EJERCICIOS PROPUESTOS: GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

1. Demostrar que cos2α+cos2β+cos2 γ=1 y determinar los cosenos directores

del vector Q⃗=2 i⃗−2 j⃗+ k⃗

2. Un ave va volando en línea recta con vector velocidad 10 i⃗+6 j⃗+k⃗ ( kmh

).

Suponer que (x,y) son sus coordenadas en tierra y que z es su altura.a) Si en cierto momento el ave está en la posición (1,2,3), Dónde estará

una hora después?. Y un minuto después?b) Cuántos segundos tarda el ave en subir 10 metros?

Un fluido fluye a través de una superficie plana con vector de velocidad uniforme v. Sea n una normal unitaria a la superficie del plano. Mostrar que v.n es el volumen que pasa por unidad de área del plano en una unidad de tiempo.

3. En la figura mostrada, hallar el trabajo que realiza la fuerza

F⃗=3 i⃗−2 j⃗+4 k⃗ al desplazar una carga puntual a lo largo de la trayectoria

del vector r⃗=2 i⃗− j⃗−k⃗

4. Demostrar ∇ .( r⃗

r3 )=05. Siendo A⃗=x2 y i⃗−2xz j⃗+2 yz k⃗, hallar ∇×(∇× A)

6. Hallar ∇ . ( A×r ) sabiendo que ∇× A=0

7. Siendo v⃗=ω⃗× r⃗, demostrar queω⃗=12rot v⃗

8. Hallar ∇|r|3

9. Siendo ∇ . E⃗=0, ∇ . H⃗=0, ∇× E⃗=−∂ H∂t

, ∇× H⃗=∂ E⃗∂ t

, demostrar que E⃗ y H⃗

satisfacen ∇2u=∂2u∂ t2

10.Un vector v se llama irrotacional si rot v⃗=0, (a) Hallar las constantes a, b,

c de forma que v⃗=( x+2 y+az ) i⃗+(bx−3 y− z) j⃗+(4 x+cy+2 z ) k⃗ , sea

irrotacional. (b) Si v⃗ es un campo vectorial conservativo determinar la función potencial.

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11.Siendo R (t )=(t−t 2 ) i⃗+2 t3 j⃗−3 k⃗, hallar (a)∫R (t ) dt y (b)∫1

2

R ( t ) dt.

12.La aceleración de una partícula en función del tiempo t ≥0 viene dada por:

a⃗=d v⃗dt

=12cos 2t i⃗−8 sen2 t j⃗+16 t k⃗

Sabiendo que la velocidad y el desplazamiento son nulos en t=0, hallar en función del tiempo la ley de las velocidades y espacios.

13.Hallar ∫ A⃗ xd2 A⃗d t 2

dt

14.Siendo A⃗=2 yz i⃗−x2 j⃗+x z2 k⃗, B⃗=x2 i⃗+ yz j⃗−xy k⃗ y ∅=2 x2 y z3, hallar:

(a)( A⃗ .∇ )∅ , (b) A⃗ .∇∅ , (c)( A⃗×∇) A⃗, (d)( A⃗×∇)∅ , (e) A⃗×∇∅

15.Hallar el Laplaciano de φ ( x , y , z )=e x2− y2 sen (xyz )

16.L a altura de una montaña está dada por:

z (x , y )= 200

x2+3 x2 y2+2 y2+1m

Donde el eje y señala hacia el norte y el eje x hacia el este. Un esquiador se encuentra, con una brújula en la mano, cerca de la punta de la colina (x=y=-0.01). Las direcciones norte, este, sur y oeste se indican como 0°, 90°, 180°, 270°, respectivamente. Un explorador pretende bajar en aquella dirección donde la pendiente de la colina está más inclinada. Determine la dirección de la brújula (en grados) donde la persona debe comenzar su descenso.

17.Determinar la divergencia de la fuerza de interacción eléctrica producido

por un solo punto de la fuente considerar:F⃗=Kq1q2r⃗2

u⃗r

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18.Encuentre la divergencia del campo vectorial

F⃗=( x+ y )2 i⃗+( x− y )2 j⃗+2 xyz k⃗19.La distribución de la temperatura en una placa de cobre, viene dada por

la función: T ( x , y )= 70

1+x2+3 y2+2 z2, donde T está medida en grados

centígrados y x,y,z en metros. En qué dirección aumenta ás rápido la temperatura respecto al punto (1, 3,2)?. Cuál es la máxima tasa de crecimiento?

20.Determinar la constante a de forma que el vector

v⃗=( x+3 y ) i⃗+( y−2 z ) j⃗+( x+az ) k⃗ sea solenoidal (un vector es solenoidal si

su divergencia es 0)

21.Hallar el ángulo agudo formado por las superficies x y2 z=3 x+z2 y

3 x2− y2+2 z=1 en el punto (1, -2, 1).22.Expresar la velocidad y la aceleración en coordenadas cilíndricas.

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