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TEMA 7. VECTORES.GEOMETRA ANALTICA.
1.- Halla el vector b
tal que1
3
2
c a b
, siendo ( 1, 3)a
y (7, 2)c
.
2.- Expresa el vector (1,5)a
como combinacin lineal de los vectores (3, 2)b
y
14,
2c
.
3.- Cules de los siguientes pares de vectores forman una
base?
a)
(3, 1), ( 3,1)u v
b)
2(2,6), , 2
3u v
c) (5, 4), (5, 4)u v
4.- Sea u
un representante del vector libre AB
:
a) Halla las coordenadas de u
, sabiendo que (5, 3)A y (3,4)B .
b) Halla las coordenadas del punto Bsabiendo que ( 3,1)A y
(5,4)u
.
c) Halla las coordenadas del punto Asabiendo que ( 1,7)B y
(3,4)u
.
5.- Dado el romboide de vrtices (1,1), (7,1), (5,3) y ( 1,3)A B
C D , demuestra vecto-
rialmente que el cuadriltero que se obtiene al unir los puntos
medios de cada lado
es un paralelogramo.
6.- Dados los puntos ( 3,5), (4,6), ( 1,9) y (8,6)A B C D :
a) Halla el mdulo, el argumento y las coordenadas de los
vectores yAB CD
.
b) Calcula las coordenadas de dos vectores unitarios de la misma
direccin y senti-
do que yAB CD
.
c) Calcula las coordenadas de un vector de mdulo 2 en la
direccin de BC
y en
sentido opuesto.
7.- Dados los vectores de la figura:
a) Determina las coordenadas de yu v
respecto de la
base cannica.
b) Halla , ,u v u v
.
c) Halla u v
.
d)
Halla la proyeccin de u
sobre v
.e) Calcula el ngulo que forman yu v
.
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f) Encuentra un vector unitario en la direccin y el sentido del
vector u
.
g)
Halla un vector ortogonal a u
de mdulo 1.
8.- Prueba, con ayuda del producto escalar, el teorema del
coseno.
9.- Puede ser el mdulo del vector suma de dos vectores de mdulo
10 y 5, respecti-
vamente, mayor que 15? Y menor que 4?
10.- Sean yu v
dos vectores tales que 2 2( ) 25 y ( ) 9u v u v
. Calcula el producto
escalar u v
.
11.- Dos vectores y
a b
son tales que 10, 10 3 y 20a b a b
. Halla el ngulo
que forman ya b
.
12.- Sean A, B, Cy D cuatro puntos arbitrarios del plano.
Demuestra que se verifica
siempre:
0AB CD AC DB AD BC
13.- Sea AB un segmento de longitud my M su punto medio. Si P es
un punto cual-
quiera del plano y des su distancia a M, demuestra que se
cumple:
2
2
2mPA PB d
14.- Demuestra vectorialmente que el ngulo inscrito en una
semicircunferencia es rec-
to.
15.- Demuestra vectorialmente que las tres alturas de un
tringulo concurren en un pun-
to.
16.- Calcula la ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas
de cada una de las si-
guientes rectas:
a) La recta que pasa por el punto ( 3,1)P y lleva la direccin
del vector
( 1, 2)u
.
b) La recta que pasa por los puntos (2, 3)A y (1, 4)B .
c) La recta que tiene como vector director ( 3,3)u
y corta a la parte positiva del
eje de abscisas en un punto que dista 3 unidades del origen de
coordenadas.
d) La recta que tiene como vector director (2, 5)u
y corta a la parte negativa del
eje de abscisas en un punto que dista 2 unidades del origen de
coordenadas.
e) La recta que tiene como vector director (3,7)u
y corta al eje de ordenadas en
un punto que dista 2 unidades negativas del origen de
coordenadas.
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17.- Calcula la ecuacin continua y la ecuacin general de cada
una de las siguientes
rectas:
a) Pasa por el punto ( 3, 4)A y tiene la direccin del vector (1,
2)u
.
b)
Pasa por los puntos (2, 5)P y (5,1)Q .
c)
Pasa por el origen de coordenadas y por el punto ( 3,4)B .
d)
Pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del
segmento de extre-
mos (1, 3)M y (5,2)N .
18.- Halla las ecuaciones paramtricas de las rectas:
a) 2 3r y x c)1 3
1 02 4
t x y
b) 4 3 6 0s x y d) La recta que pasa por (0,0)O y tiene
pendiente 2m .
19.- Halla la ecuacin general y la ecuacin normal cannica de la
recta que tiene a
(2,4)n
como vector normal y pasa por el punto medio del segmento AB
siendo
(0, 2)A y ( 3, 0)B .
20.- Calcula la ecuacin vectorial, las ecuaciones paramtricas,
la ecuacin general y la
ecuacin explcita de la recta ren los siguientes casos:
a)
Pasa por el punto ( 3, 6)P y es paralela a la recta de ecuacin 2
3 5 0x y .
b) Corta a los ejes coordenados en los puntos (0, 3)P y ( 1, 0)Q
.
21.- Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de
rectas:
a)31 2
: :1
12
t
xxr s
y ty
d)1 1 7
: 7 : 02 2 2
r x y s x y
b) : 3 2 7 : 2 3 8r x y s x y e)1
: : 4 8 02 2
xr s x y
y
c)2 1
: 2 5 0 : 5 03 3
r x y s x y f) : 2 3 :2
xr y x s y
22.- En cada caso, calcula el valor del parmetro kpara que las
rectas tengan la posicin
relativa indicada:
a) : 1 0; : 4 3 0r x ky s kx y , paralelas.
b) : 2 4 0; : 3 4 0r kx y k s x y , coincidentes.
c) : 2 5 1 0; : 3 2 0r kx y s x ky , paralelas.
23.- Calcula la ecuacin del haz determinado por las rectas
secantes : 2 3r y x y
: 3 5s y x y halla la recta de este haz que pasa por el punto (
2,2)P .
24.- Dado el tringulo de vrtices (1,3), ( 1,2) y (0, 3)A B C
:
a) Calcula las coordenadas del baricentro.
b)
Calcula las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del
ortocentro.c) Calcula las ecuaciones de dos mediatrices y las
coordenadas del circuncentro.
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d) Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al
tringulo.
e)
Calcula la ecuacin de la recta de Euler y comprueba que el
baricentro, el orto-
centro y el circuncentro estn alineados.
25.- Dado el cuadriltero de vrtices5
(1,1), (5,2), (3,3) y 1,
2
A B C D
:
a) Demuestra que es un trapecio.
b)
Calcula el punto donde se calculan las diagonales.
c) Comprueba que la recta que une los puntos medios de los dos
lados no paralelos
es paralela a las bases del trapecio.
26.- Halla el punto de la recta : 2 1 0r x y
que equidista de los puntos (2, 2)A y
( 2, 4)B
.
27.- Calcula el rea del tringulo de vrtices los puntos de corte
de las rectas:
: 3 14r x y
: 3 5 14s x y
: 2 7t x y
28.- Los vrtices opuestos de un cuadrado son los puntos (0,3)A y
(4,0)C . Cules son
las coordenadas de los otros dos vrtices? Cul es el rea del
cuadrado?
29.- En el paralelogramo de vrtices ABCD se conocen las
coordenadas de los puntos
(0,3)A , (1,0)B y (6,1)C . Calcula la medida de sus diagonales y
el ngulo que
forman.
30.- Calcula las rectas que pasan por el punto (1,2)P y que
determinan con los ejes
coordenados un tringulo de rea 4,5 unidades cuadradas.
