Ejercicios de Física Eléctrica

Hecho por: Jairo Javier Vergara Ramírez

2.53. Determine el campo eléctrico E en (8,0,0)m debido a una carga de 10nC distribuida uniformemente a lo largo del eje x entre x=-5m y x=5m.Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre x=-1m y x=1m.

Caso 1. [5,-5] Caso 2. [1,-1]

∆ E i=K ∙∆q i(8−x)2

i ρl=∆qi∆x i

∆ qi=ρ l ∙∆ x i

E=limn→∞

∑i=1

n

∆ Ei= limn→∞

∑i=1

n K ∙ ρl ∙∆ x i(8−x)2

i

Caso 1.

E=K ∙ ρl∫−5

5dx

(8−x)2i

E=−K ∙ρl∫−5

5−dx

(8−x )2i=−K ∙ ρl[ −1

8−x ]−5

5

i=−K ∙ρ l[−13 + 113 ] i=10 ∙ K ∙ ρl39

i

ρl=ql=10nC10m

=1×10−9C /m K=8987551789N ∙m2/C2

E=10 ∙8987551789N ∙

m2

C2∙1×10−9 C

m39

i=2,304500489 Vmi

E≅ 2.3 Vmi

Caso 2.

Para el caso dos solo cambian los límites de integración y la densidad de carga ya que la carga se acumula en un espacio más pequeño.

E=K ∙ ρl∫−1

1dx

(8−x)2i

E=−K ∙ρl∫−1

1−dx

(8−x )2i=−K ∙ ρl[ −1

8−x ]−1

1

i=−K ∙ ρl[−17 + 19 ] i=2∙ K ∙ ρl63

i

ρl=ql=10nC2m

=5×10−9C /m K=8987551789N ∙m2/C2

E=2 ∙8987551789N ∙

m2

C2∙5×10−9 C

m63

i=1,404304967 Vmi

E≅ 1.4 Vmi

2.54 El disco circular r ≤1m, z=0 tiene una densidad de carga ρ s=2 (r2+25 )23 e−10r

(C/m2).Encuentre E en (0,0,5) m.

∆ E i=K ∙∆q i

(ri2+25 )23

(−riar+5az) ρ s=2 (r2+25 )23 e−10rC /m2 ∆ qi=ρ s ∙∆ A i

∆ qi=ρ s ∙∆ θ i ∙ ri ∙∆ r i

E=limn→∞

∑i=1

n

∆ Ei= limn→∞

∑i=1

n K ∙ ρs ∙∆θ i ∙ ri ∙∆ ri

(r i2+25 )23

(−riar+5az)

E=K ∫∅=0

2π

∫r=0

1 ρs ∙ r ∙ dθ ∙dr

(r2+25 )23

(−r ar+5az)

E=2K ∫∅=0

2π

∫r=0

1

e−10 r r ∙ dθ ∙dr (−r ar+5az)

E=−2K ∫∅=0

2 π

∫r=0

1

e−10 r r2 ∙ dθ ∙dr ar+10K ∫∅=0

2 π

∫r=0

1

e−10 r r ∙ dθ ∙dr az

E=10K ∫∅=0

2 π

∫r=0

1

e−10 r r ∙dθ ∙dr az=10K ∫∅=0

2π

dθ∫r=0

1

e−10 r r ∙ dr az

∫ e−10 r r ∙ dr

u=r dv=e−10 rdr

du=dr v= e−10 r

−10

∫ e−10 r r ∙ dr= e−10 r

−10r−∫ e−10 r

−10dr

∫ e−10 r r ∙ dr= e−10 r

−10r− e

−10 r

100

E=10K [θ ]02π [ e−10 r−10

r−e−10 r

100 ]0

1

az

E=10k (2π )[ e−10−10− e

−10

100− e0

−100+ e0

100 ]az= 5 ππ ε0 [ e

−10

−10− e

−10

100+ e0

100 ]az

E=5644225204azVm≅ 5.64G V

maz

2.55. Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniformemente cargada.

Debido a que una concha esférica es una superficie tendríamos como resultado una integral doble así que para simplificar el ejercicio hallamos el campo eléctrico de un anillo y consideramos la concha esférica como un conjunto de anillos infinitos para así tener una integral más sencilla.

Campo eléctrico producido por un anillo

∆ E i=K ∙∆q i

( r2+x2)23

(−r ar+x ax )

∆ qi=ρ l ∙∆ li=ρl ∙ r ∙∆θ i

E=limn→∞

∑i=1

n

∆ Ei= limn→∞

∑i=1

n K ∙ ρl ∙ r ∙∆θi

(r2+x2 )23

(−r ar+x ax)

E=K∫0

2 π ρl ∙ r ∙ dθ

(r2+x2 )23

(−r ar+x ax )

E=2 π ∙ K ∙ x ∙ ρl

(r2+x2 )23

∙ r ∙ ax

ρl=q2 πr

E= K ∙q ∙ x

( r2+x2 )23

ax

Siendo q la carga del anillo, r el radio y x la distancia del punto hasta el anillo.

