Ejercicios Ing. Civil - 2011-2-Libre

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LA ASIGNATURA

PARA EL PROGRAMA DE INGENIERA CIVIL

Realizados por: Jos Jorge Sierra Molina Cdigo 153305 Jorge Luis Riveros Rodrguez Cdigo 214599

Revisados por:

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot

Segundo semestre de 2011

PRIMER MES

CALCULO DIFERENCIAL

1. TEMA: Energa Especifica

Objetivos:

Aplicar las derivadas para deducir una frmula de gran empleo en el anlisis de canales abiertos

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular:

La aplicacin se da en la lnea de aguas, ms especficamente, en el diseo de canales.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se sabe que la ecuacin de energa especfica de un flujo en un canal abierto de seccin

rectangular es la siguiente:

Donde

Y es la profundidad del flujo en el canal

g es la aceleracin de gravedad (9,81 )

q es el caudal por unidad de ancho, es decir, la cantidad de agua que pasa en relacin al tiempo y

al ancho del canal

Encuentre una expresin que muestre el valor de y para que la energa especifica sea la mnima

Solucin

Derivamos respecto a y, Igualando la derivada a 0 y despejando y tenemos,

2. TEMA: Almacenamiento de aguas

Objetivos:

Aplicar las derivadas para encontrar las dimensiones de un tanque optimizando el gasto de material


Construir un tanque de almacenamiento que tenga cierta capacidad optimizando las dimensiones

constructivas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se desea construir un tanque cilndrico en el que la base y la pared tienen el mismo espesor (e) y

son hechos del mismo material. Si el volumen que debe tener el tanque es de 100 , encuentre el radio en la base para el cual se construye un tanque con esta capacidad gastando el mnimo

material posible.

Solucin

El volumen del cilindro est dado por la siguiente formula:

Ahora bien el gasto de material, depende de la siguiente funcin:

Igualamos la derivada a 0,

Es decir, con este radio obtenemos el material mnimo para la construccin de este tanque.

3. TEMA: Funciones cnicas

Objetivos:

Encontrar las dimensiones de los tirantes de un puente conociendo la geometra parablica que este tiene

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: En la lnea de estructuras, gestin en construccin.

Planteamiento del problema

Se ha decidido disear un puente colgante como se ve en la figura:

Si sabemos que el cable superior tiene forma parablica, conocemos la altura de las dos torres y

de uno de los tirantes, y sabemos que la distancia de torre a torre es de 120 m, con distancias

entre tirantes iguales, cul sera la altura para cada uno de los tirantes que se encuentran entre

las dos torres?

Solucin

Como el cable superior es de forma parablica, la relacin entre la distancia horizontal y la altura

es de la forma

Separacin entre tirantes:

Distancia Altura

0 20

104 20

120 22

Sustituyendo las ecuaciones, Sustituyendo valores, Al solucionar el sistema de ecuaciones, tenemos que, Es decir, la ecuacin que relaciona la altura con la distancia horizontal a la torre A, es: Ahora podemos aplicar esta ecuacin para cada distancia y as poder obtener la altura de cada

tirante:

Tirante altura (m)

1 19,2

2 18,5333333

3 18

4 17,6

5 17,3333333

6 17,2

7 17,2

8 17,3333333

9 17,6

10 18

11 18,5333333

12 19,2

13 20

14 20,9333333

4. TEMA: MTODOS DE PROYECCIN DE UNA POBLACIN Objetivos: Estimar la poblacin futura de un lugar (poblacin).

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Ingeniera agrcola, estadstica, biologa, matemtica aplicada a la poblacin.

a. Mtodos de proyeccin de una poblacin Ver los diferentes mtodos que existen para estimar poblaciones. Solucin

5. TEMA: HIDRALICA

Objetivos: * Calcular la velocidad que alcanza un chorro de agua al salir por un orificio localizado a una distancia vertical constante conocida, medida desde la superficie del agua. * Observar y definir a qu altura es mayor la velocidad y a cul es mayor el alcance del chorro. * Determinar la altura a la cual se interceptan dos chorros. * Calcular los coeficientes de velocidad para diferentes chorros.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Ingeniera civil (hidrulica).

a. Calcular la velocidad de un chorro de agua utilizando la ecuacin de Bernoulli. Torricelli propone una hiptesis bsica, a saber, que las aguas que desembocan violentamente de un pequeo orificio, poseen el mismo mpetu que tendra un cuerpo pesado al caer naturalmente desde el nivel de la superficie libre del agua hasta el del orificio. l considera orificios hechos en la pared de un cao vertical, afirmando que los chorros que salen de ellos deben tener forma parablica. En efecto, las primeras gotas que salen tienen que comportarse como los proyectiles estudiados por Galileo, y las que siguen siendo emitidas con igual mpetu recorrern el mismo camino, ya que el cao se supone siempre lleno. Solucin

De la ecuacin de Bernoulli obtenemos:

Dode P=pesi, Y= posici especto al ivel de efeecia, V=velocidad del fluido, =peso especfico del agua.

En este ejercicio calculamos la velocidad final.

MATEMATICAS BSICAS

6. TEMA: RESISTENCIA DE MATERIALES

Objetivos: Ver la resistencia a la falla de un alambre por fatiga.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Diseo estructural, estudios de suelos, ingeniera de trnsito.

b. Resistencia a la falla de un alambre por fatiga Contar el nmero de dobleces necesarios para hacer fallar a un alambre, encontrar las estadsticas y los temas matemticos involucrados. Solucin

El primer paso es contar el nmero de dobleces necesarios para hacer fallar a un alambre.

Sacar las estadsticas: Promedio (en un nmero grande de experimentos), desviacin estndar (que tan separado est los experimentos del promedio), diagrama de frecuencia (histograma).

7. TEMA: DISEO GEOMETRICO DE VAS

Objetivos:

Utilizar elementos de geometra bsicos para realizar un trazado inicial de una va

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Diseo geomtrico de vas

a. En un plano de altimetra, las curvas de nivel significan los puntos que se encuentran a la

misma altura. En el diseo de una va se cuenta con un plano del terreno a escala 1:2000

(es decir, cada unidad en el plano significa 2000 unidades en el terreno) en el cual se

trazaron curvas de nivel cada 2 metros de altura.

