El Dual de Un Espacio Normado

8/18/2019 El Dual de Un Espacio Normado

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Capıtulo 3

El Dual de un espacio normado

3.1 El Teorema de Hahn-Banach

Definicion 3.1 Si A es una familia de conjuntos. Una subfamilia B de Aes denominada una cadena si para cada par de conjuntos A, B en B , A ⊂ B´ o B ⊂ A.

Definicion 3.2 Un conjunto A en A es denominado maximal si no hay conjunto B en A que lo contenga propiamente. Es decir si A ⊂ B, entonces A = B.

Definicion 3.3 A ⊂ A es denominado minimal si no hay B en A que este contenido propiamente en A.

Para familias de conjuntos tenemos el siguiente resultado importante quedaremos sin demostracion

Lema 3.1 ( Zorn )Supongase que A es una familia de conjuntos.

a) Si para cada cadena B en A el conjunto Bα∈B

Bα est´ a en A, entonces

A tiene un elemento maximal.

b) Si para cada cadena B en A el conjunto Bα∈B

Bα est´ a en A, entonces

A tiene un elemento minimal.

39



40 CAP ITULO 3. EL DUAL DE UN ESPACIO NORMADO

Definicion 3.4 Una forma sublineal sobre un espacio vectorial real X es

una funci´ on p : X →R

tal que

i) p(ax) = ap(x), si a > 0

ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y); x, y ∈ X

El siguiente resultado es conocido como la forma analıtica del Teoremade Hahn-Banach.

Teorema 3.1 Supongase que p es una forma sublineal sobre un espacio vec-torial real X y f es un funcional lineal definido sobre un subespacio F de X tal que f (x) ≤ p(x), x ∈ F . Entonces existe un funcional lineal T f : X → R,tal que:

(1) T f es una extensi´ on de f , es decir T f (x) = f (x), x ∈ F

(2) T f (x) ≤ p(x), x ∈ X

Demostracion: Sea A la familia de subconjuntos de X × R definida dela siguiente manera:

A=[G, g] = {graficos de las extensiones de f }

= {{(x, g(x)) : x ∈ G} : F ⊂ G ⊂ X ; g lineal; g/F = f ; g(x) ≤ p(x), x ∈ G}A no es vacıo ya que [F, f ] ∈ A. Supongase que B es una cadena de A, si[Gα, gα], [Gβ , gβ ] pertenecen a B entonces uno contiene al otro. Supongamosque [Gα, gα] ⊂ [Gβ , gβ ], entonces (x, gα(x)) ∈ [Gβ , gβ ] para cada x en Gα;por lo tanto x ∈ Gβ y gα(x) = gβ (x), de lo cual se tiene que Gα ⊂ Gβ y gβ es una extension de gα a Gβ .

Sea G = Gα∈B

Gα ; G es un subespacio de X . Si x ∈ G, existe α tal

que x ∈ Gα; si x ∈ Gβ tambien sabemos que gα(x) = gβ (x). Definamosg : G → R como el funcional que a cada x en G le asocia el valor comungα(x). se tiene que :

i.) g esta bien definido sobre Gii.) g es linealiii) g satisface (1) y (2)iv) [G, g] =

Gα∈B

[Gα, gα]).



3.1. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH 41

De esto se deduce que A satisface las hipotesis del Lema de Zorn y

por lo tanto A tiene un elemento maximal que denotaremos por [X 1, T f ].Veamos ahora que X 1 = X , supongamos que X = X 1, entonces existe unvector y0 ∈ (X − X 1) . Para cada s > 0 y x en X se tiene que

2T f x

s

< 2 p

x

s

≤ p

x

s + y0

+ p

x

s − y0

;

ası que

T f

x

s

− p

x

s − y0

≤ p

x

s + y0

− T f

x

s

,

por lo tanto si tomamos

A = inf s>0

P x

s + y0

− T f x

s

;

a = sups>0

T f x

s

− P

x

s − y0

,

se tiene que a ≤ A. Sea un numero real c tal que a ≤ c ≤ A, definamos f #

sobre el espacio X 2 generado por X 1 y y0, de la siguiente manera

f #(x + ty0) = T f (x) + ct; para t en R y x en X 1.

f # es lineal y extiende a T f .Veamos que f # satisface la propiedad (2). Supongamos que t > 0, como

c ≤ p(x/t + y0) − T f (x/t), tenemos que

f #(x + ty0) = T f (x) + ct ≤ T f (x) + t[ p(x/t + y0) − T f (x/t)] = p(x + ty0).

