PortalFuenterrebolloConcursoPrimaveraMatemticas:NIVELIII(34ESO)DIVISIBILIDAD

CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMTICAS NIVEL III (3 Y 4 DE ESO)

1. Al dividir un nmero entre 7 obtendremos un resto de 2. Qu resto obtendremossi aadimos 2004 a dicho nmero y lo dividimos entre 7?

A) 5 B) 4 C) 2 D) 0 E) 6

Solucin:

Sea N el nmero, como Dividendo = Divisor x Cociente + Resto, se tiene que N 7 x 2

Al dividir 2004 entre 7 se obtiene: 2004 7 . 286 2

Sumando 2004 al nmero dado N, resulta:

N 2004 7 x 2 7 . 286 2 7 x 286 4 R 4

Si la suma de los restos hubiera sido R 7 se tendra que restar 7 a dicha suma, puestoque el resto tiene que ser menor que 7

2. Cuntos capicas de tres cifras son mltiplos de 11?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 90

Solucin:

Para que un nmero sea mltiplo de 11 la suma de las cifras que ocupan lugar parmenos la suma de las cifras que ocupan lugar impar tiene que ser 0 o mltiplo de 11

Como el nmero es capica, la cifra de las centenas debe ser igual a la cifra de lasunidades.

Comenzando con orden, los capicas solicitados son ocho:

121 242 363 484 616 737 858 979

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3. El mnimo comn mltiplo de 3 4 5 63 . 10 , 4 . 10 , 25 . 10 , 9 . 10 es:

A) 645 . 10 B) 675 . 10 C) 79 . 10 D) 718 . 10 E) 69 . 10

Solucin:

Descomponiendo los nmeros, se obtiene:

3 3 3

4 6 46 2 7 6 2 6 6

5 5 7

6 6 2 6

3 . 10 2 . 3 . 54 . 10 2 . 5 m.c.m 2 . 3 . 5 2 . 3 . 5 . 5 45 . 10

25 . 10 2 . 59 . 10 2 . 3 . 5

4. Una fotocopiadora tarda en sacar 'm' fotocopias una hora y otra para sacar el mismonmero de fotocopias tarda una hora y media. Cuntos minutos tardarn las dos juntasen sacar ese nmero de 'm' fotocopias?

A) 20 B) 24 C) 30 D) 36 E) 40

Solucin:

La primera fotocopiadora saca m fotocopias en 60 minutos. Por tanto, en 1 minuto sacam60

fotocopias.

La segunda fotocopiadora saca m fotocopias en 90 minutos. En consecuencia, en 1 minuto

saca m90

fotocopias.

En 1 minuto las dos fotocopiadoras juntas sacan m m60 90

fotocopias:

3m 2m 5mm m m60 90 180 180 36

fotocopias

Con lo cual, para obtener 'm' fotocopias tardarn 36 minutos

5. El nmero 'm' verifica que cada pareja de nmeros 24, 42 y m tiene el mismo mximocomn divisor y cada pareja de nmeros 6, 15 y m tiene el mismo comn mltiplo. Quienes m?

A) 10 B) 12 C) 105 D) 36 E) 30

Solucin:

Descomponiendo en factores primos:

324 2 . 3 m.c.d. (24, 42) 2 . 3 m 2 . 3 . a42 2 . 3 . 7

a 7 para que todas las parejas (24, 42), (24, m) y (42, m) tengan el mismo mximocomn divisor.

6 2 . 3 m.c.m. (6, 15) 2 . 3 . 5 m 2 . 3 . 5 3015 3 . 5

Para que todas las parejas (5, 15), (6, m) y (15, m) tengan el mismo mnimo comnmltiplo obliga a que m 30

6. Cuntas parejas de enteros (a, b) donde a y b no tienen por qu ser positivos,

verifican la ecuacin 1 1 b ?10 a 5

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solucin:

Se observa la relacin que existe entre a y b:

2ab1 1 b a 10 a 10 2ab 10 a(1 2b)10 a 5 10 a 10 a 10 a

Siendo a y b enteros, hay que analizar las posibles parejas para que el productoa 1 2b sea 10.

Se trata de calcular b en los casos en que sea posible:

a a 1 2b b

1 10 9b2

No vale

-1 10 11b2

No vale

2 10 b 2 Si vale

-2 10 b 3 Si vale

5 10 1b2

No vale

-5 10 3b2

No vale

10 10 b 0 Si vale

-10 10 b 1 Si vale

Se obtienen 4 parejas enteras que son vlidas: (2, 2) ( 2, 3) (10, 0) ( 10, 1)

7. Qu cifra ocupa el lugar 2004 despus de la coma, en la expresin decimal de 3 ?7

A) 2 B) 8 C) 5 D) 7 E) 1

Solucin:

periodo 6 cifras3 30,428571 428571 428571 0,4285717 7

Al dividir 2004 334 Re sto 06

La cifra que ocupa el lugar 2004

despus de la coma es la sexta del perodo, esto es, 1

8. Cuando invertimos las cifras de un nmero de dos cifras, ninguna de ellas cero,obtenemos un nmero que es 36 unidades menor que el nmero original. Cul puede serla suma de las cifras de ese nmero?

A) 4 B) 5 C) 12 D) 15 E) 18

Solucin:

Sea el nmero N ab 10 a b N' ba 10b a

N N' 36 10 a b 10b a 36 9a 9b 36 a b 4

Es decir, las cifras de las decenas es 4 unidades mayor que la cifra de las unidades.