Aqu tenemos un ejemplo:

Si en el trazado de una va uno de los criterios de diseo es que la pendiente sea mxima del 7%.

Cul sera la distancia en el trazado sobre el plano mnima entre las curvas de nivel?

Solucin

Una pendiente del 7%, significa que por cada 100 m de longitud la altura vara 7 m

Como entre curvas de nivel la variacin es de 2 m, utilizamos similitud de tringulos y obtenemos

la longitud con la que la altura tiene esta variacin: Como necesitamos la longitud del trazado en el plano, utilizamos la proporcin que nos brinda la

escala: Es decir, la distancia del trazado entre curvas de nivel debe ser mnimo de 1,43 cm

2500 m

2498 m

2496 m

8. TEMA: DISEO DE SECCIONES DE CANALES

Objetivos:

Encontrar una expresin para las ms importantes propiedades geomtricas de un canal trapezoidal.


Estructuras hidrulicas


En la hidrulica de canales es muy importante considerar la geometra de la seccin tpica de la

estructura. Un canal muy comn es el de seccin trapezoidal. Encuentre una frmula para el rea y

el permetro mojado en un canal trapezoidal de pendiente de talud de 45 en trminos de la

profundidad y de la base del canal.

Solucin

Debido a que el ngulo es de 45, el incremento en la superficie libre respecto a la base es de dos

veces la profundidad, es decir, la superficie libre mide b + 2y

Aplicando la frmula del rea,

Para el permetro,

Como es el permetro mojado, no tomamos en cuenta la superficie libre,

b

y

9. TEMA: LOSAS DE ENTREPISO ALIGERADAS

Objetivos:

Encontrar el peso por unidad e rea de una losa de entrepiso con dimensiones dadas.


Mecnica de slidos, anlisis estructural


Una placa de entrepiso aligerada tiene el siguiente corte con las dimensiones dadas a

continuacin, en metros:

La placa es elaborada en concreto, el cual tiene un peso especfico de 24 .En los espacios

acados co ua euis se ecueta caset, el cual pesa ,5 . Calcule el peso por metro cuadrado de losa para que posteriormente se pueda realizar fcilmente un anlisis de cargas.

Solucin

Podemos sintetizar los datos de dimensiones en la siguiente tabla:

Losa de entrepiso

Separacin entre viguetas 1,05 m

Ancho de las viguetas 0,1 m

Altura de las viguetas 0,46 m

Altura losa superior 0,05 m

Altura losa inferior 0,02 m

Analizaremos cada componente para llevarlo al peso por metro cuadrado:

Al simplificar los resultados para losetas y para vigueta tenemos lo siguiente:

Peso losa superior 1,2 kN/m2

Peso losa inferior 0,48 kN/m2

Peso de las viguetas 1,05 kN/m2

Casetn en guadua 0,15 kN/m2

Peso total 2,88 kN/m2

Es decir, el peso por metro cuadrado de esta losa es 2,88 kN/m2

10. TEMA: ALMACENAMIENTO

Objetivos:

Encontrar el peso de un tanque en su situacin ms critica, para disear la estructura que lo sostiene.


Estructuras, acueductos


Se desea construir un tanque de almacenamiento para un conjunto residencial. Los estudios

hidrulicos dan como resultado que el volumen de diseo para el tanque debe ser de 55 La base del tanque se realizara con concreto y tendr un espesor de 0,1m y un radio total de 2m.

La pared del tanque ser en concreto y tendr un espesor de 0,08m. El tanque ser elevado para

distribuir agua por gravedad y se construir sobre una estructura en acero. Calcule el peso mximo

que tendr el tanque para que con dicho valor se disee la estructura que lo sostendr. Asume un

peso especfico de 24 KN/m3 para el concreto y del agua de 10 KN/m3

Solucin

Como para el peso de la pared necesitamos la altura, la obtenemos del volumen total que

soportara el tanque, teniendo en cuenta que el radio interno del tanque ser 1,92 m, ya que se

resta el espesor de la pared. 55 55

El peso mximo del tanque ocurre cuando est lleno de agua. Es decir

ALGEBRA LINEAL

11 y 12. TEMA: Anlisis estructural Objetivos:

Analizar las reacciones que tiene una viga por medio de matrices Conocer algo sobre el tema del mtodo de la rigidez para solucionar

estructuras, en este caso, vigas. Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular:

Anlisis estructural bsico

a. El mtodo de la rigidez es un mtodo matemtico que relaciona los desplazamientos de

una estructura con las fuerzas externas. Por el mtodo de la rigidez, sabemos que: [ ] Si la matriz de rigidez para una viga tomando en cuenta nicamente los momentos y ngulos es:

3 6 9 12

3 44871,05 22435,53 0 0 6 22435,53 98716,32 26922,63 0

9 0 26922,63 98716,32 22435,53

12 0 0 22435,53 44871,05

En unidades de KN m2

Y el vector de fuerzas correspondiente a esta matriz es el siguiente:

-45

3,333333333

-0,333333333

63

Encuentre el vector d, es decir, el vector que contiene los valores correspondientes a la pendiente

originada.

Solucin

Sabemos que, [ ] [ ] 2,544E-05 -6,31196E-06 1,94214E-06 -9,71071E-07

-45

-6,31E-06 1,26239E-05 -3,88428E-06 1,94214E-06 X 3,333333333 = 1,942E-06 -3,88428E-06 1,26239E-05 -6,31196E-06

-0,333333333

-9,71E-07 1,94214E-06 -6,31196E-06 2,54421E-05

63

-0,001227758 Radianes = 0,000449768 Radianes

-0,000502206 Radianes

0,001655126 Radianes

[K]=

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Esttica

b. Una viga estticamente determinada, es una viga en la cual se pueden calcular las

reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y de momento. En el caso de

la siguiente cercha tenemos las siguientes ecuaciones de equilibrio:

Equilibrio: Encuentre los valores para R1 y R12 en trminos de una carga A.

Solucin

Expresamos el sistema de ecuaciones de forma matricial R1= 4 A

R12= 4A

13. TEMA: PROPIEDADES INDICE

Objetivos:

Encontrar una expresin por medio de ecuaciones lineales, que relacione la relacin de vacos con la porosidad.


