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Tallersemana2(01.02.16-05.02.16)Ecuaciones
diferenciales
NRC:3621,3623(R
P)-3622
(CD)-3624,3625(B
B)-3626
(EA)
Barranquilla, February 2, 2016
Universidad del Norte
Division de ciencias basicas
Departamento de matematicas y estadisticas
Ecuaciones diferenciales - Taller 02
Ejercicios
Ejemplo 1
Determine la region del plano t− x donde el teorema de existencia y unicidad garantiza laexistencia de una unica solucion para el problema de valor inicial dado.
x′ = ln(t+ x2)
x(t0) = x0
Solucion
A partir de la ecuacion diferencial, tenemos que
f(t, x) = ln(t + x2) y∂f
∂x=
2x
t+ x2
por lo tanto,
A := Dom f = {(t, x) ∈ R2 | t+ x2 > 0} y B := Dom
∂f
∂x= {(t, x) ∈ R
2 | t+ x2 6= 0}
El conjunto D donde ambas funciones f(t, x) y ∂f∂x(t, x) son continuas esta dado por la inter-
seccion de los conjuntos A y B, donde
D = A ∩B = {(t, x) ∈ R2 | t+ x2 > 0}
asi, para (t0, x0) ∈ D = {(t, x) ∈ R2 | t + x2 > 0} el TEU garantiza existencia y unicidad de
la solucion del PVI.
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3−4−5−6
(t0, x0)bc
NRC: 3621,3623 (RP) - 3622 (CD) - 3624,3625 (BB) - 3626 (EA)Prof. Catalina Domınguez - Prof. Ricardo Prato T.
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Ejemplo 2
Determine si el teorema de existencia y unicidad garantiza o no la existencia de una unicasolucion para el problema de valor inicial dado.
u′ =(u− t)1/2
t1/2
u(x0) = y0
si
1. (x0, y0) = P (2, 1) 2. (x0, y0) = Q(1, 2) 3. (x0, y0) = R(1, 1)
Solucion
Tenemos que
f(t, u) =(u− t)1/2
t1/2y
∂f
∂u=
1
2 t1/2√u− t
asi
Dom f = {(t, u) ∈ R2 : t > 0 y u ≥ t} Dom
∂f
∂u= {(t, u) ∈ R
2 : t > 0 y u > t}
asi, para (t0, u0) ∈ D = {(t, u) ∈ R2 : t > 0 y u > t} el TEU garantiza existencia y unicidad
de la solucion del PVI
La figura de la derecha muestra la region dondetanto f como ∂f
∂uson continuas, y se observa que:
i.) Los puntos P (2, 1) y R(1, 1) no se encuentrandentro de dicha region, por lo que el TEU no
garantiza la existencia y unicidad de
solucion del PVI.
ii.) el punto Q(1, 2) se encuentra dentro de dicharegion, por lo que el TEU afirma que el PVI
tiene solucion unica.
t > u
u > tu = t
bc
Pbc
R
bcQ
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Ejemplo 3
Resolver el siguiente PVI
ex−y√x3 +
1− 2y√x
e−y2 dy
dx= 0, y(0) = 1
Solucion
Tenemos
dy
dx= − ex−y
√x3
1 − 2y√x
e−y2= −exe−y
√x3√x
(1− 2y) e−y2= − exe−y
√x4
(1− 2y) e−y2= − ex x2 e−y
(1− 2y) e−y2
= − ex x2
(1 − 2y) e−y2ey= − ex x2
(1− 2y) e−y2+y.
