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5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (Reflexión,
Dilatación,
Contracción, Rotación).
Reflexión
Algunas orientaciones deseables para los objetos
tridimensionales nopueden ser obtenidas usando solamente giros. Con
la reflexión seconsigue un efecto "espejo", de modo que los objetos
se venreflejados en un plano.Cuando la reflexión se hace sobre uno
de los planos ortogonales ( x =, o y = , o bien z = ! la matri
de transformación es sencilla, pueses similar a la matriz
identidad , aunque siendo #$ el elemento querepresenta a la
coordenada que es nula en el plano de reflexión. As%,las matrices
de reflexión para los planos &', & e ' son
Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el
procesose complica notablemente. )a t*cnica utiliada es similar a
la del girosobre eje arbitrario. +n este caso, inicialmente se
requiere definir un
punto en el plano, lanormal al plano en ese punto.+l proceso de
reflexión se resume en los siguientes puntos-
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/rasladar el punto establecido del plano al origen de
coordenadas 0ealiar los giros oportunos para hacer coincidir el
vector normal alplano de reflexión con uno de los ejes de
coordenadas1 as% elproblema se reduce a una simple reflexión sobre
alguno de los planos
del sistema de referencia.2or ejemplo, si el eje escogido es el
, el plano de reflexión ser%a el&'. 0ealiar la reflexión sobre
el plano seleccionado Aplicar las transformaciones inversas para
devolver el plano dereflexión a su posición original.)a matri neta
podr%a ser, por ejemplo, el resultado de la composiciónde las
matrices 345= 3/5⋅ 36 5⋅ 36 5⋅ 30 5⋅ 36
57$⋅ 36 57$ ⋅3/57$ x x ,si se opta por realiar las
transformaciones para alinear el vector normal con el eje . +n
tal caso, la matri de reflexión a utiliar ser%a
la 0.
Rotación
8tro tipo com9n de transformación en el plano es la rotación o
giro en
torno a cualquier punto en el plano. :os interesan
principalmente las
rotaciones en tormo al origen. 0otación en el plano- )a
transformación ����-��;
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COMRE!"O#E!$E%!"O#E!)as compresiones expansiones son
escalamientos a lo largo de los
ejes coordenados. Con mas precisión- para�CC>��>0,
latransformación ����� ��, =(����,��) escala las coordenadasx en un
factor de c, dejando inalteradas a las coordenadas .
?i 00.
Compresión ' estiramiento a lo largo del eje x.
8tro tipo son los escalamiento simult@neos a lo largo de los
ejes x ,como ������ ��, = ����,�� con factoresde
escala ���>0 y ��>0 a lo largo de las direcciones x .
Escalamiento a lo largo de los ejes x ' '.
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/anto ����� como ����� y ������ son
transformacionesmatriciales, con sus respectivas matrices
CORE!
n corte o desliamiento a lo largo del eje x es una
transformación de
la forma ���� ��,�� =(��+����,��)
+n otras palabras, cada punto se mueve a lo largo de la
dirección x
una cantidad proporcional a la distancia al eje x. /ambi*n ha
cortes a
lo largo del eje -
����� ��,�� =(��,����+��)
���� y ���� son transformaciones matriciales cuas matrices
son
Desliamiento a lo largo del eje x.
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EJERCICIOS RESUELTOS DE TRASLACIÓN1)
Observa la siguiente fgura:
A.- Determina las coordenadas de los vértices del triángulo.
R.- A (2,8) B (4,3) (!,")
B.- #i a la $igura se le a%lica una
traslaci&n ' (34), cuálesser*an las coordenadas de
los nuevos vértices+
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.- #i a la $igura se le a%lica una traslaci&n de '
(-,2).uáles ser*an las coordenadas de los nuevos vértices+
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D.- #i a la $igura se le a%lica una traslaci&n ' (,),
cuáles
ser*an las coordenadas de los nuevos vértices+
R.- A/ (3,3) B/ (4,8) / (",2)
0.- #i a la $igura se le a%lica una traslaci&n ' (-2,),
cuáles
ser*an las nuevas coordenadas de los nuevos vértices+
R.- A/ (,8) B/ (2,3) / (4,")