Mecnica de suelos


Las relaciones de fase, son relaciones que pueden ser volumtricas o de peso entre los vacos, los

slidos y los lquidos de un suelo. Las siguientes son 2 de las relaciones de fase volumtricas ms

importantes:

Sabiendo que el volumen total es la suma del volumen de slidos y el volumen de vacos

(vt=vv+vs), encuentre una expresin que determine e en trminos de n, y n en trminos de e.

Sabemos que:

De la relacin de vacos, De la porosidad: Igualando los volmenes de vacos:

De la ecuacin 1 se despeja n: De la ecuacin 1 despejando e:

14. Calcular las fuerzas que actan sobre un edificio de varios pisos

Las fuerzas que actan sobre cada piso son:

Luego las fuerzas que actan sobre el edifico son:

15.

SEGUNDO MES

Matemticas bsicas

1. TEMA: Aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli

Objetivos:

Deducir la formula general para saber la velocidad de un flujo en un sifn hidrulico.


Mecnica de fluidos, Hidrulica de tuberas.


La ecuacin de Bernoulli es una ecuacin que relaciona las variables que afectan la energa en un

fluido en movimiento. Es utilizada para analizar los cambios que tiene un flujo cuando es

transportado de cierto lugar a otro donde las condiciones son distintas. Puede expresarse como

se ve a continuacin:

Donde H es la energa del flujo, P es la presin, es el peso especfico del flujo y v es la velocidad. Por otro lado, la ecuacin de continuidad para los fluidos, asegura que la cantidad de agua que

ingresa a una seccin de control es la misma que sale, por lo tanto si existe una nica entrada y

una nica salida y las secciones tienen la misma rea, las velocidades de entrada y salida son

iguales.

Un sifn es una estructura hidrulica utilizada para transportar fluidos de lugares de mayor altura

a menor altura como podemos ver en la figura.

Tomando la presin fuera del tubo como 0, asumiendo que la energa se conserva sin perdidas,

encuentre la ecuacin de la velocidad que llevara el fluido dentro del sifn.

Solucin

La energa en el punto inicial, es decir, sobre la superficie libre del estanque superior donde

ingresara el fluido al sifn, es la siguiente:

Como en la superficie libre el agua aun esta en reposo, la velocidad ser 0, la presin tambin ser

0 al estar fuera del tubo, por lo tanto, Ahora, analizando la energa en el punto 2, que ser el borde final del sifn antes de llegar al

segundo recipiente, tenemos que,

All la presin tambin valdr 0, ya que el flujo no siente la presin de la tubera, por lo tanto,

Como las energas se conservan,

Despejando la velocidad, 2. TEMA: Topografa

Objetivos: Hallar la ubicacin adecuada de bancos de marca. Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Topografa


Los bancos de marca son puntos estratgicos ubicados en las ciudades, en los cuales se consigna

informacin altimtrica. Es decir, de estos puntos conocemos las coordenadas norte, Este y la

altura sobre el nivel del mar. Para realizar un levantamiento topogrfico, se necesita a partir de las

coordenadas de dos bancos ya existentes, conocer las coordenadas del punto medio entre estas.

El punto A tiene coordenadas 83000 N 26000 E, y el punto B 83500N, 25700E.

Solucin

El punto medio cumplir con tener la misma distancia a los puntos A y B. Aplicando la frmula para

el punto medio tenemos que,

Es decir, en el punto 83250N 25850E, pondremos otro banco de marca para emplearlo en el

levantamiento que se piense realizar.

3. TEMA: Mecnica de solidos

Objetivos: Hallar el peso por unidad de largo de una viga en concreto reforzado. Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Mecnica de slidos, anlisis estructural.


Hallar el peso por unidad de largo de una viga de concreto reforzado con varillas nmero 6, con

la siguiente configuracin y distribucin

Solucin

Clculo de reas

A1: 0,24774 m2

A2:0,062 m2

A3:0,07742 m2

A:0,38716 m2 (Ac)

rea transversal varilla N6:

r=9,525 E -3 m

A cada varilla = 2,85 E -4 m2

A total varillas =2,28 E -3 m2 (Av)

A Concreto= Ac -Av =0,38488 m2

Peso de concreto

Wc= A Concreto c= 9,23 KN /m

Peso de varillas

Wv= A total varillas h= 0,16416 KN /m

PESO TOTAL

W t = wc +Wv

W t = 9,39416 KN/m

A3

A2

A1

4. TEMA: Secciones cnicas en la hidrulica

Objetivos: Aplicar las secciones cnicas en un problema de distribucin de tuberas. Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Hidrulica bsica


Una red ramificada de distribucin de agua, tiene la siguiente forma.

Los puntos a donde llega el agua a cada manzana tienen las siguientes coordenadas relativas:

M1: 0 N 0 E

M2: 500 N 500 E

M3: 0 N 400 E

Si se requiere que el punto de ramificacin este a la misma distancia de cada uno de los puntos de

recepcin de las manzanas por cuestiones de practicidad en los clculos; encuentre las

coordenadas de dicho punto y la longitud de las tuberas que conectaran este con cada punto de

recepcin.

Solucin

Como queremos encontrar un punto que se encuentre a la misma distancia de tres puntos con

coordenadas conocidas, analizaremos esta situacin como una circunferencia.

La ecuacin cannica de la circunferencia es:

+ Sustituyendo los puntos conocidos tenemos 3 ecuaciones: +

+ + Como tenemos 3 variables y 3 ecuaciones, es posible encontrar nicos valores que satisfagan las

ecuaciones, + Sustituyendo la primera ecuacin en las otras dos, tenemos que, Podemos obtener los valores de a y de b,

a= 300

b= 200

Por lo tanto,

r= 360,55

Es decir, las coordenadas de dicho punto son 300 N 200E, y la longitud de las tuberas ser de

360.55 m

5. TEMA: Diseo estructural

Objetivos: Aplicar la teora de conteo para analizar posteriormente todas las posibles formas de instalacin de varillas de refuerzo.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Diseo estructural, diseo de refuerzos en vigas.


Se desea poner refuerzos de acero en la parte inferior de una viga. Se piensan instalar 6 varillas

nmero 1, 4 varillas nmero 2 y 2 varillas nmero 4. Las varillas sern instaladas en una sola fila,

de tal forma que sea simtrica la instalacin de las mismas. De cuantas maneras se podra realizar

esto?

