INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA

INGENIERIA CIVIL

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

UNIDAD V: EJERCICIOS

3IC2B

CASTILLO LÓPEZ MARISELA

QUINTERO GAMBOA YARELI

13210153

TIJUANA B.C. 5 DE DICIEMBRE 2013

Ejercicios de la Unidad V

Ejercicio 1. En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. Se

seleccionó una muestra aleatoria del 15% de los alumnos, y se les preguntó si utilizaban

la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos.

a) Con una confianza del 99%., estima en qué intervalo se encuentra la proporción

de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.

Queremos estimar la proporción poblacional mediante una muestra de tamaño:

n = 15% de 800 = 120

con un nivel de confianza del 99%.

El intervalo de confianza es de la forma:

Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que 1 - a = 0,99 ® za/2 = 2,575

El valor de pr es el de la proporción de alumnos en la muestra que sí utilizan la

cafetería, es decir:

Por tanto, el intervalo con confianza será:

(0,706; 0,894)

Esto significa que tenemos una confianza del 99% de que la proporción

poblacional se encuentra entre 0,706 y 0,894.

b) Con una confianza del 99%, ¿cuál es el error máximo cometido con la estimación

que nos da la muestra?

P(-zα/2≤z≤zα/2)=0.99→ P(z≤zα/2)=

=0.995

Utilizando las tablas de la distribución Normal N(0,1) para zα/2= 2.575

El error máximo cometido será:

E= zα/2•√

= 2.575•√

= 0.094

Ejercicio 2. Para estimar la proporción de familias de una determinada ciudad que pseen

microondas, se quiere realizar una muestra aleatoria de medida n.

Calcula el valor mínimo de n para garantizar que, a un nivel de confianza del 95%, el error

en la estimación sea menor que 0,05. (Como se desconoce la proporción, se ha de tomar

el caso más desfavorable, que será 0,5).

Para un nivel de confianza del 95%, tenemos que 1 - a = 0,95 ® za/2 = 1,96

En la indicación se nos dice que debemos tomar pr = 0,5.

Y sabemos que E = 0,05.

Sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que:

Habrá que tomar una muestra de, al menos, 385 familias.

Ejercicio 3. Se desea estimar la proporción p de individuos daltónicos de una población a

través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n.

a. Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcula el

valor de n para que, con un nivel de confianza dde 0,95, el error cometido en la

estimación sea inferior al 3,1%.

Para un nivel de confianza del 95%, 1 – α = 0,95 → zα/2 = 1,96

El error máximo admisible es:

E = zα/2 · . Buscamos n para que E < 0,031 (inferior al 3,1%):

1,96 · < 0,031 → n > 839,48

b. Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos y el porcentaje de individuos

daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significación

del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos

de la población.

Para un nivel de significación del 1%, tenemos que:

α = 0,01 → 1 – α = 0,99 → zα/2 = 2,575

El intervalo de confianza para p será:

(0,35 – 2,575 · ; 0,35 + 2,575 · ); es decir:

(0,196; 0,504)

La muestra ha de ser, como mínimo, de 840 individuos.

Ejercicio 4. Los parámetros de una variable son: µ = 16.4, σ = 4.8 Nos disponemos

a extraer una muestra de n = 400 individuos. Calcula P[16 < x

– < 17]

P[16 < x– < 17] = P = P[–1,67 < z < 2,5]

= P[z < 2,5] – P[z < –1,67] = P[z < 2,5] – P[z > 1,67]

= P[z < 2,5] – (1 – P[z ≤ 1,67]) = 0,9938 – (1 – 0,9525) = 0,9463

Ejercicio 5. Se sabe que el contenido de fructosa de cierto alimento sigue una distribución

normal, cuya varianza es conocida, teniendo un valor de 0,25. Se desea estimar el valor

de la media poblacional mediante el valor de la media de una muestra, admitiendose un

error máximo de 0,2 con una confianza del 95%.

¿Cuál ha de ser el tamaño de la muestra?

La varianza es 0.25, la desviación típica será:

P(-zα/2≤z≤zα/2)=0.95→ P(z≤zα/2)=

=0.975

Utilizando las tablas de la distribución Normal N(0,1) para zα/2=1.96

La muestra tiene que ser por lo minimo de 25 unidades

Ejercicio 6. La altura de los jóvenes andaluces se distribuye según una ley normal de

media desconocida y varianza 25 cm2.