Observe que la anterior ecuacion es de variables separables, entonces
∫
(1− 2y) e−y2+ydy =
∫
ex x2 dx+ C
Usando la sustitucion u = −y2 + y, la primera integral es
∫
(1− 2y) e−y2+ydy =
∫
eudy = eu = e−y2+y
y la segunda integral se resuelve usando integracion por partes
∫
ex x2 dx = x2ex −∫
2xexdx = x2ex −(
2xex −∫
2exdx)
= x2ex −(
2xex − 2ex)
= ex(x2 − 2x+ 2)
por lo tanto la solucion general de la ecuacion diferencial es
e−y2+y = −ex(x2 − 2x+ 2) + C
Ahora encontremos el valor de C para determinar la solucion del PVI. En x = 0 tenemosy = 1, asi
e0 = −e0 · 2 + C ⇒ C = 3
entonces la solucion al PVI es
e−y2+y = −ex(x2 − 2x+ 2) + 3
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Ejemplo 4
Aplicando separacion de variables resuelva la EDO
sin(x+ y) dx+ sin y(csc x dy − cos x dx) = 0
Solucion
Recuerde: sin(α± β) := sin (α) cos (β)± cos (α) sin (β)
Aplicando la identidad de seno de una suma y multiplicando obtenemos
sin(x+ y) dx+ sin y(csc x dy − cosx dx) = 0
(sin x cos y + cosx sin y) dx+ sin y csc x dy − sin y cosx dx = 0
sin x cos y dx+ cosx sin y dx+ sin y csc x dy − sin y cosx dx = 0
sin x cos y dx+ sin y csc x dy = 0
Utilizando separacion de variables
sin x cos y dx = − sin y csc x dy
sin x
csc xdx = − sin y
cos ydy
sin2 x dx = − tan y dy∫
sin2 x dx = −∫
tan y dy + C
−1
2sin x cos x+
1
2x = ln (cos y) + C
La solucion en forma implicita toma la forma
ln (cos y) +1
2sin x cosx− 1
2x+ C = 0
o en forma explicita
y = arccos
(
exp
(
−1
2sin x cos x+
1
2x+ C
))
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Ejemplo 5
Considere el siguiente PVI
dx
dy= x2 + x3 − 6 x
x(y0) = x0
(a) Determine una familia de soluciones para la EDO.
(b) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (3, 2).
(c) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (1, 1).
(d) Realice un bosquejo de las soluciones anteriores.
Solucion
(a) La EDOdx
dy= x2 + x3 − 6 x
es autonoma y por tanto se puede resolver aplicando el metodo de separacion de variables,es decir se tiene
dx
dy= x2 + x3 − 6 x
1
x2 + x3 − 6 x
dx
dy= 1
∫
dx
x2 + x3 − 6 x=
∫
dy + C
Como x2 + x3 − 6 x = x(x2 + x − 6) = x(x + 3)(x − 2), entonces aplicando fraccionessimples en el lado izquierdo se obtiene que la familia de soluciones viene dada por
1
10ln (x− 2) +
1
15ln (x+ 3)− 1
6ln (x) = y + C
(b) Primero se analiza la existencia de soluciones constantes (o de equilibrio) de la EDO,estas se obtienen al resolver la ecuacion
x2 + x3 − 6 x = 0 ⇒ Puntos criticos:c = 0, 2,−3
entonces dichas soluciones son x(y) = 0, x(y) = 2 y x(y) = −3. Se observa que x(y) = 2es solucion del PVI (¿Por que?).
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(c) El punto (1, 1) NO se encuentra sobre una solucion constante de la EDO, entonces debe-mos encontrar la solucion en la familia de soluciones de la parte (a). En este caso
1
10ln (1− 2) +
1
15ln (1 + 3)− 1
6ln (1) = 1 + C
1
15ln (4) = 1 + C
C =1
15ln (4)− 1
entonces la solucion viene dada por
1
10ln (x− 2) +
1
15ln (x+ 3)− 1
6ln (x) = y +
1
15ln (4)− 1
(d) ¡Por favor, construya los detalles!
1
2
−1
1 2 3−1−2−3
b
1
2
−1
1 2 3−1−2−3
b
Ejemplo 6
Considere el siguiente PVI
dr
ds=
r2 + 2r − 8
r2 + 2r(s0) = r0
(a) Determine una la solucion general (familia de soluciones) para la EDO.
(b) Determine la solucion cuando (s0, r0) = (1, 1).
(c) Realice el bosquejo de la solucion del PVI cuando (s0, r0) = (0, 5).
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Solucion
(a) Usando el metodo de separacion de variables
∫
r2 + 2
r2 + 2r − 8dr =
∫
ds+ c
Tenemos∫
r2 + 2
r2 + 2r − 8dr =
∫
dr +
∫ −2r + 10
r2 + 2r − 8dr
= r +
∫
1
r − 2− 3
r + 4dr
= r + ln |r − 2| − 3 ln |r + 4|
por lo tanto,r + ln |r − 2| − 3 ln |r + 4| = s+ c
(b) Si s = 1 y r = 1 entonces
c = 1− 1 + ln |1| − 3 ln |5| = 3 ln 5
ası r + ln |r − 2| − 3 ln |r + 4| = s− 3 ln 5
(c) Bosquejo de la grafica (¡Por favor, construya los detalles!)