Solucin.

Como debe ser simtrica, analizaremos solo con la mitad de materiales que tenemos, suponiendo

que con la otra mitad se realizara una distribucin que permita que suceda esto.

Tenemos entonces 3 varillas tipo 1, 2 varillas tipo 2 y una varilla tipo 4. Para un total de 6 varillas.

Aplicando la formula general para el conteo. Es decir, existen 60 diferentes formas para organizar estos elementos.

Algebra lineal

6. TEMA: Anlisis estructural

Objetivos: Calcular el ngulo que forman dos elementos de una viga Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Diseo estructural, anlisis estructural bsico.


En una cercha, dos elementos estn unidos y miden 25 y 30 metros. Adems uno de ellos es

paralelo al suelo (el de 25 m), y el otro tiene 14 metros de distancia horizontal al punto 0 o de

referencia. Encuentre el ngulo que forman estos elementos.

Solucin

Tenemos los siguientes datos de los elementos:

Elemento 1:

Vector (25,0)

Longitud 25 metros

Elemento 2:

Vector (14,x)

Longitud 30 metros

Como la longitud del elemento la podemos interpretar como la norma del vector, podemos aplicar

la definicin de producto punto.

350= 750 7. TEMA: Anlisis estructural

Objetivos: Aplicar la teora de vectores en el espacio, para saber la cantidad de material

empleada en la construccin de una viga espacial. Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Diseo estructural, anlisis estructural bsico.


Se desea calcularla longitud de un elemento de una viga espacial que se encuentra dentro de

pequeos cilindros con dimensiones 20 cm* 60 cm*180cm. Dichos elementos unen los vrtices

totalmente opuestos de la estructura.

Solucin

Podemos decir que el vector asociado a este elemento es

(20,60,180)

La longitud estara asociada a la norma, es decir, | | La longitud del elemento, es de 190,78 m

8. TEMA: Anlisis estructural bsico

Objetivos: Utilizar el mtodo de la rigidez para solucionar una viga. Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Diseo estructural, anlisis estructural bsico.


Solucionar la siguiente viga:

Inercia: = 0,003125

Mdulo de elasticidad (NSR-10 Titulo C.8.5.1): E= 21538,11 MPa

E= 21538,11 MPa

E = 21538106 KPa

Factor EI para las matrices:

EI= 67306,58052 KN m2

Solucin del problema

Matrices de rigidez por cada elemento

La matriz de rigidez para elementos de una viga, tiene como forma general la siguiente expresin:

Tomando como factor de la matriz el valor de EI tenemos que:

D C B A

15 KN/m

20 KN/m

35 KN/m

6m 5m 6m

[ ] [ ]

Por nomenclatura utilizaremos los nmeros del 1 al 12 para referirnos a las reacciones en cada

apoyo de la siguiente manera:

Nomenclatura 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Significado Reaccin

horizontal

en el

apoyo 1

Reaccin

vertical

en el

apoyo 1

Momento

en el

apoyo 1

Reaccin

horizontal

en el

apoyo 2

Reaccin

vertical

en el

apoyo 2

Momento

en el

apoyo 2

Reaccin

horizontal

en el

apoyo 3

Reaccin

vertical

en el

apoyo 3

Momento

en el

apoyo 3

Nomenclatura 10 11 12

Significado Reaccin

horizontal

en el apoyo

4

Reaccin

vertical en

el apoyo 4

Momento

en el apoyo

4

Elemento AB

Elemento BC

4 5 6 7 8 9

4 0 0 0 0 0 0

5 0 0,1 0,24 0 -0,1 0,24 6 0 0,24 0,8 0 -0,24 0,4

7 0 0 0 0 0 0

8 0 -0,1 -0,2 0 0,1 -0,24

9 0 0,24 0,4 0 -0,24 0,8

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 0 0 0

2 0 0,06 0,17 0 -0,06 0,167

3 0 0,17 0,67 0 -0,17 0,333

4 0 0 0 0 0 0

5 0 -0,1 -0,2 0 0,06 -0,17

6 0 0,17 0,33 0 -0,17 0,667

[K]= EI

[K]= EI

Elemento CD

7 8 9 10 11 12

7 0 0 0 0 0 0 8 0 0,06 0,17 0 -0,06 0,167

9 0 0,17 0,67 0 -0,17 0,333

10 0 0 0 0 0 0

11 0 -0,1 -0,2 0 0,06 -0,17

12 0 0,17 0,33 0 -0,17 0,667

Como nunca existirn reacciones horizontales, eliminamos las filas y columnas 1, 4, 7 y 10 y as

tener matrices ms pequeas y ms fciles de manejar

Elemento AB

2 3 5 6

2 0,055556 0,166667 -0,05556 0,166667

3 0,166667 0,666667 -0,16667 0,333333

5 -0,05556 -0,16667 0,055556 -0,16667

6 0,166667 0,333333 -0,16667 0,666667

Elemento BC

5 6 8 9

5 0,096 0,24 -0,096 0,24

6 0,24 0,8 -0,24 0,4

8 -0,096 -0,24 0,096 -0,24

9 0,24 0,4 -0,24 0,8

Elemento CD

8 9 11 12

8 0,055556 0,166667 -0,05556 0,166667

9 0,166667 0,666667 -0,16667 0,333333

11 -0,05556 -0,16667 0,055556 -0,16667

12 0,166667 0,333333 -0,16667 0,666667

[K]= EI

[K]= EI

[K]= EI

Matriz de rigidez de la viga

Con estas matrices simplificadas que encontramos anteriormente, obtenemos la matriz

representativa de la viga

2 3 5 6 8 9 11 12

2 0,055556 0,166667 -0,05556 0,166667 0 0 0 0

3 0,166667 0,666667 -0,16667 0,333333 0 0 0 0 5 -0,05556 -0,16667 0,151556 0,073333 -0,096 0,24 0 0

6 0,166667 0,333333 0,073333 1,466667 -0,24 0,4 0 0

8 0 0 -0,096 -0,24 0,151556 -0,07333 -0,05556 0,166667

9 0 0 0,24 0,4 -0,07333 1,466667 -0,16667 0,333333

11 0 0 0 0 -0,05556 -0,16667 0,055556 -0,16667

12 0 0 0 0 0,166667 0,333333 -0,16667 0,666667

Fuerzas

Existen dos tipos de fuerzas, las reacciones y las fuerzas de empotramiento. Estas nos dan dos

vectores de fuerzas que al sumarlas, dan como resultado el vector de fuerzas que se toma en

cuenta en el mtodo matricial.

