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ejercicios propuestos escuela de matematicas calculo 2 UIS
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EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EL EXAMEN DE ESCUELA
1. Utilice una integral definida para resolver el siguiente lmite
lmn
2
n
[(1 +
2
n
)+
(1 +
4
n
)+
(1 +
8
n
)+ +
(1 +
2n
n
)].
(Observacion: No resuelva el lmite, resuelva la integral definida)
2. Si x = 4
xt2
f(t)dt, donde f es continua. Halle f(4).
3. Resuelva por sustitucion trigonometrica la siguiente integral
x2dx2xx2 .
4. Resuelva la siguiente integral por integracion por partes e pi61 sin(lnx)dx. (Sugerencia: Realice antes
una sustitucion)
5. Utilice una integral definida para resolver el siguiente lmite
lmn
1
n
[1 +
1
n+
1 +
2
n+
1 +
3
n+ +
1 +
n
n
].
(Observacion: No resuelva el lmite, resuelva la integral definida)
6. Si xpi
f(t)cos tdt = tanx, donde f es continua. Halle f(
pi2 ).
7. Resuelva por sustitucion trigonometrica la siguiente integral
3xdxx2+2x+5
.
8. Resuelva la siguiente integral por integracion por partes epi61
cos(lnx)dx. (Sugerencia: Realiceantes una sustitucion)
9. Resuelva la integral 1
2
0x2dx por definicion, como limite de una suma de Riemann.
10. Si cosx = xpif(t)so tan tdt, donde f es continua. Halle f
(pi6 ).
11. Utilice una sustitucion simple para resolver la siguiente integral
x+33x+31dx.
12. Resuelva la siguiente integral realizando una integracion por partes 21
(ln x)2
x3dx.
13. Resuelva la integral 1
4
0 x3dx por definicion, como limite de una suma de Riemann.
14. Si x lnx =x1
f(t)t2
dt, donde f es continua. Halle f(e).
15. Utilice integracion trigonometrica para resolver la siguiente integral pi
4
0sec5 tan3 d.
16. Resuelva la siguiente integral por cualquier metodo(arcsin t)2dt.
17. Para la region comprendida entre y = x1+x2 cuya grafica se muestra , el eje x y a la derecha de x = 0.
x
y a) Diga si el area de la region converge o diverge,
en caso de converger encuentre su valor
b) Determine el volumen del solido generado
al rotar dicha region respecto al eje x.
18. Determine si la integral 10
dxx+4x3
converge o diverge (Sugerencia utilice teorema de comparacion).
19. Determine el volumen del solido generado al hacer girar la region comprendida entre las curvasy =
x, y = 1
x, x = 2 y el eje x, respecto a la recta x = 4 (Sugerencia: Realice la grafica de la
region y utilice arandelas o cascarones).
20. Calcule el volumen del solido cuya base es la region anterior y con secciones transversales perpen-diculares al eje x como triangulos isosceles rectangulos con hipotenusa sobre la base del solido.
21. Para la region comprendida entre y = x11+x , cuya grafica se muestra, el eje x y a la derecha dex = 1, halle:
x
y
1
1
a) Diga si el area de la region converge o diverge,
en caso de converger encuentre su valor
b) Determine el volumen del solido generado
al rotar dicha region respecto al eje x.
22. Determine si la integral1
2+cosxx
dx converge o diverge (Sugerencia utilice teorema de compara-
cion).
23. Determine el volumen del solido generado al hacer girar la region comprendida entre y = x,y = 2x x2 y el eje x, respecto a la recta y = 2 (Sugerencia: Realice la grafica de la region yutilice arandelas o cascarones).
24. Calcule el volumen del solido cuya base es la region anterior y con secciones transversales perpen-diculares al eje x como triangulos isosceles rectangulos con hipotenusa sobre la base del solido.
25. Para la region comprendida entre la recta y = x, la circunferencia x2 + y2 = 2x y el eje x. Halle:
a) El area de la region comprendida
b) El volumen del solido generado al rotar dicha region respecto a la recta x = 3 (Sugerencia:Utilice arandelas o cascarones)
c) El volumen del solido que tiene como base la region anterior y secciones transversales per-pendiculares al eje x como cuadrados.
26. Determine si la integral1
2+cosxx
dx converge o diverge (Sugerencia utilice teorema de compara-
cion).
27. Determine si la integral1
1+ex
xdx converge o diverge (Sugerencia utilice teorema de compara-
cion).
28. Determine el termino general de la serie 1 + 2 32 +23
524 + .
29. Para la ecuacion parametrica
{x = 2 t2
y = t3 6t.
a) Determine los puntos (x, y) donde la curva tiene tangentes verticales y horizontales
b) Para que valores de t la curva es concava hacia abajo?
30. Desde una altura de 8 metros se deja caer una pelota. Cada vez que cae desde h metros de altura,rebota hasta una altura de 0.7h metros. Calcular la distancia vertical total que recorre la pelotaantes de detenerse.
31. a) Evalue las siguientes series
n=1
n22n
n!
n=1
arctann
b) Clasifique la siguiente serie como absolutamente convergente o condicionalmente convergente
n=1
(1)n+1e
1
n
n2.
32. Determine el termino general de la serie 2 + 32 +23 +
524 +
33. Para la ecuacion parametrica
{x = t3 6ty = 2 t2.
a) Determine los puntos (x, y) donde la curva tiene tangentes verticales y horizontales
b) Para que valores de t la curva es concava hacia abajo?
34. Desde una altura de 9 metros se deja caer una pelota. Cada vez que cae desde h metros de altura,rebota hasta una altura de 0.8h metros. Calcular la distancia vertical total que recorre la pelotaantes de detenerse.
35. a) Evalue las siguientes series
n=2
n!2n
(2n+ 2)!
n=1
arctann
b) Clasifique la siguiente serie como absolutamente convergente o condicionalmente convergente
n=1
(1)n+1lnn
n.