Ahora para demostrar que el campo eléctrico dentro de una concha esférica es cero sumamos los campos eléctricos que producen los infinitos anillos que componen la esfera.

Donde

rsen (θi ) Representa el radio del i-esimo anillo de la esfera

L−rcos (θi ) Representa la distancia del i-esimo anillo a un punto dentro de la esfera

∆ E i=K ∙∆qi ∙(L−rcos (θ i ))

((rsen (θi ))2+(L−rcos (θi ))

2 )23

ax

∆ E i=K ∙∆q i ∙(L−rcos (θi ))

(r2 se n2 (θi )+L2−2 Lrcos (θi )+r2 co s2 (θi ))23

ax

∆ E i=K ∙∆qi ∙(L−rcos (θ i ))

(r2(sen2 (θi )+cos2 (θi ))+L2−2Lrcos (θ i) )23

ax

∆ E i=K ∙∆qi ∙(L−rcos (θ i ))

(−2 Lrcos (θi )+r2+L2 )23

ax

∆ E i=K ∙∆q i ∙(2L

2−2 Lrcos (θi ))

2 L (−2 Lrcos (θi )+r2+L2 )

23

ax

∆ E i=K ∙∆q i ∙(2L

2−2 Lrcos (θi )+r 2−r2)

2L (−2 Lrcos (θi )+r2+L2 )

23

ax

∆ E i=K ∙∆q i ∙(L

2−2Lrcos (θ i)+r2+(L2−r 2))

2 L (−2 Lrcos (θi )+r2+ L2)

23

ax

∆ E i=[ K ∙∆qi

2L (−2Lrcos (θi )+r2+L2 )12

+K ∙ ∆qi ∙(L2−r2)¿¿¿2 L (−2 Lrcos (θi )+r

2+L2 )23 ]ax

∆ qi=ρ s2 π r2 sen (θi ) ∆θ i

∆ E i=[ K ∙ ρ s2π r2 sen (θi )∆θi

2L (−2Lrcos (θi )+r2+L2 )

12

+K ∙ ρs2π r

2 sen (θi )∆θi ∙(L2−r2)

2L (−2Lrcos (θi )+r2+L2 )

23 ]ax

∆ E i=K ρsπ r2[ sen (θi )∆θ i

L (−2 Lrcos (θi )+r2+L2)

12

+sen (θi )∆θi ∙(L2−r2)

L (−2 Lrcos (θ i )+r2+ L2)

23 ]ax

E=limn→∞

∑i=1

n

∆ Ei

E=limn→∞

∑i=1

n

K ρsπ r2[ sen (θi )∆θi

L (−2Lrcos (θ i )+r2+L2 )

12

+sen (θ i )∆θi ∙ (L2−r2)

L (−2Lrcos (θ i)+r2+L2 )

23 ]ax

E=K ρ sπ r

2

L∫0

π

[ sen (θ )dθ

(−2 Lrcos (θ )+r2+L2)12

+sen (θ )dθ ∙(L2−r2)

(−2Lrcos (θ )+r 2+L2 )23 ]ax

E=K ρ sπ r

2

L∫0

πsen (θ )dθ

(−2Lrcos (θ )+r 2+L2 )12

ax+K ρsπ r

2(L2−r2)L

∫0

πsen (θ )dθ

(−2 Lrcos (θ )+r2+ L2)23

ax

u=−2Lrcos (θ )+r2+L2

du=2 Lrsen (θ )

E=K ρ sπ r

2

2 L2 r∫0

π2Lrsen (θ )dθ

(−2Lrcos (θ )+r 2+L2 )12

ax+K ρsπ r

2(L2−r2)2 L2r

∫0

π2 Lrsen (θ )dθ

(−2 Lrcos (θ )+r2+ L2)23

ax

E=K ρ sπ r

2

2 L2 r∫0

πdu

u12

ax+K ρsπ r

2(L2−r 2)2 L2r

∫0

πdu

u23

ax

E=[ K ρ sπ r22L2 r[2u12 ]0

π

+K ρs πr

2(L2−r2)2L2 r [−2u12 ]

0

π]ax

E={K ρs πr 2L2r[(−2 Lrcos (θ )+r2+L2)

12 ]0π

+K ρs π r

2(L2−r2)

L2 r [ −1

(−2 Lrcos (θ )+r2+L2)12 ]0

π}axNótese que ((r−l )¿¿2)

12=|r−l|¿

Como concediéramos un punto dentro de la esfera r siempre será más grande que L así que

((r−L )¿¿2)12=r−L¿

[(−2Lrcos (θ )+r 2+L2)12]0π

=(2 Lr+r2+L2)12−(−2 Lr+r2+L2 )

12=((r+l )¿¿2)

12−( (r−l )¿¿2)

12 ¿¿

[(−2Lrcos (θ )+r 2+L2)12]0π

=r+L−r+L=2L

[ −1

(−2 Lrcos (θ )+r 2+L2)12 ]0

π

= −1

(2Lr +r2+L2)12

+ 1

(−2Lr +r2+L2)12

= −1

((r+ l )¿¿2)12+

1

((r−l )¿¿2)12 ¿

¿

[ −1

(−2 Lrcos (θ )+r 2+L2)12 ]0

π

= −1r+L

+ 1r−L

=−r+L+r+Lr2−L2

= 2L

r 2−L2

E={K ρs πr 2L2r

2L+K ρsπ r

2(L2−r2)

L2r

∙2L

r2−L2 }ax

E={K ρs πr 2L2r

2L−K ρs π r

2

L2r

∙2 L}ax

E=0

Nótese que consideramos puntos sobre el eje perpendicular de los anillos pero debido a la simetría de la esfera este resultado se aplica a cualquier punto dentro de ella.