Reacciones

Como los apoyos son de primer y de segundo gnero, las nicas reacciones existentes son las

verticales, por lo tanto el vector de reacciones es:

[

]

Fuerzas de empotramiento

Las fuerzas de empotramiento para cada elemento de la viga dependen de la geometra de la

carga distribuida que all se aplique.

Elemento AB L 6 m 2 -45

Carga 15 KN/m 3 -45

rectangular

5 -45

6 45

[K]= EI

Elemento BC L 5 m 5 -50

Carga 20 KN/m 6 -41,6667

rectangular

8 -50

9 41,66667

Elemento CD

L 6 m 8 -31,5

Carga 35 KN/m 9 -42

triangular

11 -73,5

12 63

De esta manera podemos encontrar el vector de fuerzas de empotramiento:

2 -45

3 -45

5 -95

6 3,333333

8 -81,5

9 -0,33333

11 -73,5

12 63

Vector definitivo de fuerzas

Es la suma de los vectores de reacciones y de fuerzas de empotramiento 2 -45+R2

3 -45

5 -95+R5

6 3,333333

8 -81,5+R8

9 -0,33333

11 -73,5+R11

12 63

Calculo de las pendientes en cada apoyo

De la matriz de rigidez de la viga, el vector de fuerzas y el de desplazamientos, solo tomamos en

cuenta las filas y columnas relacionadas con los momentos en los apoyos, es decir, las filas y

columnas 3, 6, 9 y 12. Esto lo podemos hacer ya que las pendientes son los nicos valores en el

vector de desplazamientos.

3 6 9 12

3 44871,05 22435,53 0 0 6 22435,53 98716,32 26922,63 0

9 0 26922,63 98716,32 22435,53

12 0 0 22435,53 44871,05

Sabemos que, [ ] [ ] 2,544E-05 -6,31196E-06 1,94214E-06 -9,71071E-07

-45

-6,31E-06 1,26239E-05 -3,88428E-06 1,94214E-06 X 3,333333333 = 1,942E-06 -3,88428E-06 1,26239E-05 -6,31196E-06

-0,333333333

-9,71E-07 1,94214E-06 -6,31196E-06 2,54421E-05

63

-0,001227758 Radianes = 0,000449768 Radianes

-0,000502206 Radianes

0,001655126 Radianes

Calculo de las reacciones

Sabemos que, [ ] 3739,254473 11217,76342 -3739,254473 11217,76342 0 0 0 0

0

-45+R2

11217,76342 44871,05368 -11217,76342 22435,52684 0 0 0 0 X -0,00123 = -45

-3739,254473 -11217,76342 10200,6862 4935,815905 -6461,43173 16153,57932 0 0

0

-95+R5

11217,76342 22435,52684 4935,815905 98716,3181 -16153,57932 26922,63221 0 0

0,00045

3,333333

0 0 -6461,43173 -16153,57932 10200,6862 -4935,815905 -3739,254473 11217,76342

0

-81,5+R8

0 0 16153,57932 26922,63221 -4935,815905 98716,3181 -11217,76342 22435,52684

-0,0005

-0,33333

0 0 0 0 -3739,254473 -11217,76342 3739,254473 -11217,76342

0

-73,5+R11

0 0 0 0 11217,76342 22435,52684 -11217,76342 44871,05368

0,001655

63

[K]=

-8,727305737

-45+R2

-45

-45

7,880246914 = -95+R5

3,333333333

3,333333

13,78024691

-81,5+R8

-0,333333333

-0,33333

-12,93318809

-73,5+R11

63

63 De lo anterior despejamos y obtenemos los valores de las reacciones:

r2 36,27269426 KN

r5 102,8802469 KN

r8 95,28024691 KN

r11 60,56681191 KN 9. TEMA: Materiales para construccin

Objetivos: Encontrar una relacin entre propiedades de una muestra de suelo Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Geotecnia, mecnica de suelos


Un suelo tiene 3 fases, la fase slida, la fase liquida y la fase de aire, la fase liquida ms la de aire

se conoce como la fase de vacos. Por medio de ecuaciones lineales, encuentre una expresin que

relacione las siguientes propiedades de un suelo.

Tenga en cuenta que la letra grande (V o W) significa volumen y peso respectivamente. Los

subndices significan la fase, liquida (w), solida (s) o vacos (v). es el peso especfico del agua, es decir 1 Ton/m3.

Solucin

Sustituyendo la ecuacin 2 en la 1, tenemos que, De la ecuacin 3 en la ecuacin anterior, tenemos que,

De la ecuacin 4 en la anterior,

Es decir, 10. TEMA: Materiales para construccin

Objetivos: Encontrar una relacin entre propiedades de una muestra de suelo Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Geotecnia, mecnica de suelos


Un suelo tiene 3 fases, la fase slida, la fase liquida y la fase de aire, la fase liquida ms la de aire

se conoce como la fase de vacos. Por medio de ecuaciones lineales, encuentre una expresin que

relacione las siguientes propiedades de un suelo.

Tenga en cuenta que la letra grande (V o W) significa volumen y peso respectivamente. Los

subndices significan la fase, liquida (w), solida (s) o vacos (v). es el peso especfico del agua, es decir 1 Ton/m3.

Solucin

Partimos de la primera propiedad, sustituyendo en ella la ecuacin 3 Sustituimos la ecuacin 2 en la anterior, Sumamos 1 a cada lado de la ecuacin,

Como el peso del agua y el peso del solido es el peso total,

Calculo diferencial

Clculo de estructuras

Objetivos: Podemos decir que la ingeniera estructural es una rama clsica de la ingeniera civil y, en unos pocos pases, de la arquitectura, que se ocupa del diseo y clculo de la parte estructural en las edificaciones y dems obras. Su finalidad es la de conseguir estructuras funcionales que resulten adecuadas desde el punto de vista de

la resistencia de materiales. En los siguientes veremos problemas relacionados con esta rama.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_civilhttp://es.wikipedia.org/wiki/Arquitecturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estructura#En_ingenier.C3.ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales

a. Emparrillado de vigas con flexin y torsin

Explicacin del p

Problema: Analizar las ecuaciones de rigidez de este sistema de vigas

Solucin

Tendramos por tanto como matrices que expresan la rigidez separada de las cuatro barras distintas las siguientes, segn se considere o no la rigidez a torsin (para la barra 4 esta puede no considerarse, dado que la simetra geomtrica y de cargas impide dicho movimiento).

c. Prtico en rotura. Problema: Se pretende obtener diagramas elsticos y de colapso de la estructura de la figura 1. Aunque en la presente hoja se resuelve el problema algebraicamente, lo usual ser, con el uso de calculadora, trabajar numricamente, dejando slo indicados los factores comunes.

