +a 3 v3

a i= ⟨$ ,v ( ⟩

‖$ ‖2= ⟨$ , $ ⟩

∑i= 1

3

a i2⟨vi , v i⟩+∑

i ) 1

a i a ( ⟨vi , v (⟩

#ero ⟨vi , v ( ⟩= 0 si i) ( y ⟨v i , v i ⟩= 1 debidoa*!eel con(!nto {v1 , v2 , v3 }es ortonormal

‖$‖2= a 2

1 +a 22+a 3

3

‖$ ‖2= ⟨$ , v 1⟩2 +⟨$ , v 2⟩

2 +⟨$ , v 3⟩2

$ = a 1 v1 +a 2 v2 +a 3 v3

a i= ⟨$ ,v ( ⟩



‖$ ‖2= ⟨$ , $ ⟩

∑i= 1

n

a i2⟨vi , v i⟩+∑

i ) 1

a i a ( ⟨vi , v (⟩

#ero ⟨vi , v ( ⟩= 0 si i) ( y ⟨vi , v i ⟩= 1

debido a *!eel con(!nto {v1 , v2 , … , vn}esortonormal

‖$‖2= a 2

1 +a 22+…+a n

n

‖$ ‖2= ⟨$ , v 1⟩

2 +⟨$ , v 2⟩2 +…+⟨$ , v n⟩

2

Si s!ponemoslo contrario , es decir :

! 3− ⟨! 3 , v1⟩v1− ⟨! 3 , v2⟩v2= 0 …(¿)

Entonces (¿)implica*!e! 3 es!nacombinaci+n linealde v 1 y v 2.

#ero v 1 es!nm ltiplo de! 1

mientras*!e v 2 es!nacombinaci+n linealde ! 1 y ! 2.

#or lo tanto , (¿)implica*!e! 3 es!nlinear

combinaci+n de! 1 y ! 2 y por lo tanto *!e {! 1, ! 2, ! 3 }eslinealmente dependiente , encontrade

lahip+tesis de *!e {! 1, …,!n }eslinealmente independiente.

#or lotanto , la s!posici+nde *!e (¿)tiene

cond!ce a!na contradicci+n .



Tenemos! 1= 1, ! 2= " y ! 3= "2

‖! 1‖2= ⟨! 1 , ! 1⟩=∫

−1

1

1 d" = 2

v1= 1

√ 2

⟨! 2 , v1⟩= 1

√ 2 ∫−1

1

"d" = 0

∴ v2= ! 2

‖! 2‖donde

‖! 2‖2=∫

− 1

1

"d" = 2

3

∴ v2=√32

"

%onel -inde calc!lar v 3 ,observamos*!e :

⟨! 3 , v1⟩= 1

√ 2∫−1

1

" 3 d" = 0



Asi : ! 3− ⟨! 3 , v1⟩v1− ⟨! 3 , v2⟩v2 = "2 − 13

y‖ "2− 1

3‖2

=∫− 1

1

[ " 2− 13]

2

d" = 845

∴ v3=√ 458

( "2− 13

)

Este e(ercicioes similar al e(ercicio 29 conla !nicadi-erencia *!eel limitein-eriores 0

Tenemos! 1= 1, ! 2= " y ! 3= "2

⟨! 2 , v1⟩=∫0

1

"d" = 12

∴ v2= "− 1

2

‖ "− 1

2‖

= √ 12 ( "− 1

2)

inalmente , ⟨! 3 , v 1⟩= ∫0

1

" 2= 13

(2 "3 − "2 )d" = √ 3 /¿6

y⟨! 3 , v2⟩= √ 3 ∫0

1

¿



∴ v3= " 2− 1

3− 1

2(2 "− 1 )

‖ "2− 1

3− 1

2(2 "− 1 )‖

= 6 √ 5 ( " 2− " + 16

)

33 ¿Sea! = (0,0,1 ) y v=( 1,0,0 )

‖!‖= √ 12

= 1

34 ¿d (! , v )= √ (− 1 )2+0 2+1 2= √ 2

35 ¿⟨! , v ⟩= 0

Documents

Ejercicio 3 - Unidad v - Chipana Quiñones Gherard