Si t < 0, sea s = −t, como c ≥ − p(x/s − y0) − T f (x/s) se tiene que

f #(x+ty0) = f #(x−sy0) = T f (x)−sc ≤ T f (x)+s[ p(x/s−y0)−T f (x/s)] = p(x−sy0).

De todo lo anterior se concluye que

X 2, f #

contiene estrictamente a[X 1, T f ] , lo cual es contradice al hecho que [X 1, T f ] es maximal, por lo queconcluımos que X 1 = X

Definicion 3.5 Sea X un espacio normado sobre el cuerpo K . Al espacioL(X,K) lo notaremos por X ∗. El espacio X ∗ se denomina el dual topol´ ogicode X ´ o simplemente el dual de X .




Observacion 3.1 X ∗ es un espacio de Banach con la norma

f = sup{|f (x)| : x = 1}.

X ∗ no es vacıo ya que por lo menos la funcional nula pertenece a X ∗.

Vamos a usar el teorema de Hahn-Banach para verificar que X ∗ no esel cero solamente. En general muchos resultados dependen del hecho de serX un espacio vectorial real o complejo, esto es particularmente cierto paraaquellas propiedades que dependen del hecho de que C es algebraicamentecerrado, mientras que R no lo es.

En muchos casos se desarrollan metodos para demostrar que propiedadesde los espacios normados complejos tambien son validos para los espaciosreales y viceversa. Un caso particular en esta situacion la constituye el estudiode las funcionales lineales.

Observacion 3.2 A continuaci´ on vamos a ver que el estudio de los fun-cionales lineales complejos se reduce a estudiar las funciones lineales reales.Sea f : X → C una funcional lineal, entonces f (x) = u(x) + iv(x) donde u, vlineales y u, v : X → R. En particular

f (ix) = u(ix) + iv(ix) = iu(x) − v(x) = if (x)

y de las propiedades de los complejos se obtiene que u(ix) = −v(x); x ∈ X .

El siguiente resultado es la version del teorema de Hahn-Banach, paraespacios normados.

Teorema 3.2 Sup´ ongase que F es un subespacio de un espacio normadoX y f es un funcional lineal acotado definido sobre F . Entonces existe un

funcional lineal T f sobre f tal que T f = f y T f (x) = f (x); x ∈ F .

Demostracion: Caso 1. X es un espacio normado real.Sea M = f , como P (x) = M x es una forma sublineal sobre X y

|f (x)| ≤ M x ; x ∈ F , se tiene que existe una extension T f de f a X talque

|T f (x)| ≤ M x, x ∈ X,

de lo cual se tiene que T f ≤ M = f y T f ≥ f porque T f es unaextension de f .



3.1. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH 43

Caso 2. X es un espacio normado complejo. En este caso se tiene que

f (x) = f 1(x) − if 1(ix),

con f 1 : X → R. Sea M = f , para cada x en F se tiene que

|f 1(x)| = |Real (f (x))| ≤ |f (x)| ≤ M x

ası que f 1 ≤ M . Sea T f 1 la extension de f 1 a X tal que T f 1 ≤ M ydefinamos T f (x) = T f 1(x) − iT f 1(ix).

Si x ≤ 1, sea c un numero complejo tal que cT f (x) = |T f (x)| y |c| = 1,entonces se tiene que

|T f (x)| = cT f (x) = T f (cx) = T f 1(cx) ≤ M cx = M x

ya que T f (cx) es real. La otra desigualdad sigue por ser T f extension de f .

