Ejercicio 7: Encuentre el potencial vectorial en el interior y exterior de un cilindro conductor de radio R por el que fluye una corriente con densidad

j⃗= jo rR

i⃗z

Aplicando el procedimiento utilizado en el ejemplo anterior. Demuestre que: ¿ A⃗=0 , ¿ B⃗=0, encuentre B⃗

En el interior del cilindro presenta simetría angular por lo que solo contiene variables radiales por lo tanto cumple la ecuación de Poisson.

Az, sabiendo que el potencial vectorial es paralelo a la distribución.

“Interior” ∇2 A⃗=−μo j⃗

∇ (∇ A⃗)=−μo j⃗

1r

ddr (r d

drAz)=−μo jo r

R

r ddr

( Az )=−∫ μo jor2

Rdr

r ddr

( Az )=−μo joR

r3

3+C 1

Az¿=−μo joR

r3

9+C 1∈(r )+C 2

Azp Azh

C1= 0 para quitar singularidad

∴ Az¿=−μo joR

r3

9+C 2

“Potencial Exterior” Para el exterior se cumple la ecuación de Laplace

1r

ddr (r d Azext

dr )=0

Azext=C 3∈r+C 4

Quitando singularidad del infinito

C 3∈ro=C 4

Azext=C 3(¿r−¿ ro)

Sabiendo que:

Az¿=−μo joR

r3

9+C 2

Azext=C 3(¿r−¿ ro)

Haciendo cumplir condiciones de contorno del campo magnético en componentes tangenciales

Bθ=−d Az

dr

Sabiendo que B⃗=rot A⃗

∴−d Az∫¿

dr=−d Azext

dr¿r=R ¿

∴C 3=−r3 μo jo3 R

¿r=R

∴ Azext=−R2

3μo jo (¿r−¿ro )

C 3=−R2

3μo jo

C2 se encuentra de la igualdad de componentes tangenciales en la frontera del cilindro

Ait=Azt ¿R

−μo jo9

R2+C 2=−R2

3μo jo(¿R−¿ ro)

C 2=−μo jo R2

3 [ (¿R−¿ro )−13 ]

∴ Az∫¿=−μo jo r3

9 R−μo jo R2

3 [ (¿ R−¿ ro)− 13 ]¿

B⃗=rot A⃗=[ 1r

dAzdθ ] i⃗r− d Az

dri⃗ θ=−d Az

dri⃗ θ

Bθ∫¿=μo jo r2

3 R∕ ∕ ¿ , Bθ

ext= R2

3 rμo jo Sol .

¿ A⃗=d Azdz

=0

¿ B⃗=1r

d Bθdθ

=0