Instituto Politecnico Nacional

Escuela Superior de Fısica y Matematicas

Ejercicios para el primer parcial de Algebra III

E. 1 Diga cuales de las siguientes funciones definen productos internos en su respectivo espacio vectorial.

a) Sea V = Rn.

i) ((u1, . . . , un), (v1, . . . , vn)) =

n∑i=1

uivi ii) ((u1, . . . , un), (v1, . . . , vn)) =

n∑i=1

ui +

n∑i=1

vi

b) Sea V = Cn.

i) ((u1, . . . , un), (v1, . . . , vn)) =

n∑i=1

uivi ii) ((u1, . . . , un), (v1, . . . , vn)) =

n∑i=1

uivi

c) Sea V = {f : [a, b]→ R | f es continua}.

i) (f, g) =

∫ b

a

fg ii) (f, g) =

∫ b

a

(f + g)

d) Sea V = Mn[C].

i) (A,B) =∑j,k

ajkbkj ii) (A,B) = tr(AB∗)

.

e) Sea V = R2. ((u1, u2), (v1, v2)) = u1u2 + 2u1v2 + 2v1u2 + 5v1v2.

f) Sea V = R2.

((u1, u2), (v1, v2)) = (u1, u2)

(1 23 4

)(v1, v2)t.

g) Sea V = R2.

((u1, u2), (v1, v2)) = (u1, u2)

(1 22 4

)(v1, v2)t.

E. 2 Sean V y W R−espacios vectoriales, con T : V →W una transformacion lineal no singular. Si Wtiene un producto interno, dote de un producto interno a V .

E. 3 Sea V un R−espacio vectorial de dimension n, demuestre que V posee un producto interno(Sugerencia: use el problema anterior usando el isomorfismo natural de V a Rn). Generalice el resultadopara cualquier espacio vectorial de dimension finita.

E. 4 Sea V un espacio vectorial euclidiano, demuestre:

a) Para todo u, v ∈ V se tiene (u, v) = 12 ||u+ v||2 − 1

2 ||u||2 − 1

2 ||v||2.

b) Pruebe que si ||u|| = ||v||, entonces (u+ v) ⊥ (u− v).

c) Para todo u, v ∈ V se tiene (u, v) = 14 ||u+ v||2 − 1

4 ||u− v||2.

d) Pruebe que: ||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2 ||u||2 + 2 ||v||2.

e) Que se puede deducir de u y v si se sabe que ||u+ v|| = ||u− v||.

E. 5 Sea V es un C−espacio vectorial, pruebe que u ⊥ v si y solo si ‖αu+ βv‖2 = ‖αu‖2 + ‖βv‖2 paratodo α, β ∈ C.

1

E. 6 Sea K un campo. Si V = Kn esta dotado del producto interno canonico, muestre que la basecanonica de V es ortonormal.

E. 7 Usando la desigualdad de CBS muestre lo siguiente.

a) Para cualquier conjunto de numeros reales u1, u2, . . . , un se tiene:(n∑

i=1

ui

)2

≤ n

(n∑

i=1

u2i

).

b) Para cualquier conjunto de numeros reales a1, . . . , an, b1, . . . , bn se tiene(n∑

i=1

aibi

)2

≤

(n∑

i=1

a2i

)(n∑

i=1

b2i

).

c) Por ultimo encuentre una condicion necesaria y suficiente para que se de la igualdad. Usando loanterior realice el mismo ejercicio con la desigualdad del triangulo.

E. 8 Sea {v1, . . . , vn} una base ortonormal de un espacio euclidiano V, demuestre que para todo u ∈ Vse tiene:

||u||2 =

n∑i=1

|(u, vi)|2 (v, w) =

n∑i=1

(v, vi)(w, vi).

E. 9 Sea V1 = {f : [−1, 1] → R|f es continua} un R−espacio vectorial con el siguiente poducto

interno (f, g) =

∫ 1

−1fg. Justifique porque el conjunto S = {1, x, x2} es l.i. Luego usando el proceso de

ortogonalizacion de G-S encuentre un conjunto ortogonal S′ a partir de S, por ultimo normalice S′. Elconjunto de polinomios que obtendra se llaman los polinomios de Legendre.