Solucin:

Anlisis elstico:

La solucin elstica requiere considerar el efecto de las cargas sobre los nudos de la estructura. Para ello recurrimos al principio de superposicin, y al ``artificio'' del empotramiento perfecto: las cargas -y los estados de esfuerzo de la estructura- pueden representarse como la superposicin del estado de "empotramiento" (E en la figura 2) sin desplazamientos pero con cargas en las barras ms el estado desplazado o libre (D), que no tiene cargas ms que en los nudos. El estado E se resuelve por mtodos clsicos de resistencia de materiales, y el estado D es el que estudiamos posteriormente.

Obtenido el estado D tal como vemos a continuacin, se superponen ambos, dando la solucin al problema.

d. Muro: Problema: Se trata de analizar el comportamiento del muro de la figura, empleando

el teorema esttico: planteando una configuracin equilibrada -de bielas y tirantes-.

Solucin:

Equilibrio de cargas y reaccin del terreno

Se determina la reaccin del terreno considerando que el muro asienta rgidamente en l, por lo que la reaccin del terreno tendr forma lineal -trapezoidal o triangular- con resultante igual y contraria a la de la carga.

Se evala, pues, la carga total, y la posicin de la resultante (en kN y m, en distancia respecto del lateral izquierdo)

e. Placa sobre apoyos aislados

Problema: Analizamos la placa de la figura aplicando el teorema esttico, y

estableciendo por tanto una configuracin de equilibrio para la misma. Para ello

consideraremos las regiones correspondientes a las lneas equidistantes del borde, la

que une los soportes, y las de vano.

Solucin:

Configuracin de equilibrio en la losa

Analizamos ahora la losa suponindola descompuesta en varias bandas en cada direccin, y estimando las distribuciones de cargas y esfuerzos de modo que se asegure el equilibrio.

Suponemos bandas en el borde de la losa, entre soportes, y en vano.

Dada la geometra de la losa, la banda de borde tiene una anchura de , mientras que cada una de las otras tiene, segn la figura, una anchura

de .

Para distribuir las cargas en cada banda suponemos inicialmente que el equilibrio se realiza de igual modo en cada direccin, apoyndose las bandas que no pasan sobre los soportes en la banda que s pasa sobre ellos, que se encarga de llevar la correspondiente carga "indirecta" a los apoyos, adems de la que le corresponda por situarse directamente encima.

Consideramos, pues, para la configuracin de equilibrio que las bandas de borde y de vano soportan la mitad de la carga en su propia direccin, estando la otra mitad soportada en la direccin transversal.

Si partimos de la banda de borde, tenemos que su comportamiento, por unidad de anchura, es el de la viga de carga mitad; dibujamos su diagrama comparado con el de viga:

f. Losa:

Problema: En este ejercicio se trata de armar una losa apoyada en cuatro pilares. El anlisis se realiza por rotura y por elementos finitos, comparndose resultados de esfuerzos, y armando en base a dicha informacin.

Solucin:

Configuraciones de rotura en positivos. (Sin agujero).

Analizamos primero el efecto sin considerar el hueco circular para poder comparar alternativas.

La primera configuracin (figura 2) es anloga a la de la placa apoyada en su contorno, que, como es sabido, se obtiene con facilidad considerando trabajos (Energa potencial perdida por la carga igual a la disipada plsticamente en las lneas), e igualando los trabajos realizados en las lneas de rotura por los realizados -virtualmente- en la rotacin de sus proyecciones sobre las lneas de apoyo con los momentos de la lnea considerada.

TERCER MES

Calculo diferencial

OPTIMIZACIN (razn de cambio)

Objetivos: En matemticas la optimizacin o programacin matemtica intenta dar respuesta a un tipo general de problemas matemticos donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. De ah surge la importancia de esta rama en las aplicaciones que podamos dar de ella, como por ejemplo a la ingeniera civil y sus derivadas (estructural, hidrulica, geotecnia, etc). El siguiente problema hace parte del tema razn de cambio (derivadas), el cual es el ltimo tema del curso de clculo diferencial, y donde se plantea una llamada ecuacin demanda la cual es genrica y por consiguiente puede ser aplicada a varios contextos del tipo produccin, al principio parecer que no tiene relacin alguna con la Ingeniera civil, sin embargo, recordemos que todas las ramas necesitan en algn momento optimizar gastos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matemticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matemtico

a. Razn de cambio en una funcin demanda.

La funcin de la demanda esta dada por P= , donde x esta dada en unidades y el precio p esta dado en dlares , adems esta empresa tiene un costo total de al producir y vender x unidades .Si actualmente se esta produciendo 25 unidades y se desea aumentar la produccin en 4% .En que porcentaje variar aproximadamente la utilidad?

Solucin

Solucin.

Luego :

2) En que porcentaje variara aproximadamente la utilidad? Hallando tenemos:

3)

a. Encontrar la razn de cambio del costo con respecto a la cantidad cuando p =20

(dolas por unidad)

3)

b. Encontrar la razn de cambio de la utilidad con respecto a la cantidad cuando p =20

4) Encontrar la utilidad marginal cuando x=25.interpretar su resultado

Interpretacin: la unidad 26 genera ganancia de 5.11 dlares aprox.

