Traba jo de Aplicación de Matemáticas

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE

Departamento de Ciencias Exactas

M.Sc. Hernán Aules

1. Matrices

1.1. Construir la matrices, que satisfagan con:

Sea A4x4; si aij = (i� 1)j :

Sea A5x5; si aij = sen(i+j�1)�

4

Sea A6x6; si:

aij =

�(�1)i+j(i+ j) si 6 � i+ j � 8;(�1)i+j(i+ j) caso contrario:

1.2. Dadas las siguientes matrices

A =

24 123

35B =24 102

35C =24 114

35D =

24 001

35Encuentre valores escalares a , b. Tal que: C = aA+ bB.

Demostrar que no existen valores escalares a, b . Tales que: D = aA+ bB.

aA+ bB + cD = 0. demuestre que a = b = c = 0.

Si aA+ bB + cC = 0. demuestre que no existen escalares que cumplen con la igualdad.

1.3. Resuelva los siguientes sistemas:

Encuentre una matriz X, tal que: i3A�12X = 1

iC

Encuentre matrices X;Y ;Z tales que:

a) i3X + Y � Z = A

b) X � Y = Bc) Y + Z = C

A =

24 2 �1 1�1 2 11 1 2

35B =24 �1 2 11 1 02 1 3

35C =24 1 1 2�1 1 �12 0 1

35

1

Deber

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1.4. Conociendo las matrices:

A =

�2 31 3

�B =

�1 12 �3

�Evaluar la función:f(x; y) = x3 � 2x2y + 3xy2 � 3y3

f(A;B) =?

f(2A+B;AB) =?

1.5. Halle todas las matrices conmutativas para la multiplicación B, cono-ciendo A:

A =

�1 + i i�i i

�

A =

24 1 1 �11 �1 1�1 1 1

35

1.6. Hallar una familia de matrices para A

A =

24 a 0 00 b c0 d e

35A sea Idempotente.

A sea Involutoria.

A sea nilpotente , para k = 2.

1.7. Hallar Ak

A =

�cos� � sin�sin� cos�

�

A =

24 8 4 4i4 2 2i4i 2i �2

35

A =

2664a b 0 00 a b 00 0 a b0 0 0 a

3775

1.8. Con la siguiente hipermatriz demostrar:

La matriz particionada es Simétrica.

Hallar Ak , usando la matriz particionada.

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Ak es simétrica?

Demostrar que existe condición par y condición impar para Ak

A =

266666642 �1 1 1 0 03 �2 0 1 0 01 1 2 �1 0 00 1 3 �2 0 00 0 0 0 2 �10 0 0 0 3 �2

37777775

1.9. Sea A una matriz tridiagonal, de dimensión 8x8, con valores de uno enlas diagonales, en las posiciones diferentes el valor cero demostrar queAk también es tridiagonal. Usando partición de matrices.

1.10. Sean A =�1 �12 �1

�B =

�3 �24 2

�comprobar si:A3 + B3 = (A + B)(A2 �

AB + B2). Si no comprueba la igualdad entonces hallar alguna matrizB, que compruebe la igualdad.

1.11. Sean A y B matrices que operan para la suma y la multiplicacion, y kvalor escalar natural. Demostrar que

Para que condiciones (A+B)k cumple con la formula del binomio.

(A+B)k = Ak +Bk si y solo si AB = BA = � .

Ak �Bk = (A�B)(Ak�1 +Ak�2B +Ak�3B2 +Ak�4B3 + :::+Bk�1), si y solo si AB = BA:

1.12. Dada la matriz A, encuentre una matriz simétrica y una matriz anti-simétrica, una hermítica y una antihermítica.

A =

24 2a� bi �4a+ 3bi 3a� 5bi�3a+ 3bi 3bi 2aa� bi 2bi �a+ bi

35

1.13. Comprobar si existe alguna matriz A de 2x2, tal que:

AtA = I:

AtA = 0:

AtA = AAt

1.14. CONSULTAR: Matriz Hermítica, No Hermítica, Matriz Traza, MatrizTridiagonal,Matriz Binomial con sus respectivas propiedades

Sean A y B matrices cuadradas, a y b valores escalares. Comprobar: Trz(aA + bB) = aTrz(A) +bTrz(B).

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Sea A una matriz antisimétrica. Comprobar que la Traza de A es igual a cero.

Sea C una matriz compleja. Comprobar que la Traza de C+C es un número real.

1.15. Sabiendo que A es una matriz simétrica, comprobar que la expresiónA3 � 2A2 + 3A� I,también es simétrica.

1.16. Sean A matriz antisimétrica, comprobar que A2k es simétrica y A2k+1esantisimétrica

1.17. Sean A y B matrices simétricas, comprobar que A:B también es simétri-ca

1.18. Sean C es matriz compleja, comprobar que C+C = CC+ y además eshermítica

1.19. Sean A1; A2; A3; A4; :::; Ak, matrices del orden mn, Demostrar que:

(A1 +A2 +A3 +A4 + :::+Ak)t = At1 +A

t2 +A

t3 +A

t4 + :::+A

tk.

(A1:A2:A3:::Ak�1:Ak)t = Atk:A

tk�1:A

tk�2:::A

t2:A

t1

1.20. Sea A una matriz cuadrada compruebe que 3A2�2A�I = (3A+I)(A�I)

1.21. Sea A una matriz idempotente, demostrar que (A+ I)k = I + (2k � 1)A

1.22. Sea A una matriz que satisface la expresión A2 � A + I = � demostrarque cumple con A3k�A3k�1+A3k�2 = � para cualquier k elemento de losnaturales.

1.23. Sean A;B;C matrices cuadradas tales que C es nilpotente cuando k = 2,B y C son conmutativas para la multiplicación y A = B+C. Demostrarque para todo k escalar natural, se cumple con: Ak+1 = Bk [B + (n+ 1)C]

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