E. 10 20%. Sea V2 = {f ∈ R[x] | deg(f) < 3} el R−espacio vectorial de polinomios con coeficientes

en R de grado menor que 3 dotado del producto interno (f, g) =

∫ 1

−1fg. Encuentre una base para el

siguiente subespacio {x+ 2}⊥.

E. 11 Si u, v ∈ R2 con el producto interno canonico, deduzca la siguiente formula cos θ = (u,v)‖u‖‖v‖ .

E. 12 Usando la formula anterior (la cual funciona para el caso general Rn) resuelva los siguiente. Lamolecula de metano CH4 esta arreglada de tal forma que los atomos de carbono estan en el centrode un tetraedro regular con cuatro hidrogenos en los vertices. Si los vertices son puestos en los puntos(0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1); encuentre el coseno del angulo entre los rayos que van desde el centrodel tetraedro a los vertices.

E. 13 En R4 sea W1 = {(x, y, z, w) | −x+ 2y − z + 5w = 0} y W2 = {(x, y, z, w) | x− yz = 0}, diga sison subespacios y en caso de ser ası encuentre una base ortonormal.

E. 14 Sea v ∈ Cn un vector no cero, demuestre que el conjunto {v}⊥ es un subespacio de dimensionn− 1.

E. 15 De un ejemplo de dos vectores ortogonales que no sean linealmente independientes y de dosvectores que sean linealmente independientes pero que no sean ortogonales.

E. 16 Muestre que un conjunto de vectores ortogonales no nulos es linealmente independiente.

E. 17 Considere el conjunto de vectores S = {(1,−1, 0, 2), (1, 1, 1, 0), (−1,−1, 2, 0)}. Diga si S es unconjunto ortogonal en R4. En caso afirmativo complete el conjunto S a una base ortogonal y luegoortonormal de R4.

2

E. 18 Aplique el porceso de Gram-Schmidt al conjunto S = {(i, i, i), (0, i, i), (0, 0, i)} ⊆ C3.

E. 19 Explique que pasa cuando se aplica el proceso de G-S a un conjunto de vectores ortonormales ya un conjunto linealmente dependiente.

E. 20 Encuentre el complemento ortogonal del plano generado por los vectores (1, 1, 2) y (1, 2, 3) en R3.

E. 21 Encuentre una matriz A ∈M3[R] cuyo espacio renglon contenga al vector (1, 2, 1), y cuyo espacionulo contenga al vector (1,−2, 1) o pruebe que dicha matriz no existe.

E. 22 Argumente sobre la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados, partiendo del hecho deque V,W y Z son subespacios de Rn. Si V es ortogonal a W , entonces V ⊥ es ortogonal a W⊥. Si V esortogonal a W y W es ortogonal con Z, entonces V es ortogonal a Z.

E. 23 Sean W1 y W2 subespacios de un espacio euclidiano V , demuestre:

a) W1 ⊆W2 ⇒ W⊥2 ⊆W⊥1 .

b) (W1 +W2)⊥ = W⊥1 ∩W⊥2

c) (W1 ∩W2)⊥ = W⊥1 +W⊥2

d) W⊥⊥

1 = W1

e) Sea S ⊆ V un subconjunto, entonces S⊥ es un subespacio.

E. 24 Sea W un subespacio de un espacio euclideano V . Si E es la proyeccion ortogonal de V sobre Wmuestre que para todo u, v ∈ V se tiene que (Eu, v) = (u,Ev) (Sugerencia: tome una base ortonormalde W y construya Eu y Ev).

E. 25 Sean W1 y W2 subespacios de un espacio euclideano V , y sean EW1y EW2

sus respectivasproyecciones ortogonales.

a) Pruebe que EW1EW2

= 0 si y solo si W1 ⊥W2.

b) ¿Es cierto que EW1EW2

= 0 si y solo si EW2EW1

= 0? ¿Por que?

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