5) Encontrar la variacin porcentual aproximada del costo cuando x=25 aumenta en

Solucin

Matemticas bsicas

1. En el anlisis del diseo geomtrico de una va se desea saber las coordenadas

del punto en donde una curva circular cambia a recta. Sabemos que la pendiente

longitudinal de la recta es de 0,5 y que el radio de la curva circular es de 120 m

con centro en un punto de referencia (0,0)

Tema: Diseo geomtrico de vas

Objetivo: Aplicar los elementos del plano en el diseo de una via

Solucin

Sabemos que la recta tiene como ecuacin: Adems, sabemos que la lnea que une el centro de la circunferencia con el punto de

tangencia es perpendicular a la recta, ya que por el diseo de la va, esta recta debe ser

tangente a la misma. Por lo tanto, la pendiente de la recta que une el centro con el punto

de tangencia es de -2

Como pasa por el punto (0,0), la ecuacin de dicha recta es: Es decir, el punto de tangencia es de la forma (x,-2x) con distancia al punto (0,0) de 120

metros. Aplicando la frmula de distancia entre dos puntos, tenemos: Por lo tanto Por lo tanto, las coordenadas del punto de tangencia son:

(53.66,-107.33)

2. La energa especfica para un flujo libre en un canal rectangular, est definida por

la siguiente ecuacin:

( ) Asumiendo un caudal (Q) y una base de la seccin (b) constantes y positivas, encuentre

los valores que puede tomar la energa y la profundidad (y).

Tema: Energa especifica de un canal

Objetivo: Utilizar los temas de dominio y rango de una funcin para ver los valores que se

pueden emplear.

Solucin

En este problema lo que debemos analizar es el dominio y el rango de la funcin. Como

podemos ver, la profundidad podra ser cualquier valor excepto de 0 ya que est

dividiendo al caudal. Adems debe ser un valor positivo ya que una profundidad negativa

no tendra ningn sentido fsico. Por otro lado al asumir valores positivos de profundidad,

obtendremos obligatoriamente valores positivos de energa, pero s tendra un valor

mnimo. Es decir, el dominio de la funcin son todos los reales positivos, y el rango son

los valores mayores a una energa mnima positiva, valor que para ser calculado necesita

de temas superiores a los de este curso.

3. Una estructura de almacenamiento de agua de forma cilndrica, debe almacenar

10000 litros de agua como volumen mximo de almacenamiento. Si el radio debe

ser la tercera parte de la altura, y adems como factor de seguridad se debe

aumentar en un 5% la altura. Cules son las dimensiones apropiadas para estas

condiciones?

Tema: Almacenamiento de aguas

Objetivo: Encontrar funciones que definan la geometra de un tanque para cierta cantidad

de agua con algunos parmetros o condiciones.

Solucin

Sabemos que 1000 litros son un , por lo tanto el volumen del almacenamiento es de 10 El rea de la base: Es decir, la altura al ser tres veces el radio, ser de 3.06 m

Aplicando el factor de seguridad,

Algebra lineal

Tema: Estructuras

Objetivo: Utilizar elementos del algebra lineal como las matrices y las ecuaciones de

vectores y de planos, para solucionar problemas tpicos de estructuras.

1. Una gra usada en una construccin, tiene el siguiente sistema de cargas:

Como se puede ver en el diagrama, la grua tiene una carga puntual en uno de sus

extremos. Si la longitud de extremo a extremo es de 40 m, y el peso propio de la grua es

de 0,5 KN/m; Cul debe ser la posicin para poner el soporte de la grua y que el sistema

se mantenga en equilibrio?, cual seria el valor de la carga puntual si se ha decidido que

esta debe ser definida como la distancia del punto de aplicacin al punto de apoyo

multiplicada por 5 veces el peso especifico del concreto (24KN/m3)?

Solucin

40 -x x

F

Como el sistema debe mantenerse en equilibrio, la sumatoria de momentos debe ser

igual a 0.

Ademas, se debe cumplir la siguiente ecuacin, ya que la masa de concreto que se

pondria para representar la fuerza F debe cumplirla: Sumatoria de momentos respecto al apoyo

Despejando tenemos que, Sustituyendo la ecuacin que define la fuerza en la ecuacin anterior,

Al solucionar la ecuacin tenemos dos respuestas, 41,91 y 38,26; de estas dos escojemos

38.26 metros ya que es la respuesta logica para las distancias. Es decir, la distancia del

apoyo al punto de aplicacin de la fuerza es de 40 38.26; es decir, 1.74 m. La fuerza que se debe aplicar es de (40-38.26)*5*24, es decir, 209,32 KN

2. La cubierta de una estructura tiene forma de cuadrilatero, de diicha estructura

conocemos las coordenadas de los extremos de dos de los lados del cuadrilatero.

Uno empieza en el punto (0, 0, 40) y termina en el punto (1,13,42). El otro empieza

en el punto (0,0,40) y termina en el punto (14,2,45). Encuentre la ecuacin de el

plano que contiene la cubierta.

Solucin

Encontramos los vectores de direccin,

U= (1,13,42)-(0,0,40)=(1,13,2)

V=(14,2,45)-(0,0,40)=(14,2,5)

Entonces:

X=a+14b

Y=13a+2b

Z=40+2a+5b

Lo anterior, es la ecuacin parametrica del plano.

3. Un elemento de una cercha es descrito por un vector de direccin de (3,4) metros

respecto a un punto de referencia (0,0). Cual debe ser el vector que describa el

elemento perpendicular del doble de longitud que el anterior.

Solucin

Como el vector de direccin es (3,4), su norma describe la longitud del elemento | | Es decir, la longitud del nuevo elemento debe ser de 10.

Como es perpendicular, se cumplira que Es decir, Ademas se debe cumplir que la norma del vector sea de 10 m, es decir, Despejando x de la primer ecuacin

Lo sustituimos en la ecuacin de la norma y tenemos que,

( ) Si y=-6,

Si y=6,

Es decir, existen dos posibilidades de vectores que cumplan estas condiciones,

(12,-6) o (-12,6)

4. Una viga de 4 metros de longitud es soportada por dos apoyos en cada uno de sus

extremos. Si la viga soporta en la mitad o centro de luz, una carga puntual de 10

KN y el peso propio de la viga es de 3KN/m. Encuentre las reacciones en los

extremos.

Solucin

Por equilibrio de fuerzas

Por equilibrio de momentos, tenemos que Es decir,

Como tenemos un sistema de ecuaciones, lo expresamos en una matriz

( ) ( ) ( ) ( ) Es decir, las reacciones son de 11 KN

5. Una viga de 6 metros de longitud es soportada por dos apoyos, uno en el centro

de la viga y el otro en el extremo derecho. Si la viga soporta en el extremo

izquierdo, una carga puntual de 5 KN y el peso propio de la viga es de 4KN/m.