Las posibilidades son: 51 62 73 84 95

Al sumar sus cifras: 6 8 10 12 14

La respuesta es 12

9. Uno de los nmeros siguientes es 1002 . Cul?

A) 5 104 . 2 B) 10122

C) 5 516 . 2 D) 9732 E) 2 982 2

Solucin:

55 10 2 10 10 10 204 . 2 2 . 2 2 . 2 2 101

1002 22

55 5 4 5 20 5 2516 . 2 2 . 2 2 . 2 2 973 2912 2

2 982 2 no se pueden aplicar las propiedades de las potencias, no obstante bastaobservar que 2 98 2 98 1002 2 2 . 2 2

10. Si n es un nmero de 5 cifras y q y r el cociente y el resto, respectivamente, de ladivisin de n entre 100. Para cuntos valores de n es (q r) divisible entre 11?

A) 8180 B) 8181 C) 8182 D) 9000 E) 9090

Solucin:

Dividendo = Divisor x Cociente + Resto n 100q r

Al querer analizar (q r) , restando 99q a la igualdad anterior, resulta:

n 100q r n 99q q r

Nos preguntamos, cundo n 99q es divisible por 11. Es evidente que lo ser cuando nsea divisible por 11.

La cuestin queda simplificada a encontrar los mltiplos de 11 de cinco cifras, esto es,los nmeros comprendidos entre (10000 99999) :

Primer mltiplo de 11 es 910 . 11 11910 Entera aprox 10000 / 11 910 ltimo mltiplo de 11 es 9090 . 11 99990 Entera 99999 / 11 9090

En consecuencia, los mltiplos de 11 de cinco cifras: 9090 910 1 8181

11. Para cuntos enteros positivos "n" resulta que 2n 3n 2 es un nmero primo?

A) Ninguno B) Uno C) Dos D) Infinitos E) Cantidad fija mayor que 2

Solucin:

2n 3n 2 (n 2)(n 1) es el producto de dos nmeros consecutivos, en consecuenciael producto ser siempre par.

El nico par que es primo es el 2.

En resumen, la expresin 2n 3n 2 slo es un nmero primo cuando sea igual a 2, conlo cual:

2 2n 3n 2 (n 2)(n 1) 2 n 3n 0 n 3 es el nico entero positivoque hace prima la expresin matemtica.

La contestacin correcta es la (B)

12. Los enteros positivos A, B, A-B y A+B son todos primos. La suma de los cuatro es:

A) Par B) Divisible por 3 C) Divisible por 5 D) Divisible por 7 E) Primo

Solucin:

Para que al sumar dos nmeros primos se obtenga otro nmero primo no puede ser quelos dos nmeros primos que se suman sean impares, puesto que impar + impar = par.

Con lo cual, uno de los primos debe ser el 2. Siendo B el ms pequeo: B 2

La situacin queda reflejada en la tabla siguiente:

A 1 A A 1 A B A 2 A B A 2 par primo impar par primo impar primo impar

Aparecen tres nmeros impares, por necesidad uno de ellos tiene que ser mltiplo de 3

Slo hay un nmero primo que es mltiplo de 3, que es el 3

Luego B 2A B 3

A B 3 A 5A B 7

La suma de los nmeros primos: 2 3 5 7 17 que es un nmero primo, siendo (E) larespuesta correcta.

13. Para cuntos enteros positivos "n" es n20 n

el cuadrado de un nmero entero?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 10

Solucin:

n 0

20 n 0 n 20n 10 n 2020 n

n entero n 20 n n 1020 n

Falta probar el valor que puede tomar n entre 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Se encuentran tres nmeros que verifican que n20 n

es un cuadrado:

210n 10 : 1 120 10

216n 16 : 4 220 16

218n 18 : 9 320 18

La respuesta correcta es (C)

14. El profesor pidi a Sara que restara 3 de cierto nmero y luego dividiera elresultado entre 9. En vez de hacer esto, Sara le rest 9 al nmero y dividi el resultadoentre 3, obteniendo 43. Qu habra obtenido si hubiera hecho lo que le dijeron?.

A) 15 B) 34 C) 43 D) 51 E) 138

Solucin:

Sara pens en el nmero x, con lo cual hizo: x 9 43 x 9 129 x 1383

Pero debi hacer: x 3 138 3 135 159 9 9

La respuesta correcta es (A)

15. El jardn de Antonio es doble que el de Benito y triple que el de Carlos. Los tresempiezan a la vez a cortar la hierba, cada uno en su jardn. Carlos va a la mitad de rpidoque Benito y la tercera parte de rpido que Antonio. Quin acab el primero?

A) Antonio B) Benito C) Carlos D) Antonio y Carlos a la vez E) Acabaron los tres a la vez

Solucin:

El tamao de los jardines (espacio) ser: Antonio : 2eBenito : e

2eCarlos :3

Como e v.t espacio eespacio velocidad . tiempo tiempo tvelocidad v

Llamando v "velocidad"

3vAntonio :2

Benito : vvCarlos :2

El tiempo empleado por cada uno ser:

2e 4 e 4 tAntonio : 3v 3 v 32

eBenito : tv

2e4 e 43Carlos : t

v 3 v 32

Benito es el que menos tiempo emplea en cortar la hierba del jardn.

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