Corolario 3.1 Para cada x0 = 0 en un espacio normado X hay un funcional lineal continuo f tal que f = 1 y f (x0) = x0

Demostracion: Sea F el espacio generado por x0, es decir,

F = {ax0 : a ∈ K }.

Definamos f 1 : F → K por f 1(ax0) = ax0, como ax0 = |f 1(ax0)| paratodo ax0 en F se tiene que f 1 = 1. Aplicando Hahn-Banach,construımos una extension f de f 1 tal que

f ∈ X ∗, f = 1 y f (x0) = x0

Corolario 3.2 Sea F es un subespacio cerrado de un espacio normado X y x0 un punto en (X − F ). Entonces hay un f ∈ X ∗ tal que f = 1, f (y) = 0para todo y en F y

f (x0) = dist(x0, F ) = inf {x − x0, x ∈ F }.




Demostracion: Definamos f 1 sobre el espacio generado por F y x0 como

f 1(tx0 + y) = td

donde d = dist(x0, F )Si tx0 + y ≤ 1 y t = 0, entonces d ≤ x0 + y/t ≤ 1

|t|, ası que

|f 1(tx0 + y)| = d |t| ≤ 1.

Veamos que f 1 = 1. Sea ε > 0; sea y ∈ F tal que x0 − y < d + ε,si u = x0−y

x0−y se tiene que u = 1 y f 1(u) = d

x0−y ≥ d

d+ε . Por lo tanto

f 1 ≥ dd+ε , de lo cual se deduce que f 1 ≥ 1. Aplicando Hahn-Banach,

encontramos f ∈ X ∗ con las condiciones deseadas.

Definicion 3.6 Sea X un conjunto, V un espacio vectorial y F un conjuntono vacıo de funciones f de X en V . Se dice que F separa los puntos de X , si dados x, y ∈ X, x = y, existe un elemento f ∈ F tal que f (x) = f (y).

Ejercicio 3.1 Demuestre que si X es un espacio normado (no trivial) en-tonces X ∗ separa los puntos de X .

Corolario 3.3 Para cada vector x de un espacio vectorial normado X , se

tiene que x = sup {|f (x)| : f ∈ X ∗ y f ≤ 1}

Demostracion: Para toda f ∈ X ∗ tal que f ≤ 1; se tiene que |f (x)| ≤f x ≤ x, entonces sup {|f (x)| : f ∈ X ∗ y f ≤ 1} ≤ x.Como existe f ∈ X ∗ tal que f = 1 y |f (x)| = x se tiene que

x = sup {|f (x)| : f ∈ X ∗ y f ≤ 1}

Observacion 3.3 El proceso de formar espacios duales de un espacio nor-mado X se puede continuar y formar el espacio X ∗∗, el doble dual de X que serıa X ∗∗ = {f : X ∗ → K : f lineal y acotadas }.



3.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS DUALES 45

Observacion 3.4 A cada x en X le podemos asociar un elemento x de X ∗∗

de la siguiente manera x(f ) = f (x), para todo f ∈ X ∗.

Se tiene que |x(f )| = |f (x)| ≤ f x, por lo tanto x ∈ X ∗∗ y adem´ as x ≤ x.

Definicion 3.7 Al operador J : X → X ∗∗ definido por J (x) = x lo llamare-mos la inyecci´ on can´ onica .

Definicion 3.8 Si el rango de J es X ∗∗, X se dice reflexivo

Se tiene que

J (x) = supf ≤1

f ∈X ∗

|x(f )| ≤ x; x ∈ X

Ademas tenemos el siguiente resultado:

Teorema 3.3 J : X → X ∗∗ es una isometrıa lineal.

