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7/25/2019 Ejercicios05AM
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Universidad
delNorte
Barranquilla, 24 de octubre de 2015
Universidad del Norte
Division de Ingenieras
Analisis Matricial - Taller 05
Ejercicios E1
1. Determine la norma2de las siguientes matrices usando los
programas implementadosen clase. Determine el numero de condicion
sin calcular explicitamente la matriz A1.Explique sus
procedimientos y proporcione los parametros utilizados en la
ejecucion desus calculos.
a)
A=
14 30 4224 49 66
12 24 32
b)
A=
7 6 312 20 246 12 16
c)
A=
2,5 2,5 3,0 0,50 5 2 2
0,5 0,5 4 2,52,5 2,5 5 3,5
d)
A=
4 3 2 13 4 3 22 3 4 3
1 2 3 4
e)
A=
3 2i 3i3 +i 0 1i
3i 1 +i 0
Ejercicios E2
1. Consideremos el sistema de masas enlazadas por muelles que se
muestra en la FiguraXX. El modelo matematico que describe el
desplazamiento de las masas cuando sepierde la posicion de
equilibrio estatico es
k1+k2 k2 0k2 k2+k3 k30 k3 k3
x1(t)x2(t)
x3(t)
+
m1 0 00 m2 0
0 0 m3
x1(t)x2(t)
x3(t)
=
00
0
(1)
a) Haciendo el cambio de variablesxj =vjsin(t + ) paraj= 1, 2, 3
donde es unaconstante, muestre que el modelo puede formularse de la
siguiente forma
k1+k2m1
k2m1
0
k2m2
k2+k3m2
k3m2
0 k3m3
k3m3
v1
v2
v3
=2
v1
v2
v3
(2)
NRC: 1117Prof. Catalina Domnguez
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b) Considere las soluciones (parejas autovalor-autovector) del
sistema (2)
j, vj = [v(j)1 , v
(j)2 , v
(j)3 ]
T para j = 1, 2, 3.
estas parejas permiten formar un sistema fundamental de
soluciones del sistema(1), tomando
xj
(t) =vj
sin(j
t+) = sin(j
t+)v(j)1
v
(j)
2
v(j)3
(3)donde j =
entonces la solucion general del sistema (1) es de la forma
x(t) =c1x1+c2x2+c3x3
Las soluciones xi con i= 1, 2, 3 se denominan los modos
principales de vibracion.
Usando el metodo Jacobi (visto en clase), halle los modos
principales de vibracionde los sistemas de masas enlazadas por
muelles cuyos coeficientes son los siguientes.
Proporcione los parametros y el programa utilizado en sus
calculos.1) k1= 3, k2 = 2, k3 = 1, m1 = 1, m2= 1, m3= 1
2) k1= 0,2, k2= 0,4, k3= 0,3, m1= 2,5, m2 = 2,5, m3 = 2,5
2. a) Modificar el algoritmo de Jacobi de manera que genere el
numero maximo deiteraciones usando el siguiente estimativo a
priori
N(Am)qmN(A0), q:=
1 2n(n1)
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Universidad
delNorte
Compare tiempos de computo, residuos y errores obtenidos con
respecto al programaimplementado en clase. En su analisis, utilice
que la matriz
A= 1
h2tridiagn(1, 2,1) con h=
1
n+ 1
obtenida en la aproximacion mediante diferencias finitas de
ecuacion de Laplace en 1Desta dada por
i= 2
h2
cos(ih)1 i= 1, . . . , nmientras que su correspondiente vector
propio v(i) Rn esta dado por
v(i) = (v(i)j )
nj=1= sin(i j h)
Cual es mas rapido y eficiente? En su analisis tenga en cuenta
matrices de gran tamano.
4. Implemente el metodo de Jacobi calculando el producto
matricial B = UTAU usan-do matrices sparse. Compare tiempos de
computo y residuos. Cual es mas rapido yeficiente? En su analisis
tenga en cuenta matrices de gran tamano.
5. Modifique el algoritmo de Jacobi (implementado y visto en
clase) para implementar elmetodo de Jacobi cclico. Compare tiempos
de computo, residuos y errores obtenidos.Cual es mas rapido y
eficiente? Para realizar su analisis tenga en cuenta la matriz
delitem 3 (Ejercicios E2).
Tarea 5
Puntos a entregar: Ejercicios E1y escoja 4 items de Ejercicios
E2. Debeentregar o colocar dentro de su documento los
programasusados en la resolucion de los tems.
Fecha de entrega: Martes, 3 de Noviembre de 2015 al inicio de
clase.
NRC: 1117Prof. Catalina Domnguez
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