Instituto Politecnico Nacional

Escuela Superior de Fısica y Matematicas

Ejercicios para el segundo examen de Algebra III

E 1 Diga cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas, justificando con una demostracion o uncontraejemplo.

a) Los eigenvalores de una matriz triangular son las entradas de la diagonal.

b) Cualquier combinacion lineal de eigenvectores asociados al eigenvalor λ de la matriz A es uneigenvector asociado a λ.

c) Un eigenvector puede estar asociado a dos eigenvalores distintos con respecto a la misma matriz.

d) Si A es una matriz cuadrada, A y At tienen el mismo polinomio caracterıstico y los mismos eigen-valores.

e) Si A es una matriz tal que todos sus eigenvalores son distintos (todos tienen multiplicidad 1 en elpolinomio caracterıstico), entonces la matriz es diagonalizable.

f) Si A es una matriz diagonalizable, entonces todos sus eigenvalores son distintos.

g) Matrices similares tienen los mismos eigenvectores.

h) Si z ∈ C es un eigenvalor de la matriz A ∈Mn[R], entonces z es tambien un eigenvalor de A.

i) Una proyecion es diagonalizable.

j) Si un operador T tiene como eigenvalor al 0, entonces T es singular.

E 2 Diga si las siguientes son o no diagonalizables, en caso de serlo encuentre la matriz P tal queP−1AiP es una matriz diagonal

A1 =

(7 −45 −2

)A2 =

−3 1 −320 3 102 −2 4

A3 =

2 16 84 14 8−8 −32 −18

A4 =

3 −2 50 1 40 −1 5

.

A5 =

0 6 3−1 5 1−1 2 4

A6 =

1 1 11 1 11 1 1

.

E 3 Usando la definicion de eigenvector determine cual de los siguientes vectores v1 =

−1101

, v2 =

10−10

, v3 =

−1022

, v4 =

01−30

son eigenvectores de la siguiente matriz

−9 −6 −2 −4−8 −6 −3 −120 15 8 532 21 7 12

.

E 4 Sea A ∈M2×2[R], tal que A es simetrica: A = At. Demuestre que A es similar sobre R a una matrizdiagonal.

1

E 5 Muestre que si z ∈ C es un eigenvalor de la matriz A ∈Mn[R], entonces z es tambien un eigenvalorde A.

E 6 Encuentre el tercer renglon de la siguiente matriz si sabemos que el polinomio caracteristico esx3 − 4x2 − 5x− 6

A =

0 1 00 0 1∗ ∗ ∗

.

E 7 Encuentre los valores de a ∈ R para los que la siguiente matriz A es diagonalizable

A =

1 −2 −2− a0 1 a0 0 1

E 8 Si a y b son numeros reales. ¿Como deben ser a y b para que la siguiente matriz sea diagonalizable?

A =

0 0 10 a 0b 0 0

E 9 Sin usar polinomio mınimo o forma canonica de Jordan demuestre que todas las matrices M2[C]solo pueden ser similares o a una matriz diagonal o a una matriz triangular inferior con un 1 en la entrada(2, 1).

E 10 Sea T un operador lineal en V . Si todo subespacio de V es invaritante bajo T , demuestre que Tes un multiplo escalar de la identidad.

E 11 Sea Ti el operador lineal en R3 representado por la siguiente matriz

[T1] =

3 1 −12 2 −12 2 0

[T2] =

3 2 10 2 0−2 −3 0

encuentre las bases de los subespacios que resultan de aplicar el Teorema de Descomposicion primaria,despues diga ¿Que se concluye acerca del operador Ti y de los subespacios de acuerdo a dicho Teorema?

E 12

a) Si v es un eigenvector de la matriz no singular A asociado al eigenvalor c, entonces demuestre quev es un eigenvector de la matriz A−1 con respecto al eigenvalor c−1.

b) Si c no es eigenvalor de la matriz A, pruebe que v 6= 0 es eigenvector asociado a la matriz A si ysolo si v es un eigenvector de la matriz (A− cI)−1.

E 13 Si B = P−1AP , demuestre que Bk = P−1AkP .

E 14 Calcule el siguiente lımite:

lımn→∞

(7/5 1/5−1 1/2

)n

.

E 15 Demuestre que el operador (I + E) es invertible donde E es una proyeccion y ademas encontrar(I + E)−1.

E 16 Encuentre una proyeccion E que proyectara a R2 sobre el espacio generado por el vector (−1, 1)y que anule al vector (−1, 2).

2

E 17 Muestre que una proyecion es diagonalizable.

E 18 Sea E una proyeccion y f un polinomio cualquiera, entonces f(E) = aI + bE; diga quienes son ay b en terminos de los coeficientes de f .