Demostracion: Veamos que J (x) = x = x, x ∈ X . De un corolario

anterior se tiene que dado x ∈ X existe f ∈ X

∗

tal que f (x) = x y f = 1.Por lo tanto J (x) = x ≤ supf ≤1

|x(f )| = supf ≤1

|f (x)|

3.2 Ejemplos de espacios duales

Lema 3.2 El dual de (n) p = (Rn, . p) es

(n)q = (Rn, .q) donde 1

p + 1

q =

1, 1 ≤ p < ∞ .

Demostracion: Sea {vi}ni=1 una base de Rn, se tiene que cada x de Rn

se puede escribir como x =

ni=1

xivi. Si f ∈ (n) p entonces f se puede escribir

como

f (x) =ni=1

xif (xi), x ∈ Rn,




definamos T : ((n) p )∗ →

(n)q de la siguiente manera

T (f ) = (f (xi))ni=1, f ∈ ((n) p )∗.

Veamos que T es una isometrıa lineal. T es lineal obviamente. Veamos que

T f q = f , f ∈ ((n) p )∗

.Por una parte tenemos que

|f (x) | ≤ni=1

|xi||f (vi)| ≤

ni=1

(xi) p

1/p ni=1

f (vi)q

1/q

, x ∈ Rn,

de lo cual se deduce que

f ≤

ni=1

(f (vi))q

1/q

= T f q.

Sea x0 = (xi)ni=1 el elemento de

(n) p definido de la siguiente manera

xi =

0; si f (vi) = 0

|f (vi)|q

f (vi) ; si f (vi) = 0,

se tiene entonces que

f (x0) =

ni=1

|f (vi)|q|f (vi)|

· |f (vi)| =ni=1

|f (vi)|q = T f qq.

Por lo tanto

T (f )qq =f (x0)

≤ f x0 p

= f

ni=1

|f (vi)|q

|f (vi)|

p1/p

= f

ni=1

(|f (vi)|) pq− p1/p

= f n

i=1

(|f (vi)|)q1/p

= f T (f )q/pq ,

entonces T (f )q−q/pq ≤ f y como q − q/p = 1, se tiene que T f q ≤ f .



3.3. EJERCICIOS 47

Ejercicio 3.2 Usando el mismo razonamiento demuestre que

((n) p )∗∗ = (nq )∗ = n p ;

es decir (n) p es reflexivo.

Ejercicio 3.3 Demuestre que ((n)∞ )∗ =

(n)1

3.3 Ejercicios

Ejercicio 3.4 Sea X un espacio normado. Demuestre que si X ∗ es separa-

ble, entonces X es separable.

Ejercicio 3.5 Sea Y un subespacio cerrado del espacio normado X . De-muestre que

Y =

{Nucleo(x∗); Y ⊂ Nucleo(x∗)} .

Ejercicio 3.6 Demuestre que cada espacio normado X de dimension finita es reflexivo.

Ejercicio 3.7 Sea M un subespacio no denso del espacio normado X .Demuestre que hay una sucesion {xn}∞n=1 ⊂ X tal que

xn = 1y limn→∞

d(xn, M ) = 1

Ejercicio 3.8 Sea X es un espacio normado y f ∈ X ∗. Demuestre que existe un x0 ∈ X tal que todo elemento x ∈ X puede ser expresado de la forma x = αx0 + x1, donde α ∈ K y x1 ∈ Nucleo(f ).

Ejercicio 3.9 Sea X un espacio normado. Sea {xn}∞n=1 una sucesi´ on en X y x0 un elemento de X tal que para cada x∗ ∈ X ∗ se tiene que

limn→∞

x∗(xn) = x∗(x0).

Demuestre que x0 esta en la clausura del espacio generado por {xn}∞n=1.




Ejercicio 3.10 Sea X un espacio de Banach separable y {xn}∞n=1 un sub-

conjunto denso numerable de S X (0, 1) = {x ∈ X : x = 1} .

Para cada xn sea f n ∈ X ∗ tal que f n(xn) = xn y f n = 1. Demuestre que

si definimos p(x) =

∞n=1

2−n [f n(x)]21/2

, entonces p es una norma sobre X

y adem´ as p(x) ≤ x ; para todo x ∈ X.

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