Consideraremos un punto fuera de la esfera es decir ((r−l )¿¿2)12=|r−l|=l−r ¿

E={K ρs πr 2L2r[(−2 Lrcos (θ )+r2+L2)

12 ]0π

+K ρs π r

2(L2−r2)

L2 r [ −1

(−2 Lrcos (θ )+r2+L2)12 ]0

π}ax[(−2Lrcos (θ )+r 2+L2)

12]0π

=((r+l )¿¿2)12−( (r−l )¿¿2)

12=r+l−l+r=2r ¿¿

[ −1

(−2 Lrcos (θ )+r 2+L2)12 ]0

π

= −1

((r+l )¿¿2)12+

1

((r−l )¿¿2)12= −1L+r

+ 1l−r

=−L+r+r+ LL2−r2

= 2 rL2−r 2

¿¿

E={K ρs πr 2L2r

2r+K ρs π r

2(L2−r2)

L2r

2 r

L2−r 2 }ax

E={2K ρsπ r2L2 +

2K ρsπ r2

L2 }ax

E=4K ρs πr

2

L2ax

ρ s=q

4 π r2

E=4K π r2

L2∙q

4 π r2ax

E=qKL2ax

Consideraremos un punto sobre la esfera de la esfera es decir ((r−l )¿¿2)12=0¿ debido a que r=L

E={K ρs πr [(−2Lrcos (θ ) +r2+L2)12 ]0π

+K ρ sπ (L

2−r2)r [ −1

(−2Lrcos (θ )+r 2+L2)12 ]0

π}ax

[(−2Lrcos (θ )+r 2+L2)12]0π

=((r+l )¿¿2)12−( (r−l )¿¿2)

12=r+l−l+r=2r ¿¿

[ −1

(−2 Lrcos (θ )+r 2+L2)12 ]0

π

= −1

((r+l )¿¿2)12+

1

((r−l )¿¿2)12= −1r+L

+ 1r−L

=−L+r+r+LL2−r2

= 2 rr2−L2

¿¿

Nótese que r2−L2 es 0 y por tanto hay una indeterminación.

De esta forma logramos eliminar la indeterminación que existía.

E=4K ρ sπ ax

ρ s=q

4 π r2

E=4K q

4 π r2π ax

E=Kqr 2o E= Kq

l2

2.56. Hay una carga distribuida con densidad constante ρ vatravesde un volumen esférico de radio a.

Usando los resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que

E={r ρ v3 ε0

ar ,∧r ≤a

a3 ρv3 ε0 r

2 ar ,∧r ≥a

Donde r es la distancia desde el centro de la esfera.

Para la este ejercicio sumamos los campos eléctricos de las infinitas cascaras esféricas que componen a la esfera.

Para un punto sobre una concha esférica y fuera de ella el campo eléctrico es igual al generado por una partícula en el centro con la misma carga de la esfera.

∆ E i=K ∙∆q ir2

ar

∆ qi=ρ v ∙4 π a i2∆ ai

E=limn→∞

∑i=1

n

∆ Ei= limn→∞

∑i=1

n K ∙ ρv ∙4 π a i2∆ ai

r2ar

E=∫0

a K ∙ ρv ∙ 4π a2da

r2ar

E=K ∙ ρv ∙4 π

r2∫0

a

a2daar

E=ρ vε0 r

2 [ a33 ]0

a

E=a3 ρv3 ε0r

2

Para un punto dentro de la esfera aquellas conchas esféricas que contengan el punto crearan un campo eléctrico igual a 0 en cambio para aquellas en la que el punto se encuentre por fuera o sobre esta, el campo eléctrico será igual al generado por una partícula en el centro con la misma carga de la concha. Por tanto para el proceso de integración simplemente cambiamos el límite superior de integración por r, es decir a por r.

E=∫0

a K ∙ ρv ∙ 4π a2da

r2ar cambiamosellimite superior

E=∫0

r K ∙ ρv ∙ 4π a2da

r2ar

E=K ∙ ρv ∙4 π

r2∫0

r

a2daar

E=ρ vε0 r

2 [ a33 ]0

r

E=r 3ρ v3 ε0r

2=r ρv3 ε0

De esta forma hemos demostrado que

E={r ρ v3 ε0

ar ,∧r ≤a

a3 ρv3 ε0 r

2 ar ,∧r ≥a

Donde r es la distancia desde el centro de la esfera y a el radio de la esfera.