Se ha seleccionado una muestra aleatoria y con una confianza del 95% se ha construido

un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es de 2.45 cm.

a. ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?

Como la varianza es de 25 cm2 la desviación típica será de 5 y para una confianza

del 95%, zα/2=1.96

El tamaño de la muestra seleccionada es de 16 jovenes.

b. Determine el límite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra

tomada dio una altura media de 1.70 cm.

Si la media de la muestra es de 1.70 cm los limites inferior y superior son:

El limite inferior es 167.55 cm y el superior 172.45 cm

Ejercicio 7.Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las

bombillas sigue una normal con media igual a 500 horas y con desviación típica igual a 40

horas.

a) Calcular la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450

horas.

La distribución es N(500, 40)

b) Para verificar la garantía del fabricante, se hizo una prueba con 49 bombillas

obteniéndose una media muestral de 492 horas. ¿Podemos aceptar que la media

de duración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90%?

Se aceptará que la media es de 500 horas si este valor pertenece al intervalo

Por tanto, se acepta que la media de duración es 500 horas.

Ejercicio 8. Supongamos que, a partir de una muestra aleatoria del tamaño n = 25, se ha

calculado elintervalo de confianza para la media de una población normal, obteniéndose

una amplitudigual a 4. Si el tamaño de la muestra hubiera sido n = 100, permaneciendo

invariables todoslos demás datos, ¿cuál habría sido la amplitud del intervalo?

Ejercicio 9. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación

típica igual a 3.

a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria

media muestral?

población: N(µ,3) –> muestra: N(µ,3/√16)

b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la

población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar

en la muestra?

n=60

E j e r c i c i o 1 0 . A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de

100 familias de cierta ciudad se ha determinado el intervalo de confianza al 99% (42, 58)

para el gasto medio mensual por familia (en euros) en electricidad. Determinar justificando

las respuestas:

a. La estimación puntual que daríamos para el gasto mensual por familia en

electricidad en esa ciudad.

La estimación puntual es la media de la muestra que es:

b. ¿Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar como mínimo para

garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimación de dicho gasto medio

con un error máximo no superior a 3 euros?

El error ha de ser 3, al 99% de confianza, le corresponde (tablas de distribución

normal) un zα/2 de 2,576 y como sabemos que el intervalo de confianza al 99% y

con N=100 es (50-8,50+8)

Si queremos que el error máximo sea 3 con un 99% de confianza:

Nuestra muestra minima será de 712 familias.

Ejercicio 11. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha

medido el nivel de glucosa en sangre, obteniédose una media muestral de 110 mg/cc. Se

sabe que la desviación típica de la población es de 20 mg/cc.

a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la

población.

La desviasion típica de las medias muestrales es :

Calcular zα/2

Utilizando el valor 0.95 en la tablas de la distribución Normal N(0,1) para zα/2=1.645

Intervalod e confianza 90%

c) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?

Ejercicio 12. La media de edad de los alumnos que se presentan a pruebas de acceso a

la Universidad es de 18,1 años, y la desviación típica 0,6 años.

La media de las muestras es:

a) De los alumnos anteriores se elige, al azar, una muestra de 100. ¿ Cuál es la

probabilidad de que la media de la edad de la muestra esté comprendida entre

17,9 y 18,2 años?

b) ¿Qué tamaño debe tener una muestra de dicha población para que su media esté

comprendida entre 17,9 y 18,3 años, con una confianza del 99,5%?

El tamaño de la muestra será:

La muestra será de un minimo de 72.

Ejercicio 13. En un determinado barrio se selaccionó al azar una muestra de 100

personas cuya media de ingresos mensuales resultaba igual a 106.000 pta. con una

desviación típica de 20.000 PTAS.

a) Si se toma un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el intervalo de confianza para

la media de los ingresos mensuales de toda la población?

b) Si se toma un nivel de significación igual a 0,01, ¿cuál es el tamaño muestral

necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de

3.000 PTAS?

El tamaño minimo de la uestra será 295 personas.