E 19 Si T1 y T2 son operadores diagonalizables en un espacio vectorial de dimension finita, entonces T1y T2 tienen los mismos eigenvectores si y solo si conmutan.

E 20 Sea T un operador lineal sobre un C−espacio vectorial de dimension finita V, sea W un subespacioinvariante de V bajo T y TW el operador restriccion de T a W . Demuestre que:

a) El polinomio mınimo de TW divide al polinomio mınimo de T .

b) T es diagonalizable si y solo si T es anulado por algun polinomio con coeficientes en los complejostal que todas sus raices son distintas.

E 21 La traza de una matriz A ∈ Mn[R] se define como Tr(A) =∑ajj . Muestre que la traza de dos

matrices similares es la misma.

E 22 Si λ1, λ2, . . . , λn son los eigenvalores (tomando en cuenta multiplicidad) de una matriz A ∈Mn[C].Muestre que Tr(A) = λ1 + λ2 + . . .+ λn y que det(A) = λ1λ2 · · ·λn. Verifique lo anterior en las matricesdel ejercicio 2.

E 23 Una matriz A ∈ Mn[R] se dice nilpotente si existe k ∈ N tal que Ak = 0. ¿Cuales son loseigenvalores de una matriz nilpotente? y ¿Cual es su traza?

E 24 Si T es un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimension finita V , tal que Rank T = 1;entonces pruebe que o T es diagonalizable o T es nilpotente.

E 25 Si A es una matriz n × n sobre el campo de los reales distinta de la identidad, tal que A5 = In.Diga si A es idagonalizable o no y desmuestre su afirmacion.

E 26 Si un operador T diagonalizable tiene solamente como eigenvalores a 0 y 1, entonces ¿T es diago-nalizable?

E 27 Muestre que la matriz A ∈Mn[C] y la matriz A− In nunca pueden ser similares.

E 28 Encuentre una matriz que sea diagonalizable y no sea invertible, y una matriz invertible que nosea diagonalizable.

E 29 Si un operador T tiene como eigenvalor al 0, entonces T es singular.

E 30 Sea An = (aij) ∈ Mn[R] dada de la siguiente forma, ajj = n y aij = 1 cuando i 6= j. Con ayudadel problema anterior muestre que A es no singular.

E 31 Sea An = (aij) ∈ Mn[R] dada de la siguiente forma, ajj = 1 − (n−1n )l y aij = l

n cuando i 6= j.Encuentre el determinante y los eigenvalores de la matriz A.

E 32 Sea V = Mn×n[K] y definimos los siguientes subespacios.- W1 = {A ∈ V | At = A} yW2 = {A ∈ V | At = −A}. Demuestre que V = W1 ⊕W2.

E 33 a) Sea B ∈ M6×6[C] con polinomio caracterıstico: f(x) = (x + 2)4(x2 + x + 1), describa lasdisitintas formas canonicas de Jordan que puede tener la matriz B y en cada caso determine elpolinomio mınimo ası como la dimension del espacio asociado a cada eigenvalor.

a) Encuentre la traza de la matriz M1, si se sabe que su polinomio caracterıstico es:

g(x) = (x− 5)2(x+ 8)6.

3

b) Si M2 tiene la siguiente forma de Jordan:

2 0 0 0 0 0 01 2 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 00 0 1 −1 0 0 00 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 1 −1 00 0 0 0 0 0 10

encuentre su polinomio caracterıstico y su polinomio mınimo.

E 34 a) Sea B ∈ M5×5[C] con polinomio caracterıstico: f(x) = (x − 1)4(x2 − x + 1), describa lasdisitintas formas canonicas de Jordan que puede tener la matriz B y en cada caso determine elpolinomio mınimo ası como la dimension del espacio asociado a cada eigenvalor.

b) Sea A una matriz tal que su polinomio caracterıstico es f(x) = (x − 5)3(x + 4)4 y se sabe quedimW5 = 3 y que dimW−4 = 1. Encuentre su forma canonica de Jordan.

c) Si M2 tiene la siguiente forma de Jordan:

5 0 0 0 0 0 01 5 0 0 0 0 00 0 −3 0 0 0 00 0 1 −3 0 0 00 0 0 0 −3 0 00 0 0 0 1 −3 00 0 0 0 0 0 4

encuentre su polinomio caracterıstico y su polinomio mınimo.

E 35 Encuentre la Forma Canonica de Jordan de la siguiente matriz si se sabe que 0, 1 y −1 son suseigenvalores

−4 −5 −3 1 −2 0 1 −24 7 3 −1 3 0 −1 20 −1 0 0 0 0 0 0−1 1 2 −4 2 0 −3 1−8 −14 −5 1 −6 0 1 −4

4 7 4 −3 3 −1 −3 42 −2 −2 5 −3 0 4 −16 7 3 0 2 0 0 3

.

4