Encuentre las reacciones en los extremos.

Solucin

Llamaremos al apoyo izquierdo A y al derecho B

Por equilibrio de fuerzas

Por equilibrio de momentos, tenemos que

Es decir, Como tenemos un sistema de ecuaciones, lo expresamos en una matriz

( )

Cuarto mes

Calculo diferencial

Ingeniera Estructural Objetivos: En los tres primeros problemas el objetivo es utilizar conceptos

bsicos de trigonometra en la resolucin de problemas de ingeniera estructural. En el ltimo problema el objetivo es hacer notar al estudiante como pueden los materiales utilizados en una construccin variar por motivos climatolgicos como la temperatura.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: La trigonometra como disciplina matemtica fue utilizada en un principio por los griegos como til en sus clculos aplicados a la astronoma, pero fue Nasir al-din al-tusi quien le dio un espaldarazo convirtindola en una disciplina matemtica. til en casi todos los campos que requieren en algn momento de medicin de ngulos como las ingenieras, fsica, matemtica, etc.

Primer problema

Segundo problema

Tercer problema

Cuarto problema

Matemticas bsicas

1. En el trazado de una carretera, se desea realizar mejoras al diseo, razn por la cual es

necesario conocer las coordenadas del PI. Por la dificultad de encontrar esta coordenada

con herramientas de topografa, debido a que la carretera est en funcionamiento, se

desea conocer esta coordenada a partir de dos puntos cuatro puntos conocidos as:

Las coordenadas de los puntos conocidos son las siguientes:

Punto Norte Este

P1 86500 29400

P2 86600 28000

P3 87900 28100

P4 88200 28900

Tema: Diseo Geomtrico de vas

Solucin

Podemos interpretar el problema como la interseccin entre dos rectas. Para ello hallaremos la

ecuacin de ambas rectas, la que se encuentra antes y despus de la curva.

Pendiente p1-p2

Pendiente p3-p4

Interseccin con el eje Y (Norte-Sur) recta 1-2

Interseccin con el eje Y (Norte-Sur) recta 3-4

Luego las ecuaciones de la recta son:

Recta 1-2:

Recta 3-4:

Igualando las ecuaciones:

Despejamos x, Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la 1-2,

Luego las coordenadas del PI serian,

Norte: 86802

Este: 25172

2. En un proyecto urbanstico en la ciudad de Girardot, en el cual inicialmente vivirn 7580

personas, se diseara un alcantarillado combinado. La normatividad colombiana exige que

para un proyecto de este nivel de complejidad, el diseo se realice por un periodo de

diseo de 15 aos. Si la tasa de crecimiento de Girardot es del 1.4%, cual es la poblacin

con que se debe disear?

Tema: Alcantarillados

Solucin:

Para un ao la poblacin crecer en un 1,5%; en dos aos crecer un 1,5% pero de la poblacin del

ao anterior, por lo tanto,

3. En un levantamiento topogrfico se han obtenido los siguientes puntos en coordenadas

relativas:

P1: N 340 E 451

P2: N 391 E 480

P3: N 400 E 700

P4: N 240 E 430

P5: N 340 E 451

Como se puede ver, el levantamiento muestra un cuadriltero cerrado. Encuentre el rea de dicho

cuadriltero.

Tema: Topografa

Solucin:

Para calcular el rea de este cuadriltero existen muchos mtodos de topografa ms sistemticos.

Un mtodo aplicando la geometra sera el siguiente:

Hallamos la distancia de una de las diagonales del cuadriltero, esto con el fin de hallar el rea

dividiendo en dos tringulos. Hallamos las distancias de los lados del cuadriltero de la misma manera anterior:

1 a 2 58.6685606m

2 a 3 220.184014m

3 a 4 313.847097m

4 a 1 102.181212m

Ahora consideraremos dos tringulos, el tringulo 1 2 3, y el tringulo 3 4 1. Aplicaremos la

frmula de Hern para saber el rea de cada triangulo:

Donde S es l semi permetro de cada triangulo, es decir la mitad del permetro,

Triangulo 1 2 3

Distancia (m) Semi permetro (S) S-L rea (m2)

a 1 a 2 58.66856058

267.4897481

208.821188

11821.6182 b 1 a 3 256.1269217 11.3628264

c 2 a 3 220.184014 220.184014

Tringulo 3 4 1

Distancia (m) Semi permetro (S) S-L rea (m2)

a 3 a 4 313.8470965

336.0776149

22.2305184

7812.52156 b 1 a 3 256.1269217 79.9506932

c 4 a 1 102.1812116 102.181212

El rea total es la suma de las reas de los dos tringulos, es decir, 4. En un ensayo de corte directo triaxial, se han obtenido los crculos de mohr para

diferentes estados de presin de cmara con los esfuerzos efectivos, los puntos mas altos

de estos crculos son lo siguientes:

Circulo uno:

d': 245.4 t: 113.5

Circulo 2:

d': 484.3 t: 210.7

Encuentre la cohesin y el ngulo de friccin del suelo.

Recuede ue e el eje hoizotal se ecueta el esfuezo oal efectivo d y e el vetical el esfuerzo cortante.

Tema: Mecnica de suelos

Solucin

Como sabemos, la ecuacin de coulomb con la correccin de Terzagui, afirma que: Podemos ver que esta ecuacin es simplemente la ecuacin de la recta, en la cual conocemos dos puntos.

Primero hallaremos la pendiente, es decir, Ahora hallaremos el corte con el eje vertical, es decir, c, Despejando , tenemos que, Bibliografa [1] REGLAMENTO TCNICO DEL SECTOR DE AGUA POTABLE Y SANEAMIENTO BASICO, RAS - 2000 [2] MANUAL DEL INGENIERO CIVIL, AUTOR: FREDERICK MERRIT. [3] BEER AND JOHNSTON. ESTATICA PARA INGENIEROS [4] VEN TE CHOW. HIDRAULICA DE CANALES ABIERTOS [5] SOTELO. HIDRAULICA BASICA

Documents

Ejercicios Ing. Civil - 2011-2-Libre