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6−7−8
b
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Grupo de ejercicios E1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
1.ey
2
x dx+ (x2 + 1)y dy = 0
2.
ex+y sin x dx+ (2y + 1)e−y2 dy = 0
3.
x ln(xy)dx+ ln y(dy − x dx) = 0
4.
dy
dx=
y2 − 9
x2 + 4
5.
(x2y2 + x2 + y2 + 1)dy
dx= (xy + x)
Respuestas seleccionadas E1
1. Explicita: y (x) = ±√
− ln (ln (x2 + 1) + C)
Implicita: ln(
x2 + 1)
− e−(y(x))2 = C
2.Explicita: y (x) = −1
2± 1
2
√
1− 4 ln
(
−1
2cos (x) ex +
1
2sin (x) ex + C
)
Implicita: − 1
2cos x ex +
1
2sin x ex − e−y(x)−(y(x))2 = C
4.Explicita: y (x) = −3
Ce3 arctan( 1
2x) + 1
Ce3 arctan( 1
2x) − 1
Implicita: arctan
(
1
2x
)
− 1
3ln (−3 + y (x)) +
1
3ln (y (x) + 3) = C
Grupo de ejercicios E2
Encuentre la solucion de los siguientes problemas de valor inicial
1. {
x′ = (x3 + 4 x2 + x− 6) ln y
x(2) = −3
2. {
x′ = (x3 + 4 x2 + x− 6) ln y
x(2) = 2
3. {
x′ = (x4 − 1)y cos (y)
x(0) = −1
4. {
x′ = (x4 − 1)y cos (y)
x(0) = −2
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Respuestas seleccionadas E2
En algunos ıtems no es necesario determinar la solucion general de la ED asociada. ¿Por que?
1. x(y) = −3
2. y ln (y)− y − 1
12ln (x− 1)− 1
4ln (x+ 3) +
1
3ln (x+ 2)− 8
3ln (2) + 2 +
1
4ln (5) = 0
3. x(y) = −1
4. cos (y)+y sin (y)+1
4ln (x+ 1)−1
4ln (x− 1)+
1
2arctan (x)−1+
1
4ln (3)+
1
2arctan (2) = 0
Grupo de ejercicios E3
Determine si se garantiza la existencia de una solucion para cada uno de los siguientes PVIs
1.{
y′ = 2x2y2
y(1) = 1
2.{
y′ = (t− y)1/2
y(2) = 2
3.
dr
dt=
(t2 − 1)1/2
(t2 − r)1/2
r(0) = 5
4.
dr
dt=
√
t2 − 1
t2 − rr(0) = 5
5.{
x′ = ln(9t2 − 4x2)
x(−1) = 1/2
6.{
y′ = x ln y
y(1) = 1
7.{
u′ = ln(u(v − 1))
u(−2) = −3
8.{
r′ = (r3 − t) ln(t2 − 1)
r(5) = −1
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Respuestas seleccionadas E3
Respuesta 3: f(t, r) es continua en
D = {(t, r) | t2 − 1 ≥ 0 ∧ t2 − r > 0}
y como (0, 5) /∈ D no se garantiza laexistencia de una solucion del PVI. 1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4
bc (0, 5)
Respuesta 4:
D =
{
(t, r)∣
∣
∣
t2 − 1
t2 − r> 0
}
y como (0, 5) ∈ D se asegura la exis-tencia de una solucion del PVI.
1
2
3
4
5
−1
1 2 3 4−1−2−3−4
bc (0, 5)
h = 31.33
Respuesta 5: f(t, x) es continua en
D ={
(t, x)∣
∣
∣9t2 − 4x2 > 0
}
y (−1, 1/2) ∈ D por tanto asegura laexistencia de una solucion del PVI.
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4
bc(−1, 1/2)
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Grupo de ejercicios E4
Considere el siguiente PVI
y′ = y2 − 1
y(2) = −1(1)
1. ¿Existe una solucion para el PVI? Justifique su respuesta.
2. Determine la solucion general explicita de la EDO asociada al PVI
3. ¿Existe algun valor de c tal que la solucion general resuelva el PVI? Justifique su re-spuesta.
4. ¿Cual es la solucion del PVI? (en caso que dicha solucion exista!)
Respuestas seleccionadas E4
2. Solucion general explicita:
y =1 + ce2x
1− ce2x, c ∈ R
3. No existe un valor de c.
4. Solucion del PVI y(x) = −1
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