Ejercico 14. En los folletos de propaganda, una empresa asegura que las bombillas que

fabrica tienen una duración media de 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó

una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniendose una duración media de 1.570

horas, con una desviación típica de 120 horas. ¿Puede aceptarse la información de los

folletos con un nivel de confianza del 95%?

Como

Tenemos que rechazar la hopotesis, es decir, no la podemos aceptar la información de

los folletos.

Ejercicio 15. Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una

distribución normal de media desconocida y de desviación típica 0,24 millones. Se ha

observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha

obtenido un valor medio de 1,6 millones de pesetas.

Contrasta, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de 1,45

millones de pesetas.

a. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste?

b. Determina la forma de la región crítica.

c. ¿Se acepta la hipótesis nula con el nivel de significación indicado?

Como:

No se acepta la hipótesis H0

Ejercicio 16. En una comunidad autónoma se estudia el número medio de hijos por mujer

a partir de los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este número sigue una

distribución normal con desviación típica igual a 0,08. El valor medio de estos datos para

36 municipios resulta ser igual a 1.17 hijos por mujer. Se desea contrastar, con un nivel de

significación de 0.01 , si el número medio de hijos por mujer en la comunidad es de 1.25.

a. Plantéense cuáles son la hipótesis nula y la alternativa en el contraste.

La hipótesis nula H0, es que la media de hijos por mujer en la comunidad es de

1.25, la hipótesis alternativa es que no:

b. Determínese la región critica del contraste.

c. ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación indicado?

Se rechaza la hipótesis con el nivel de de significación indicado porque el 1.17

pertenece a la región critica.

Ejercicio 17: Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que

el tiempo medio de duración de un empleo en la misma es de 6,5 años, con una

desviación típica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de

significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o

igual que 6? Justifica adecuadamente la respuesta.

Como 6.5 años pertenece al intervalo de confianza, podemos aceptar la hipótesis.

Ejercicio 18. El 40% de los escolares de cierto país suelen perder al menos un día de

clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela

que en el último curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades defienden que el

porcentaje del 40% para toda la población de escolares se ha mantenido. Contrastar con

un nivel de significación del 5% la hipótesis defendida por las autoridades sanitarias,

frente a que el porcentaje ha aumentado, como parecen indicar los datos, explicando

claramente a qué conclusión se llega.

p0 = 0.40; n = 1000; pˆ = 450/1000 = 0.45; nivel de significación α = 5% = 0.05

H0: p0 ≤ 0.40

H1: p0 > 0.40

1 - α = 0.95

p(Z ≤ z1-α) = 1 - α = 1 – 0.05 = 0.95

rechazamos la hipótesis nula H0: p0 ≤ 0’40, y aceptamos la hipótesis alternativa

H1 : p0 > 0’40, para un nivel de significación α = 0’05.

Con lo cual, con una probabilidad de equivocarnos del 5%, afirmamos que mas del 40%

Ejercicio 19. Un investigador, utilizando información de anteriores comicios. sostiene que,

en una determinada zona, el nivel de abstención en las próximas elecciones es del 40%

como mínimo.Se elige una muestra aleatoria de 200 individuos, para los que se concluye

que 75 estarían dispuestos a votar.Determina, con un nivel de significación del 1%, si se

puede admitir como cierta la afirmación del investigador.

Hipótesis nula H0: p 0,4

Hipótesis alternativa H1: p < 0,4

Busca la zona de aceptación de la hipótesis nula, que ha de ser un intervalo del tipo (k,

+), tal que P (k X < +) = 0,99, siendo X una distribución

200

6,0·4,0;4,0N ,

que es la que siguen las proporciones en muestras de tamaño

n = 200, suponiendo que p = 0,4. Luego, la zona de aceptación es el intervalo

(0,3556; +)

En la muestra, 125 individuos aún no han decidido si votarán o no, son posibles

abstencionistas.

La proporción es .625,0200

125pr

La proporción de posibles abstencionistas en la muestra está dentro de la zona de

aceptación. Por tanto, podemos aceptar, con un nivel de significación del 1%, la

hipótesis nula, es decir, que el porcentaje de abstención en las elecciones será del

40% como mínimo.